Die Analyse des Zufalls, by H. E. (Heinrich Emil) Timerding pptx

Der Begriff des Zufalls.Was wir als Analyse des Zufalls bezeichnen, bedeutet nichtden Versuch, in das innere Wesen der Zufallsereignisse an sicheinzudringen, es bedeutet vielmehr den Nac

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Title: Die Analyse des Zufalls

Author: H E (Heinrich Emil) Timerding

Release Date: June 6, 2011 [EBook #36310]

Language: German

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK DIE ANALYSE DES ZUFALLS ***

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SAMMLUNG VON EINZELDARSTELLUNGEN AUS DEN BIETEN DER NATURWISSENSCHAFT UND DER TECHNIK

Copyright, 1915, by Fr i e d r V i e w e g & S o h n,

Braunschweig, Germany.

Das Problem des Zufalls ist an sich ein metaphysisches blem Es ist es wenigstens, wenn wir Metaphysik als die Theoriedes Geschehens auffassen Die Behandlung des Zufalls scheintdaher auch nur nach den alten metaphysischen Methoden mög-lich, nämlich so, daß für das Geschehen in der Welt eine inner-liche Erklärung gesucht wird Je nachdem, wie diese Erklärungausfällt, wird die Existenz des Zufalls bejaht oder verneint wer-den Auf diese Weise soll aber das Problem des Zufalls hier nichtbehandelt werden Vielmehr soll gerade die naturwissenschaftli-che Methode auf dieses Problem angewendet werden Diese Me-thode hat im Gegensatz zu der Metaphysik der alten Schulphi-losophie das Bezeichnende, daß sie über den Bereich der Er-fahrung nicht hinausgeht Sie besteht zunächst darin, daß dieErscheinungen, die sich unserer Erfahrung darbieten, sorgfältigbeobachtet und geordnet werden, indem wir verwandte Erschei-nungen zusammenfassen, das Gemeinsame an ihnen heraushe-ben und, wenn wir eine ständige Wiederkehr einer gewissen Ge-meinsamkeit beobachten, diese als eine Gesetzmäßigkeit in denErscheinungen aufzeichnen Nach dieser Methode haben wir ver-sucht auch hier vorzugehen Es handelt sich dann nur darum, dieErscheinungen herauszugreifen, die wir als zufällige bezeichnen,und das Gemeinsame an ihnen zu suchen Dieses Gemeinsame

Pro-würde innerhalb der Grenzen der Beobachtung das Wesen desZufalls ausmachen.

Die naturwissenschaftliche Methode geht aber doch nochweiter, indem sie sich ein bestimmtes Bild von den Vorgängen zumachen sucht, die als von gleicher Art zusammengefaßt werden.Dieses wird erreicht, indem man einen besonders einfachen oderübersichtlichen Vorgang unter den zu einer Gruppe zusammen-gefaßten herausgreift oder indem man zu den wirklich beobach-teten noch einen erdichteten Vorgang, ein schematisches Bild,das alle gemeinsamen Züge der wirklich beobachteten Vorgän-

ge zeigt, hinzufügt Auf der Herstellung solcher schematischerBilder beruht wesentlich die Anwendung der Mathematik aufNaturvorgänge Diese Anwendung der Mathematik bildet auchfür uns den Hauptzielpunkt Deswegen sind wir auch hier auf dieHerstellung schematischer Bilder für die als zufällig bezeichnetenVorgänge angewiesen Auf ihnen baut sich die sogenannte Wahr-scheinlichkeitsrechnung auf, so wie sie sich im Laufe der drei letz-ten Jahrhunderte entwickelt hat Bei dieser Entwickelung sindallerdings lange Zeit auch ontologische Gesichtspunkte maßge-bend gewesen, wenngleich dies selten unumwunden eingeräumtwurde Erst die um die Mitte des vorigen Jahrhunderts (mankann sagen, mit J F Fr i e s’ Versuch einer Kritik der Prinzipi-

en der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Braunschweig 1842) zende Kritik hat nach und nach die ontologischen Bestandteileals solche erkannt und nach Möglichkeit ausgeschieden

einset-Die Begriffe sind aber auch heute noch nicht so geklärt, daßsie keiner weiteren Erörterung mehr bedürfen Deswegen schien

es in der vorliegenden Darstellung geboten, mit der größten sicht vorzugehen und den begrifflichen Erörterungen einen brei-teren Raum zu gewähren So sind, rein äußerlich genommen,

