100 Câu Trắc Nghiệm Tối Ưu Hóa

Câu 1: Vector gradient của hàm số f(x,y) = x² + 2y² tại điểm (1,1) có tọa độ như thế nào? Đây là phép tính gradient cơ bản. A. (2, 4) B. (1, 2) C. (2, 2) D. (4, 2) Câu 2: Gradient của một hàm số chỉ ra đặc điểm gì về hướng thay đổi? Vector gradient có ý nghĩa hình học quan trọng trong tối ưu hóa. A. Hướng giảm nhanh nhất của hàm số B. Hướng tăng nhanh nhất của hàm số C. Hướng không đổi của hàm số D. Hướng về điểm cực tiểu Câu 3: Cho hàm f(x,y) = 3x²y + y³, đạo hàm hướng theo vector đơn vị u = (1/√2, 1/√2) tại điểm (1,1) bằng bao nhiêu? Cần tính gradient trước, sau đó áp dụng công thức đạo hàm hướng. A. 6√2 B. 9√2 C. 12√2 D. 15√2

100 Câu Trắc Nghiệm Tối Ưu Hóa

Phần 1: Gradient và Đạo hàm hướng (Câu 1-15)

Câu 1: Vector gradient của hàm số f(x,y) = x² + 2y² tại điểm (1,1) có tọa độ như thế

nào?

Đây là phép tính gradient cơ bản

A (2, 4)

B (1, 2)

C (2, 2)

D (4, 2)

Câu 2: Gradient của một hàm số chỉ ra đặc điểm gì về hướng thay đổi?

Vector gradient có ý nghĩa hình học quan trọng trong tối ưu hóa

A Hướng giảm nhanh nhất của hàm số

B Hướng tăng nhanh nhất của hàm số

C Hướng không đổi của hàm số

D Hướng về điểm cực tiểu

Câu 3: Cho hàm f(x,y) = 3x²y + y³, đạo hàm hướng theo vector đơn vị u = (1/√2,

1/√2) tại điểm (1,1) bằng bao nhiêu?

Cần tính gradient trước, sau đó áp dụng công thức đạo hàm hướng

A 6√2

B 9√2

C 12√2

D 15√2

Câu 4: Điểm (x₀,y₀) được gọi là điểm tới hạn khi thỏa mãn điều kiện nào?

Điều kiện cần thiết để một điểm là cực trị

A f(x₀,y₀) = 0

B f(x₀,y₀) = (0,0) ∇

C ²f(x₀,y₀) = 0∇

D f(x₀,y₀) < f(x,y) với mọi (x,y) lân cận

Câu 5: Vector gradient có mối quan hệ như thế nào với đường mức (level curve)?

Tính chất hình học cơ bản của gradient

A Song song với đường mức

B Vuông góc với đường mức

C Tạo góc 45° với đường mức

D Không có mối quan hệ cụ thể

Câu 6: Cho f(x,y) = ln(x² + y²), gradient tại điểm (1,2) có độ dài bằng bao nhiêu?

Tính toán độ lớn của vector gradient

A 2/5

B 2/√5

C 2√5/5

D 2

Câu 7: Đạo hàm hướng đạt giá trị lớn nhất khi vector hướng có đặc điểm gì?

Mối liên hệ giữa đạo hàm hướng và gradient

A Vuông góc với gradient

B Ngược hướng với gradient

C Cùng hướng với gradient

D Tạo góc 30° với gradient

Câu 8: Hàm f(x,y) = x³ - 3xy² có gradient tại gốc tọa độ bằng:

Tính toán gradient tại một điểm cụ thể

A (0, 0)

B (3, -3)

C (-3, 3)

D (1, -1)

Câu 9: Cho hàm f(x,y,z) = x²y + yz² - z³, thành phần theo z của gradient là:

Tính đạo hàm riêng theo biến z

A 2yz - 3z²

B y + 2yz - 3z²

C x² + z² - 3z²

D y - 3z²

Câu 10: Đạo hàm hướng của f(x,y) = e^(xy) theo hướng vector (3,4) tại điểm (0,1) có

giá trị:

Cần chuẩn hóa vector hướng trước khi tính

A 3/5

B 4/5

C 7/5

D 1

Câu 11: Gradient của hàm f(x,y) = arctan(y/x) tại điểm (1,1) là:

Áp dụng quy tắc chuỗi cho hàm arctan.

