Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường tròn c đường kính AB, O là tâm đường tròn c.. Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn c khác CB, gọi T là tiếp điểm, gọi E là giao điểm của AD và O
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Môn : Tóan Thời gian : 150 phút
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Câu 2 : Phân tích biểu thức sau ra thừa số
M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
của một đa thức khác
Câu 4 : Cho biểu thức :
− +
−
+
+
−
+
10 2 : 2
1 3
6
6 4
2 3
2
x
x x
x x x
x x
a) Rút gọn p b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / =
4 3
c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên
Câu 5:
9 Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường tròn ( c ) đường kính AB, O là tâm đường tròn ( c ) Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi
T là tiếp điểm, gọi E là giao điểm của AD và OT
a Đặt DE = x tính theo a, x các cạnh của tam giác OAE, sau đó tính x theo a
(1,0 điểm)
b Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của tam giác đó
- Hết
Trang 2-ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn : Tóan
⇒ a + 1 ≥ 0 ; b + 1 ≥ 0 ; c + 1 ≥ 0
Do đó : ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) ≥ 0
⇔ 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ 0 (1)
Cộng 2 vế của (1) cho 1 + a + b +c + ab + bc + ca Ta có : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 1 + a + b + c + ab + bc + ac
Ta biết : 1 + a + b + c + ab + bc + ac = 2 1 ( 1 + a2 + b2 + c2+ 2a + 2b + 2c + 2 ab + 2 bc + 2 ac ) =
2 1 ( 1 + a + b + c )2 ≥ 0 ( vì a2 + b2 + c2 = 1 )
Vậy abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 0
Câu 2 : Ta có M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) = ( xyz + xy2 + yx2 ) + ( xyz + xz2 + zx2 ) + ( xyz + yz2 + y2Z )
= xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z )
= ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz )
Câu 3 : Ta có thể viết : A = x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 = ( x2 – 3x + k )2 = x4 + 9x2 + k2 – 6x3 + 2kx2 – 6kx
= x4 – 6x3 + ( 9 + 2k )x2 – 6kx + k2
Đồng nhất 2 vế ta có : a = 9 + 2k (1)
b = - 6k (2)
1 = k2 (3)
Từ (3) ta suy ra : k = ± 1
Nếu k = - 1 ; b = 6 và a = 7
Ta có : A = x4 – 6 x3 + 7 x2 + 6 x + 1 = ( x2 – 3 x – 1 )2
Nếu k = 1 ; b = - 6 ; a = 11
Ta có : A = x4 – 6 x3 + 11 x2 – 6x + 1 = ( x2 – 3x + 1 )2
Câu 4 :
a) p =
2
6 : 2
1 2
2 ) 2 )(
2
+
+
−
−
−
x x
Trang 3= x−x−x+ x++x− : x+62 =−x−12 = 2−1x
) 2 )(
2 (
2 )
2 ( 2
b) Với x ≠ 0 ; x ≠ ± 2 thì biểu thức p xác định
/x/ = 4 3 nên x = 4 3 hoặc x = - 4 3
+ Nếu x = 4 3 thì p = 5 4 4 3 2 1 = −
+ Nếu x = - 4 3 thì p = 11 4 4 3 2 1 = +
c) Với p = 7 thì 7 2 1 = −x ⇒ x =
7 13 ( thỏa mãn điều kiện của x )
d) Để p có giá trị nguyên thì 2 - x phải là ước của 1
Từ đó ta có : x = 1 ; x = 3 ;
Vậy để p nguyên lúc đó x = 1 ; x = 3 ;
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường tròn ( c ) đường kính AB, O là tâm đường tròn ( c ), Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi T là tiếp điểm, gọi E là giao điểm của AD và OT
T
D O
B
C
A
H
E
a Đặt DE = x tính theo a, x các cạnh của tam giác OAE, sau đó tính x theo a
(1,0 điểm)
ET ED x
Trang 4Mà
2
2
a
OA
AE a x
a
OE OT TE x
= −
2
2
2
3
( 0)
3
x ax a x ax
ax a
a
x a
⇔ + ÷ ÷= + −
Đáp số:
3
a
x=
b Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của tam giác đó (1,0 điểm)
2
2
OCE
2
2
2 :
OCE OCE
S
OC
∆
OCE
S∆ = EH =