chương 1 giới thiệu mô hình toán kinh tế (bài 3)

Và quan hệ này đặc trưng cho tình trạng công nghệ của doanh nghiệp... Xác định mức chênh lệch của doanh thu cận biên và doanh thu trung bình như một hàm của Q.. Nêu bi

Chương 1:

GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

Mô hình tối ưu:

1) Mô hình phân tích hành vi sản xuất:

Hành vi của doanh nghiệp liên quan tới:

-Tình trạng công nghệ của doanh nghiệp.

- Các điều kiện trên thị trường sản xuất, trong đó doanh

nghiệp với tư cách là người mua.

- Các điều kiện trên thị trường sản phẩm, trong đó

doanh nghiệp với tư cách là người bán.

+ Mô hình hàm sản xuất:

Để mô tả tình trạng công nghệ của doanh nghiệp chúng

ta sử dụng mô hình hàm sản xuất.

Mô hình hóa công nghệ:

Giả sử với trình độ công nghệ hiện có doanh nghiệp có thể sử dụng n loại yếu tố để tạo ra sản phẩm và nếu các yếu tố được sử dụng ở mức X 1 , …,X n doanh nghiệp thu được Q đơn vị sản phẩm.

Có một mối quan hệ giữa mức sử dụng các yếu tố và mức sản lượng Và quan hệ này đặc trưng cho tình

trạng công nghệ của doanh nghiệp.

Phân tích tác động của yếu tố sản xuất tới sản lượng:

+ Về mặt ngắn hạn:

-Năng suất biên của yếu tố i:

- Năng suất trung bình của yếu tố i:

- Độ co giãn của Q theo yếu tố i:

- Hệ số thay thế giữa yếu tố i và yếu tố j:

i

i

F MP

X



i

Q X



j i

MP dX

dX  MP

+ Về mặt dài hạn:

Cho hàm sản xuất Q = F(X 1 , …,X n ) với

Ta nói quy mô sản xuất tăng với hệ số

F  X   F X thì công nghệ sản xuất gọi là tăng

quy mô có hiệu quả

F  X   F X thì công nghệ sản xuất gọi là tăng

quy mô không có hiệu quả

F  X   F X thì công nghệ sản xuất gọi là tăng

quy mô không thay đổi hiệu quả

 Để đo hiệu quả quy mô (tương đối) ta dùng độ co giãn

n

Ví dụ: Xét hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas với hai yếu tố vốn (K) và lao động (L):

Q = aK b L c

a) Bài toán 1: Bài toán tối ưu về mặt kinh tế của quá trình

sản xuất.

* Nhắc lại:

 Bài toán tìm cực trị: f(x 1 , x 2 ,…,x n )

+ Tìm điểm dừng :

+ Xét dạng toàn phương d 2 f

 Bài toàn tìm cực trị có điều kiện

f(x 1 ,…,x n ); (x 1 ,…,x n ) = a

+ Lập hàm Lagrăng:

L(x 1 ,…,x n , ) = f(x 1 , x 2 ,…,x n ) + ( (x 1 ,…,x n ) – a) + Tìm điểm dừng:

Giả sử hàm sản xuất của doanh nghiệp là Q = F(X 1 , X 2 ,…,X n ) và giá các yếu tố là w 1 , w 2 ,…, w n .

Q là mức sản lượng dự kiến sản xuất.

Ta có bài toán:



Ví dụ:

Hàm sản xuất của doanh nghiệp có dạng Q = 25K 0.5 L 0.5

trong đó Q là sản lượng, K: là vốn, L: lao động Cho giá vốn p k = 12, giá lao động p L = 3.

a Tính mức sử dụng K, L để sản xuất sản lượng Q =

Q o = 1250 với chi phí nhỏ nhất.

b Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo sản lượng tại Q 0

c Nếu giá vốn và lao động đều tăng 10% với mức sản lượng như trước thì mức sử dụng vốn, lao động tối

ưu sẽ thay đổi như thế nào?

d Phân tích tác động của giá vốn, lao động tới tổng chi phí.