A (-1/2, 1/2)

B (1/2, -1/2)

C (-1/4, 1/4)

D (1/4, -1/4)

Câu 12: Nếu f(a,b) ≠ (0,0), thì tại điểm (a,b):∇

Ý nghĩa của gradient khác không

A Hàm có cực trị

B Hàm không có cực trị

C Không thể kết luận về cực trị

D Hàm đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 13: Cho f(x,y) = sin(x)cos(y), đạo hàm hướng cực đại tại (π/4, π/4) có độ lớn:

Độ lớn đạo hàm hướng cực đại bằng độ lớn gradient

A √2/2

B 1/√2

C √2/4

D 1/2

Câu 14: Đường gradient (gradient path) là đường mà tại mỗi điểm:

Định nghĩa đường gradient

A Vector tiếp tuyến cùng phương với gradient

B Vector tiếp tuyến vuông góc với gradient

C Hàm số đạt cực trị

D Gradient bằng không

Câu 15: Trong thuật toán gradient descent, ta di chuyển theo hướng:

Nguyên lý cơ bản của gradient descent

A Cùng chiều với gradient

B Ngược chiều với gradient

C Vuông góc với gradient

D Bất kỳ hướng nào

Phần 2: Chuỗi Taylor (Câu 16-25)

Câu 16: Chuỗi Taylor bậc 2 của hàm f(x) = e^x tại a = 0 có dạng:

Khai triển Taylor của hàm mũ

A 1 + x + x²/2

B 1 + x + x²

C e + ex + ex²/2

D x + x²/2

Câu 17: Chuỗi Maclaurin của sin(x) đến bậc 3 là:

Khai triển chuỗi của hàm sin

A x - x³/6

B x + x³/6

C x - x³/3

D x - x²/2 + x³/6

Câu 18: Cho f(x,y) = x² + 3xy + y², chuỗi Taylor bậc 2 tại (1,1) có số hạng bậc 2

thuần nhất là:

Tính các đạo hàm riêng bậc 2 và lập số hạng bậc 2

A (x-1)² + 3(x-1)(y-1) + (y-1)²

B 2(x-1)² + 6(x-1)(y-1) + 2(y-1)²

C (x-1)² + 6(x-1)(y-1) + (y-1)²

D 2(x-1)² + 3(x-1)(y-1) + 2(y-1)²

Câu 19: Ma trận Hessian xuất hiện trong chuỗi Taylor đa biến ở bậc:

Vai trò của Hessian trong khai triển Taylor

A Bậc 1

B Bậc 2

C Bậc 3

D Tất cả các bậc

Câu 20: Xấp xỉ tuyến tính của f(x,y) = √(x² + y²) tại (3,4) cho f(3.1, 3.9) là:

Sử dụng chuỗi Taylor bậc 1

A 4.98

B 5.02

C 4.96

D 5.04

Câu 21: Công thức Taylor bậc 2 cho hàm 2 biến có bao nhiêu số hạng đạo hàm riêng

bậc 2?

Đếm các đạo hàm riêng bậc 2 khác nhau

A 2

B 3

C 4

D 6

Câu 22: Remainder trong chuỗi Taylor thể hiện:

Ý nghĩa của số dư Taylor

A Sai số khi xấp xỉ

B Số hạng cuối cùng

C Tổng tất cả số hạng

D Đạo hàm bậc cao nhất

Câu 23: Chuỗi Taylor của f(x) = 1/(1-x) tại x = 0 là:

Khai triển hình học vô hạn

A 1 + x + x² + x³ +

B 1 - x + x² - x³ +

C x + x²/2 + x³/3 +

D 1 + x²/2 + x⁴/24 +

Câu 24: Trong phương pháp Newton, ta sử dụng xấp xỉ Taylor bậc:

Cơ sở lý thuyết của phương pháp Newton

A Bậc 1

B Bậc 2

C Bậc 3

D Bậc vô hạn

Câu 25: Cho f(x,y) = ln(1 + x + y), xấp xỉ bậc 2 tại gốc tọa độ của f(0.1, 0.1) là:

Khai triển và tính giá trị xấp xỉ

A 0.19

B 0.20

C 0.18

D 0.21

Phần 3: Vector và Ma trận (Câu 26-40)

