BD dai tra ki 2 T7

Mỗi số liệu là một giá trị của dấu hiệu.. • Số tất cả các giá trị không nhất thiết khác nhau của dấu hiệu bằng số các đơn vị điều tra.. • Số lần xuất hiện của một giá trị trong dẫy giá t

Bồi dỡng đại trà học kì 2

A CHơNG III thống kê

1 Thu thập số liêu thống kê, tần số:

• Các số liệu thu thập đợc khi điều tra về một dấu hiệu gọi là số liệu thống kê Mỗi số liệu là một giá trị của dấu hiệu.

• Số tất cả các giá trị (không nhất thiết khác nhau) của dấu hiệu bằng số các đơn vị điều tra.

• Số lần xuất hiện của một giá trị trong dẫy giá trị của dấu hiệu là tần số của giá trị đó.

2 Bảng tần số các giá trị của dấu hiệu:

x 1

x 2

xk

n 1

n 2

nk

N

3 Biểu đồ:

Có thể biểu diễn số liệu bằng biểu đồ.

4 Số trung bình cộng của dấu hiệu: Kí hiệu X

 Tính bằng công thức: x n1 1 x n2 2 x n k k

N

Trong đó: x 1 , x 2, xklà các gia tri khac nhau cua dấu hiệu.

n 1 , n 2, nklà các tần số tơng ứng.

N là số các giá trị.

 Tính bằng cách lập bảng:

Dấu hiệu (x) Tần số (n) Các tích (x.n)

x 1

x 2

.

.

.

xk

n 1

n 2

nk

x 1 n 1

x 2

n 2

xknk

1 1 2 2 k k

N

N = n 1 + n 2 + + nk

 ý nghĩa: Số trung bình cộng thờng đợc dùng làm “đại diện” cho dấu hiệu.

 Mốt của dấu hiệu: Giá tri có tần số lớn nhất trong bảng “tần số” Kí hiệu: M 0

B CHơNG IV BIểU THứC đạI Số

1. Biểu thức đại số :

Biểu thức mà trong đó ngoài các số, kí hiệu phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, còn có cả các chữ đại diện cho số(gọi là biến số) là biểu thức đại số.

2. Giá trị của một biểu thức đại số :

Tính giá trị của biểu thức đại số tại những giá trị cho trớc của biến, ta thay các giỏ trị cho trớc vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.

3 Đơn thức

 Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến hoặc một tích giữa các số và các biến Số 0 là đơn thức không.

 Bậc của đơn thức co hệ số khác 0 là tổng số mũ của tât cả các biến có trong

đơn thức đó

 Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến Cộng trừ các đơn thức đồng dạng ta công trừ các hệ số với nhau và giữ

nguyên phần biến

 Nhân hai đa thức ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau

và dùng lũy thừa ghi bậc của mỗi biến.

4 Đa thức

 Đa thức là tổng của những đơn thức

 Bậc của đa thức là bậc cao nhất của hạng tử trong dạng thu gọn của đa thức

Đa thức không là đa thức không có bậc.

 Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến Mỗi số đợc coi là một đa thức một biến.

 Ta có thể cộng, trừ các biểu thức số và tơng tự ta cũng có thể thực hiện phép toán cộng trừ đa thức

 Nếu tại x = a mà đa thức P(x) = 0 ta nói a (hoặc x = a) là nghiệm của đa thức

đó.

II bài tập Bài 1: Một thầy giáo theo dõi thời gian làm một bài tập (Thời gian tính theo phút) của 30

học sinh (ai cũng làm đợc) và ghi lại nh sau

a.Dấu hiệu ở đây là gì?

b Lập bảng “tần số” và nhận xét

Đáp án

a, Dấu hiệu: thời gian làm 1 bài tập của mỗi học sinh

b, Bảng tần số

Nhận xét: Thời gian làm bài ít nhất là 5 phút

Thời gian làm bài nhiều nhất là 14 phút

Số đông các bạn đều hoàn thành bài tập khoảng từ 8 đến 10 phút

Bài 2 Một giáo viên theo dõi thời gian làm bài tập ( tính theo phút ) của 30 học sinh

và ghi lại nh sau:

a)Lập bảng tần số:

b)Tính số trung bình cộng và tìm mốt của dấu hiệu

Đáp án

M o = 8 và M o = 9

Phần đa thức

Bài 1: Cho đa thức M(x) = 4x3 + 2x4 –x2 –x3 +2x2-x4+1-3x3

a sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo lỹ thừa giảm của biến

b Tính M(-1) và M(1)

