ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG 2009-2010

18 tuổi và 6 tuổi Câu 13: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 3cm và 4cm.. Xác định vị trí của A để độ dài DE lớn nhất.. 2 Xác định vị trí

PHÒNG GD&ĐT MỘC HOÁ

TRƯỜNG THCS BÌNH TÂN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HỌC 2009-2010

MÔN TOÁN Ngày thi: 3/3/2010

Thời gian làm bài: 30 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN THI TRẮC NGHIỆM (gồm 20 câu)

Họ, tên học sinh:

Số báo danh:

Học sinh làm bài trên phiếu thi trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị của biểu thức 1 1 1

2 1− 2 1+

Câu 2: Giá trị của biểu thức 9 6 2 6

3

− − là

Câu 3: Khi a + b = 2 và a - 3b = 6 thì giá trị của biểu thức a5 - b5 là

Câu 4: Đa thức x4 + 4x2 - 5 được phân tích thành nhân tử là

A (x + 1).(x - 1).(x2 + 5) B (x2 - 1).(x2 + 5)

C (x - 1)2.(x2 + 5) D x2 + 5

Câu 5: Phân tích đa thức 2x2 + 8x + 8 - 18y2 thành nhân tử được

A (x + 3y + y)2 B (x - 3y + 2)2

C 2(x + 3y + 2)(x + 3y -2) D 2(x + 3y + 2)(x - 3y +2)

Câu 6: Cho hai đường thẳng:

2 1

2

y mx m

Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ấy song song?

A m = -1 B m = 2 C m = -1 hoặc m = 2 D m = 3

2

Câu 7: Cho x + y = 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thữ A = x3 + y3 là

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 - 2x + 5 là

Câu 9: Nếu x < 0 thì x− (x−1)2 bằng

Câu 10: Giá trị của biểu thức 3 2 2+ − 3 2 2− bằng

Câu 11: Với giá trị nào của a thì đồ thị hàm số y = ax + 5 đi qua điểm A(-1;3)

5

Câu 12: Hiện nay tuổi hai anh em cộng lại bằng 24 Cách đây 4 năm tuổi anh gấp 3 lần

tuổi em Vậy tuổi của mỗi người hiện nay là

A 14 tuổi và 10 tuổiB 20 tuổi và 4 tuổi C 16 tuổi và 8 tuổi D 18 tuổi và 6 tuổi Câu 13: Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có

độ dài là 3cm và 4cm Hai canh góc vuông của tam giác này là

A 7 cm và 12 cm B 21 cm và 28 cm C 21cm và 28 D 9cm và 16 cm Câu 14: Với giá trị nào của x thì biểu thức 2

x − x+ + − x xác định?

A -2 < x < 2 B x = 2 C x ≥2 D x ≤2

Câu 15: Đường thẳng (d) y = ax + b đi qua điểm A(2;1) và song song với đường thẳng

(d’) y = 2x + 1 thì a + b bằng:

Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại

A Hệ thức nào sai?

A sin2 B + cos2 B = 1 B sin2 B + cos2 C = 1 C sin B = cos C

D tg B = cotg C Câu 17: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3 và AC = 4 thì sinB bằng:

A 4

Câu 18: Nếu tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính 6cm thì cạnh của

tam giác ABC bằng

Câu 19: Cho đường tròn tâm O và dây AB = 8 Nếu khoảng cách từ O đến AB bằng 3

thì bán kính đường tròn (O) là

Câu 20: Nếu a là nghiệm khác 0 của phương trình x−2 x+ =1 1 thì a + a bằng

- HẾT

-PHÒNG GD&ĐT MỘC HOÁ

TRƯỜNG THCS BÌNH TÂN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HỌC 2009-2010

MÔN TOÁN Ngày thi: 3/3/2010

Thời gian làm bài: 60 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHẦN THI TỰ LUẬN (7 điểm)

Bài 1 ( 2 điểm) : Rút gọn biểu thức sau:

1 2 + 2 3+ 3 4 + ×××+ n 1 n

a b

− (khi a b> >0 )

Bài 2 ( 2 điểm):

1/ Giải phương trình x+2 x− =1 2

2/ Giải hệ phương trình

4 5

20 2( 20)

x

y

 =





 + = −



Bài 3 (3 điểm):

Cho điểm A di động trên đường tròn đường kính BC = 2R Kẻ AH vuông góc với BC tại H, kẻ HD vuông góc với AB tại D và HE vuông góc với AC tại E 1) Tứ giác ADHE là hình gì? Xác định vị trí của A để độ dài DE lớn nhất.

2) Xác định vị trí tương đối vủa hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác BDH và CEH Chứng minh AD.AB = AE.AC.

3) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (BDH) và (CEH).

Hết

-PHÒNG GD&ĐT MỘC HOÁ

TRƯỜNG THCS BÌNH TÂN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HỌC 2009-2010

ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN Ngày thi: 3/3/2010

Thời gian làm bài: 30 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC PHẦN THI TRẮC NGHIỆM (3 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng đạt 0,15 điểm.

Tổng số điểm phần trắc nghiệm: 20 x 0,15 = 3 điểm.

PHẦN THI TỰ LUẬN (3 điểm)

Bài 1 ( 2điểm) : Rút gọn biểu thức sau:

1 2+ 2 3+ 3 4+ ×××+ n 1 n

1

n n n

= −

(0,5 điểm) (0, 5 điểm)

B =

a b

− (khi a b> >0 )

Ta thấy a>b>0 thì 2 2 2 2

a+ a −b > −a a −b nên B > 0

Ta có:

a+ a −b + −a a −b − a − a −b ( 0,5 điểm)

Bài 2 (2 điểm):

1/ Giải phương trình x+2 x− =1 2

Giải:

Điều kiện: x≥1

2

1 1 2

1 1

1 1

2

x

x

x

x

x

⇔ − + =

⇔ − =

⇔ =

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 2

Nếu HS không đặt điều kiện x≥1 thì trừ 0, 25 điểm

2/ Giải hệ phương trình

4

5

x

y



- Học sinh biến đổi đúng và tìm được x = 40 đạt 0, 5 điểm; y = 50 đạt 0, 5 điểm

- Nếu HS chỉ đưa được về hệ phương trình 5 4 0

x y

x y

− =



 − = −

 thì đạt 0, 5 điểm.

Bài 3 (3 điểm):

Cho điểm A di động trên đường tròn đường kính BC = 2R Kẻ AH vuông góc với BC tại H,

kẻ HD vuông góc với AB tại D và HE vuông góc với AC tại E

1 (1 điểm) Tứ giác ADHE là hình gì? Xác định vị trí của A để độ dài DE lớn nhất

2 ( 1 điểm) Xác định vị trí tương đối vủa hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác BDH và CEH Chứng minh AD.AB = AE.AC

3 (1 điểm) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (BDH) và (CEH)

Hướng dẫn:

Hình vẽ (0, 25 điểm-HS phải vẽ đầy đủ theo điều kiện của đề bài mới đạt điểm):

( 0,5 điểm)

( 0,5 điểm)

D

A

C B

E

J

1 Tứ giác AHDE là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông µA D E= = =µ µ 90o (0, 25 điểm)

Do đó DE = AH (Hai đường chéo hình chữ nhật)

Mà AH ≤ OA vì tam giác AHO vuông tại H, nên AH lớn nhất khi AH = OA hay điểm H trùng với điểm O

Vậy độ dài DE lớn nhất khi H trùng với O nghĩa là OA vuông góc với BC, hay A là trung điểm của BC (0, 5 điểm)

2 Hai tam giác BDH và CEH là hai tam giác vuông nên đường tròn ngoại tiếp của các tam giác này lần lượt có đường kính là BH và CH

Vậy hai đường tròn này tiếp xúc ngoài tại H vì đường nối tâm qua điểm chung H.(0,5điểm) (Hoặc

HS giải thích được vì IH + HJ = IJ)

* Nếu HS chỉ kết luận hai đường tròn trên tiếp xúc ngoài mà không giải thích thì không cho điểm phần này.

Hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB có đường cao HD cho: AH2 = AD.AB (1)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC có đường cao HD cho: AH2 = AE.AC (2)

Từ (1) và (2) cho: AD.AB = AE.AC (0, 5 điểm)

3 Gọi I và J lần lượt là tâm các đường tròn (BDH) à (CEH)

Ta có: ·IDH =IHD· (vì ID = IH)

HDE DHA= (vì ADHE là hình chữ nhật)

IHD DHA+ =

Do đó · · 90o

IDH HDE+ =

Suy ra · 90o

IDE= ⇒ ID ⊥DE tại D

+ Điểm D thuộc đường tròn (I) (vì · 90o

HDB= ) và ID ⊥DE tại D nên DE là tiếp tuyến của đường tròn (I) (0, 5 điểm)

Tương tự: ·DEJ =90o ⇒ JE ⊥DE tại E

+ Điểm E thuộc đường tròn (J) (vì ·HEC=90o) và JE ⊥DE tại E nên JE là tiếp tuyến của đường tròn (J) (0, 5 điểm)

- Nếu HS chỉ chứng được ·IDE=90o và ·DEJ =90o thì đạt 0, 5 điểm

-