Câu 26: Tích vô hướng của hai vector u = (2, -1, 3) và v = (1, 4, -2) bằng:

Phép tính tích vô hướng cơ bản

A -8

B -4

C 4

D 8

Câu 27: Vector u = (1, 2) và v = (3, -1) tạo với nhau góc có cos bằng:

Sử dụng công thức cos θ = (u·v)/(|u||v|)

A 1/√50

B 1/√10

C 1/10

D √2/10

Câu 28: Cho ma trận A = [1 2; 3 4], định thức det(A) có giá trị:

Tính định thức ma trận 2×2

A -2

B 2

C 10

D -10

Câu 29: Ma trận nghịch đảo của [2 1; 1 1] là:

Công thức nghịch đảo ma trận 2×2

A [1 -1; -1 2]

B [-1 1; 1 -2]

C [1 1; -1 2]

D [2 -1; -1 1]

Câu 30: Eigenvalue của ma trận đường chéo [3 0; 0 -2] là:

Eigenvalue của ma trận chéo

A 3 và 2

B 3 và -2

C -3 và 2

D 1 và 5

Câu 31: Ma trận A = [1 2; 2 1] có eigenvector ứng với eigenvalue 3 là:

Giải phương trình (A - 3I)v = 0

A (1, 1)

B (1, -1)

C (2, 1)

D (-1, 1)

Câu 32: Hạng (rank) của ma trận [1 2 3; 2 4 6; 1 2 4] là:

Xác định số hàng độc lập tuyến tính

A 1

B 2

C 3

D 0

Câu 33: Ma trận A^T A luôn có tính chất:

Tính chất đặc biệt của ma trận Gram

A Xác định dương

B Bán xác định dương

C Xác định âm

D Không xác định

Câu 34: Trace của ma trận [2 1 0; 3 -1 2; 0 1 4] bằng:

Tổng các phần tử trên đường chéo chính

A 5

B 6

C 7

D 4

Câu 35: Cho A = [1 0; 1 1] và B = [2 1; 0 3], tích AB bằng:

Phép nhân ma trận

A [2 1; 2 4]

B [2 1; 2 3]

C [1 2; 4 2]

D [2 2; 1 4]

Câu 36: Số điều kiện (condition number) của ma trận liên quan đến:

Độ ổn định số học của phép giải hệ tuyến tính

A Eigenvalue lớn nhất và nhỏ nhất

B Chỉ eigenvalue lớn nhất

C Định thức

D Trace

Câu 37: Ma trận trực giao Q có đặc điểm Q^T Q bằng:

Định nghĩa ma trận trực giao

A Q

B I (ma trận đơn vị)

C 0

D Q^(-1)

Câu 38: Phép chiếu vector v = (3, 4) lên vector u = (1, 0) có kết quả:

Công thức chiếu vector

A (3, 0)

B (0, 4)

C (3, 4)

D (1, 0)

Câu 39: Ma trận Hessian của f(x,y) = x³ + y³ - 3xy là:

Tính các đạo hàm riêng bậc 2

A [6x -3; -3 6y]

B [6x 3; 3 6y]

C [3x² -3; -3 3y²]

D [6x 0; 0 6y]

Câu 40: Một ma trận n×n có tối đa bao nhiêu eigenvalue thực phân biệt?

Tính chất của eigenvalue

A n-1

B n

C n+1

D 2n

Phần 4: Tối ưu hóa không ràng buộc (Câu 41-55)

Câu 41: Điều kiện cần bậc 1 để x* là điểm cực tiểu địa phương là:

Điều kiện Fermat

A f(x*) = 0

B f(x*) = 0 ∇

C ²f(x*) = 0∇

D f(x*) < 0

Câu 42: Cho f(x,y) = x² + y² - 2x + 4y + 5, điểm cực tiểu là:

Giải hệ f = 0.∇

A (1, -2)

B (-1, 2)

C (2, -4)

D (0, 0)

Câu 43: Ma trận Hessian tại điểm cực tiểu phải là:

Điều kiện đủ bậc 2.

