BĐT: Phương pháp xét hiệu hai vế.. BĐT: Phương pháp sử dụng các BĐT 5.. BĐT: Phương pháp làm trội 6.. BĐT: Phương pháp BĐT tam giác 7.. BĐT: Phương pháp phản chứng 8.. BĐT: Một vài phươn
Trang 1NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH Số tiết
A.Đại số
1 Biến đổi Đa thức
2 Phân thức Hữu tỉ
3 BĐT: Phương pháp xét hiệu hai vế.
4 BĐT: Phương pháp sử dụng các BĐT
5 BĐT: Phương pháp làm trội
6 BĐT: Phương pháp BĐT tam giác
7 BĐT: Phương pháp phản chứng
8 BĐT: Một vài phương pháp khác
9 GTNN-GTLN
10 Chứng minh chia hết trong N
a Tính chất chia hết của tổng ,tích
b Đồng dư- Hằng đẳng thức
c Qui nạp
11 Biểu diển thập phân của số tự nhiên
B.Hình học
C
ộ ng
64 4 8 4 4 4 4 4 4 8
4 4 4 4 28 92
* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngồi hai bất đẳng thức Cơ-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tơi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây
1 a2 + b2 ≥ 2 ab (a,b>0) (BĐT Cơ-si)
2 (a +b)2 ≥4ab
2 a + b ≥ a + b
4 + ≥2;a,b>0
a
b b a
5 1 1 4 ; , > 0
+
≥
b a b a
6 a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
y x b a by
y x
b a y
b x
a
+
+
≥
2
z y x
c b a z
c y
b x
a
+ +
+ +
≥ + +
2 2
2 2
b
ca a
bc c
ab
+ +
≥ +
Giải:2A - 2B = 2ab+2bc+2ca −2a−2b−2c
Trang 2=
+
+
b
a a
b c a
c c
a b b
c c
b a
Áp dụng bất đẳng thức + ≥ 2 ; a , b > 0
a
b b
a
.Ta có:2A - 2B ≥a(2−2) (+b 2−2) (+c 2−2) ≥0
.Vậy A ≥B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0
Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1
Chứng minh rằng : 1 2 2 2 ≥ 8
+
+
y x
2
4 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1
y xy x
y x xy y
x xy y
x
xy + + = + + = + + ≥ + +
( 8 )2 =8
+
=
y
1
=
= y x
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức :
a
b b
c c
a a
c c
b b
a22 + 22 + 22 ≥ + +
Giải:
c
a c
b b
a c
b b
a
2 2
2
2
2
2
=
≥
a
b a
c c
b a
c c
b
2 2 2
2 2
2
=
≥
b
c b
a a
c b
a a
c
2 2 2
2 2
2
=
≥ + Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
a
b b
c c
a a
c c
b b
a
a
b b
c c
a a
c c
b b
a
+ +
≥ + +
⇒
+ +
≥
+ +
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2 2
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Tiết 21-24
Ví dụ 12:Cho a > 0 và b > 0
Chứng minh rằng
c b a b a a c c
3 1
1 1
Giải:
c b a c b a b a c a c b b a a
c
c
b+ + + + + > + + + + + + + + = + +
3 1
1 1
1 1
1
Ví dụ 13: Chứng minh:
4
1 1
4
1 3
1 2
1
3 3
3
3 + + + + <
=
n
1 1
1 1
1
2 3
3 < k −k = k k − = k − k k +
Và : ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) 1) ( 1)
2 1
1
1 1
1
1 1
1
+
−
= +
−
−
− +
= +
−
n n
k k k
k
1 1
1 1
1
2 3
3 < k −k = k k − = k− k k+
k = (k− ) (k − k+1)k
1 1
1 2 1
Suy ra: A < − + − + +( − ) − ( +1)
1 1
1
4 3
1 3 2
1 3 2
1 2 1
1 2
1
n n n n
1 1
1 2
1
2
1
<
+
−
=
n n
Trang 3Bài tập áp dụng:
38 Chứng minh:B =
2 1 2
1
3
1 2
1
− + + +
39 Bài 29:Cho C
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
a
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
