giới thiệu e-commerce

ii Quan hˆe.

NH ˜’ UNG KH ´ AI NIˆ E.M C ’ O B ’ AN V ` E X ´ ˆ AC SU ´ AT ˆ

1 B O T ´ ’ˆ UC V E GI ’ ` AI T´ ICH T O H ’ ’ˆ O

P 1.1 Qui t ´ ac nhˆ ˘ an

Gi ’a s ’’u mˆo.t cˆong viˆe.c n`ao ¯d´o ¯d ’o.c chia th`anh k giai ¯doa.n C´o n1 c´ach th ’u.c hiˆe.n giai

¯

doa.n th´’u nh ´ˆat, n2 c´ach th ’u.c hiˆe.n giai ¯doa.n th´’u hai, ,n k c´ach th ’u.c hiˆe.n giai ¯doa.n th´’u

k Khi ¯d´o ta c´o

n = n1.n2 n k

c´ach th ’u.c hiˆe.n cˆong viˆe.c

• V´ı du 1 Gi ’a s ’’u ¯ d ’ ˆ e ¯ di t`’ u A ¯ d ´ ˆ en C ta b ´ ˘ at buˆ o c ph ’ai ¯ di qua ¯ di ’ ˆ em B C´ o 3 ¯ d ’ u`’ ong kh´ ac nhau ¯ d ’ ˆ e ¯ di t`’ u A ¯ d ´ ˆ en B v` a c´ o 2 ¯ d ’ u`’ ong kh´ ac nhau ¯ d ’ ˆ e ¯ di t`’ u B ¯ d ´ ˆ en C Vˆ a y c´ o n = 3.2 c´ ach kh´ ac nhau ¯ d ’ ˆ e ¯ di t`’ u A ¯ d ´ ˆ en C.

1.2 Ch ’inh h ’ o.p

2 D¯ i.nh ngh˜ia 1 Ch ’inh h ’ o p chˆ a p k c ’ua n ph ` ˆ an t ’’ u (k ≤ n) l`a mˆo.t nh´om (bˆo.) c´o th´’ u t ’ u .

g ` ˆ om k ph ` ˆ an t ’’ u kh´ ac nhau cho n t`’ u n ph ` ˆ an t ’’ u ¯ d˜ a cho.

S ´ ˆ o ch ’inh h ’ o p chˆ a p k c ’ua n ph ` ˆ an t ’’ u k´ı hiˆ e.u l`a A k n

M ˜ˆoi c´ach cho.n mˆo.t ch’u to.a v`a mˆo.t th ’u k´y t`’u 12 ng ’u`’oi tham d ’u bu ’ˆoi ho.p l`a mˆo.t

ch ’inh h ’o.p chˆa.p k c’ua 12 ph `ˆan t ’’u

1

Do ¯d´o s ´ˆo c´ach cho.n l`a A2

12= 12.11 = 132.

• V´ı du 3 V´’ oi c´ ac ch ˜’ u s ´ ˆ o 0,1,2,3,4,5 c´ o th ’ ˆ e lˆ a p ¯ d ’ u ’ o c bao nhiˆ eu s ´ ˆ o kh´ ac nhau g ` ˆ om 4

ch ˜’ u s ´ ˆ o.

Gi ’aiC´ac s ´ˆo b ´˘at ¯d `ˆau b`˘ang ch ˜’u s ´ˆo 0 (0123, 0234, ) khˆong ph ’ai l`a s ´ˆo g `ˆom 4 ch ˜’u s ´ˆo

Ch ˜’u s ´ˆo ¯d `ˆau tiˆen ph ’ai cho.n trong c´ac ch˜’u s ´ˆo 1,2,3,4,5 Do ¯d´o c´o 5 c´ach cho.n ch˜’u s ´ˆ

¯

d `ˆau tiˆen

Ba ch ˜’u s ´ˆo k ´ˆe ti ´ˆep c´o th ’ˆe cho.n t`uy ´y trong 5 ch˜’u s ´ˆo c`on la.i C´o A3

5 c´ach cho.n

Vˆa.y s ´ˆo c´ach cho.n l`a 5.A35 = 5.(5.4.3) = 300

1.3 Ch ’inh h ’ o.p l˘a.p

2 D¯ i.nh ngh˜ia 2 Ch ’inh h ’ o p l˘ a p chˆ a p k c ’ua n ph ` ˆ an t ’’ u l` a mˆ o t nh´ om c´ o th ´’ u t ’ u g ` ˆ om k

ph ` ˆ an t ’’ u cho n t`’ u n ph ` ˆ an t ’’ u ¯ d˜ a cho, trong ¯ d´ o m ˜ ˆ oi ph ` ˆ an t ’’ u c´ o th ’ ˆ e c´ o m˘ a t 1,2, ,k l ` ˆ an trong nh´ om.