A Xác định âm

B Xác định dương

C Bán xác định dương

D Không xác định

Câu 44: Điểm yên ngựa (saddle point) có đặc điểm Hessian:

Tính chất của điểm yên ngựa

A Xác định dương

B Xác định âm

C Không xác định

D Bán xác định

Câu 45: Trong gradient descent với learning rate α, công thức cập nhật là:

Quy tắc cập nhật cơ bản

A x_{k+1} = x_k + α f(x_k)∇

B x_{k+1} = x_k - α f(x_k) ∇

C x_{k+1} = x_k - α ²f(x_k)∇

D x_{k+1} = α f(x_k)∇

Câu 46: Điều kiện hội tụ của gradient descent cho hàm lồi với Lipschitz gradient L

là:

Lý thuyết hội tụ gradient descent

A 0 < α < 1/L

B 0 < α < 2/L

C 0 < α < L

D α > 2/L

Câu 47: Phương pháp Newton có công thức cập nhật:

Newton's method cho tối ưu hóa

A x_{k+1} = x_k - [ ²f(x_k)]^(-1) f(x_k) ∇ ∇

B x_{k+1} = x_k + [ ²f(x_k)]^(-1) f(x_k)∇ ∇

C x_{k+1} = x_k - f(x_k)/ ²f(x_k)∇ ∇

D x_{k+1} = [ ²f(x_k)]^(-1) f(x_k)∇ ∇

Câu 48: Ưu điểm chính của phương pháp Newton là:

So sánh tốc độ hội tụ

A Hội tụ bậc nhất

B Hội tụ bậc hai

C Không cần tính đạo hàm

D Luôn hội tụ toàn cục

Câu 49: BFGS thuộc nhóm thuật toán:

Phân loại thuật toán tối ưu

A Gradient descent

B Newton methods

C Quasi-Newton methods

D Direct search

Câu 50: Trong line search, điều kiện Wolfe đảm bảo:

Lý thuyết line search

A Giảm đủ của hàm mục tiêu

B Độ dốc đủ lớn

C Cả A và B

D Chỉ tìm minimum chính xác

Câu 51: Hàm f(x) = x⁴ - 2x² + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

Phân tích hàm một biến

A 1

B 2

C 3

D 4

Câu 52: Trust region method khác line search ở chỗ:

So sánh hai phương pháp

A Chọn hướng trước, sau đó chọn bước

B Chọn bước trước, sau đó chọn hướng

C Giới hạn vùng tìm kiếm

D B và C đúng

Câu 53: Gradient descent có vấn đề gì với hàm có condition number lớn?

Khó khăn của gradient descent

A Hội tụ chậm

B Oscillation

C Không ổn định số học

D Tất cả đều đúng

Câu 54: Conjugate gradient method có ưu điểm:

Đặc điểm của conjugate gradient.

A Không cần lưu ma trận Hessian

B Hội tụ trong n bước (lý thuyết)

C Phù hợp với bài toán lớn

D Tất cả đều đúng

Câu 55: Momentum trong gradient descent giúp:

Vai trò của momentum

A Vượt qua local minima

B Tăng tốc hội tụ

C Giảm oscillation

D Tất cả đều đúng

Phần 5: Tối ưu hóa có ràng buộc (Câu 56-70)

Câu 56: Điều kiện Lagrange cho bài toán min f(x) với ràng buộc g(x) = 0 là:

Điều kiện cần cho tối ưu có ràng buộc

A f = λ g∇ ∇

B f + λ g = 0 ∇ ∇

C f - λ g = 0∇ ∇

D f = λg

Câu 57: Hàm Lagrangian cho bài toán min f(x,y) s.t g(x,y) = 0 là:

Định nghĩa hàm Lagrangian

A L = f + λg

B L = f - λg

C L = λf + g

D L = f/g + λ

Câu 58: Tìm cực trị của f(x,y) = x + 2y với ràng buộc x² + y² = 1:

Bài toán Lagrange cụ thể

A Max: √5, Min: -√5

B Max: 2, Min: -2

C Max: 3, Min: -1

D Max: 1, Min: -1

Câu 59: Điều kiện KKT cho bài toán có ràng buộc bất đẳng thức bao gồm:

Các thành phần của điều kiện KKT

A Điều kiện dừng, khả thi, bù trừ, dual feasibility

B Chỉ điều kiện dừng

C Chỉ điều kiện khả thi

D Chỉ điều kiện bù trừ

Câu 60: Trong điều kiện KKT, complementary slackness có nghĩa:

Ý nghĩa của điều kiện bù trừ

A μᵢgᵢ(x) = 0

B μᵢ ≥ 0

C gᵢ(x) ≤ 0

D f + Σμᵢ gᵢ = 0∇ ∇

Câu 61: Active constraint tại điểm x* là ràng buộc:

Định nghĩa ràng buộc tích cực

A gᵢ(x*) = 0

B gᵢ(x*) < 0

C μᵢ > 0

D gᵢ(x*) = 0∇

Câu 62: LICQ (Linear Independence Constraint Qualification) yêu cầu:

Điều kiện regularity

A Gradient của active constraints độc lập tuyến tính

B Tất cả constraints tuyến tính

C Hàm mục tiêu lồi

D Miền khả thi compact

Câu 63: Penalty method biến đổi bài toán có ràng buộc thành:

Nguyên lý của penalty method

A Bài toán không ràng buộc với penalty term

B Nhiều bài toán con

C Bài toán dual

D Bài toán tuyến tính

Câu 64: Barrier method áp dụng cho:

Phạm vi áp dụng barrier method

A Ràng buộc đẳng thức

B Ràng buộc bất đẳng thức

C Cả hai loại ràng buộc

D Chỉ ràng buộc tuyến tính

Câu 65: Augmented Lagrangian method kết hợp:

Đặc điểm của augmented Lagrangian

A Lagrange multipliers và penalty

B Chỉ penalty

C Chỉ Lagrange multipliers

D Barrier và penalty

Câu 66: Trong bài toán min x² + y² với ràng buộc x + y = 2, nghiệm tối ưu là:

Bài toán quadratic programming đơn giản

A (1, 1)

B (2, 0)

C (0, 2)

D (√2, √2)

Câu 67: Strong duality có nghĩa:

Mối quan hệ giữa primal và dual

A Giá trị primal = giá trị dual

B Duality gap = 0

C Tồn tại nghiệm dual

D Cả A và B

Câu 68: Slater's condition đảm bảo:

Điều kiện cho strong duality

A Tồn tại điểm khả thi nội tại

B Hàm mục tiêu lồi

C Tất cả constraints tuyến tính

D Miền khả thi bị chặn

Câu 69: Sequential Quadratic Programming (SQP) xấp xỉ:

Nguyên lý của SQP

A Bài toán gốc bằng chuỗi bài toán QP

B Hàm mục tiêu bằng quadratic

C Constraints bằng tuyến tính

D Chỉ Hessian

Câu 70: Interior point method di chuyển:

Đường đi của interior point method

A Trên biên miền khả thi

B Bên trong miền khả thi

C Ngoài miền khả thi

D Từ đỉnh này sang đỉnh khác

Phần 6: Quy hoạch tuyến tính (Câu 71-85)

Câu 71: Bài toán quy hoạch tuyến tính có dạng chuẩn:

Standard form của LP

A min c^T x s.t Ax = b, x ≥ 0

B min c^T x s.t Ax ≤ b, x ≥ 0

C min c^T x s.t Ax ≥ b, x ≥ 0

D min c^T x s.t Ax = b

Câu 72: Miền khả thi của LP là:

Hình học của miền khả thi

A Polyhedron lồi

B Ellipsoid

C Hypersphere

D Unbounded set

Câu 73: Simplex method di chuyển:

Nguyên lý của simplex

A Từ đỉnh này đến đỉnh khác của polyhedron

B Theo đường thẳng qua miền khả thi

C Ngẫu nhiên trong miền

D Theo gradient

Câu 74: Basic feasible solution trong simplex tương ứng với:

Mối quan hệ đại số-hình học

A Đỉnh của polyhedron

B Cạnh của polyhedron

C Mặt của polyhedron

D Điểm trong của polyhedron

Câu 75: Entering variable trong simplex là biến:

Quy tắc chọn biến vào cơ sở

A Có reduced cost âm nhất (minimization)

B Có reduced cost dương nhất

C Bằng 0 trong nghiệm hiện tại

D Có hệ số lớn nhất trong hàm mục tiêu

Câu 76: Leaving variable được chọn theo:

Quy tắc chọn biến ra khỏi cơ s