+ Bài toán tối đa hóa sản lượng.

Gọi K là kinh phí doanh nghiệp dự kiến đầu tư mua các yếu tố với mức X 1 , X 2 ,…,X n để sản xuất và giá các yếu tố là w 1 , w 2 ,…, w n

Mức sản lượng tương ứng: Q = F(X 1 ,X 2 ,…,X n )

Ta có bài toán:

Max Q = F(X 1 ,X 2 ,…,X n )

Với điều kiện: 1

n

i i i







Giải bài toán trên ta có điều kiện cần sau:

b) Bài toán 2: Bài toán tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp.

Ký hiệu TR(Q) là doanh thu của doanh nghiệp khi cung ứng và tiêu thụ trên thị trường sản lượng Q.

+ Doanh thu biên:

+ Doanh thu trung bình:

+ Gọi TC(Q) là chi phí tương ứng để sản xuất sản lượng Q + Gọi lợi nhuận là:

Xác định sản lượng tối đa hóa lợi nhuận ta có bài toán

Điều kiện cần của tối ưu (*)

 Nếu doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo:

Giá bán p là biến ngoại sinh nên TR(Q) = pQ Và (*) trở thành: p = MC(Q)

 Nếu doanh nghiệp độc quyền:

Giá bán phụ thuộc vào mức cung tức p = p(Q)

Ví dụ:

Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu là

TR = 58Q – 0,5Q 2 + 4

và hàm tổng chi phí TC = 1/3Q 3 – 8,5Q 2

Hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận.

2) Mô hình phân tích hành vi tiêu dùng :

a) Mô hình hàm thỏa dụng :

+ Mô hình hóa thị hiếu, sở thích của hộ gia đình :

Hộ gia đình có thể mua và tiêu thụ m loại hàng hóa và

X i là khối lượng hàng hóa thứ i họ dự kiến mua.

X = (X 1 , X 2 ,…,X m ) gọi là giỏ hàng.

Hàm thỏa dụng thể hiện mức độ đáp ứng, thỏa mãn khi tiêu thụ giỏ hàng X, ký hiệu là U.

U(X) = U(X 1 , X 2 ,…,X m ,a, b, c, …)

a, b, c là các tham số.

+ Phân tích mô hình:

Thỏa dụng biên của hàng hóa i: MU =

Hệ số thay thế giữa loại hàng i và loại hàng j:

i

U X





j i

MU MU

b) Mô hình tối đa hóa thỏa dụng – mô hình xác định mức cầu các loại hàng hóa của hộ gia đình.

+ Đặt vấn đề: Với giá cả hàng hóa và ngân sách tiêu

dùng cho trước, hộ gia đình cần mua các loại hàng như thế nào để đáp ứng tốt nhất sở thích.

Ví dụ: Hàm thỏa dụng của hộ gia đình khi tiêu thụ

loại hàng hóa A, B có dạng: U = 40xA0.25xB0.5 với giá hàng pA=4, pB=10

a- Loại hàng A thay được hàng B hay không? nếu thay được thì thay theo tỷ lệ nào?

b- Xác định mức cầu loại hàng A,B của hộ gia đình với M=600

Giải: a- MUB/MUA= xB/2xA>0 do đó hai loại hàng hóa này luôn thay thế được cho nhau, và thay thế theo tỷ

lệ 1A cần cần xB/2xA đơn vị hàng loại B

b- xB/2xA = 10/4 và 4xA+10xB=600Suy ra x*A = 50; x*B = 40  Mức cầu DA=50; DB=40

Một số bài tâp:

1) Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có chi phí biên MC = 2Q 2 – 12Q + 25, chi phí cố định FC và giá bán sản phẩm p.

a Hãy xác định hàm tổng chi phí TC với FC = 20 với

p = 39 hãy xác định mức sản lượng và mức lợi

nhuận tối ưu.

b Nếu giá p tăng 10% thì mức sản lượng, lợi nhuận tối ưu sẽ biến động như thế nào?

2) Doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược: p = 490 – 2Q và hàm tổng chi phí: TC = 0,5Q 2 AD 0,5 trong đó Q là sản lượng và AD là chi phí quảng cáo.

a Với AD = 9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu.

b Hãy phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới mức sản lượng và giá bán tối ưu.

3) Cho hàm doanh thu trung bình AR(Q) = 15 – Q.

a Xác định mức doanh thu cận biên MR tại Q 1 = 5; Q 2

= 8 Phân tích các kết quả.

b Xác định mức chênh lệch của doanh thu cận biên và doanh thu trung bình như một hàm của Q.

c Nêu biểu thức tổng quát xác định mức chênh lệch của doanh thu cận biên và doanh thu trung bình

nếu hàm doanh thu trung bình có đạo hàm.

4) Cho hàm tổng chi phí:

TC = Q 3 - 5Q 2 + 14Q + 144

a Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q từ đó cho nhận xét về mở rộng sản xuất.

b Tính hệ số co giãn của TC theo Q tại Q = 2.

c Cho giá sản phẩm là p = 70, với mức thuế doanh thu 20%, tính lợi nhuận khi Q = 3 Tìm các điểm hòa vốn và phân tích sự thay đổi của hàm tổng lợi nhuận.

5) Cho hàm tổng chi phí TC = 4000 + 10Q + 0,1Q 2

Giá cả p được xác định bởi phương trình:

Q = 800 – 2,5p.

a Tìm hàm chi phí trung bình AC, khảo sát sự thay đổi của nó.

b Tìm hàm chi phí cận biên MC.

c Tính hệ số co giãn của TC tại p = 80.

6) Một công ty có thể sản xuất và cung ứng cho thị

trường hai mặt hàng với hàm tổng doanh thu và tổng

chi phí cho hai mặt hàng:

TR = P 1 Q 1 + P 2 Q 2

TC = 2Q 1 2 + Q 1 Q 2 +3Q 2 2

Trong đó P i ; Q i là giá cả và sản lượng hàng hóa (i =

1,2)

a Xác định công thức tính tổng lợi nhuận cực đại.

b Áp dụng công thức tìm được ở câu a, tìm sản lượng cực đại lợi nhuận.

c Tính hệ số co giãn của tổng chi phí theo khối lượng của từng mặt hàng và hệ số co giãn đồng thời theo cả hai mặt hàng, tại điểm cực đại lợi nhuận tìm được ở câu b.

7) Nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc giá như sau :

Q 1 = 40 – 2P 1 – P 2 ; Q 2 = 35 – P 1 – P 2

Tổng chi phí là hàm của các sản lượng :

TC = Q 1 2 + 2Q 2 2 + 12

Trong đó P i ; Q i là giá cả và sản lượng hàng hóa (i = 1, 2).

a Xác định mức Q 1 ; Q 2 sao cho tổng lợi nhuận lớn nhất.

b Tính chi phí cận biên cho từng mặt hàng tại mức tối ưu tìm được ở câu a.

c Hai mặt hàng có thay thế lẫn nhau trong tiêu dùng

được không.

8) Giả sử dân số tăng theo mô hình P(t) = P(0).2 bt và

tiêu dùng dân cư tăng theo mô hình C(t) = C(0).e at

a Tính hệ số tăng trưởng của dân số và tiêu dùng dân cư.

b Với điều kiện nào thì hệ số tăng trưởng của tiêu

dùng cao hơn hệ số tăng trưởng của dân số Nêu ý

nghĩa của quan hệ đó.

c Giả thiết lượng lao động được sử dụng tỉ lệ với dân số và có dạng L(t) = kP(t)(k<1) ; sản lượng Y(t) là một hàm của vốn K(t) và lao động L(t) dạng Cobb- Douglas, C(t) là một hàm tuyến tính của Y(t) Hãy xác định một

mô hình thể hiện các quan hệ của giữa các biến.