c Chứng tỏ đa thức trên không có nghiệm

Đáp án

a M(x) = x4 + x2 +1

b M(1) = 14 + 12+1 =3

M(-1) = (-1)4+(-1)2 +1=3

c Ta có x4 ≥ 0 với mọi x

x2 ≥ 0 với mọi x

nên x4 + x2 + 1 ≥ 1> 0 với mọi x

vậy đa thức x4 + x2 + 1 không có nghiệm

Bài 2 Cho P(x) = 4x5 − 7x2 + 3x4 − 3x5 + 3 −x−x

a, Thu gọn và sắp xếp đa thức P(x) theo lũy thừa giảm

P(x) = 4x5 − 7x2 + 3x4 − 3x5 + 3 −x−x5

=( 4x5 − 3x5 −x5 ) + 3x4 − 7x2 −x+ 3

=3x4 − 7x2 −x+ 3

b, Cho Q(x) = x2 + 5x− 6 Tính P(x) + Q(x)

P(x)+Q(x)=( 3x4 − 7x2 −x+ 3)+(x2 + 5x− 6)

=3x4 − 7x2 −x+ 3+x2 + 5x− 6

=3x4 − 6x2 + 4x− 3

Bài 3: Tìm nghiệm cua đa thức N(x) = 7x – 5

Đáp án

Nếu x là nghiệm của N(x)= 7x – 5 thì N(x) = 0

Hay 7x – 5 = 0

7x = 5

x =

7 5

Bài 4

a, Tính tích của hai đơn thức sau: - 0,5x2yz và -3xy3z Tìm hệ số và bậc của tích tìm đợc

b, Cho A = x2- 2x - y2 + 3y - 1 B = -2x2 + 3y2 - 5x + y + 3 Tính A + B, A - B?

Đáp án

a (-0,5x2yz).(-3xy3z) = 1,5x3y4z2 Hệ số 1,5 Bậc 9

b , A + B = (x2-2x - y2 +3y -1) + (-2x2 + 3y2 -5x + y +3)

= x2 -2x - y2 +3y -1 -2x2 +3y2 -5x +y + 3

= -x2 -7x +2y2 +4y +2

A - B = (x2-2x -y2 +3y - 1) - (-2x2 + 3y2 -5x +y +3)

= x2 - 2x - y2 +3y - 1 + 2x2 - 3y2 + 5x - y - 3

= 3x2 +3x - 4y2 +2y - 4

Bài 5: Cho đa thức: P(x) = 5x3 + 2x4 - x2 + 3x2 - x3 - x4 + 1 - 4x3

a, Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức trên theo thứ tự giảm dần của các biến?

b, Tính P(1) và P(-1)?

c, Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm?

Đáp án

a, p(x) = 5x3 + 2x4 - x2 + 3x2 - x3 - x4 + 1 - 4x3

= x4 + 2x2 + 1

b, p (1)= 14 + 2.12 + 1= 4

p(-1)= (-1)4 + 2.(-1)2 + 1 = 4

c, x4 ≥ 0 ∀ x

2x2 ≥ 0 ∀ x nên p(x) = x4 + 2x2 + 1 ≥ 1 ∀ x

Bài 6: Tìm x:

a x+ 5 = 7

b x = x

c (x+ 1)2 − 9 = 0

d 2x+ 3 = -5

Đáp án

a x+ 5 = 7

b x = x ⇔ x≥ 0

c (x+ 1)2 − 9 = 0

⇔ (x+ 1)2 = 9

d 2x+ 3 = -5

Do 2x+ 3 ≥ 0 mà -5 < 0 ⇒ Vô lý

Vậy không tìm đợc giá trị của x thoả mãn đề bài

Bài 7 Cho 2 đa thức

P ( )x = x2 + 2mx + m2 và

Q( )x = x2 + (2m+1)x + m2

Tìm m biết P (1) = Q (-1)

Đáp án

P(1) = 12 + 2m.1 + m2

= m2 + 2m + 1

= m2 – 2m

Bài 8 Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :

A = x+ 1 +5 B =

2

1

2 +

x

C =

3

15

2

2

+

+

x

x

D =

3

5

2 2

2 2

+ +

+ +

y x

y x

Đáp án

• A = x+ 1 +5

Ta có : x+ 1 ≥ 0 Dấu = xảy ra ⇔ x= -1.

