SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc gia

SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc giaSKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc gia

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập — Tw do — Hanh phic

MO TA SANG KIEN

Mã số (do thường trực HĐ ghi)

I Tên sáng kiến: Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi giải quyết

bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc gia

II Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy môn Toán

II Mô tả bản chất của sáng kiến:

1 Tình trạng giải pháp đã biết:

Chúng ta đã biết có rất nhiều SKKN, đề tài, bài viết đề cập đến vấn đề sử dụng máy

tính bỏ túi phục vụ cho việc giảng dạy môn toán Tuy nhiên từ trước đến nay đa số các tài

liệu ấy đều hướng dẫn để học sinh nắm vững các tính năng cơ bản như các phép toán, tính

giá trị của hàm sô, tính đạo hàm tại một điểm, thử lại kết quả của tích phân Các kỳ thi học

sinh giỏi máy tính Casio thì đề Ta với các sỐ liệu gần đúng và kết quả cũng là một số gần

đúng Trong khi đề thi THPT quốc gia môn toán thì kết quả của một bài toán phải là một sô

đúng chứ không phải là số gần đúng SKKN này đưa ra giải pháp biến các kết quả gần đúng

mà máy tính đưa ra thành các kết quả đúng Hiện nay đề thi THPT quốc g1a môn toán được

ra theo hướng điểm được phân bố như sau: 6 điểm dành cho học sinh trung bình, 7 điểm

dành cho học sinh khá và 8 đến 10 điểm dành cho học sinh giỏi Ba câu khó trong đề thi các

năm qua tập trung vào các vấn đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình; phương

pháp tọa độ trong mặt phẳng và bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Vậy muốn

đạt được điểm cao thì học sinh phải vượt qua các câu hỏi nầy Bài toán phương trình, bất

phương trình, hệ phương trình là bài toán khó đôi đã làm thực nghiệm cho 2 nhóm học sinh

một nhóm toàn học sinh khá và một nhóm gồm các học sinh trung bình giải các bài toán

trong đề thi THPT quốc gia về phương trình, hệ phương trình Nhóm khá tôi chỉ dạy các

phương pháp truyền thống từ trước đến nay như đặt ân phụ, phân tích thành nhân tử, phương

pháp ham số Trong khi nhóm trung bình ngoài các phương pháp truyền thống tôi còn

truyền thụ cho các em các thủ thuật cao cấp về kỹ năng sử dụng máy tính Casio Kết quả làm

bài thử nghiệm chỉ có 40% học sinh khá đạt yêu câu trong khi nhóm trung bình là 70% đạt

yêu cầu Điều đó cho thấy dù với đối tượng học sinh trung bình nhưng với phương pháp

giảng dạy tốt của giáo viên thì kết quả sẽ được nâng cao Thực tế hiện nay đa số GV dạy

toán còn nghiên cứu rất ít về máy tính Casio và thường chỉ sử dụng các tính năng cơ bản

chưa hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính Casio làm công cụ dự đoán và tư duy trong giải

toán SKKN nầy mong muốn được phô biến rộng rãi đến các giáo viên dạy toán của tỉnh

nhằm chia sẽ các kinh nghiệm mà tôi đã nghiên cứu trong các năm qua

2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:

Nội dung của giải pháp đề cập đến các thủ thuật giúp học sinh tư duy các bài toán về

phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bang may tinh CASIO Cac thao tac co ban

về CASIO không đề cập đến trong tài liệu nầy vi đã có trên các tài liệu hiện hành Điểm mới

-2-

của SKKN này là tập trung vào việc giới thiệu các phương pháp tư duy mới với sự trợ giúp của máy tính CASIO Nếu GV rèn luyện tốt các thủ thuật dưới đây sẽ giúp học sinh giải quyết thật tốt câu hỏi về phương trình, hệ phương trình trong đề thi THPT quốc gia

thuật:

a)

b)

d)

Một số kỹ năng cơ bản mà GV cần hướng dẫn cho HS trước khi đi vào các thủ

Tính giá trị của hàm số: Ta dùng chức năng

Giá sử cần tính giá trị của hàm số ƒ(%) = x3 — 3x? + 5 tại x = 5;x = ; Ta thực

hiện như sau:

+ Nhập vào hàm số ƒ ()

+ Nhắn phím , máy hỏi x ? ta nhập vào số 5 và nhắn phím [=]

+ Tiếp tục nhắn phím nhập vào số : và nhân phím [=]

Tìm nghiệm của một phương trình bất kỳ: Ta dùng chức năng

Giá sử cần giải phương trình: Vx2 + x + 1+ V3x+1=x+3 ˆ

+ Ta nhập vào phương trình

+ Ta nhắn các phím | Shiƒt| + [SOLVE]