Vor-die mathematischen Entwickelungen nur auf einen kleinen Teildes Buches beschränkt, und hierin liegt vielleicht ein gewisserVorzug, da auf diese Weise auch der Leser, der in der Mathe-matik weniger zu Hause ist, auf seine Rechnung kommen kann,wenn er nur die wenigen Kapitel, welche die eigentlichen ana-lytischen Entwickelungen enthalten, überschlägt Was das Buch

an begrifflicher Klärung zu geben sucht, wird er auch so im len Umfange finden Über ein gewisses Maß hinaus ließen sichleider die mathematischen Ableitungen nicht vereinfachen Ichhabe sie auf das Notwendigste beschränkt und mich bemüht,nur die gewöhnlichsten Elemente der höheren Analysis als be-kannt vorauszusetzen, und wenn jemand sich die Mühe machensollte, das, was er an analytischen Entwickelungen hier findet,durch die Literatur hindurch zu verfolgen, so wird er feststel-len können, daß durch diese kurze Zusammenfassung immerhineine ziemliche Vereinfachung erreicht ist Es ist kaum möglich,ohne eigene ergänzende Arbeit sich durch die unsäglich verwi-ckelten und umfangreichen Ableitungen hindurch zu winden, die

vol-an keiner Stelle vereinigt sind und deren Resultate meist benutztwerden, ohne auf die Ableitung selbst noch einmal einzugehen.Dadurch geht aber die wirkliche Übersicht über den mathemati-schen Gehalt dieser Theorie verloren, und eine solche Übersichtauf möglichst knappem Raum zu geben, schien nicht ohne Ver-dienst zu sein

Es ist vielleicht gut, noch einmal zu wiederholen, daß es sichhier nicht um eine Darstellung des Inhaltes der Wahrscheinlich-keitsrechnung und auch nicht der Disziplin, die wir seit Fe c h -

n e r s grundlegendem Werke als Kollektivmaßlehre bezeichnen,handelt, sondern daß wirklich nur die Klärung eines bestimm-ten Begriffes die Aufgabe sein soll Hierbei schien es nötig, den

rein kritischen Standpunkt möglichst zu wahren, selbst wenn aufdiese Weise die schließlich gewonnenen Resultate in ihrer philo-sophischen Bedeutung hinter den Erwartungen manches Leserszurückbleiben Andererseits darf man doch behaupten, daß sichkaum irgendwo eine Gelegenheit findet, in das Wesen der Dingedurch exakte Methoden so tief einzudringen wie hier Es fragtsich nur, mit welcher Stufe der Erkenntnis man sich zufriedengeben will Je kritischer ein Mensch gestimmt ist, um so be-scheidener und zurückhaltender wird er sein, wenn er sich dasEindringen in die Ordnung der Natur zur Aufgabe macht.

Bei den Grenzen, die dem Umfang der vorliegenden Schriftgesteckt waren, ließ es sich nicht vermeiden, daß manches nurskizzenhaft geblieben ist Vielleicht liegt hierin aber kein zugroßer Fehler, da das Anregen zum eigenen Nachdenken dochdie Hauptaufgabe bleiben muß und die sehr breit gehalteneDarstellung der meisten Untersuchungen über die Grundlagender Wahrscheinlichkeitsrechnung die leitenden Gesichtspunktemanchmal mehr verhüllt als klar hervortreten läßt Die Litera-turangaben, die ich mache, sollen in keiner Weise Vollständigkeitbeanspruchen, sie sollen nur den Anschluß an die neueren li-terarischen Erscheinungen auf dem behandelten Gebiete zuerreichen suchen

Das Buch lag in der Handschrift vollendet vor, als der Kriegausbrach Was wir seither mit tiefer Erschütterung erfahren ha-ben, hat uns eindringlicher als je „des Zufalls grausende Wun-der“ vor Augen geführt, waltet er doch auch in der todbringen-den Wirkung der Geschosse Die Theorie des Zufalls, die wirhier entwickeln, hat in der Tat auf das Schießwesen eine frucht-bare Anwendung gefunden Ich will nur auf die beiden Werke:

S a b u d s k i - E b e r h a r d, Die Wahrscheinlichkeitsrechnung, ihre

Anwendung auf das Schießen und auf die Theorie des ßens, Stuttgart 1906, und K o z a k, Theorie des Schießwesens aufGrundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Fehlertheorie,Wien 1908, verweisen.

