LÝ THUYẾT ONTHI TN

Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1 Đường tạo với chiều dương trục Ox một gĩc α thì cĩ hệ số gĩc bằng tanα VI Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị... ' ' ' Công

PHẦN I: GIẢI TÍCH

I) Bảng tóm tắc công thức đạo hàm :

Hàm số sơ cấp cơ bản Hàm hợp ( Hàm mở rộng)

1) (C)’ = 0 ( C: hằng số )

2) (x)’ = 1

3) ( )xα / =αxα − 1;(α∈R)

( )

2

x

x

=

5)

/

2

x x

−

  =

 ÷

 

6) (sinx)’ = cosx

7) ( cosx)’ = - sinx

2

1

1 tan cos x = + x

2

1

sin

x

−

9) (ex)’ = ex

10) (ax)’ = axlna ; (a: hằng số; a> 0)

11) ( )ln '= 1 ;(x>0)

x

x

ln

1 '

log = ≠a> x>

a x

x

a

* Ghi Chú: Các hàm số đều cĩ nghĩa

* ( )uα / =α.uα−1.u'

2

' ( ' 2

1 /

>

=

u

u u u u

* 1 21 '( 2');( 0)

/

≠

−

=

−

=











u

u u

u u

* ( sinu)’ = u’.cosu

* ( cosu)’ = - u’.sinu

1 tan ' '

cos

u

=

* ( )/

2

1

sin

u

−

=

* (eu)’= eu.u’

* ( au)’ = aulna.u’

* (lnu)’= 1.u';(u >0)

u

* ( logau)’ = '

ln

1

u a u

( 1≠a>0;u>0)

II) Qui tắc tính đạo hàm:

1) (u±v± ±w)/ =u'±v'± ±w'

2) (u.v)’ = u’.v + u.v’

3) ( )uvz / =u'vz+v'uz+z'uv

/

' '

v

v u v u v

u = −











II) Đơn điệu – cực trị GTLN- GTNN

A) Đơn điệu: Hàm số (C) : y = f(x) xác định trên D

• Hàm số tăng (đồng biến) trên D <=> y’≥ 0 ; ∀x∈D

• Hàm số giảm ( nghịch biến) trên D <=> y/ ≤0;∀x∈D

B) Cực trị: Hàm số (C) : y = f(x)

• Hàm số có cực trị <=> y’ có nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua nghiệm đó

• Hàm số không có cực trị <=> y’ không đổi dấu

• Hàm số có n cực trị <=> y’ đổi dấu n lần

• Hàm số có n cực trị <=> y’ đổi dấu n lần

• Hàm số đạt cực trị x= x0 <=> f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x0

• Hàm số đạt cực đại tại x = x0 <=>







<

=

0 ) (

"

0 ) ( ' 0

0

x f

x f

• Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 <=>







>

=

0 ) (

"

0 ) ( ' 0

0

x f

x f

* Chú ý: Đối với một hàm số bất kì , hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những mà tại

đó đạo hàm triệt tiêu hoặc dạo hàm không xác định.

C) GTLN-GTNN:

* Lập bảng biến thiên của hàm số trên D Từ đó xác định GTLN-GTNN

• Đặc biệt: Khi MXĐ D = [a;b] và hàm số liên tục trên D ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm y’ Giải y’ = 0 và chọn các nghiệm x1 ; x2 ; ;xi thuộc (a;b) Bước 2: Tính f(x1) ; f(x2) ; ; f(xi) ; f(a) ; f(b)

Bước 3: Số lớn nhất ( nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN (GTNN) cần tìm

III) Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

A) Hàm đa thức : (Hàm bậc 3 và hàm trùng phương)

Bước 1 : MXĐ : D = R

Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’ = )

Bước 3 : Giới hạn – Bảng biến thiên (y’)

Bước 4 : Điểm đặc biệt

Bước 5 : Vẽ đồ thị và kết luận tính đối xứng

B) Hàm phân thức : ( Bâc1/Bậc1 )

Bước 1: MXĐ : D =

Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’= )