S ´ ˆ o ch ’inh h ’ o p l˘ a p ch˘ a p k c ’ua n ph ` ˆ an t ’’ u ¯ d ’ u ’ o c k´ı hiˆ e.u B k

M ˜ˆoi c´ach x ´ˆep 5 cu ´ˆon s´ach v`ao 3 ng˘an l`a mˆo.t ch ’inh h ’o.p l˘a.p chˆa.p 5 c’ua 3 (M ˜ˆoi l `ˆan

x ´ˆep 1 cu ´ˆon s´ach v`ao 1 ng˘an xem nh ’u cho.n 1 ng˘an trong 3 ng˘an Do c´o 5 cu ´ˆon s´ach nˆenviˆe.c cho.n ng˘an ¯d ’u ’o.c ti ´ˆen h`anh 5 l `ˆan)

1.5 T ’ ˆ o h ’ o.p

2 D¯ i.nh ngh˜ia 4 T ’ ˆ o h ’ o p chˆ a p k c ’ua n ph ` ˆ an t ’’ u (k ≤ n) l`a mˆo.t nh´om khˆong phˆan biˆe.t

th ´’ u t ’ u , g ` ˆ om k ph ` ˆ an t ’’ u kh´ ac nhau cho n t`’ u n ph ` ˆ an t ’’ u ¯ d˜ a cho.

S ´ ˆ o t ’ ˆ o h ’ o p chˆ a p k c ’ua n ph ` ˆ an t ’’ u k´ı hiˆ e.u l`a C n k

• V´ı du 6 M ˜ ˆ oi ¯ d ` ˆ e thi g ` ˆ om 3 cˆ au h ’oi l ´ ˆ ay trong 25 cˆ au h ’oi cho tr ’ u ´’ oc H ’oi c´ o th ’ ˆ e lˆ a p

nˆ en bao nhiˆ eu ¯ d ` ˆ e thi kh´ ac nhau ?

Gi ’ai

S ´ˆo ¯d `ˆe thi c´o th ’ˆe lˆa.p nˆen l`a C253 = 25!

3!.(22)! =

25.24.23 1.2.3 = 2.300.

• V´ı du 7 Mˆo.t m´ay t´ınh c´o 16 c ’ ˆ ong Gi ’a s ’’ u ta i m ˜ ˆ oi th`’ oi ¯ di ’ ˆ em b ´ ˆ at k` y m ˜ ˆ oi c ’ ˆ ong ho˘ a c trong s ’’ u du ng ho˘ a c khˆ ong trong s ’’ u du ng nh ’ ung c´ o th ’ ˆ e hoa t ¯ dˆ o ng ho˘ a c khˆ ong th ’ ˆ e hoa t

¯

dˆ o ng H ’oi c´ o bao nhiˆ eu c ´ ˆ au h`ınh (c´ ach cho n) trong ¯ d´ o 10 c ’ ˆ ong trong s ’’ u du ng, 4 khˆ ong trong s ’’ u du ng nh ’ ung c´ o th ’ ˆ e hoa t ¯ dˆ o ng v` a 2 khˆ ong hoa t ¯ dˆ o ng?

Gi ’aiD

¯ˆe x´’ ac ¯di.nh s ´ˆo c´ach cho.n ta qua 3 b ’u´’oc:

B ’u ´’oc 1: Cho.n 10 c ’ˆong s ’’u du.ng: c´o C1610= 8008 c´ach

B ’u ´’oc 2: Cho.n 4 c ’ˆong khˆong trong s ’’u du.ng nh ’ung c´o th ’ˆe hoa.t ¯dˆo.ng trong 6 c ’ˆong c`on

la.i: c´o C64 = 15 c´ach

B ’u ´’oc 3: Cho.n 2 c ’ˆong khˆong th ’ˆe hoa.t ¯dˆo.ng: c´o C22 = 1 c´ach

Theo qui t ´˘ac nhˆan, ta c´o C10

(a + b)3 = a3+ 3a2b1 + 3a1b2+ b3

C´ac hˆe s ´ˆo trong c´ac h`ang ¯˘ d ’˘ang th ´’uc trˆen c´o th ’ˆe x´ac ¯di.nh t`’u tam gi´ac Pascal

