de thi HSG casio 2010

- Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 10 chữ số... Nờu quy trỡnh bấm phớm để được kết quả... Hỏi rằng người đó nhận được số tiền nhiều hơn hay ít hơn bao nhiêu nếu ngân hàng tr

PHềNG GD & ĐT ĐĂKGLONG

Đề thi chính thức Kỳ thi chọn ĐộI TUYểN THI học sinh giỏi tỉnh Giải toán trên máy tính

CASIO Khối 9 THCS - Năm học 2009-2010

Thời gian làm bài: 150 phút - Ngày thi: 12/01/2010.

Chú ý: - Đề thi gồm 5 trang

- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này

- Nếu không nói gì thêm, hãy tính chính xác đến 10 chữ số

Điểm toàn bài thi (Họ, tên và chữ ký)Các giám khảo Số phách

(Do Chủ tịch Hội đồng

thi ghi) Bằng số Bằng chữ

GK1 GK2

Bài 1: (5 điểm) Tớnh giỏ trị của biểu thức:

a) A= 2001 3 + 2002 3 + 2004 3 + 2005 3 + 2006 3 + 2007 3 + 2008 3 + 2009 3 (Kết quả chớnh xỏc)

b)

c)

3sin 4 cot os 2cot 3cos sin cot

3

x tgx gy c y B

x

=

 

 

biết 2sin 3cos 2, 211

5sin 7 cos 1,946





Bài 2: (5 điểm) Cho đa thức 3 2

( ) 8 18 6

g x = x − x + +x a) Tỡm cỏc nghiệm của đa thức g x( )

b) Tỡm cỏc hệ số a b c, , của đa thức bậc ba 3 2

( )

f x = +x ax + +bx c, biết rằng khi chia đa thức f x( ) cho đa thức g x( ) thỡ được đa thức dư là 2

( ) 8 4 5

r x = x + x+ c) Tớnh chớnh xỏc giỏ trị của f(2008)

A =

cosy =

C≈

a) Cỏc nghiệm của đa thức ( )g x là:

x 1 = ; x 2 = ; x 3 =

b) Cỏc hệ số của đa thức ( )f x :

a = ; b = ; c =

Bài 3: (5 điểm)

a/ Tớnh tổng cỏc ước dương lẻ của số D = 8863701824

b/ Tỡm cỏc số aabb sao cho aabb= +(a 1) (a+ ì − 1) (b 1) (b− 1) Nờu quy trỡnh bấm phớm

để được kết quả

Bài 4: (5 điểm) Cho hỡnh thang ABCD (gúc A= gúc D=90o), gúc nhọn

BCD=α,BC=m,CD=n

a) Tớnh diện tớch S, chu vi, AC, BD theo m, n, α

S= CV= AC= BD=

b) Tớnh diện tớch S,chu vi,AC,BD biết m = 4,25;n = 7,56;α = 54o30’

S= CV= AC= BD=

Bài 5: (5 điểm) Cho hỡnh chúp đều O.ABCD cú BC = a, OA = b

a) Tớnh S xung quanh và S toàn phần, thể tớch của O.ABCD theo a, b

S xq =

S tp =

V =

Bài 6: (4 điểm) Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình x3 − 3x+ = 1 0

a/ Tổng cỏc ước dương lẻ của D là:

b/ Cỏc số cần tỡm là:

Quy trỡnh bấm phớm:

Bài 7: (6 điểm) Cho dãy hai số u n và v n có số hạng tổng quát là:

(5 2 3) (5 2 3)

4 3

n

4 5

n

Xét dãy số z n = 2u n+ 3v n (n∈N và n≥ 1)

a) Tính các giá trị chính xác của u u u u1 , , , ; 2 3 4 v v v v1 , , , 2 3 4

b) Lập các công thức truy hồi tính u n+2 theo u n+1 và u n; tính v n+2 theo v n+1 và v n

c) Từ 2 công thức truy hồi trên, viết quy trình bấm phím liên tục để tính u n+2 ,v n+2 và z n+2

theo u n+1 ,u v n, n+1 ,v n (n= 1, 2, 3, ) Ghi lại giá trị chính xác của: z z z z z3, , , ,5 8 9 10

Bài 8: (5 điểm) Một người gửi tiết kiệm 1000 đôla vào ngân hàng trong khoảng thời gian 10

năm với lãi suất 5,5% /năm Hỏi rằng người đó nhận được số tiền nhiều hơn hay ít hơn bao

nhiêu nếu ngân hàng trả lãi suất 5 %

12 / tháng

a) u1 = ;u2 = ;u3 = ;u4 =

v1 = ;v2 = ;v3 = ;v4 =

b) Công thức truy hồi tính u n+2 =

Công thức truy hồi tính v n+2 =

;

Quy trình bấm phím:

Bài 9: (7 điểm) Cho 3 đường thẳng ( ); ( ); ( )d1 d2 d3 lần lượt là đồ thị của các hàm số