Einschie-B r a u n s c h w e i g, im Februar 1915

H E Timerding

Erstes Kapitel: Der Begriff des Zufalls 1

Zweites Kapitel: Die statistische Methode 17

Drittes Kapitel: Stationäre Zahlenreihen 28

Viertes Kapitel: Das „Gesetz der großen Zahlen“ 47

Fünftes Kapitel: Die Theorie der Glücksspiele 66

Sechstes Kapitel: Die mathematische Analyse stationärer Reihen 92

Siebentes Kapitel: Das Urnenschema .123

Achtes Kapitel: Näherungsformeln 142

Neuntes Kapitel: Die statistische Theorie des Zufalls 180

Zehntes Kapitel: Die genetische Theorie des Zufalls 207

N a m e n v e r z e i c h n i s 226

Der Begriff des Zufalls.

Was wir als Analyse des Zufalls bezeichnen, bedeutet nichtden Versuch, in das innere Wesen der Zufallsereignisse an sicheinzudringen, es bedeutet vielmehr den Nachweis, daß auch sie,wenn wir sie in ihrer Gesamtheit fassen, einer bestimmten me-thodischen Behandlung fähig sind, und daß auch in diesen zu-nächst jeder Gesetzmäßigkeit zu spotten scheinenden Ereignis-sen eine gewisse Regelmäßigkeit erkennbar ist, wenn wir nichtdas einzelne Ereignis für sich, sondern den Einfluß aller gleichgearteten Ereignisse auf das Weltgeschehen ins Auge fassen Daßdas Wort Zufall den direkten Gegensatz zu Gesetzmäßigkeit be-deutet, ist wohl die allgemeine Ansicht Wir finden sie z B in

J o h n S t u a r t M i l ls Logik (Buch III, Kap 17) klar sprochen, wo es heißt: „Von Zufall wird gewöhnlich im direktenGegensatz zu Gesetz gesprochen Was, so sagt man, keinem Ge-setz zugeschrieben werden kann, wird als zufällig angesehen Esist indessen gewiß, daß alles, was geschieht, das Resultat einesGesetzes ist, d h die Wirkung von Ursachen, und aus einerKenntnis des Vorhandenseins dieser Ursachen heraus und ihrenGesetzen gemäß vorausgesagt hätte werden können Wenn wireine bestimmte Karte ziehen, ist dies eine Folge von ihrer Lage

ausge-in dem Haufen Ihre Lage ausge-in dem Haufen war eausge-ine Folge von derArt, wie die Karten gemischt wurden oder der Reihenfolge, inder sie bei dem letzten Spiel ausgespielt wurden, und dies wie-der Folgen früherer Ursachen In jedem Stadium wäre es, wenn

wir eine genaue Kenntnis der vorhandenen Ursachen besessenhätten, möglich gewesen, die Wirkung vorauszusagen.

„Ein zufällig eintretendes Ereignis läßt sich besser als einZusammentreffen beschreiben, aus dem wir keine Regelmäßig-keit schließen können, also als das Eintreten einer Erscheinungunter bestimmten Umständen, ohne daß wir Grund haben zuschließen, dieselbe Erscheinung würde unter diesen Umständenimmer wieder eintreten Wenn wir näher zusehen, bedeutet diesaber, daß die Aufzählung der Umstände nicht vollständig war.Was auch das Ereignis sei, wenn alle Umstände sich wiederholen,würde sich auch das Ereignis wiederholen, ja selbst dann, wennnur die Umstände sich wiederholen, auf welche das Ereignis im-mer folgt Mit den meisten der Umstände ist das Ereignis abernicht beständig verknüpft, ihre Verbindung mit ihm heißt dannzufällig Zufällig verknüpfte Ereignisse sind einzeln die Wirkun-gen von Ursachen und deshalb von Gesetzen, aber von verschie-denen Ursachen und solchen, die unter sich durch kein Gesetzverknüpft sind

„Es ist deshalb unrichtig zu sagen, daß ein Ereignis durchZufall herbeigeführt wird, aber wir können sagen, daß zwei odermehr Ereignisse durch Zufall verknüpft sind, daß sie nur durchZufall zusammen bestehen oder aufeinander folgen, d h daß sie

in keiner Weise ursächlich verknüpft sind, daß sie weder Ursacheund Wirkung noch Wirkungen derselben Ursache noch Wirkun-gen unter sich gesetzmäßig verknüpfter Ursachen sind.“