=
(a,b,c,d >0) Chứng minh rằng :1 < C < 2
40 Chứng minh
2
3 1
1 1
1 1
1
≥ +
+ +
+ +
=
xz yz
xy
3 2 2
2 + y + z ≤
x
HƯỚNG DẪN:
47 Chứng minh:B =
2 1 2
1
3
1 2
1
− + + +
n n
n
B
2
1 2
1
1 2
1 8
1
5
1 4
1 3
1 2
1
+ +
+
+ + +
n n
1 2
1
2
1 8
1
8
1 4
1 4
1 2
1
+
+
+ + +
<
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
1 2
1 2
1
n
>
− +
=
− +
+ + + +
=
48
c b a d
d b
a d c
c a
d c b
b d
c b
a
a C
+ + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
>
c b a d
c d b
a d c
b c a
d c b
a b d
c b a
d a C
+ + +
+ +
+ + +
+ +
+ + +
+ +
+ + +
+
<
49 Áp dụng BĐT 9 ta có 3 ( 2 2 2)
9
z y x
P
+ + +
≥
Trang 4Tiết 25-28
* Với a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác ta cần nhớ các tính chất sau:
• a,b,c là các số dương
• Tổng 2 cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại
• Tỉ số giữa 1 cạnh với 2 cạnh còn lại bé hơn 1
Ví dụ 14:Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh rằng :
c b a b c a a c b c b
a
1 1 1 1
1 1
+ +
≥
− +
+
− +
+
−
+
Giải:
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0;
a + c - b > 0; b + c - a > 0
Áp dụng BĐT 1 1 4 ; , > 0
+
≥
b a b
b b a c b c b
a
2 2
4 1
1
=
≥
− +
+
−
2 1
1
≥
− +
+
−
2 1
1
≥
− +
+
−
+ +
≥
− +
+
− +
+
− +b c b c a a c b a b c a
1 1 1 2 1
1 1
c b a b c a a c b c b
a
1 1 1 1
1 1
+ +
≥
− +
+
− +
+
−
Ví dụ 15:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác Chứng minh rằng :
2
<
+
+ +
+
c a c
b c
b
a
Giải:
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c
⇒
c b a
c a c b
a c
b
a
+ +
+
<
+
⇒
<
a c
b
a c
b
a
+ +
<
+
⇒
<
+
2
c b a
b c
a
b
+ +
<
+
2
;
c b a
c b
a
c
+ +
<
+
2
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM
BÀI TẬP:
50 Chứng minh rằng :
(a + b -c)( a - b + c)(-a + b + c) ≤abc.Với a,b,c là 3 cạnh tam giác
51 Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 < 2 ( a + b + c )
52 Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh rằng
3
≥
− +
+
− +
+
−
c b
c a
b a
c
b
a
53 Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác
Chứng minh rằng
c a c b b
1 ,
1 , 1
cũng là 3 cạnh của 1 tam giác
Trang 5HƯỚNG DẪN :
50 Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên (a + b -c) > 0 Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ;
z = b + c - a Áp dụng bài tập 28 ta có ĐPCM Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c.Hay tam giác đã cho là tam giác đều
51 Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c
⇒ a2 < ab + ac tương tự b2 < bc + ab;c2 <bc+acCộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM
52 Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a Suy ra :
6
≥
+ +
+ +
+
y
z x x
z y z
y
x
53 Ta cần chứng minh
b a c b c
1 1
1
;
c b c a b
1 1
1
;
c a c b b
a+ + + > +
1 1
1
Dựa vào tính chất tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh còn lại ,chứng minh :
b a c b c
1 1
1
bằng cách làm trội 2 lần liên tiếp.Tương tự :
