Bài toán cái túi trong Pascal

Bài toán cái túi trong Pascal

Bài toán cái túi

Võ Khắc Huấn

Bài toán: Cho một tập hữu hạn U = {ui; i =1 n} mỗi phần tử ui U có kích cỡ S(ui) và

số tự nhiênB

Đểminh hoạ cho bài toán, chúng ta lấy ví dụ sau: giả sử tập u có 4 phần tử {u1,u2, u3, u4}, kích cỡ lần lượt là S(u1)= 1, S(u2) = 5, S(u3) = 2, S(u4 ) = 3 và B = 3.Bạn dễ dàng thấy rằng

có hai phương án:

+ U1' = {u1, u3}vì S(u1)+ S(u3) = 3

+ U2' = {u4}vì S (u4 ) = 3

Đôikhi, tập U' được biểu diễn như là dãy có thứ tự các số nhị phân, phần tử là 1 -nếu nó thuộc U', hoặc 0 - nếu ngược lại là không thuộc Như ví dụ trên ta có:

+ U1' = {u1, u3} (1, 0, 1, 0)

+ U2' = {u4} (0, 0, 0, 1)

Knapsackthuộc lớp bài toán NPC (không đa thức) Nghĩa là, nói chung không có thuật toánhữu hiệu nào để giải nó cho trường hợp bất kỳ Điều này không có nghĩa là tấtcả các trường hợp đều có cùng độ phức tạp Chúng ta phát biểu lại bài toán dướidạng có thể giải được bằng thuật toán có thời gian tuyến tính Và gọi nó là bàitoán Knapsack dễ

Bài toán EKN:Cho n đồ vật, có khối lượng lần lượt là S1, S2, , Snsao cho:

vàmột cái ba lô có sức chứa B

Câuhỏi đặt ra là liệu có cách nào để bỏ vào ba lô một số vật để tổng khối lượngcủa chúng bằng B? Chúng ta minh hoạ bằng hai phương pháp sau:

Chon = 6, B = 45

Và

Bâygiờ, chúng ta tìm một phương án V= (V1 , V2 , , V6 ).Trong đó Vi = 1 nếu vật thứ i

Chúngta thấy:

V6 = 1, B - S6 = 45 - 32= 13

Kếtiếp V5 = 0 (vì S 5 = 16 > 13)

V4 = 1, B - S6 - S5 = 45 - 32 - 8=5

V3 = 1, B - S6 - S5 - S3 =45 - 32 - 8 - 4 = 1

V2 = 0, (vì S2 = 2 > 1)

V1 = 1, B - S6 - S4 - S3 -S1 = 45- 32 - 8 - 4 - 1 = 0

Dođó, ta được: V= (1, 0, 1, 1, 0, 1)

Phântích phương án trên chúng ta có thuật toán giải bài toán EKN như sau:

Input: S1,S2, , Sn và B;

Output: V= (V1 , V2 , , Vn );

Actions:

for i:= n downto 1 do

begin

if B< Sithen Vi = 0

else

begin

Vi =1

B= B - Si

end;

end;

Sauđây là chương trình giải EKN với các khối lượng cho được bởi vectơ (1, 2, 4, 8,16, 32,

64, 128)

Program EASYKNAPSACK;

Usescrt;

Constn = 8;

Typemang = array[1 n] of integer;

Var V, S: mang;

B, i: integer;

Begin

clrscr;

write(' Nhap B= '); readln(B);

S[1]:= 1;

for i:= 2 to n do S[i]:= S[i -1]* 2;

for i:= 1 to n-1 do

begin

if B< S[n-i] then V[n-i]:= 0

else

begin

V[n-i] :=1;

B := B- S[n-i];

end;

if B= 0 then

For i:= 1 to n do writeln(' V', i, '=',V[i])

else writeln(' Khong co giai phap! ');

readln;

End

Linhhoạt từ bài toán Knapsack chúng ta sẽ có nhiều bài toán dạng này Mời các bạnthử bài toán sau:

Bài toán: Chomột cái cân hai đĩa và n quả cân với khối lượng tương ứng d1 , d2 , ,dn Ta nói trọng lượng y có thể cân được từ các quả cân di ,i = 1 n, nếu xi di =y, với xi = {-1, 0, 1};

xi = 1, khi quả cân dikhông đặt cùng đĩa với vật cân

Bạnhãy lập chương trình in ra mọi khối lượng có thể cân được từ những quả cân đó?