Der Begriff erscheint hiermit zugleich in eine Form bracht, in der er sich mit der durchgängigen Gesetzmäßigkeitalles Naturgeschehens, welche die moderne Wissenschaft an-nimmt, in Einklang bringen läßt Die Auffassung, die J o h n

ge-S t u a r t M i l l hier befürwortet, findet sich schon früher bei

S c h o p e n h a u e r ausgesprochen, der in seinem Hauptwerk DieWelt als Wille und Vorstellung (3 Aufl 1859, Bd 1, S 550)sagt: „Das kontradiktorische Gegenteil, d h die Verneinung derNotwendigkeit ist die Zufälligkeit Der Inhalt dieses Begriffesist daher negativ, nämlich weiter nichts als dieses: Mangel derdurch den Satz vom Grunde ausgedrückten Verbindung Folg-lich ist auch das Zufällige immer nur relativ: nämlich in bezugauf etwas, das nicht sein Grund ist, ist es ein solches JedesObjekt, von welcher Art es auch sei, z B jede Begebenheit inder wirklichen Welt, ist allemal notwendig und zufällig zugleich:notwendig in der Beziehung auf das eine, das ihre Ursache ist;zufällig in Beziehung auf alles übrige Denn ihre Berührung inZeit und Raum mit allem übrigen ist ein bloßes Zusammen-treffen, ohne notwendige Verbindung, daher auch die WörterZufall,sumbebhkìc, contingens So wenig daher, wie ein absolutNotwendiges, ist ein absolut Zufälliges denkbar Denn diesesletztere wäre eben ein Objekt, welches zu keinem anderen imVerhältnis der Folge zum Grunde stände Die Unvorstellbarkeiteines solchen ist aber gerade der negativ ausgedrückte Inhaltdes Satzes vom Grunde, welcher also erst umgestoßen werdenmüßte, um ein absolut Zufälliges zu denken: dieses selbst hätteaber alsdann auch alle Bedeutung verloren, da der Begriff desZufälligen solche nur in Beziehung auf jenen Satz hat, und be-deutet, daß zwei Objekte nicht im Verhältnis von Grund undFolge zueinander stehen In der Natur, sofern sie anschaulicheVorstellung ist, ist alles, was geschieht, notwendig, denn es gehtaus seiner Ursache hervor Betrachten wir aber dieses Einzelne

in Beziehung auf das Übrige, welches nicht seine Ursache ist, soerkennen wir es als zufällig; dies ist aber schon eine abstrakteReflexion.“

Diese „abstrakte Reflexion“, die einerseits den Begriff desZufälligen auf alle Ereignisse ausdehnt, ihn aber anderseits rein

r e l a t i v wendet, indem immer nur ein Ereignis in bezug auf einanderes oder das räumliche oder zeitliche Zusammentreffen zwei-

er Ereignisse als zufällig bezeichnet werden kann, unterliegt aberdoch einigen Bedenken Zunächst nämlich bedeutet der durch-gängige Zusammenhang alles Geschehens nicht, daß zu jedemEreignis ein anderes gefunden werden kann, das von jenem die

„Ursache“ ist, während mit allen anderen Ereignissen kein cher Zusammenhang besteht, sondern die ursächliche Verknüp-fung durchzieht den Bereich aller Vorgänge in der Welt EineAbänderung des Geschehens an irgend einer Stelle würde sich inihren Folgen über die ganze Welt ausbreiten Es ist dies das Prin-zip, das K a n t als Prinzip der Wechselwirkung in aller Schärfeformuliert hat Nach diesem Prinzip würde ein Zufall im stren-gen Sinne des Wortes auch dann unmöglich sein, wenn man denBegriff in der angegebenen Weise nur relativ fassen will Er läßtsich nur so rechtfertigen, daß man durch das Zufallsurteil bloßdas Fehlen einer e n g e r e n kausalen Verknüpfung aussprechenwill, ähnlich wie man bei zwei Menschen sagt, sie seien nichtverwandt, auch wenn sich, indem man weit genug in der Ahnen-reihe zurückgeht, eine genealogische Beziehung zwischen ihnenfinden läßt

sol-Man könnte ferner den Einwand erheben, daß der Begriffdes Zufalls auf diese Weise viel enger gefaßt wird, wie es demallgemeinen Gebrauch des Wortes entspricht Denn dieses sollhier nur auf das Zusammentreffen zweier Ereignisse angewandtwerden, es wird aber ohne Zweifel auch von einem einzelnenEreignis gebraucht Man kann sogar ohne weiteres die erste Be-deutung unter der zweiten als besonderen Fall begreifen, indem

man dann eben das Zusammentreffen zweier bestimmter schehnisse als das Zufallsereignis ansieht Ein jedes Ereignis ist