i) Quan hˆe k´eo theo

Bi ´ˆen c ´ˆo A ¯d ’u ’o.c go.i l`a k´eo theo bi ´ˆen c ´ˆo B, k´ı hiˆe.u A ⊂ B, n ´ˆeu A x ’ay ra th`ı B x ’ayra

ii) Quan hˆe t ’u ’ong ¯d ’u ’ong

Hai bi ´ˆen c ´ˆo A v`a B ¯d ’u ’o.c go.i l`a t ’u ’ong ¯d ’u ’ong v ´’oi nhau n ´ˆeu A ⊂ B v`a B ⊂ A, k´ı hiˆe.u

• V´ı du 9 Tung mˆo.t con x´uc x´ ˘ ac Bi ´ ˆ en c ´ ˆ o m˘ a t con x´ uc x ´ ˘ ac c´ o s ´ ˆ o ch ´ ˆ am b´ e h ’ on 7 l` a

bi ´ ˆ en c ´ ˆ o ch ´ ac ch ´ ˘ ˘ an.

v) Bi ´ˆen c ´ˆo khˆong th ’ˆe

L`a bi ´ˆen c ´ˆo nh ´ˆat ¯di.nh khˆong x ’ay ra khi th ’u.c hiˆe.n ph´ep th ’’u K´ı hiˆe.u ∅.

⊕ Nhˆa.n x´et Bi ´ˆen c ´ˆo khˆong th ’ˆe ∅ khˆong bao h`am mˆo.t bi ´ˆen c ´ˆo s ’o c ´ˆap n`ao, ngh˜ia l`akhˆong c´o bi ´ˆen c ´ˆo s ’o c ´ˆap n`ao thuˆa.n l ’o.i cho biˆen c ´ˆo khˆong th ’ˆe

vi) Bi ´ˆen c ´ˆo ng ˜ˆau nhiˆen

L`a bi ´ˆen c ´ˆo c´o th ’ˆe x ’ay ra ho˘a.c khˆong x ’ay ra khi th ’u.c hiˆe.n ph´ep th ’’u Ph´ep th ’’u m`ac´ac k ´ˆet qu ’a c ’ua n´o l`a c´ac bi ´ˆen c ´ˆo ng ˜ˆau nhiˆen ¯d ’o.c go.i l`a ph´ep th ’’u ng ˜ˆau nhiˆen

vii) Bi ´ˆen c ´ˆo t ’ˆong

Bi ´ˆen c ´ˆo C ¯d ’u ’o.c go.i l`a t ’ˆong c’ua hai bi ´ˆen c ´ˆo A v`a B, k´ı hiˆe.u C = A + B, n ´ˆeu C x ’ay

ra khi v`a ch ’i khi ´ıt nh ´ˆat mˆo.t trong hai bi ´ˆen c ´ˆo A v`a B x ’ay ra

• V´ı du 10 Hai ng ’u`’oi th ’o s˘an c`ung b´ an v` ˘ ao mˆ o t con th´ u N ´ ˆ eu go i A l` a bi ´ ˆ en c ´ ˆ o ng ’ u`’ oi

th ´’ u nh ´ ˆ at b ´ an tr´ ˘ ung con th´ u v` a B l` a bi ´ ˆ en c ´ ˆ o ng ’ u`’ oi th ´’ u hai b ´ an tr´ ˘ ung con th´ u th`ı C = A+B l` a bi ´ ˆ en c ´ ˆ o con th´ u bi b´ ˘ an tr´ ung.

Ch´u ´y

i) Mo.i bi ´ˆen c ´ˆo ng ˜ˆau nhiˆen A ¯d `ˆeu bi ’ˆeu di ˜ˆen ¯d ’u ’o.c d ’u´’oi da.ng t ’ˆong c ’ua mˆo.t s ´ˆo bi ´ˆen c ´ˆ

s ’o c ´ˆap n`ao ¯d´o C´ac bi ´ˆen c ´ˆo s ’o c ´ˆap trong t ’ˆong n`ay ¯d ’u ’o.c go.i l`a c´ac bi ´ ˆ en c ´ ˆ o thuˆ a n l ’ o i cho

bi ´ˆen c ´ˆo A

ii) Bi ´ˆen c ´ˆo ch ´ac ch ´˘ ˘an Ω l`a t ’ˆong c ’ua mo.i bi ´ˆen c ´ˆo s ’o c ´ˆap c´o th ’ˆe, ngh˜ia l`a mo.i bi ´ˆen c ´ˆ

s ’o c ´ˆap ¯d `ˆeu thuˆa.n l ’o.i cho Ω Do ¯d´o Ω c`on ¯d ’u ’o.c go.i l`a khˆong gian c´ac bi ´ ˆ en c ´ ˆ o s ’ o c ´ ˆ ap.

