Bài 6: Cho hình bình ABCD.. Giải Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Trang 1ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2009- 2010
Bài 1: Phân tích các đa thưc sau thành nhân tử:
a) (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3
b) x(y2-z2)+y(z2-x2)+z(x2-y2)
Giải
a) (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3
=(x - y + y - z)[(x - y)2 -(x - y)(y - z) + (y - z)2] + (z - x)3
=(x - z)[(x - y)2 - (x - y)(y - z) + (y - z)2 - (z - x)2]
=(x - z)[(x - y)(x - y - y + z) + (y - z + z - x)(y - z - z + x)] =(x - z)(x - y)(x - 2y + z - y + 2z - x)
=3(x - z)(x - y)(z - y)
b) x(y2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
= x(y2 - x2 + x2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
= x(y2 - x2) + x(x2 - z2) + y(z2 - x2) + z(x2 - y2)
= (x2 - y2)(z - x) + (x2 - z2)(x - y)
=(x - y)(z - x)(x + y - x - z)
=(x - y)(z - x)(y - z)
Bài 2: So sánh các cặp số sau:
1 A= 1999 2001 và B= 20002
2 C=3n+1 +4.2n-1-81.3n-3-8.2n-2+1 và D = (2n+1)2+(2n-1)2 -2(4n+1) ( Với n nguyên dương.)
Giải
1 A=1999.2001=(2000-1) (2000+1)=20002-1<20002
⇒A<B
2 C=3n+1+ 22 2n-1- 34 3n-3 - 23 2n-2 +1
C=3n+1+ 2n+1 - 3n+1 - 2n+1 + 1 = 1
D=(2n)2 +2.2n + 1 +(2n)2 - 2.2n + 1 - 2.(22)n - 2
=22n + 2n+1 + 1 + 22n - 2n+1 + 1 -2.22n - 2
= 2.22 n - 2.22n = 0
⇒C > D
Bài 3: Cho x2=a2+b2 +ab và a+b=c Chứng minh rằng:
2x4 =a4+b4+c4
Giải
Ta có: x2 =a2+b2+ab
⇒x4=a4 +b4 +a2b2 +2a2b2+2a3b+2ab3
x4 =a4+b4+a2b2 +2ab(a2+b2+ab)
=a4+b4+a2b2+2abx2 (1)
Trang 2Mà c=a+b ⇒c2=a2+2ab+b2 ⇒c2=x2 +ab
⇒c4=x4 +2abx2+a2b2 (2)
Từ (1) và (2)⇒2x4=x4+a4 +b4+2abx2+a2b2
⇒2x4=a4+b4+c4 (đpcm)
Bài 4: Cho x, y là 2 số khác nhau thoả mản x2+y = y2+x
Tính giá trị của biểu thức sau:
A =
1
2 2
−
+ +
xy
xy y x
Giải
Ta có: x2+y = y2+x ⇔x2-y2+y-x = 0
⇔(x-y)[(x+y)-1] = 0
Vì x≠y nên x+y-1 = 0⇔x+y = 1
Từ đó ta có: A =
1
2 2
−
− +
xy
xy y x
) ( 2
−
− +
xy
xy y x
= 1xy−−xy1 = -1 Vậy A= -1
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
1 A = x2+5y2- 2xy+4y+3
2 B = (x2-2x) (x2-2x+2)
Giải
1 A= x2 - 2xy + y2 + 4y2 + 4y + 1 + 2
= (x-y)2 + (2y+1)2 + 2
Vì (x-y)2 ≥0, (2y+1)2 ≥0 với mọi x, y
⇒A≥2 Đẳng thức xảy ra x-y =0 x = y
⇔ 2y+1=0 ⇔ y=
2
1
−
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 ⇔x = y =
2
1
−
2 B = (x2-2x)(x2-2x + 2)
Đặt t = x2 - 2x ⇒B = t(t +2) = (t+1)2 -1≥-1
Đẳng thức xảy ra ⇔t+1 =0 ⇔x2 -2x +1 = 0⇔(x-1)2 = 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -1⇔x = 1
Trang 3Bài 6: Cho hình bình ABCD Một đường thẳng l cắt AB ở E, cắt AD ở F và cắt đường chéo AC ở G Chứng minh rằng:
AE
AB
+
F
A
AD
=
G
A
AC
Giải
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo
AC và BD Kẻ BM//EF và DN //EF
với M,N trên AC
Xét tam giác ABM có EG // BM nên
AE
AB
=
G
A
AM
(1) Xét tam giác ADN có FG // DN nên
AF
AD
=
G
A
AN
(2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có
AE
AB
+
F
A
AD
=
G
A
AN
AM +
(3) Mặt khác:∆ABM=∆CDN(g.c.g)
Suy ra AN =NC (4) Thay (4) vào (3) ta được:
AE
AB
+
F
A
AD
=
G
A
AN
NC+
=
AG
AC
(đpcm)
F
G
O E
M N