Định nghĩa 2: Phép chiếu song song lên mpP theo phương l mpP được gọi là phép chiếu vuông góc lên mpP.. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: DẠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG.. Chứng min
Trang 1QUAN HỆ VUÔNG GÓC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
I Hai đường thẳng vuông góc
Định nghĩa 1: (a, b) = (1, 2) trong đó 1 2 = O, 1 // a, 2 // b
Định nghĩa 2: a b (a, b) = 900
II Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Định nghĩa 1: a () a ().
Định lý 1: d ( )
O b a
) ( b d
) ( a d
Các tính chất:
1 ! mp()O (), a () với điểm O và đường thẳng a cho trước
2 ! Đường thẳng O , () với điểm O và mp() cho trước
3 + () a, a // b () b
+ a ≠ b, a (), b () a // b
4 + a (), () // () a ()
+ () ≠ (), () a, () a () // ()
5 + a // (), () a
+ a , () , a () a // ()
Định nghĩa 2: Phép chiếu song song lên mp(P) theo phương l mp(P) được gọi là phép chiếu vuông
góc lên mp(P)
Định lý ba đường vuông góc:
a'.
b a b thì ) ( trên a cua h/c là a'
) ( b ), ( a
Định nghĩa 3:
+ a () (a, ()) = 900 + a () thì (a, ()) = (a, a’) với a’ là hình chiếu của a trên ()
B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
DẠNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG.
1 Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
+/ Cách 1: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b, c cắt nhau cùng nằm trên ( )
+/ Cách 2: Chứng minh // ' ( )
' ( )
d d
d
+/ Cách 3: Chứng minh ( ') ( )
( ') //( )
d
d
2 Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau.
+/ Cách 1: Chứng minh ( , ) 90a b 0
+/ Cách 2: Tìm hai vec tơ chỉ phương u và v của a , b và chứng minh u v 0
VD1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA (ABCD) Gọi H, I, K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD
a) Cm: BC (SAB); CD (SAD); BD (SAC)
b) Cm: AH SC; AK SC T ừ đó suy ra AH, AI, AK cùng chứa trong 1 mp
c) Cm: HK (SAC) Từ đó suy ra HK AI
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có ABC vuông tại B, SA (ABC)
a) Cm: BC (SAB) b) Gọi AH là đường cao của SAB Cm : AH SC
Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết : SA = SC và SB = SD.
a) CM: SO (ABCD)
Trang 2b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC Chứng minh : IJ (SBD).
Bài 3: Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là điểm thuộc mp (ABC)
sao cho OH vuông góc với mp (ABC) Chứng minh rằng:
a) BC vuông góc với mp (OAH) b) H là trực tâm của tam giác ABC
c) 1 2 12 12 12
OC OB OA
Bài 4: Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm AB, K là trung điểm AD Trên đường thẳng vuông góc với mp
(ABCD) tại H lấy một điểm S khác với H Chứng minh:
a) AC vuông góc với (SHK) b) CK vuông góc với DH và Ck vuông góc với SD
Bài 5: Tứ diện SABC có SA vuông góc với (ABC) Gọi H và K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và SBC.
Chứng minh :
a) AH, SK và BC đồng quy b) SC vuông góc với (BHK)
c) HK vuông góc với (SBC)
Bài 6: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SB = SD
a) Chứng minh (SAC) là mặt trung trực của đoạn BD
b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SD Chứng minh SH= SK, OH = OK, và
HK song song với BD
c) Chứng minh (SAC) là mặt trung trực của đoạn HK
DẠNG 2: TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1 PHƯƠNG PHÁP :
Cho đường thẳng d cắt mp ( ) tại điểm O và d ,( ) 900 Để tính góc d ta thực hiện các bước sau:,( ) +/ Lấy A d A O ( )
+/ Chiếu vuông góc A xuống ( ) ta được điểm H
+/ Ta có d = AOH,( )
Chú ý: +/ Nếu d ( ) thì d =,( ) 900
+/ Nếu d không vuông góc với ( ) thì d =,( ) d d với d’ là hình chiếu của d trên ( ), '
2 BÀI TẬP :
Bài 1: Cho tứ diện S.ABC Tam giác ABC vuông cân tại B có BA=a, SA(ABC), SA=a, AK là đường cao của tam giác SAB
a) Tính sin của góc giữa SC và (SAB)
b) Tính góc giữa AH và (SBC)
Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a và một điểm S ngoài mp (ABC) sao cho SA = SB = SC=
3
3 a 2
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABC)
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mp (ABC)
DẠNG 3: THIẾT DIỆN QUA 1 ĐIỂM CHO TRƯỚC VÀ VỚI 1 ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD = 2a; SA
vuông góc với mp (ABCD) và SA = 2a Gọi M là một điểm trên cạnh AB; là mp qua M, vuông góc với AB Đặt x = AM (0<x<a)
a) Tìm thiết diện của hình chop SABCD với Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x
Ví dụ 2: Cho hình tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh = a, SA vuông góc với (ABC) và SA = 2a Gọi
là mp qua B và vuông góc với SC Tìm thiết diện của tứ diện SABC vói và diện tích của thiết diện này
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B AB = a SA vuông góc với mp (ABC) và SA
= a 3 Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0<x<a) Gọi là mp qua M và vuông góc với
AB
Trang 3a) Tìm thiết diện của tứ diện SABC với
b Tính diện tích của thiết diện này theo a và x Tìm giá trị của x đểdiện tích thiết diện có giá trị lớn nhất
Bài 2: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH = 2a Gọi O là trung điểm AH Trên đường thẳng vuông góc
với mp (ABC) tai O Lấy điểm S sao cho Ó = 2a Gọi I là một điểm trên OH, đặt AI =x, (a<x<2a), là mp đi qua I và vuông góc với OH
a) Xác định
b) Dựng thiết diện của với tứ diện SABC Thiết diện là hình gì?
c) Tính theo a và x diện tích của thiết diện
Bài 3: Tứ diện SABC có 2 mặt ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a SA =
2
3
a M là một điểm trên đoạn
AB, Đặt AM = x (0 < x < a) Gọi là mp qua M và vuông góc với BC
a) D là trung điểm của BC, chứng minh song song với (SAD)
b) Xác định thiết diện của với tứ diện SABC
c) Tính theo a và x diện tích của thiết diện