• V´ı du 11 Tung mˆo.t con x´uc x´ ac Ta c´ ˘ o 6 bi ´ ˆ en c ´ ˆ o s ’ o c ´ ˆ ap A1, A2 , A3, A4, A5, A6, trong

¯

d´ o A j l` a bi ´ ˆ en c ´ ˆ o xu´ at hiˆ e.n m˘a.t j ch ´ ˆ am j = 1, 2, , 6.

Go i A l` a bi ´ ˆ en c ´ ˆ o xu ´ ˆ at hiˆ e.n m˘a.t v´’ oi s ´ ˆ o ch ´ ˆ am ch ˜ ˘ an th`ı A c´ o 3 bi ´ ˆ en c ´ ˆ o thuˆ a n l ’ o i l` a

Bi ´ˆen c ´ˆo C ¯d ’o.c go.i l`a t´ıch c’ua hai bi ´ˆen c ´ˆo A v`a B, k´ı hiˆe.u AB, n ´ˆeu C x ’ay ra khi v`a

ch ’i khi c ’a A l ˜ˆan B c`ung x ’ay ra

• V´ı du 12 Hai ng ’u`’oi c`ung b´ ˘ an v` ao mˆ o t con th´ u.

Go i A l` a bi ´ ˆ en c ´ ˆ o ng ’ u`’ oi th ´’ u nh ´ ˆ at b ´ an tr ’ ˘ u ’ o t, B l` a bi ´ ˆ en c ´ ˆ o ng ’ u`’ oi th ´’ u hai b ´ an tr ’ ˘ u ’ o t th`ı

C = AB l` a bi ´ ˆ en c ´ ˆ o con th´ u khˆ ong bi b´ ˘ an tr´ ung.

ix) Bi ´ˆen c ´ˆo hiˆe.u

Hiˆe.u c’ua bi ´ˆen c ´ˆo A v`a bi ´ˆen c ´ˆo B, k´ı hiˆe.u A \ B l`a bi ´ˆen c ´ˆo x ’ay ra khi v`a ch ’i khi A

x ’ay ra nh ’ung B khˆong x ’ay ra

x) Bi ´ˆen c ´ˆo xung kh ´˘ac

Hai bi ´ˆen c ´ˆo A v`a B ¯d ’u ’o.c go.i l`a hai bi ´ˆen c ´ˆo xung kh ´ac n ´˘ ˆeu ch´ung khˆong ¯d `ˆong th`’oi

x ’ay ra trong mˆo.t ph´ep th ’’u

• V´ı du 13 Tung mˆo.t ¯ d ` ˆ ong ti ` ˆ en.

Go i A l` a bi ´ ˆ en c ´ ˆ o xu ´ ˆ at hiˆ e.n m˘a.t x ´ ˆ ap, B l` a bi ´ ˆ en c ´ ˆ o xu ´ ˆ at hiˆ e.n m˘a.t ng ’’ ua th`ı AB = ∅.

Qua c´ac kh´ai niˆe.m trˆen ta th ´ˆay c´ac bi ´ˆen c ´ˆo t ’ˆong, t´ıch, hiˆe.u, ¯d ´ˆoi lˆa.p t ’u ’ong ´’ung v ´’oi

tˆa.p h ’o.p, giao, hiˆe.u, ph `ˆan b`u c ’ua l´y thuy ´ˆet tˆa.p h ’o.p Do ¯d´o ta c´o th ’ˆe s ’’u du.ng c´ac ph´epto´an trˆen c´ac tˆa.p h ’o.p cho c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac bi ´ˆen c ´ˆo