⇒ A ≥ 5

DÊu = x¶y ra ⇔ x= -1.

• B =

2

1

2 +

x

Ta cã x2 ≥ 0 DÊu = x¶y ra ⇔ x = 0.

⇒ x2 + 2 ≥ 2 ( 2 vÕ d¬ng )

⇒

2

1

2 +

x ≤

2 1

VËy Max B =

2

3

15

2

2

+

+

x

x

3

12 3

2

2

+

+ +

x

x

= 1 +

3

12

2 +

x

Ta cã: x2 ≥ 0 DÊu = x¶y ra ⇔ x = 0

⇒ x2 + 3 ≥ 3 ( 2 vÕ d¬ng )

⇒

3

12

2 +

x ≤

3

3

12

2 +

3

12

2 +

⇒ C ≤ 5

• D = 1 + x2 +2y2 +3

Mµ x2 + y 2 + 3 ≥ 3

⇒

3

2

2

2 + y +

3

2

⇒ D ≤ 1+

3

2

⇒ D ≤

3 5

Min D =

3

Bµi 9 Cho 3 sè a, b, c kh¸c nhau vµ kh¸c 0 ( b+c, a+c, a+b ≠0 ) Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn :

b a

c c a

b c b

a

+

= +

=

TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc P =

c

b a b

c a a c

b+ + + + +

§¸p ¸n

Ta cã :

b a

c c a

b c b

a

+

= +

=

c b a

+ + + + +

+

(a b c)

c b a

+ +

+ +

c b a

+ +

+ +

2 1

⇒

b a

c c a

b c

b

a

+

= +

=

1

⇒

a

c

b+ =

b

c

a+ =

c

b

a+ = 2

VËy P =

a

c

b+ +

b

c

a+ +

c

b

a+ = 6 TH2 a + b + c =0

* b + c = - a ; a + c = - b ; a + b = -c

a b c

Bµi 10: Cho hai ®a thøc f(x) = 5x – 7 ; g(x) = 3x + 1

a) T×m nghiÖm cña f(x) , g(x)

b) T×m nghiÖm cña ®a thøc A(x) = f(x) – g(x)

Ta cã víi gi¸ trÞ nµo cña x th× f(x) = g(x)

§¸p ¸n

a) f(x) cã nghiÖm lµ

5

7

=

x

g(x) cã nghiÖm lµ

3

1

−

=

x

b) A(x) cã nghiÖm lµ x = 4

Khi x = 4 th× f(x) = g(x)

Bµi 11:

Cho hai ®a thøc:

M = 3,5x 2 y - 2xy 2 + 2xy + 3xy 2 + 1,5x 2 y ; N = 2x 2 y +3,2xy +xy 2 -4xy 2 - 1,2xy a) Thu gän c¸c ®a thøc M vµ N:

b) TÝnh M + N ; M - N.

§¸p ¸n

a) M = 5x 2 y + xy 2 + 2xy.

N = 2x 2 y - 3xy 2 + 2xy.

b) M + N = 7x 2 y - 2xy 2 + 4xy.

M - N = 3x 2 y +4xy 2

Phần hình học Bài 1: Cho tam giác ABC biếtA = 3B = 6C

a, Tìm số đo các góc A, B, C.

Theo định lí tổng 3 góc của 1 tam giác ta có Aˆ+Bˆ+Cˆ = 180 0

Ta lại có

⇒









=

=

⇔









=

=

C B

B A C

B

B A

















2

3 6

3

3

0 0

0 0

0

0 0

0

40 ˆ

; 120 ˆ

20 ˆ 180 ˆ 9 180 ˆ ˆ 8

180 ˆ ˆ 2 4 180 ˆ ˆ 4 180 ˆ ˆ ˆ 3

=

=

⇒

=

⇔

=

⇔

= +

⇔

= +

⇔

= +

⇔

= + +

⇒

B A

C C

C C

C C C

B C

B B

b, Vẽ đ ờng cao AD Chứng minh rằng: AD < BC < CD

Theo cmt thì trong tam giác vuông ABD cóBˆ = 40 0 ⇒B AˆD= 50 0

Trong tam giác ABC, ta lại có:

0

0 ; ˆ 40 20

⇒BD < CD (tính chất hình chiếu và đờng xiên) (2)