Ge-ja im Grunde aus verschiedenen Momenten zusammengesetzt,die sich nur nicht immer bequem trennen lassen, so daß es kei-

ne künstliche und willkürliche Ausdeutung ist, wenn man auch

z B den Witterungsumschlag bei Mondwechsel als ein Ereignisansieht

Auf diese allgemeinere Fassung des Begriffes „Ereignis“ alseines beliebigen Ausschnittes aus dem Weltgeschehen läßt sichallerdings die S c h o p e n h a u e rsche Auffassung sofort übertra-gen Sie bedeutet, daß das Ereignis als zufällig bezeichnet wird,wenn in ihm mehrere voneinander unabhängige Kausalreihenzusammenstoßen Ganz in diesem Sinne sagt auch z B C o u r -

n o t (Exposition de la théorie des chances et des probabilités,Paris 1843): „L’idée du hasard est celle du concours de causesindépendantes pour la production d’un évènement déterminé.“

Die Frage bleibt aber: Wie sollen wir die zwei voneinanderunabhängigen Kausalreihen auffassen? Müssen wir nicht sagen,wir nennen die Kausalreihen nur darum voneinander unabhän-gig, weil wir ihren Zusammenhang in dem vorliegenden besonde-ren Falle nicht erkennen können? Dann entspringt das Zufalls-urteil nur einer Unvollkommenheit unserer Erkenntnis, und indieser s u b j e k t i v e n Form sind die Zufallsurteile auch häufigaufgefaßt worden

Schon an der Schwelle der neueren Philosophie hat S p i

-n o z a aus dem allgemei-ne-n Gesetz der Kausalität die Folgeru-nggezogen (Ethik I, Prop 29): „In der Natur gibt es nichts Zufälli-ges.“ In dem Scholion zu Prop 33 sagt er weiter: „Zufällig wirdein Ding nur wegen unserer mangelhaften Erkenntnis genannt.“Danach definiert er den Zufall: „Ein Ding, von dem wir nicht

wissen, ob sein Wesen einen Widerspruch in sich schließt odervon dem wir gewiß wissen, daß es keinen Widerspruch in sichschließt, ohne aber über seine Existenz etwas Sicheres behaup-ten zu können, weil die Ordnung der Ursachen uns verborgenist, ein solches Ding kann uns weder als notwendig noch alsunmöglich erscheinen und darum nennen wir es entweder zu-fällig oder möglich“ (möglich offenbar, wenn seine Wirklichkeitunbekannt ist, zufällig, wenn sein Vorhandensein feststeht) Inähnlichem Sinne sagt H u m e (Philosophical Essays concerninghuman understanding): „Obwohl es nicht so etwas wie den Zufall

in der Welt gibt, so hat doch unsere Unbekanntschaft mit derwirklichen Ursache denselben Einfluß auf die Erkenntnis und er-zeugt eine solche Art von Glauben oder Meinung, als ob es einenZufall gäbe.“

Ob man so den Zufallsbegriff rein subjektiv faßt, indem manihn auf eine Unvollkommenheit unserer Erkenntnis zurückführt,oder ob man ihm eine relative Bedeutung auch im objektivenSinne läßt, indem man nicht unsere mangelnde Einsicht in dasZustandekommen des Ereignisses, sondern bei dem wirklichenZustandekommen eine gewisse Besonderheit, eine gewisse Un-abhängigkeit der verschiedenen Ursachen betont, immer hat derZufall als Gegenteil der Notwendigkeit an sich keine absolute Be-deutung, solange man an dem Kausalitätsprinzip festhält, daßjedes Geschehen in der Welt durch seine Ursachen mit Notwen-digkeit bestimmt ist

Wenn wir aber den landläufigen Gebrauch des Wortes fall ansehen, so ist noch immer nicht der eigentliche Kernpunktberührt Was den Begriff des Zufalls nahelegt, ist nicht das Feh-len einer Ursache, sondern das Mißverhältnis zwischen der Ur-sache und der Wirkung, wenn wir sie nach ihrer Bedeutung für