+ Máy yêu cầu nhập vào một giá trị của x, ta nhập vào số 0

+ Nhân phím [E] sẽ được kết quả x = Chú ý 1: Chức năng chỉ tìm một nghiệm trong lân cận của giá trị x mà ta nhập vào Trong ví dụ trên máy tìm một nghiệm tại lân cận của x = 0 đó là nghiệm

x=l Muôn tìm nghiệm nữa ta thực hiện lại quy trình trên

Chú ý 2: Khi nhập phương trình ta nên đưa pt đã cho vé dang f(x) = 0, rồi nhập vào f(x) mà thôi, sau đó nhân phím [=] Việc làm nây làm cho máy nhớ biểu thức ƒ(+) giúp ta không phải nhập lai f (x) nhiéu lan

Dủng chức năng bảng [TABLE |

Chức năng Table dùng để tính giá trị cha ham s6 f (x) tai nhiéu giá trị:

Vi dụ: Cho hàm sé f(x) = x? — 3x + 1, ta can tính các giá tri:

ƒ(~10); ƒ(—9); ; ƒ(0); ƒŒ); ƒ(); (0)

Ta thực hiện như sau:

+ Nhắn phím nhấn tiếp phím [7| để chọn chức năng [Table]

+ Máy hỏi ƒ(+) =, ta nhập vào biêu thức x3 — 3x + 1

+ Máy hỏi ta nhập vào —10 ( Giá trị đầu tiên của x)

+ Máy hỏi ta nhập vào 10 (Giá trị cuối cùng của x) + Máy hỏi ta nhập vào 1 (Công sai)

Khi đó máy sẽ hiển thị bảng bảng các giá trị của f(x) voi x = —10; —9; ; 9; 10 Chú ý: Chức năng Table giúp ta dự đoán tính đơn điệu của hàm số ƒ(%) trên một

miễn, tìm được nghiệm hoặc dự đoán nghiệm

-3-+ Nhấn phím[(—)| ( Phím ký tự A màu đỏ nằm phía trên phím dấu (—)

Chú ý: Ta đùng chức năng gán biến này trong trường hợp khi giải phương trình bằng

chức năng và được các nghiệm là các số thập phân (gần đúng), lúc nầy ta sẽ

gan nghiệm thứ nhất cho A, gán nghiệm thức hai cho B; Sau đó ta thực hiện các

Ta xét lời giải của đáp án như sau:

* Điều kiện: x > 2,y > 2

* Xem (1)là phương trình bậc hai theo x, ta có:

(1) & x? — (y3 + 2y + 6)x + (2y? + 6y) = 0

Ta có: A = (y3 + 2y + 6)? — 4(2y + 6y?) = y® — 4y* — 12y? + 4y? + 24y + 36

Vậy A = (y — 2y — 6)?

_ (y3 +2y + 6) + (2 —2y—6) | 2°

Tiếp theo chỉ uiệc thế x = 2y + 6 vax = y? vao (2) va giai tiép

Nhận xét: Đối với một học sinh trung bình thì rất khó thực hiện được công đoạn:

A = yŠ — 4y* — 12y3 + 4y? + 24y + 36 = (yŸ — 2y — 6)2

Chỉ các học sinh giỏi mới thực hiện được Ta có thể hướng dẫn học sinh tìm ra kết quả:

x=2y+6Vx= y như sau:

« Gan y = 100 (100 > Shift RCL)

+ Viết (1) © x? — (y3 + 2y + 6)x + (2y* + 6y*) =0

* Dùng chức năng giải phương trình bậc hai của CASIO:

nhập a = 1;b = —(y3 + 2y +6);c = (2y? + 6y)

Sẽ được 2 nghiệm: x = 206 và x = 1.000.000

Ta dự đoán hư sau:

x = 206 = 2y +6; x = 1.000.000 = 1003 = yẻ

Còn khi trình bày lời giải thì HS sẽ viết:

(1) © z? - (y3 + 2y + 6)x + (2y + 6y) = 0

Thủ thuật CALC 100 dùng để phân tích 1 biểu thức 2 biến số P(x, y) thành nhân tử

Cách thực hiện như sau:

Gán y = 100

Nhập vào biểu thức P(, y) Dùng chức năng SOL,VE để tìm nghiệm x Dịch kết quả có được để có kết quả x tính theo y

Ví dụ 1 Phân tích thành nhân tử: F=x—3 xy+ 2y +4x—5y+3

* Bước Í: Ta gán y = 100 qua Iénh: 100 shift - RCL - y

( Phải nhắn đầu bằng đề dùng lại biểu thức lần sau)

* Bước 3: Dùng chức năng Shift-Slove 2 lần sẽ tìm được 2 nghiệm: x = Ì97 vẻ x = 99,