c b c a b
a+ + + > +
1 1
1
;
c a c b b
a+ + + > +
1 1
1
=========o0o==========
Trang 6Tiết 29-32
Ví dụ 14:Cho a2 + b2 ≤ 2 Chứng minh rằng a + b ≤ 2
Giải:
Giả sử : a + b > 2 ( )2 2 2 2 4
>
+ +
= +
2
2
2 +b + ab ≤ a +b ⇒ a +b > ⇒ a +b >
Điều này trái với giả thiết a2 +b2 ≤2.Vậy a + b ≤ 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
Ví dụ 15: Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2 Chứng minh rằng có ít nhất một trong các BĐT sau
là sai:
a(2 - a) > 1; b(2 - b) > 1; c(2 - c) > 1
Giải: Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có: a(2 - a) b(2 - b) c(2 - c)
> 1
Nhưng a(2 - a) = 1 - (a2 - 2a + 1) ≤ 1; tương tự:
b(2 - b) ≤ 1: c(2 - c) ≤ 1 Mâu thuẫn với điều giả sử.Vậy có ít nhất một trong ba BĐT trên là sai
Bài tập áp dụng
54 Cho a + b + c > 0 abc > 0; ab + bc + ca > 0,Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0
55 Cho 3 số dương a , b,c Chứng minh một trong 3 BĐT sau là sai:
2
1
<
+
b
a ; + 1 < 2
c
b ; + 1 < 2
a
c
56 Chứng minh không có các số dương a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau:
4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1
57 Chứng minh không có các số a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau:
;
a c
b − > c−a > b; a − b > c ;
58 Cho ba số dương x,y,z và xyz = 1.Chứng minh nếu:
z y x z y
x+ + > 1 + 1 + 1 thì có một và chỉ một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
59 Cho 4 số dương a,b,c,d Chứng minh không thể đồng thời xảy ra các BĐT sau:
a + b < c + d ; (a + b)(c + d) < ab + cd; (a + b)cd < (c + d)ab
HƯỚNG DẪN :
54 Giả sử a ≤ 0
*Nếu a = 0 Suy ra abc = 0 vô lí
*Nếu a < 0 Suy ra b + c > 0 Do abc > 0 ⇒ bc < 0
⇒ ab + bc + ca < 0.Chứng minh tương tự với b,c
55 Giả sử + 1 < 2
b
c
a c
Thì + 1 + + 1 + + 1 < 6
a
c c
b b
56 Giả sử: 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1
Thì : 64(1 - a)(1 - b) (1 - c) > 1 (*) và (1 - a) > 0; (1 - b) > 0:
(1 - c) > 0
Nhưng 4a(1 - a) ≤ 1; 4b(1 - b) ≤ 1; 4c(1 - c) ≤ 1
Khi đó: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) ≤ 1(**)
(*) mâu thuẫn với (**)
Trang 7• b − c > a ;
>
−
− +
−
⇔
>
−
−
⇔
>
−
• c−a > b; ( )2 2 ( )2 2 0 ( )( ) 0
>
−
− +
−
⇔
>
−
−
⇔
>
−
• a−b > c;⇔(a−b)2 >c2 ⇔(a−b)2 −c2 >0⇔(a−b+c)(a−b−c) >0
Nhân theo vế 3 BĐT này ta suy điều vô lý
Trang 8Tiết 33-36
I CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN :
• Khi chứng minh các BĐT có điều kiện dạng: a1+a2 + +a n ≥m,ta thường dùng ẩn phụ
để đưa bài toán về dạng đơn giản hơn để đánh giá trực tiếp
• Các bước như sau:
1 Dự đoán đẳng thức xảy ra khi nào
2 Đặt
n
m a
x n
m a
x n
m a
x1 = 1 − ; 2 = 2 − ; n = n −
Ví dụ 16: Cho a,b,c thoả mãn: a + b ≥ c ≥ 0
2
1
c b
Giải:
Đặt:
2
c a
x= − ;
2
c b
y = − Vì a + b ≥ 0
Do đó x + y = a + b - c ≥ 0 Ta có:
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
1 2
1
4
1 4
1 2
2
c c
y x c
y
x
c cy y c cx x