Zu-uns selbst beurteilen Wenn ein Spieler sein Hab und Gut aufeinen Wurf setzt, so wird es wenig für ihn ausmachen, daß derWürfel nach bestimmten mechanischen Gesetzen seine Bewe-gung ausführt, und daß so auch seine Endlage bestimmt ist DieEinzelheiten bei dem Vorgang des Würfelns sind so geringfü-gig und unkontrollierbar, das Resultat aber ist so bestimmendfür das Wohl und Wehe des Spielers, daß die naturgesetzlicheNotwendigkeit beim Rollen des Würfels ganz außer Betrachtbleibt Das, was wir im Leben Zufall nennen, bedeutet, wennwir an dem naturwissenschaftlichen Standpunkt festhalten, eineden menschlichen Verhältnissen gegenüber empfundene krasseUngleichwertigkeit der Ursache und der Wirkung.

Gerade solche Ereignisse, wo ein ursächlicher hang durch die nach den Grundsätzen der exakten Wissenschaftgeleitete Erfahrung wohl angenommen werden kann, aber dieWirkung eine unverhältnismäßig große ist, wie bei einer Feuers-brunst, die ein vom Winde verwehter Funke hervorruft, gebenjedoch einen neuen Anlaß, den Zufall zu leugnen Diese Leug-nung beruht auf einer Beseitigung der Erklärung alles Weltge-schehens nach den Grundsätzen der kausalen Notwendigkeit undeiner an die Stelle dieser Erklärung tretenden Zwecksetzung inallen Vorkommnissen des menschlichen und außermenschlichenLebens, mit anderen Worten, auf der Vertauschung des ätio-logischen mit dem teleologischen Standpunkt Wenn wir dortvon einer W i r k u n g sprechen, reden wir hier von einer S c h i -

Zusammen-c k u n g Die Ereignisse des Würfelspieles sind typisZusammen-ch zufällig,was das natürliche Zustandekommen betrifft Nach Möglichkeitsind alle Ursachen entfernt, die auf das Eintreten eines bestimm-ten Wurfes hinwirken Und doch, wenn jemand an einem Tagedurch fortgesetzte unglückliche Würfe erhebliche Verluste erlei-

det, sagt er nicht: das war Zufall, sondern: ich habe heute keinGlück An Roulettetischen beobachten die Spieler die Spielerfol-

ge, bis sie selbst mitspielen Sie glauben dann zu finden, daß aneinem Tage eine bestimmte Zahl begünstigt sei und setzen aufdiese Eine solche Begünstigung kann, wenn sie vorhanden ist,offenbar nicht auf denselben Grundsätzen beruhen, auf denenwir die Naturwissenschaft aufbauen Es handelt sich nicht umeinen physikalischen Einfluß (influxus physicus), sondern einemetaphysische Wirkung (influxus metaphysicus) Diese Auffas-sung wird uns in allen Fällen besonders nahegelegt, wo es sich

um Ereignisse handelt, die auf das Leben der Menschen eine schneidende Wirkung ausüben, und wo damit das Mißverhältnis

ein-um so empfindlicher wird zwischen der Bedeutung der Wirkungund der scheinbar sinnlosen Verkettung von Umständen, welchediese Wirkung herbeigeführt haben Wir ersetzen dann die feh-lende Ursache durch einen Grund, der sich unserer Erkenntnisentzieht, den wir nur annehmen und als Schicksal bezeichnen.Diesen Gedanken hat z B G o e t h e, dem sonst die metaphy-sische Spekulation wenig lag, mit großer Liebe gepflegt Er sahdas Walten des Schicksals auch da, wo es scheinbar als Zufallauftritt Was die Menschen so nennen, ist eben Gott, der hierunmittelbar mit seiner Allmacht eintritt und das Geringfügigsteverherrlicht (vgl S i e b e c k, Goethe als Denker, 2 Aufl 1905,

S 143)