Bước 3 : Giới hạn và tiệm cận

Bước 4 : Bảng biến thiên

Bước 5 : Điểm đặc biệt

Bước 6 : Vẽ đồ thị và kết luận tính đối xứng

IV) Sự tương giao ( Vị trí tương đối) : Cho (C) : y = f(x) và (D) : y = g(x)

• Toạ độ giao điểm của (C) và (D) là nghiệm của hệ :







=

=

) (

) (

x g y

x f y

• Biện luận sự tương giao của (C) và (D) :

Bước 1: Lập pt hoành độ giao điểm của (C) và (D) : f(x) = g(x)

Bước 2: Căn cứ vào số nghiệm của phương trình Số giao điểm của (C) và (D) ( Số nghiệm pt = số giao điểm của (C) và (D))

V) Tiếp tuyến:

Dang 1: Biết tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) tại điểm M(x0 ; y0) ∈(C) là :

y – y 0 = f’(x 0 )(x – x 0 )

Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) có hệ số góc k

+ Gọi M(x0,y0) là tiếp điểm

Ta cĩ : f’(x 0 ) = k

Giải phương trình tìm x0 ,suy ra y0=f(x0)

+ PTTT là:

y-y 0 =k(x-x 0 )

Dạng 3: Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA, y A )

+ Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và cĩ hệ số gĩc k

(d) : y = k(x-xA)+yA = g(x)

+ (d) là tiếp tuyến của (C) ( ) ( )

'( ) '( )

=



* Chú ý : Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng (-1)

Đường tạo với chiều dương trục Ox một gĩc α thì cĩ hệ số gĩc bằng tanα

VI) Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị Cho hàm số (C) : y = f(x)

Biện luận phương trình : F(x;m) = 0 ; ( ẩn x ; tham số m)

@ Phương pháp:

* Biến đổi phương trình F(x;m) = 0 về dạng : f(x) = g(m) ; ( g(m) là đường thẳng)

* Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị:

(C) : y = f(x) ( Đã được vẽ)

(D) : y = g(m) ( đường thẳng cung phương Ox và cắt Oy tại g(m))

* Dựa vào đồ thị (C) ta kết luận số nghiệm của phương trình

MŨ VÀ LOGARIT

I) Các định nghĩa :

1) Luỹ thừa với số mũ 0 và nguyên âm :

a0 = 1 và a-n = n

a

1 ( với a ≠0 và n ∈N* )

2) luỹ thừa với số mũ hữu tỉ :

n m

n

m

a a

a = = ( Với a > 0 và = ,m∈Z,n∈Z+*

n m

) lim( ar n

aα = ( với a > 0 , α ∈ R , r n∈Q và lim rn = α )

4) Căn bậc n :

Khi n lẻ , b= n a ⇔b n =a

Khi n chẵn , b =







=

≥

⇔

a b

b

( với a ≥0)

5) Lôga rit cơ số a : α = loga b ⇔ aα = b ( 0 < a ≠ 1 , b > 0 )

II) Các tính chất và công thức :

1) Luỹ thừa : Với các số a> 0 , b> 0 , α; tuỳ ý ta có:β

β α β

α a = a +

a ; a :α aβ = aα − β ; ( aα)β = aαβ

β α

b

( = ; ( a : b )α = aα : bα

2) Lôgarit: Với giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa , ta có ;

0

1

loga = và loga a = 1

b

ab

log và aloga b = b

c b

c

a( ) log log

c b

c

b

a a

a(1) log

b

n

n

a 1 log

b

x x

a

a b

log

log

log = , tức là loga b.logb a =1

log

α

3) Hàm số mũ : Liên tục trên TXĐ R , nhận mọi giá trị thuộc ( 0 ; + ∞)

Giới hạn tại vô cực :







<

<

>

∞ +

=

+∞

1 :

, lim

a khi

a khi a







<

<

∞ +

>

=

−∞

1 :

, 0 lim

a khi

a khi

ax x

Đạo hàm : ( ) ax / = axln a ; ( ) ex / = ex

( ) au / = au u/ ln a; ( ) eu / = eu.u/ với u = u(x)