c y
c x
b
a
≥ +
+ +
+
=
+ + + +
+
=
+ +
+
=
+
Ví dụ 17: Cho a,b thoả mãn: a3 + b3 ≤ 2
Chứng minh: a + b ≤ 2
Giải:
Đặt: x=a−1; y = b − 1.Ta có: ( ) ( )
1 1
2 2 2
2
3 3
3 3
+ + +
+ +
− +
=
= + + +
= +
y x y
xy x y x
y x
b a
4
3 2
2 2 2
2
≤ + + +
+ +
−
+
0 3
; 0 3 4
3 2
2 2 2
2
≤ +
⇒
≤
+
⇒
≥ +
>
+ +
−
b a y
x
y x y
y
x
BÀI TẬP:
Bài 40:
Đặt: x=a−1; y = b − 1; z = c − 1
Suy ra : x , y , z ∈ [ ] − 1 ; 1 ;x + y + z = 0
Ta có:
2
2
2 + b + c = − z + z +
a
Bài 41:
5
1 1
x x
x x
b
a
x b
x
a
+ +
=
− + +
=
+
−
=
⇒
+
=
Bài 42:
Trang 96 4
3 2
2 2
2 2
+
= + + + +
a
Bài 43:
Đặt c = a + x ⇒ d = b − x
ab x
x b a cd
d
4
3 2
2 2
2
= +
+
Bài 44: Cho a,b thoả mãn:a + b ≥ 2 Chứng minh rằng:
Đặt a = x + 1 ⇒ b = 1 - x.Ta có :
2
1 1
2
2
3 3
3 3 4
4
+
=
− + +
=
−
−
+
x
x
x x
x x
b a
b
a
Bài 47: Cho a , b > 0.Thoả mãn a + b = 1
Chứng minh rằng: 2 2 3 2 ≥ 14
+
+
b a
Bài 48: Cho a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng: ( )( )
2
1 2
+ +
a
Bài 49: Cho a + b = 8 và b ≥ 3
Chứng minh rằng: 27a2 + 10b2 > 945
II MỘT CÁCH KHÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN :
• Dạng: Cho A ≥ B Chứng minh C ≥ D
• Ta chứng minh (C−D) (+ B−A)≥0
• Từ (B−A)≤0⇒(C−D)≥0
Ví dụ 18: Cho a + b ≥ 1 Chứng minh rằng:
2
1
2
2 + b ≥
a
Giải:
0 2
1 2
1 4
1 4
1
1 2
1
2 2
2 2
2
2
≥
− +
−
=
− + +
=
−
− +
a a
b b a
a
b a b
a
Nhưng a + b ≥ 1 nên
2
1
2
2 + b ≥
a Đẳng thức xảy ra khi a = b = 0,5
Ví dụ 19: Cho a,b thoả mãn:a + b ≥ 2 Chứng minh rằng: a3 + b3 ≤ a4 + b4 Giải:
1 1
1 1
1 1
1 1
2
2 2 2
2
3 3
3 3
3 3 4
4
+ +
− + + +
−
=
−
− +
−
−
=
−
−
−
−
− +
−
=
+
− + +
−
+
b b b
a a
a
b b
a
a
b a
b b a
a
b a b
a b
a
Do ( a2 + a + 1 ) > 0và ( b2 + b + 1 ) > 0
Nên ( a4 + b4) ( − a3 + b3) + 2 − ( a + b ) ≥ 0
Mà a + b ≥ 2 Suy ra: a3 + b3 ≤ a4 + b4.Đẳng thức xảy ra khi
Trang 10Bài tập áp dụng Bài 50: Cho x , y là các số dương thoả mãn x3 + y4 ≤ x2 + y3Chứng minh rằng: a) x3 + y3 ≤ x2 + y2
b) x2 + y3 ≤ x + y2
Bài 51:Chứng minh rằng: Nếu a + b + c ≥ 3
Thì a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3
Bài 52: Cho x2 + y2 ≤ x + y Chứng minh rằng: x + y ≤ 2
Bài 53: Cho x3 + y3 = x − y Chứng minh rằng:x2 + y2 < 1
Bài 54: Cho ab ≥ 1 Chứng minh rằng:a2 + b2 ≥ a + b
Bài 55: Cho x2 + y2 ≤ x
Chứng minh rằng: y ( x + 1 ) ≥ − 1
========o0o========
n
n n
n
x x
x
a a
a x
a x
a x
a
+ + +
+ + +
≥ + + +
2 1
2 2
1 2
2
2 2
1
2 1
`
Bài 56: Cho các số dương x,y thoả mãn x + y = 1
Chứng minh rằng: 1 2 2 2 ≥ 8
+
+
y x
xy
Bài 57: Cho các số dương x,y,z,t thoả mãn x + y + z + t = 1 Chứng minh rằng:
16 1 1
1
1
≥ +
+
+
t z
y
x
Bài 58: Cho các số dương a,b,c,d
+
+ + +
+ + +
+ + +
+
a d
b d d c
a c c b
d b b a
c a
Bài 59: Cho các số dương x,y,z Chứng minh rằng:
y x z x z y z y x x z z y
y
1 2
1 2
1 3
1 3
1 3
1
Bài 60: Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = ab + bc + ca.
Chứng minh rằng:
16
3 3 2
1 3
2
1 3
2
1
<
+ +
+ + +
+ +
a