BD vi phan- công cụ tìm tích phân

Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phânTS.. Rất nhiều bạn khá khó khăn khi tìm nguyên hàm và tích phân mà nguyên nhân chính là thường không biết sử dụng phép biến đổi vi phân.. Các b

Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân

TS Lê Thống Nhất

Rất nhiều bạn khá khó khăn khi tìm nguyên hàm và tích phân mà nguyên nhân chính là thường không biết sử dụng phép biến đổi vi phân Các bạn hãy đọc bài viết này và tự rèn luyện theo hướng dẫn, chắc chắn các bạn sẽ thấy: tìm nguyên hàm và tích phân thật là không đáng ngại

Định nghĩa: Vi phân của hàm số y = f(x) là biểu thức f’(x) d(x) Nếu ký hiệu dy hay

d[f(x)] là vi phân của y hay f(x) thì dy = f’(x) dx hay d[f(x)] = f’(x) dx

Chú ý: Nhiều bạn hiểu sai là: để tính vi phân f(x), ta tính f’(x) và viết thêm dx, sẽ có f’(x)

dx Thực ra không phải là “viết thêm” mà là “nhân với”, nghĩa là f’(x) nhân với d(x), viết f’(x) dx

Các vi phân cơ bản:

1) d u( )α+ 1 = α +( 1 u du) α 2) d (sin u) = cos u du

3) d (cos u) = - sin u du 4) d (tg u) = du2

cos u 5) d (cotg u) = du2

sin u

7) d (ln u ) = du

u ; d(ln u) =

du

u . 8) d(α + β = α + βu v) du dv 9) d ( u + c) = du với c là hằng số

Các phép biến đổi vi phân cơ bản:

1)

1

u

u du d

1

α+

= α + ÷ 2) cos u du = d(sin u)

3) sin u du = d (-cos u) 4) du2 d(tgu)

cos u =

5) du2 d( cotgu)

sin u = − 6) eu du = d(eu)

7) du d(ln | u |)

u =

Các thí dụ luyện phép biến đổi vi phân.

Thí dụ 1: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?

1 x dx 2 (x + 2)5 dx 3 cosx sin4x dx Giải:

1

1

1 2

+

2 (x + 2)5 dx = ( x + 2)5 d(x +2) = ( )6 ( )6

3 cosx sin4x dx = sin4x d(sin x) =

sin x sin x

Thí dụ 2: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?

1 x 1 dx

x

+

2 + x + 1) dx

3 cosx - sinx dx

sinx + cosx

x dx

x +1 Giải:

1 x 1 .dx

x

+

1

x

−

=

3

3

=

3

1 2

2

2x

3

2 (2x + 1) (x2 + x + 1) dx = (x2 + x + 1).d (x2 + x + 1)

d

2

2

+

3 ( 2 )

d x 1

d ln(x 1) d ln(x 1) C

Lưu ý: d(x2 + 1) = 2x dx hay x dx = 1

2d(x

2 + 1)

Thí dụ 3: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?

1 x.dx3

dx

dx x.ln x Giải:

1 x.dx3

(x 1)+ =

x 1 1 d x 1

x 1

+

= (x + 1)-2 d(x + 1) – (x + 1)-3 d(x + 1)

−

=

x 1

2 x 1

+

2 2 dx

x −3x 2+ =

dx

x 2 x 1

= dx dx

x 2 x 1−

= 2(x 2) 2(x 1)

= d ln | x 2 | ln | x 1|[ − − − ]

= d ln x 2 C

x 1

−

3 dx d ln x( ) d ln(ln x) C[ ]

Thí dụ 4: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?

1 cos x cos3x dx 2 sin5x dx

Giải:

1 cos x cos3x dx = 1(cos4x+cos2x dx)

2 = 1[cos4x.dx +cos2x.dx]

2

= 1 1cos4x.d(4x)+ cos2x.d(2x)1

= 1 1(sin4x)+ d(sin 2x)1

= d 1sin 4x 1sin 2x C

Lưu ý: Các công thức biến đổi tích thành tổng khi gặp tích các hàm số lượng giác.

2 sin5x dx = sin4x sin x dx = - sin4x d(cosx)

= -(1 – cos2x)2 d(cosx)

= [ -1 + 2cos2x – cos4x] d(cosx)

= -d (cosx) + 2cos2x d(cosx) – cos4x d(cosx)

d cosx + cos x- cos x +C

Thí dụ dưới đây sẽ sử dụng nhiều sau này:

Thí dụ 5: Tính.

1 d ln x 2 + +k x

x a

d ln

x b

−

Giải:

1 d ln x 2 + +k x

2

+ + + +

= dx2

x +k

Lưu ý: dx2

x +k =

2

d ln | x + +k x |

2 2

x a d

x a

x b

−

−

Lưu ý: Nếu a b≠ thì dx 1 d ln x a

−

Thí dụ 6: Biểu thức sau đây là vi phân của hàm số nào?

1 2 dx

dx

x +2x 3+

Giải.

1 2 dx

x −2x 3− =

dx (x 1)(x 3)+ −

= 1 1 1 dx

4 x 3 x 1

= 1 d x 3( ) 2(x 1)

−

= 1d ln x 3

−

= d 1ln x 3 C

−

2 2 dx

x +2x 3+ = ( )2

dx

x 1+ +2

2

d x 2 (x 1) 2

+

d ln x 1+ + + + +2 (x 1) C

Bài tập tự luyện.

Biểu thức sau đây là vi phân của hàm số nào?

1 (2x + 1)(x2 + x + 5)7 dx 2 sin x cos7x dx 3 ln x.dx

x

4 sin3x cos2x dx 5 tgx dx 6 tg2x dx

7 tg3x dx 8 sin2x dx 9 cos3x dx

10

2

.dx x

− +

dx

2 2 3

x dx

x +1

13 3 x dx2

dx

dx sin x.cos x

16 2dx

dx

dx sin x

19 dx

sin x cos x+ 20 (1 + tgx) 2

dx

dx cos x

22 dx4

x x

e dx

x

2 x

e dx

3 4

x dx

x +1

Đáp án.