Ta c´o th ’ˆe d`ung bi ’ˆeu ¯d `ˆo Venn ¯d ’ˆe miˆeu t ’a c´ac bi ´ˆen c ´ˆo

3 X ´ AC SU ´ AT ˆ

3.1 ¯ i.nh ngh˜ D ia x´ ac su ´ ˆ at theo l ´ ˆ oi c ’ ˆ o ¯ di ’ ˆ en

2 D¯ i.nh ngh˜ia 5 Gi ’a s ’’ u ph´ ep th ’’ u c´ o n bi ´ ˆ en c ´ ˆ o ¯ d ` ˆ ong kh ’a n˘ ang c´ o th ’ ˆ e x ’ay ra, trong ¯ d´ o c´ o m bi ´ ˆ en c ´ ˆ o ¯ d ` ˆ ong kh ’a n˘ ang thuˆ a n l ’ o i cho bi en c ´ ´ ˆ o A (A l` a t ’ ˆ ong c ’ua m bi ´ ˆ en c ´ ˆ o s ’ o c ´ ˆ ap n` ay) Khi ¯ d´ o x´ ac su ´ ˆ at c ’ua bi ´ ˆ en c ´ ˆ o A, k´ı hiˆ e.u P (A) ¯ d ’ u ’ o c ¯ di.nh ngh˜ia b`˘ ang cˆ ong th ´’ uc sau:

P (A) = m

S ´ ˆ o tr ’ u`’ ong h ’ o p thuˆ a n l ’ o i cho A

S ´ ˆ o tr ’ u`’ ong h ’ o p c´ o th ’ ˆ e x ’ay ra

• V´ı du 14 Gieo mˆo.t con x´uc x´ ac cˆ ˘ an ¯ d ´ ˆ oi, ¯ d ` ˆ ong ch ´ ˆ at T´ınh x´ ac su ´ ˆ at xu ´ ˆ at hiˆ e.n m˘a.t

ch ˜ an ˘

Gi ’ai

Go.i A i l`a bi ´ˆen c ´ˆo xu ´ˆat hiˆe.n m˘a.t i ch ´ˆam v`a A l`a bi ´ˆen c ´ˆo xu ´ˆat hiˆe.n m˘a.t ch˜˘an th`ı

A = A2+ A4+ A6

Ta th ´ˆay ph´ep th ’’u c´o 6 bi ´ˆen c ´ˆo s ’o c ´ˆap ¯d `ˆong kh ’a n˘ang c´o th ’ˆe x ’ay ra trong ¯d´o c´o 3

bi ´ˆen c ´ˆo thuˆa.n l ’o.i cho A

P (A) = 3

6 =

12

• V´ı du 15 Mˆo.t ng ’u`’oi go.i ¯ diˆ e.n thoa.i nh ’ ung la i quˆ en 2 s ´ ˆ o cu ´ ˆ oi c ’ua s ´ ˆ o ¯ diˆ e.n thoa.i c ` ˆ an

go i m` a ch ’i nh ´’ o l` a 2 s ´ ˆ o ¯ d´ o kh´ ac nhau T`ım x´ ac su ´ ˆ at ¯ d ’ ˆ e ng ’ u`’ oi ¯ d´ o quay ng ˜ ˆ au nhiˆ en mˆ o t

l ` ˆ an tr´ ung s ´ ˆ o c ` ˆ an go i.

Gi ’aiGo.i A l`a bi ´ˆen c ´ˆo ng ’u`’oi ¯d´o quay ng ˜ˆau nhiˆen mˆo.t l `ˆan tr´ung s ´ˆo c `ˆan go.i

S ´ˆo bi ´ˆen c ´ˆo s ’o c ´ˆap ¯d `ˆong kh ’a n˘ang c´o th ’ˆe x ’ay ra (s ´ˆo c´ach go.i 2 s ´ˆo cu ´ˆoi) l`a n = A2

Ta c´o

i) P (A) = C

1 4

C1 10

= 25

ii) P (B) = C

2 6

C2 10

= 13

• V´ı du 17 R´ut ng ˜ ˆ au nhiˆ en t`’ u mˆ o t c ˜ ˆ o b` ai t´ u l ’ o kh ’ o 52 l´ a ra 5 l´ a T`ım x´ ac su ´ ˆ at sao cho trong 5 l´ a r´ ut ra c´ o

a) 3 l´ a ¯ d ’o v` a 2 l´ a ¯ den.

b) 2 con c ’ o, 1 con rˆ o, 2 con chu ` ˆ on.

