Đáp án HSG Gia Lai (2007-2008)

Vậy tam giác BMI cân.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

GIA LAI Năm học 2007 - 2008

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

MÔN TOÁN 9 ( ĐỀ CHÍNH THỨC )

Bài 1: ( 2,5 điểm )

Ta có: 30x 4y 2008  15

502

2

x

Do đó: x, y nguyên dương  x nguyên, x2, 0 1004

15

x

  ……… …0,5đ  x nguyên, x2, 1  x 66 ………0,5đ Vậy có 33 giá trị x thỏa mãn điều kiện trên

Tương ứng với phương trình đã cho có 33 nghiệm nguyên dương………0,5đ

Bài 2: ( 2 điểm )

Ta có: 4a 3b 5c 2 ab 2 bc 3 ca

 a 2 ab b   2 b 2 bc c   3 c 2 ca a  0……… 1,0đ   a b2 2 b c2 3 c a2  0 (đpcm)……….0,5đ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c  ……….0,5đ

Bài 3: ( 2,5 điểm )

Để phương trình có hai nghiệm số trái dấu nhau, điều kiện là:

m 2007 2 m 2009  0

 m 2007 m 2009  0……… 1,0đ  (m  2007 0  và m  2009 0  ) hoặc (m  2007 0  và m  2009 0  )………0,5đ  (m 2007 và m 2009) hoặc (m 2007 và m 2009)

 2007 m 2009……… 0,5đ Vậy: m 2008 ……… 0,5đ

Bài 4: ( 3 điểm )

4 6 2 5

 

5 5

Tương tự:

10

4 2 3 5

Suy ra: 5

5

A B  , A B  1, 1

5

AB 

Vậy: 3 3    2 2     2 

A  B  A B A AB B  A B A B  AB

5 1 1 5 4. 4 5

5 5 5 5 25

 

    

Bài 5: ( 4 điểm )

a) - Trường hợp 1: x x y0,y30

 

 hay x y0,x y30

 



Phần đồ thị là đoạn thẳng AB, với A3;0 và B0;3…… ………0,5đ

- Trường hợp 2: x x y0,y30

  

 hay x y x0,y30

 



Phần đồ thị là đoạn thẳng BC, với C  3;0……….…0,5đ

- Trường hợp 3: x x y0,y30

  

 hay x y0,x y30

 



Phần đồ thị là đoạn thẳng CD, với D0; 3  ……… 0,5đ

- Trường hợp 4: x x y0,y30

 

 hay x y x0,y30

 



Phần đồ thị là đoạn thẳng DA……… 0,5đ Kết luận: Tập hợp các điểm M là đường biên của hình vuông ABCD, nhận O là tâm đối xứng……… 0,5đ

-3

3

3

M2

M1

O

y

x

B

C

D

A

b) Điểm có khoảng cách đến O nhỏ nhất là chân các đường vuông góc

M M M M1 , 2 , 3 , 4 hạ từ O lần lượt đến các cạnh AB BC CD DA, , ,

Suy ra: M M M M1 , 2 , 3 , 4 lần lượt là trung điểm của AB BC CD DA, , , … ……… 0,5đ Vậy: 1

3 3

;

2 2

M  

 , 2

3 3

;

2 2

M   

 , 3

3 3

;

2 2

M    

 , 4

3 3

;

2 2

M   

c) Hình vẽ:……….………0,5đ

Bài 6: ( 2 điểm )

Số điểm của mỗi bạn có thể xếp theo 5 loại sau đây:

- Làm đúng 5 bài, được 10 điểm

- Làm đúng 4 bài, được 7 điểm

- Làm đúng 3 bài, được 4 điểm

- Làm đúng 2 bài, được 1 điểm

- Loại còn lại, đều bị 0 điểm……… 1,0đ

Vì 31 chia 5 có thương là 6 và dư 1, nên theo Nguyên lý Đi-rích-lê, có ít nhất 7 bạn có số điểm bằng nhau……….1,0đ

Bài 7: ( 4 điểm )

I C

O M

A

B

D

E

a) MAC MDA  MA AC

MBC MDB  MB CB

Mà: MA MB ,……… ……….0,5đ Nên: AC CB

AD DB , hay: AC DB AD CB. ……… … 0,5đ b) Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng AI với (O)……… 0,5đ

Ta có:  1  1    1    

MAI  sd AE sd AC sdCE  sd AC sd ED MIA ……… 0,5đ Suy ra tam giác AMI cân Do đó: MA = MI

Mà MA = MB, nên: MB = MI

Vậy tam giác BMI cân

Suy ra: MBI MIB ……….0,5đ

Do đó: CBI  MBI MBC MIB MDB DBI       

Vậy: BI là phân giác của góc CBD……… 0,5đ

(Lưu ý: Cách giải khác, nếu đúng, vẫn đạt điểm tối đa)