2

3

y= x+ y= x− và y= − + 2x 3 Hai đường thẳng ( )d1 và ( )d2 cắt nhau tại A; hai đường thẳng ( )d2 và ( )d3 cắt nhau tại B; hai đường thẳng ( )d3 và ( )d1 cắt nhau tại C

a) Tìm tọa độ của các điểm A, B, C (viết dưới dạng phân số)

b) Tính gần đúng hệ số góc của đường thẳng chứa tia phân giác trong góc A của tam giác ABC và tọa độ giao điểm D của tia phân giác trong góc A với cạnh BC

c) Tính gần đúng diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC Kết quả làm tròn đến 2 chữ số lẻ thập phân

(Cho biết công thức tính diện tích tam giác: ( )( )( ) ,

4

abc

S p p a p b p c S

R

cạnh ; p là nửa chu vi, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác; đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là cm)

MT CASIO - Trang 4

Giải:

a) Tọa độ các điểm A, B, C là:

b) Hệ số góc của đường thẳng chứa tia phân giác trong góc A là:

a≈

Tọa độ giao điểm D:

c) Diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam

giác ABC là:

Bài 10: a) Số P=17712 81 ab Tìm a, b biết a + b=13

a= b=

b) Số Q =15 26849 cd Tìm c, d biết c2 + d2=58

C = d =

c) Số M=1 399025 mn Tìm m, n biết M chia hết cho 9

Hết

m= n=

§¸p ¸ n vµ thang ®iÓm :

§iÓm toµn bµi

1

72, 541, 712, 025

5

sinx= 0,735; cosy= 0, 247

0.040227236

2,0

2833.646608

C ≈ −

1,5

; 2;

5

Theo giả thiết ta có: f x( ) =q g x ( ) 8 + x2 + 4x+ 5, suy ra:

a b c





Giải hệ phương trình ta được: 23; 33; 23

a= b= c=

Cách giải: Nhập biểu thức 3 23 2 33 23

CALC và nhập số 2008 = ta được số hiện ra trên màn hình:

8119577169. Ấn phím − nhập 8119577169 = được − 0.25 Suy ra

giá trị chính xác: f(2008) 8119577168.75 = .

1,5

1,0

1,5

3

a) 8863701824=26×101 1171× 2

Tổng các ước lẻ của D là:

1 101 1171 1171 + + + + 101 1171 1171 + = 139986126

1,0

b) Số cần tìm là: 3388

Cách giải: aabb= 1000a+ 100a+ 10b b+ = 1100a+ 11b= 11 100( a b+ )

Do đó: aabb= +(a 1) (a+ × − 1) (b 1) (b− ⇔ 1) 100a b+ = 11(a+ 1) (b− 1)

Nếu a= ⇒ 0 10b= 11, điều này không xảy ra

Tương tự, nếu b= ⇒ 1 100a+ = 1 0, điều này không xảy ra

Quy trình bấm máy:

100 ALPHA A + ALPHA X − 11 ( ALPHA A + 1 )

( ALPHA X − 1 ) ALPHA = 0

SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 1 = Nhập tiếp giá trị đầu cho

X là 2 = cho kết quả X là số lẻ thập phân

SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 2 = Nhập tiếp giá trị đầu cho

X là 2 = cho kết quả X là số lẻ thập phân

SHIFT SOLVE Nhập giá trị A là 3 = Nhập tiếp giá trị đầu cho

X là 2 = cho kết quả X = 8;

tiếp tục quy trình cho đến khi A = 9

Ta chỉ tìm được số: 3388

1,0

1,0

6 197334 SHIFT STO A

SHIFT Mod( ALPHA A , 793 ) = cho kết quả: 670

SHIFT Mod( ALPHA A x2 , 793 ) = cho kết quả: 62

SHIFT Mod( ALPHA A ^ 3 , 793 ) = cho kết quả: 304

(Lưu ý: A4 vượt quá 16 chữ số, kết quả không còn chính xác

nữa)

SHIFT Mod( ALPHA 304 × 62 , 793 ) = cho kết quả:

609 Tức là: A5 ≡ 609 (mod 793)

SHIFT Mod( ALPHA 606 x2 , 793 ) = cho kết quả: 550

Tức là: 10

550 (mod 793)

550 428 (mod 793); 428 1 (mod 793)

Vậy: 63 3

304 (mod 793)

+ Ta có: 2008 = 33×60 + 28, nên: 2008 ( )60 33 20 8

A = A ×A ×A

( )60 33 33

1 1 (mod 793)

550 367 (mod 793)

( )4

8 2 62 4 367 (mod 793)

2,0

5

Suy ra: A2008 ≡ × 1 367 2 ≡ 672(mod 793) Đáp số: 672.