Gi ’aiGo.i A l`a bi ´ˆen c ´ˆo r´ut ra ¯d ’u ’o.c 3 l´a ¯d ’o v`a 2 l´a ¯den

B l`a bi ´ˆen c ´ˆo r´ut ra ¯d ’o.c 2 con c ’o, 1 con rˆo, 2 con chu `ˆon

C5 52

= 845000

2598960 = 0, 3251b) S ´ˆo bi ´ˆen c ´ˆo thuˆa.n l ’o.i cho B l`a C2

13.C1

13.C2 13

P (B) = C

2

13.C131 .C132

C5 52

= 79092

2598960 = 0, 30432

• V´ı du 18 (B`ai to´an ng`ay sinh) Mˆo.t nh´om g ` ˆ on n ng ’ u`’ oi T`ım x´ ac su ´ ˆ at ¯ d ’ ˆ e c´ o ´ıt

nh ´ ˆ at hai ng ’ u`’ oi c´ o c` ung ng` ay sinh (c` ung ng` ay v` a c` ung th´ ang).

Gi ’ai

Go.i S l`a tˆa.p h ’o.p c´ac danh s´ach ng`ay sinh c´o th ’ˆe c ’ua n ng ’u`’oi v`a E l`a bi ´ˆen c ´ˆo c´o ´ıt

nh ´ˆat hai ng ’u`’oi trong nh´om c´o c`ung ng`ay sinh trong n˘am

Ta c´o E l`a bi ´ˆen c ´ˆo khˆong c´o hai ng ’u`’oi b ´ˆat k`y trong nh´om c´o c`ung ng`ay sinh

S ´ˆo c´ac tr ’u`’ong h ’o.p c’ua S l`a

V`ı c´ac biˆen c ´ˆo ¯d `ˆong kh ’a n˘ang nˆen

B ’ang b`ai to´an ng`ay sinh

Ch´u ´y D¯ i.nh ngh˜ia x´ac su ´ˆat theo l ´ˆoi c ’ˆo ¯di ’ˆen c´o mˆo.t s ´ˆo ha.n ch ´ˆe:

i) N´o ch ’i x´et cho hˆe h˜’uu ha.n c´ac bi ´ˆen c ´ˆo s ’o c ´ˆap

ii) Khˆong ph ’ai l´uc n`ao viˆe.c ”¯d `ˆong kh ’a n˘ang” c˜ung x ’ay ra

3.2 ¯ i.nh ngh˜ D ia x´ ac su ´ ˆ at theo l ´ ˆ oi th ´ ˆ ong kˆ e

2 D¯ i.nh ngh˜ia 6 Th ’ u c hiˆ e.n ph´ep th ’’ u n l ` ˆ an Gi ’a s ’’ u bi ´ ˆ en c ´ ˆ o A xu ´ ˆ at hiˆ e.n m l ` ˆ an Khi

• V´ı du 19 Mˆo.t xa th’u b´ ˘ an 1000 viˆ en ¯ da n v` ao bia C´ o x ´ ˆ ap x ’i 50 viˆ en tr´ ung bia Khi

¯

d´ o x´ ac su ´ ˆ at ¯ d ’ ˆ e xa th ’u b an tr´ ´ ung bia l` a 100050 = 5%.

• V´ı du 20 D ¯ ˆ e nghiˆ ’ en c ´’ uu kh ’a n˘ ang xu ´ ˆ at hiˆ e.n m˘a.t s ´ ˆ ap khi tung mˆ o t ¯ d ` ˆ ong ti ` ˆ en, ng ’ u`’ oi

ta ti ´ ˆ en h` anh tung ¯ d ` ˆ ong ti ` ˆ en nhi ` ˆ eu l ` ˆ an v` a thu ¯ d ’ u ’ o c k et qu ’a cho ’’ ´ o b ’ang d ’ u ´’ oi ¯ dˆ ay:

Ng ’u`’oi l`am S ´ˆo l `ˆan S ´ˆo l `ˆan ¯d ’u ’o.c T `ˆan su ´ˆatth´ı nghiˆe.m tung m˘a.t s ´ˆap f (A)