Từ (1) và (2) ⇒AD < BD < CD

Bài 2 Cho ∆ABC cân tại A Lấy điểm M trên tia đối của tia BC và diểm N trên tia đối của tia CB sao cho BM=CN

a Chứng minh: Góc ABM = góc CAN

c So sánh độ dài các đoạn thẳng AM;AC

d Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = AM Chứng minh rằng nếu MB

= BC = CN thì tia AB đi qua trung điểm đoạn thẳng IN

Đáp án

vẽ hình ghi giả thiết kết luận

a Góc ABM = 1800-B^1

Góc ACN = 1800 – Ĉ1

1

B = Ĉ1 ( gt)

c, Chứng minh góc ACN là góc tù

Do đó AN > AC

Mà AN = AM (chứng minh trên)

Nên AM > AC

Mà CN = CB = BM (gt) ⇒ BN =

3

2

NM

vậy tia AB đI qua trung điểm của đoạn thẳng IN

Bài 4 Cho tam giác ABC Đờng trung trực của cạnh AB cắt tia BC tại D Trên tia AD

lấy AE = BC

a) Chứng minh ABC = BAE

b) Chứng minh AB // CE

a, C EB = A DC vàE BH = A CD.

Tam giác DBE là tam giác cân và có đơng cao BH vẽ từ đỉnh B cũng là đờng trung tuyến vẽ từ đỉnh ấy

Suy ra BH là đờng phân giác của góc B của ∆DBE, tức là Bˆ2 =Bˆ3

có Dˆ1 = Dˆ2 vì đối đỉnh

Mà D2 = D EB vỡ ∆ DBE cân

Suy ra: D1= D EB; tức là A DC = C EB

2 2 2

1 + D = B +D = 90

C   

Vì D1 = D2 nên suy ra : C1 = B2

Từ đó: C1 =C2 = B2 = B3 ⇒C1 = B3 ⇒ A CD=E BH

2 1 1 3 2

1 + B + B = + + = 90

C B

E      

Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( góc A = 90o ), tia phân giác của góc B cắt AC ở E,

từ E kẻ EH vuông góc BC (H thuộc BC) chứng minh rằng:

a, ∆ ABE bằng ∆ HBE

b, BE là đờng trung trực của đoạn thẳng AH

c, EC > AE

Đáp án Vẽ hình:

E

A

C

B

k

H

từ 1 và 2 ta có BE là đờng trung trực của đoạn thẳng AH

c, Ta có AK = HK (chứng minh trên)

suy ra AE = HE (1)

Tam giác EHC có (∠ EHC = 900) => EC > EH (2) (cạnh huyền trong tam giác vuông ) từ (1) và (2) ta có EC > AE

Bài 6 : Cho ∆ ABC vuông ở A, AB = 3 cm ; AC = 4 cm Phân giác góc B, góc C cắt nhau tại

O Và OE ⊥ AB ; OF ⊥ AC.

a) Chứng minh rằng AB + AC – BC = 2AE.

b) Tính khoảng cách từ O tới các cạnh của ∆ ABC.

c) Tính OA, OB, OC.

E F

D

O A

C B

Đáp án

Vẽ hình ,ghi GT, KL

a) Chứng minh đợc AB + AC – BC = 2AE

b) Tính đợc BC = 5 cm,

Tính đợc AE = 1 cm,

Tính OE = AE = OF = 1 cm,

c) Tính đợc BE = 2 cm , CF = 3 cm ,

Tính OA = 2 cm

OB = 5 cm

OC = 10 cm

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông ở C có góc A bằng 60 o Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E Kẻ EK vuông góc với AB ( K ∈AB ) Kẻ BD vuông góc với tia AE ( D∈tia AE )

Chứng minh:

a) AC = AK.

b) AE là đờng trung trực của đoạn thẳng CK.

c) KA = KB.

d) AC < EB

Đáp án

* Vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận:

a) Cm : ∆ACE = ∆ AKE

⇒ AC = AK và EK = EC (cạnh tơng ứng)

b) Theo chứng minh trên ta có:

AC = AK v EC = EK à

⇒ AE là đờng trung trực của đoạn thẳng CK

c) Cm : ∆ EAB cân tại E

Trong tam giác EAB cân nên EK cũng là đờng trung tuyến ⇒KA = KB

d) Trong tam giác vuông ACE tại C có: AC < AE,

mà AE = EB ⇒AC < EB

A

B

C

D

E

K