Dagegen äußerte schon S p i n o z a über diejenigen, welchealles Geschehen auf den Willen Gottes zurückführen (Ethik I,Anhang): „Es darf nicht unerwähnt bleiben, daß Anhänger die-ser Lehre, welche im Angeben der Z w e c k e der Dinge ihrenScharfsinn zeigen wollen, eine neue Art der Beweisführung auf-gebracht haben, um diese ihre Lehre glaublich zu machen Sie

führen diese nämlich nicht auf die Unmöglichkeit, sondern aufdie Unwissenheit zurück; was zeigt, daß ihnen kein anderes Be-weismittel für diese Lehre zu Gebote stand Wenn z B ein Steinvon einem Dache auf den Kopf eines Menschen fällt und ihn tö-tet, so beweisen sie, der erwähnten Methode gemäß, daß derStein gefallen sei, um den Menschen zu töten, folgendermaßen:Wäre der Stein nicht zu eben diesem Zwecke nach dem Wil-len Gottes heruntergefallen, wie mochten da so viele Umstände(denn oft treffen viele zusammen) durch Zufall zusammentref-fen? Antwortet man, es sei so gekommen, weil der Wind wehte,und weil der Mensch gerade dort vorbeiging, so wenden sie dage-gen ein: Weshalb hat der Wind gerade damals geweht? Warumist der Mensch gerade damals dort vorbeigegangen? Erwidertman darauf: Der Wind fing damals zu wehen an, weil das Meertags zuvor, bei noch ruhigem Wetter, in Bewegung kam, undder Mensch ging damals dort vorbei, weil er von einem Freundeeingeladen war, so wenden sie — da das Fragen keine Grenzenhat — abermals ein: Warum aber kam das Meer in Bewegung?Warum war der Mensch damals eingeladen? Und so werden sienicht aufhören, fort und fort nach den Ursachen der Ursachen

zu fragen, bis man zum Willen Gottes seine Zuflucht nimmt,

d h zum Asyl der Unwissenheit.“

Der Kern des angewendeten Beweisganges wäre sonach der:Wir können in dem Geschehen keinen nach menschlichen Be-griffen vernünftigen Sinn erkennen, wenn wir nicht annehmen,daß eine bestimmte, allerdings uns verborgene Absichtlichkeitund Zweckmäßigkeit in den Begebenheiten liegt, die unser Lebenentscheidend beeinflussen Unter dem Einfluß der Naturwissen-schaften sind wir geneigt, einer solchen Auffassung wenigstens

in ihrer Anwendung auf die Vorgänge in der Natur jede

Berech-tigung abzusprechen, vielmehr suchen wir diese Vorgänge nachanderen Grundsätzen zu erfassen, die sich auf der Vorstellungeines naturnotwendigen Geschehens, d h bestimmter stets wie-derkehrender Zusammenhänge aufbauen K a n t nennt einmal(Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft, S 99)den blinden Zufall und das blinde Schicksal in der metaphy-sischen Weltwissenschaft „einen Schlagbaum für die herrschendeVernunft, damit entweder Erdichtung ihre Stelle einnehme odersie auf dem Polster dunkler Qualitäten zur Ruhe gebettet wer-de“.

Aber wo es sich wie hier und in jeder logischen chung um die Ideenbildung an sich handelt, kann auch die fürdie ganze Lebensauffassung bedeutsame Idee der Schicksalsbe-stimmung nicht außer acht gelassen werden Diese Idee verdanktihren Ursprung wesentlich dem Gefühl der Machtlosigkeit allesmenschlichen Strebens fremden Einwirkungen gegenüber, die imGegensatz zu den planvollen menschlichen Handlungen als sinn-los und unbegreiflich erscheinen Alles Ringen und Streben wirddurch einen tückischen Eingriff äußerer Umstände zunichte ge-macht In diesem Sinne ist es völlig gleichgültig, ob der äußereEingriff einem naturgesetzlichen Geschehen oder einer regello-sen Willkür entspringt Wenn wir in den Folgen des Zusammen-stoßes zweier Eisenbahnzüge die gesetzmäßige Wirkung der alslebendige Kraft bezeichneten physikalischen Größe erkennen, soist das ein geringer Trost für die Verunglückten und ihre Ange-hörigen In den gesetzmäßigen Wirkungen der Natur spielt dieRücksichtnahme auf das menschliche Wohl und Wehe keine Rol-

Untersu-le Der Mensch ist hineingestellt in ein Spiel von Kräften, die sichmit dem Sinn seines Lebens von vornherein nicht berühren