Buyffon 4040 2.048 0,5069Pearson 12.000 6.019 0,5016Pearson 24.000 12.012 0,5005

3.3 ¯ i.nh ngh˜ D ia x´ ac su ´ ˆ at theo quan ¯ di ’ ˆ em h`ınh ho.c

2 D¯ i.nh ngh˜ia 7 X´ et mˆ o t ph´ ep th ’’ u c´ o khˆ ong gian c´ ac bi ´ ˆ en c ´ ˆ o s ’ o c ´ ˆ ap Ω ¯ d ’ u ’ o c bi ˆ eu di ˜ ’ ˆ en

b ’’ oi mi ` ˆ en h`ınh ho c Ω c´ o ¯ dˆ o ¯ do (¯ dˆ o d` ai, diˆ e.n t´ıch, th ’ ˆ e t´ıch) h ˜’ uu ha n kh´ ac 0, bi ´ ˆ en c ´ ˆ o A

Gi ’a s ’’u OA = l C´ac to.a ¯dˆo x v`a y ph ’ai

th ’oa m˜an c´ac ¯di `ˆeu kiˆe.n:

0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, y ≥ x (*)

Bi ’ˆeu di ˜ˆen x v` a y lˆen hˆe tru.c to.a ¯dˆo vuˆong

g´oc C´ac ¯di ’ˆem c´o to.a ¯dˆo th ’oa m˜an (*) thuˆo.c

tam gi´ac OM Q (c´o th ’ˆe xem nh ’u bi ´ˆen c ´ˆo ch ´˘ac

M˘a.t kh´ac, theo yˆeu c `ˆau b`ai to´an ta ph ’ai c´o y − x < x hay y < 2x (**) Nh˜’ung ¯di ’ˆemc´o to.a ¯dˆo th ’oa m˜an (*) v`a (**) thuˆo.c mi `ˆen c´o ga.ch Mi `ˆen thuˆa.n l ’o.i cho bi ´ˆen c ´ˆo c `ˆan t`ıml`a tam gi´ac OM I Vˆa.y x´ac su ´ˆat c `ˆan t´ınh

p = diˆe.n t´ıch OMI

diˆe.n t´ıch OMQ =

12

• V´ı du 22 (B`ai to´an hai ng ’u`’oi g˘a.p nhau)

Hai ng ’ u`’ oi he.n g˘a.p nhau ’’ o mˆ o t ¯ di.a ¯ dı ’ ˆ em x´ ac ¯ di.nh v`ao kho ’ang t`’ u 19 gi`’ o ¯ d ´ ˆ en 20 gi`’ o.

M ˜ ˆ oi ng ’ u`’ oi ¯ d ´ ˆ en (ch ´ ac ch ´ ˘ ˘ an s˜ e ¯ d ´ ˆ en) ¯ di ’ ˆ em he.n trong kho ’ang th`’ oi gian trˆ en mˆ o t c´ ach ¯ dˆ o c

lˆ a p v ´’ oi nhau, ch`’ o trong 20 ph´ ut, n ´ ˆ eu khˆ ong th ´ ˆ ay ng ’ u`’ oi kia ¯ d ´ ˆ en s˜ e b ’o ¯ di T`ım x´ ac su ´ ˆ at

¯

d ’ ˆ e hai ng ’ u`’ oi g˘ a p nhau.

Gi ’aiGo.i x, y l`a th`’oi gian ¯d ´ˆen ¯di ’ˆem he.n c’ua m ˜ˆoi ng ’u`’oi

v`a A l`a bi ´ˆen c ´ˆo hai ng ’u`’oi g˘a.p nhau R˜o r`ang x, y

l`a mˆo.t ¯di ’ˆem ng ˜ˆau nhiˆen trong kho ’ang [19, 20], ta

Diˆe.n t´ıch c’ua mi `ˆen Ω b`˘ang 1

Diˆe.n t´ıch c’ua mi `ˆen A b`˘ang 1 − 2.1

2.2

3.2

3 = 5 9

Vˆa.y P (A) = diˆe.n t´ıch A

diˆe.n t´ıch Ω =

5/9

1 = 0, 555.

3.4 ¯ i.nh ngh˜ D ia x´ ac su ´ ˆ at theo tiˆ en ¯ d ` ˆ e

Gi ’a s ’’u Ω l`a bi ´ˆen c ´ˆo ch ´ac ch ´˘ an Go.i A l`a ho c´ac tˆa.p con c’ua Ω th ’oa c´ac ¯˘ di `ˆeu kiˆe.nsau:

i) A ch´’ua Ω

ii) N ´ˆeu A, B ∈ A th`ı A, A + B, AB thuˆo.c A.