Chiều biến thiên : Đồng biến trên R , nếu a > 1 , nghịch biến trên R

nếu 0 < a < 1

Đồ thị luôn cắt trục tung tại điểm ( o; 1) , nằm ở phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

4) Hàm số logarit y = log a x :

Liên tục trên tập xác định ( 0 ; + ∞) , nhận mọi giá trị thuộc R

Giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực:







<

<

∞

−

>

∞ +

=

+∞

1 : , log

lim

a khi

a khi x

a







<

<

∞ +

>

∞

−

=

+

1 : , log

lim

a khi x

a x

Đạo hàm :

a x

x

a

ln

1 log / = ; ( )

x

ln / = ; (ln x)/ =1x

a u

u u

a

ln log

/ /

= ; ( )

u

u u

/ /

ln = ; ( ) u u

u

/ /

ln = Với u = u (x)

Sự biến thiên: đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ) nếu a > 1 , nghịch biến trên ( 0; +∞) nếu 0 < a < 1

Đồ thị luôn cắt trục hoành tại điểm ( 1; 0) , nằm ở bên phải trục tung và nhận trục tung làm tiệm cận đứng

5) Hàm số luỹ thừa y = xα

Liên tục trên TXĐ của nó

Đạo hàm : ( ) xα / = α xα−1 ; ( )uα / =α.uα−1.u/

x n

x

1

−

= ( x > 0) ; ( )n n n

u n

u u

1

/ /

−

= Với u = u (x)

Đồng biến trên ( o ; + ∞ ) khi α > 0 ;

Nghịch biến trên ( 0; +∞ ) khi α< 0

6) Phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit :

) 0 (

;

=

⇔

m

log

m x

m

a x < ⇔ < loga ( m > 0 và a > 1) ;

m x

m

a x < ⇔ > loga ( m > 0 và 0 < a < 1) ;

m

a x<m ⇔0<x <a

m

a x <m ⇔x >a

log ( 0 < a < 1)

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

I) Bảng nguyên hàm :

1

1

dx x C

x

x dx C

dx

x C x x

α

α

+

= +

+

∫

∫

∫

ln cos sin

sin cos

x x

e dx e C

a

a dx C a

a xdx x C

xdx x C

= +

∫

∫

∫

∫

2

2

1

tan cos

1

cot sin

dx x C x

dx x C x

∫

∫

1

1

du u C

u

u du C du

u C x u

α

α

+

= +

+

∫

∫

∫

ln cos sin

u u

e du e C

a

a du C a

a udu u C udu u C

= +

∫

∫

∫

∫

2

2

1

tan cos

1

cot sin

du u C u

du u C u

∫

∫

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN V

ấn đề 1 : Diện tích hình phẳng:

(H) :

( ) : ( ) ( ') : ( )

C y f x

C y g x

x a x b a b

=







Khi đĩ : Diện tích hình (H) là : ( ) ( )

b

a

S =∫ f x −g x dx

Vấn đề 2: Cơng thức thể tích khối trịn xoay :

Xoay quanh Ox : ( )









<

=

=

=

=

) (

; 0

) ( :

) ( :

b a b x a x y

x f y C

a

dx x

f( ) 2

π

SỐ PHỨC

• Số i : i2 = -1

• Số phức dạng : z = a + bi Với : : ( , )

:

a Phan thuc

a b R

b phan ao





• Mơđun của số phức : z = a2 +b2

• Số phức liên hợp của z = a + bi là z = −a bi

• a+ bi = c + di b d a c=



• (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i

• (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i

• (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i

a bi c di

a bi

c di c d

• Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : ±i a

• Xét phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ;a b c R, , ∈ )

Đặt ∆ =b2 −4ac

o Nếu ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x =

2

b a

−

o Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : 1,2

2

b x

a

− ± ∆

=

o Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức : 1,2

2

b i x

a

=

PHẦN II: HÌNH HỌC CHƯƠNG I: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

• Thể tích khối chóp : V =

3

1

Bh ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao)

• Thể tích khối lăng trụ : V = Bh ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao)

• Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước a,b,c là : V = abc

• Thể tích khối lập phương cạnh a là : V = a3



Chú ý :

* Trong các bài toán ta thường sử dụng kết quả :Cho khối chóp OABC,trên

các đoạn thẳng OA,OB,OC lần lượt lấy ba điểm A’,B’,C’ khác O.Khi đó :

OC

OC OB

OB OA

OA V

V

ABC O

C B

' ' .