2,0

7

1 1, 2 10, 3 87; 4 740.

u = u = u = u =

1 1, 2 14, 3 167, 4 1932

v = v = v = v = .

Công thức truy hồi của un+2 có dạng: u n+2 =au n+1 +bu n+2 Ta có hệ

phương trình:

10; 13

87 10 740





Do đó: u n+2 = 10u n+1 − 13u n

Tương tự: v n+2 = 14v n+1 − 29v n

Quy trình bấm phím:

1 SHIFT STO A 10 SHIFT STO B 1SHIFT STO C 14

SHIFT STO D 2SHIFT STO X (Biến đếm)

ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA E

ALPHA = 10 ALPHA B − 13 ALPHA A ALPHA :

ALPHA A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA B

ALPHA = ALPHA E ALPHA : ALPHA F ALPHA = 14

ALPHA D − 29 ALPHA C ALPHA : ALPHA C ALPHA =

ALPHA D ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA F

ALPHA : ALPHA Y ALPHA = 2 ALPHA E + 3 ALPHA F

= = = (giá trị của E ứng với un+2, của F ứng với vn+2, của

Y ứng với zn+2) Ghi lại các giá trị như sau:

675, 79153, =108234392,

z 1218810909, z 13788770710

1,0

1,0 1,0

1,0

2,0

5

Điểm trung bình của lớp 9A là: X A ≈ 7,12; Phương sai:

2 5,58;

A

s ≈ và độ lệch chuẩn là: s A ≈ 2,36.

Điểm trung bình của lớp 9B là: X B ≈ 7,38; Phương sai: 2

4,32;

B

s ≈

và độ lệch chuẩn là: s B ≈ 2,07.

Điểm trung bình của lớp 9C là: X C ≈ 7,39; Phương sai: 2

4,58;

C

s ≈

và độ lệch chuẩn là: s C ≈ 2,14.

1,0

1,0

1,0

3

9

Gọi a là số tháng gửi với lãi suất 0,7% tháng, x là số tháng gửi

với lãi suất 0,9% tháng, thì số tháng gửi tiết kiệm là: a + 6 + x

Khi đó, số tiền gửi cả vốn lẫn lãi là:

6

5000000 1.007 × a× 1.0115 1.009 × x = 5747478.359

Quy trình bấm phím:

5000000 × 1.007 ^ ALPHA A × 1.0115 ^ 6 × 1.009 ^

ALPHA X − 5747478.359 ALPHA = 0

SHIFT SOLVE Nhập giá trị của A là 1 = Nhập giá trị đầu cho

X là 1 = SHIFT SOLVE Cho kết quả X là số không nguyên

Lặp lại quy trình với A nhập vào lần lượt là 2, 3, 4, 5, đến khi

nhận được giá trị nguyên của X = 4 khi A = 5

Vậy số tháng bạn Châu gửi tiết kiệm là: 5 + 6 + 4 = 15 tháng

2,0 2,0

1,0

5

( 3; 4 ,) 15; 3 ; 2 19;

tan 3 tan

3

A= − − −  

 ÷

 

Góc giữa tia phân giác At và Ox là:

µ

tan tan 3 tan

A

−  + =  − + −   

Hệ số góc của At là:

1,5

7

1 1

tan tan 3 tan

a=   − + −   

Bấm máy:

tan ( 0.5 ( SHIFT tan-1 3 + SHIFT tan-1 ( 2 ab/c 3 )

) ) SHIFT STO A cho kết quả:

1.309250386

a≈

+ Đường thẳng chứa tia phân giác At là đồ thị của hàm số:

y ax b= + , At đi qua điểm A( 3; 4) − − nên b= 3a− 4

+ Tọa độ giao điểm D của At và BC là nghiệm của hệ phương

trình:  − = − +ax y2x y+ =3a3 4 Giải hệ pt bằng cách bấm máy nhưng

nhập hệ số a2 dùng ALPHA A và nhập hệ số c2 dùng (−) 3

ALPHA A + 4, ta được kết quả:

D(0,928382105; 1,143235789)

1,0 1,5

c)

AB=  +  + − 

    Tính và gán cho biến A

15 2 19 3

BC=  +  + + 

2 19

CA=  −  + + 

    Tính và gán cho biến C

( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C ) ÷ 2 SHIFT

STO D (Nửa chu vi p)

Diện tích của tam giác ABC:

( ( ALPHA D ( ALPHA D − ( ALPHA A )

( ALPHA D − ( ALPHA B ) ( ALPHA D ) ) SHIFT

STO E

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

4

abc R S

ALPHA A ALPHA B ALPHA C ÷ 4 ÷ ALPHA E SHIFT

STO F

1,0 1,0

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC: r S

p

Diện tích phần hình phẳng giữa đường tròn nội tiếp và đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

S = πR − πr = π R −r

SHIFT π ( ALPHA E x2 − ( ALPHA E ÷ ALPHA D ) x2

46, 44 ( )

1,0