Ho . A th ’oa c´ac tiˆen ¯ d ` ˆ e i) v` a ii) th`ı A ¯ d ’ u ’ o c go i l` a ¯ da i s ´ ˆ o.

iii) N ´ˆeu A1, A2, , A n , l`a c´ac ph `ˆan t ’’u c ’ua A th`ı t ’ˆong v`a t´ıch vˆo ha.n A1+ A2+

+ A n v`a A1A2 A n c˜ung thuˆo.c A.

N ´ˆeu A th ’oa c´ac ¯di `ˆeu kiˆe.n i), ii), iii) th`ı A ¯d ’u ’o.c go.i l`a σ ¯da.i s ´ˆo

2 D¯ i.nh ngh˜ia 8 Ta go i x´ ac su ´ ˆ at trˆ en (Ω, A) l`a mˆo.t h`am P s ´ ˆ o x´ ac ¯ di.nh trˆen A c´o gi´a tri trong [0,1] v`a th ’oa m˜ an 3 tiˆ en ¯ d ` ˆ e sau:

i) P (Ω) = 1.

ii) P (A + B) = P (A) + P (B) (v ´’ oi A, B xung kh ´ ˘ ac).

iii) N ´ ˆ eu d˜ ay {A n } c´o t´ınh ch ´ ˆ at A1 ⊃ A2 ⊃ ⊃ A n ⊃ v`a A1A2 A n = ∅ th`ı

lim

n→∞ P (A n ) = 0.

ii) Hai bi ´ ˆ en c ´ ˆ o A v` a B ¯ d ’ u ’ o c go i l` a hai bi ´ ˆ en c ´ ˆ o ¯ dˆ o c lˆ a p n ´ ˆ eu s ’ u t ` ˆ on ta i hay khˆ ong t ` ˆ on

ta i c ’ua bi ´ ˆ en c ´ ˆ o n` ay khˆ ong ’anh h ’ u ’’ ong ¯ d ´ ˆ en s ’ u t ` ˆ on ta i hay khˆ ong t ` ˆ on ta i c ’ua bi ´ ˆ en c ´ ˆ o kia iii) C´ ac bi ´ ˆ en c ´ ˆ o A1, A2, , A n d ’ ¯ u ’ o c go i ¯ dˆ o c lˆ a p to` an ph ` ˆ an n ´ ˆ eu m ˜ ˆ oi bi ´ ˆ en c ´ ˆ o ¯ dˆ o c lˆ a p

v ´’ oi t´ıch c ’ua mˆ o t t ˆ o h ’ ’ o p b at k` ´ y trong c´ ac bi ´ ˆ en c ´ ˆ o c` on la i.

4 Hˆe qu ’a 1

i) N ´ ˆ eu A1, A2, , A n l` a bi ´ ˆ en c ´ ˆ o xung kh ´ ˘ ac t`’ ung ¯ dˆ oi th`ı

P (A1 + A2+ + A n ) = P (A1) + P (A2) + + P (A n)

ii) N ´ ˆ eu A1, A2, , A n l` a nh´ om c´ ac bi ´ ˆ en c ´ ˆ o ¯ d ` ˆ ay ¯ d ’u xung kh ´ ˘ ac t`’ ung ¯ dˆ oi th`ı

ii) N ´ ˆ eu A1, A2, , A n l` a c´ ac bi ´ ˆ en c ´ ˆ o ¯ dˆ o c lˆ a p to` an ph ` ˆ an th`ı

P (A1+ A2+ + A n ) = 1 − P (A1).P (A2) P (A n ).

• V´ı du 23 Mˆo.t lˆo h`ang g ` ˆ om 10 s ’an ph ’ ˆ am, trong ¯ d´ o c´ o 2 ph ´ ˆ e ph ’ ˆ am L ´ ˆ ay ng ˜ ˆ au nhiˆ en khˆ ong ho` an la i t`’ u lˆ o h` ang ra 6 s ’an ph ’ ˆ am T`ım x´ ac su ´ ˆ at ¯ d ’ ˆ e c´ o khˆ ong qu´ a 1 ph ´ ˆ e ph ’ ˆ am trong 6 s ’an ph ’ ˆ am ¯ d ’ u ’ o c l ay ra ´

Gi ’aiGo.i

A l`a bi ´ˆen c ´ˆo khˆong c´o ph ´ˆe ph ’ˆam trong 6 s ’an ph ’ˆam l ´ˆay ra

C6 10

= 28

210 =

215