' ' '

Công thức về hình nón:

Gọi l là độ dài đường sinh của hình nón,h là đường cao,r là bán kính đáy

a/ Diện tích xung quanh: Sxq = rlπ

b/ Diện tích toàn phần : S = S +tp xq Sđáy

c/ Thể tích khối nón: V = 1 r h 2

3π

Công thức về hình trụ: Gọi l là độ dài đường sinh của hình trụ,r là bán kính đáy.

a/ Diện tích xung quanh: S = 2 rlxq π

b/ Diện tích toàn phần : S = S +tp xq 2Sđáy

Cơng thức của hình cầu:

a/ Diện tích mặt cầu: S =4πr2 b/ Thể tích khối cầu: 4 3

V =

3πr

CHƯƠNG II : TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ ĐIỂM

Cho hai vectơ : ( )

1 2 3

1 2 3

; ;

; ;

a a a a

b b b b

=

=

r r

a)

a b

a b

a b

a b

=



 =

= ⇔ 

 =



r r

b) a br r± =(a1±b a1; 2±b a2; 3±b3)

c) Tích vô hướng của hai vectơ:

1 1 2 2 3 3

a b a br r= +a b +a b

d)kar=(ka ka ka1; 2; 3) (; k R∈ )

1 2 3

ar = a +a +a

e) Góc giữa hai vectơ : Gọi ϕ =( )a; b Khi đó : cosϕ = a a..b b f) a br⊥ ⇔r a br r =0

 Cho hai điểm A(xA;yA; ZA) ; B(xB ; yB ; ZB )

o uuurAB=(x B−x y A; B −y Z A; B−Z A)

AB = x −x + y −y + Z −Z

uuur

2 2

2 2

I

I

I

x x x

x x x

y y y y y y

z z z

z z Z

+

 =









o G là trọng tâm tam giác ABC <=>

3 3 3

G

G

G

x x x x

y y y y

z z z z









+ +



TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

 Cho hai vectơ : ar=(a a a va b1; ;2 3) r=(b b b1; ;2 3)

3 3

; a a ;a a a a;

a b

b b

b b b b

r r

MẶT CẦU

Ph

ương trình mặt cầu : Mặt cầu (S) cĩ tâm I(a,b,c),bán kính R dạng:

* (x-a)2 + (y – b)2 + (z-c)2 = R2 (1)

* x2 + y2 + z2 +2ax + 2by + 2cz + d = 0 (2)

 Chú ý :

• (2) là phương trình mặt cầu  a2 + b2 + c2 – d > 0

• (2) cĩ tâm I(-a,-b,-c) ,bK: R = a2 +b2 +c2 −d > 0

KHOẢNG CÁCH

Khoảng cách từ M0(x0;y0;Z0) đến mp ( )α : Ax + By + CZ + D = 0 là: d(M0; ( )α ) = 0 0 0

Ax By Cz D

A B C

MẶT PHẲNG

CZ + D = 0 (A2 + B2 + C2 > 0) có :

VTPT : nr=(A B C; ; )

có dạng :A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

1

x y z

a b c+ + = (Gọi là phương trình theo đoạn chắn)

(a b c; ; ≠0) 4) Qua M(x0 ; y0 ; Z0 ) và có cặp VTCP a br r; thì VTPT là:nr=a br r; =(A B C; ; ) là :

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

ĐƯỜNG THẲNG

0 0 0

1 2 3

( ; ; ) :

; ;

Qua M x y z VTCP a a a a



 PTTS của ∆ : 00 12 ( )

;

x x a t

y y a t t R

z z a t

= +





 = +



x x y y z z

.(a1,a2,a3 ≠0)