Chú ý: Ở Bước 3 ta có thê dùng chức năng giải PT bậc 2 của CASIO bởi vì:

x—3xy+2y?+4x—5y+3=x+(-3y+4)x+2y?—5y +3

Khi đó ta nhập vào các hệ số a, b, c là : l; -3y +4và 2y —5y+3

( Cách nầy khỏi phải thực hiện Shift - Solve 2 lần)

Dung Hoocne, ta được:

(2) ®(2y+x—=1) b —xy—2y ?“+y+l1}= =0

Tóm lại HPT có 6 nghiệm như trên

Vấn đề 2 Dùng CASIO giải phương trình bậc 4

Nhận thấy việc trang bị cho học sinh kỹ năng giải phương trình bậc bốn dạng:

ax† + bx3 + cx? + dx +e= 0(a #0) một cách thành thạo là rất cần thiết vì khi giải

một phương trình vô tỉ khi bình phương 2 về có thể dẫn đến một phương trình bậc bốn

Phương pháp giải phù hợp với kiến thức của chương trình toán THPT là phân tích về trái

của phương trình về dạng tích của hai tam thức bậc hai Thủ thuật nầy tôi có trao đối với

các GV dạy toán của tỉnh trong các đợt tập huấn chuyên môn trong các năm trước

-6-

Phương pháp:

Bước 1 Nhập vào về trái của pt bậc 4 (ax' + bx + ox + dx + e)

Chú ý: sau khi nhập xong ta nhấn dẫu bằng (=) dé các lần sau khi muốn dùng lại biểu

thức này ta chỉ cần bấm vào các phím mũi tên thì máy sẽ hiển thị lại biểu thức, khỏi mất

công nhập lại

Bước 2 Dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm gần đúng ( bam Shift - Call)

May sé cho Ì nghiệm gân đúng

Bước 3 Ta gán nghiệm gan dung nay cho bién A ( bam Shift - RCL réi nhan phim (-)) Chú ý nhắn phím dâu (-) tức là phím A (không phải nhắn alpha - A)

Bước 4 Dùng các phím mũi tên để tìm lại biêu thức về trái của pt đã nhập ( ta tạm gọi là f(x) ) va stra lại /(x) : (X— 4) Lại tiếp tục như bước 2 ta được nghiệm gân đúng thứ hai

và gán cho B

Bước 5 Dùng các phím mũi tên dé tìm lại biểu thức về trái của pt đã nhập ( ta tạm gọi là f(x) ) va stra lại /(x) :((X— 4) :(X— B)) Lại tiếp tục như bước 2 ta được nghiệm gân đúng thứ ba và gán cho C

Bước 6 Dùng các TU mũi tên để tìm lại biểu thức về trái của pt đã nhập ( ta tạm gọi là f(x) ) va stra lai f(x) : ((X— A) -(X— B)-(X—C)) Lai tiếp tục như bước 2 ta được nghiệm gần đúng thứ tư và gán cho D,

Bước 7 Ta bắm A + B và A.B nếu được kết quả là số nguyên hay không? Giả sử A+B=

5 và A.B = -9 thì có một nhân lax —Sx—9.Néud+Bla một số thập phân không đẹp thì ta thử với cặp (44, C); (4D)

Như vậy ta đã phân tích tage vé để thành tích của hai tam thức bậc hai

Chú ý: Có thể dùng cách này để giải các phương trình bậc 5, bậc 6

Nhận xét:

Cách trên có phần bất tiện là mỗi lần Shift-Solve ta phải sửa lại biểu thức như các bước 4,

5, 6

Ta có thể thực hiện như sau:

* Trước hết ta dùng chức năng TABLE cho hàm số f{x) với:

Start = - 9; End = 9 va Step = 1 ( Nghiệm pt thường thudc khoang (-9; 9) )

* Giả sử qua TABLE ta biết được pt có 4 nghiệm thuộc các khoảng:

(-5; -4); (<2; -1); (0; 1); (4; 5)

* Vậy ta chỉ cần Shift-Solve 4 lần là xong Với mỗi lần ta chỉ ra các giá trị x lần lượt là: -4.5 ;-1.5 ; 0.5 và 4.5

Cách khác (Hay nhat)

Dat f(x) zax thx + ex +dxte

* Nhan xét: Néu pt f(x) =0 co 4 nghiém phan biét thi hàm số f(x) cd 3 cực trị œ < B < Y

Khi d6 4 nghiém cua pt f(x) =0 c6 vj tri: x, <a<x,< B< x, <¥<x,

Vậy quy trình giải PT bậc 4 như sau:

Bước 1: Ding CASIO giải pL/"(x) = 0 để tìm các điểm cực trị

Bước 2: Dùng SOLVE 4 lần và mỗi lần cho x các giá trị thuộc các khoảng chứa nghiệm

Mỗi lần tìm được nghiệm ta lần lượt gán cho các biển A, B, C, D.

(0.2679491924) - (3.732050808) = 1.000000000 Vậy (*) 2 (x? —2x—-1)-(? —4x4+1) =0

<x =2 +V/3:x=lI +V2 Thử lại điều kiện được KQ:x=2 + V3 ;x=1-/ 27

Van đề 3 Thủ thuật khai triển một biểu thức bằng CASIO Thủ thuật sau đây giúp học sinh khai triển biểu thức 1 biến số, khi giải một phương trình ta thường phải khai triển một biểu thức Đối với học sinh trung bình có thê không

thực hiện được khâu nầy, đo đó không hoàn thành được công việc giải một phương trình Nếu được trang bị thủ thuật sau đây thì học sinh sẽ giải quyết được vấn đề một cách dễ

dàng

2

Vi dy : Khai trién biểu thức: A = (xŠ+2x—4) + (2x—1)?-(3x+2)°

Bước 1: Nhập biểu thức vào máy

Bước 2: CALC 1000 được kết quả: 1011974978011 ta bắm chia cho 10004 duge 1.0120

vậy hệ số của xˆ là 1

Bước 3: Dùng Phim mũi tên hướng lên # để hiện lại biểu thức đã nhập và thêm:

(x? +2x-4) +(2x-1)° —(3x+2)° _ (+) nhắn phim "=" được số :

11974978011 ta bắm chia cho 1000"

sẽ được 1 1.975 nghĩa là hệ số cha x? 1a 12

Bước 4: Dùng phím mũi tên hướng lên ƒ† để hiện lại biểu thức đã nhập và thêm:

2

(7? +2x—-4) +(2x-1)° ~ (3x +2)?— (x†+ 12x”) nhắn phím "= " được số:

~25021989 ta bấm chia cho 10007 sé được -25.022 nghĩa là hệ số của xˆ là -25

Bước 5: Dùng phím mũi tên hướng lên f để hiện lại biểu thức đã nhập và thêm:

2 (2+2x—4) +(2x—1))—(3x+2)7~ (+ 12x” — 2537) nhắn phím "=" được

Bước 6: Dùng phím mũi tên hướng lên đề hiện lại biểu thức đã nhập và thêm:

(Ê+2x—4} +(2x—~L)Ê— (3x+2)2— (xể + 123Ê —25 x2 —22 x) nhắn phím "="

Hệ phương trình nầy có nhiều cách giải nhưng trong phòng thi có thể học sinh không có

thời gian để nghĩ ra cách giải hay thì phương pháp thế là phương pháp đơn giản nhất

Nhận thấy y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình

Xét y # 0, từ (2) ta suy ra:

-10-

2_2y+4

x= —— thay vao (1) ta được:

EPH ops CBE) ran

© (y2 — 2y + 4)? + yŠ — 3y?(y? — 2y + 4)? + 8y? =0

Bằng thủ thuật như trên ta khai triển và được PT:

y® — 6y> + 12y* — 48y? + 96y — 64 = 0

Dùng chức năng SOLVE ta tìm được 2 nghiệm là x = +2 thực hiện phép chia đa thức ta

sẽ được:

G-2)G+2)0“—2y+4)=0 ® | j~ _2

Kết quả HPT có 2 nghiệm: (x; y) = (2; 2);(—6; —2)

Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy nếu trong phòng thi HS chưa nghĩ ra cách giải khác mà

kỹ năng tính toán yếu thì khi đùng phép thế sẽ không khai triển được do đó sẽ bỏ qua câu hỏi nay Việc trang bị thủ thuật khai triển biểu thức bằng CASIO giúp HS trung bình có thể giải quyết được vấn dé dé dàng

Van đề 4 Phương pháp nhân liên hợp đối với phương trình vô tỉ có nghiệm vô tỉ

Khi giải phương trình vô tỉ thì một trong những phương pháp rất hữu hiệu đó là phương pháp nhân liên hợp, nhưng việc tìm biểu thức liên hợp cho mỗi căn thức là không đơn giản nhất là Khi hi phuong tr trình ä h ay có nghiệm l las số vô tỉ

| Tư duy CASIO khi giải dạng toán này như Sau:

| * Dùng chức năng TABLE dự đoán pt có may nghiệm

| * Dùng chức năng SOLVE để tìm các nghiệm gan dung a ay

, * Lan lượt thé các nghiệm gần đúng vào các căn thức có mặt trong phương trình dé tim ra

mối quan hệ giữa các nghiệm và các căn thức, từ đó suy ra các biêu thức liên hợp