Gerade weil die äußeren Einwirkungen auf das Leben des

Menschen so plötzlich und unerwartet kommen können, weil es

so schwer ist, in ihnen einen Sinn und einen Plan zu cken, werden sie vom naiven Verstande als der Ausfluß einer dermenschlichen Zweckbestimmungen gegenüberstehenden, aber imVergleich zu ihr übermächtigen Entscheidung angesehen Derlandläufige Begriff des Zufalls wird durch den Kausalbegriff imnaturwissenschaftlichen Sinne überhaupt nicht getroffen Er be-zieht sich nur auf die Leugnung der Zweckbestimmung, entwe-der die unmittelbar durch die menschliche Tätigkeit bedingteoder die in das außermenschliche Geschehen nach Analogie dermenschlichen Tätigkeit hineingelegte Zufall oder Schicksal, dasist meistens die Frage, nicht Zufall oder Naturgesetz So sindauch die Überlegungen, die von rein menschlicher Seite her andie Glücksspiele angeknüpft werden, nicht auf physische, son-dern auf metaphysische Zusammenhänge zu beziehen Die Fra-

entde-ge lautet nicht, ob die physikalischen Vorgänentde-ge beim piel, etwa beim Rollen der Roulettekugel, auf einer physikali-schen Gesetzmäßigkeit beruhen oder nicht, sondern um was essich handelt, ist, in den Resultaten des Spieles eine bestimmteSchickung zu sehen, teils das Walten einer ausgleichenden Ge-rechtigkeit, teils ein Bevorzugen bestimmter Glückskinder Vomnaturwissenschaftlichen Standpunkt aus sind solche Zusammen-hänge, die außerhalb des physischen Geschehens liegen, nicht zuverstehen Damit sollen sie nicht von vornherein geleugnet sein,sie müssen nur außer acht gelassen werden, wenn man mit denMethoden der Naturwissenschaft operieren will

Glückss-In welchem Sinne nun auch das Wort Zufall verstandenwird, ob wir es auf das physische Geschehen und sein Erfassenmit den Methoden der modernen Naturwissenschaft, oder ob wir

es auf die aus der Beurteilung des Geschehens nach der

Analo-gie der menschlichen Handlungen entspringende metaphysischeAuffassung beziehen wollen, immer ist die Bedeutung die Leug-nung eines bestimmten Zusammenhanges Z u f ä l l i g i s t e i n

E r e i g n i s , w e n n e s n i c h t a u s a n d e r e n E r e i g n i s s e n

o d e r b e s t i m m t e n , a l s g e g e b e n a n g e s e h e n e n P r ä

-m i s s e n n a c h f e s t e n R e g e l n o d e r n a c h b e s t i -m -m t e n

Ve r n u n f t g r ü n d e n g e f o l g e r t w e r d e n k a n n Die sche und die metaphysische Seite vereinigen sich in der Leugnungdes Zufalls, die metaphysische, indem sie sagt: alles entspringteiner festen Zweckbestimmung, die physische, indem sie den Satzaufstellt: alle Ereignisse folgen aus anderen nach gesetzmäßigenZusammenhängen mit unbedingter Notwendigkeit Was aber Zu-fall und Notwendigkeit im physikalischen Sinne betrifft, so istzunächst zu sagen, daß in dieser Allgemeinheit ausgesprochender Satz „Es gibt keinen Zufall“ wieder über die Grenzen derErfahrung hinausgeht, vielmehr eine Hypothese bedeutet DieseHypothese hat keinen heuristischen Wert, sondern dient nur zurAbklärung des Weltbildes

physi-Wenn nun auch in solchem dogmatischen Sinne der Zufallgeleugnet wird, sei es von einem ätiologischen oder einem te-leologischen Standpunkte aus, so bedeutet dies noch nichts ge-gen die Verwendung des Wortes in einem einfachen pragmati-schen Sinne Wenn wir sagen: „Es ist ein Zufall, wenn sich beiwechselndem Mond das Wetter ändert“, so verbinden wir damiteinen bestimmten Sinn, der weder der Zweckbestimmung in derSchöpfung noch der durchgängigen Kausalität alles Geschehenswiderspricht Wir meinen nämlich damit nur, daß unter den Mo-menten, die wir als bestimmend für die Wetterlage ansehen müs-sen, der Mondwechsel keine Stelle findet Was in dem einzelnenFalle als bestimmend für ein Ereignis oder, wenn man will, als

dessen Ursache auftritt, bedeutet doch immer eine bestimmteGruppe von Erscheinungen, und wir brauchen nicht den ganzenWeltenraum und die ganze Ewigkeit zu durchforschen, um dieseUrsachen für ein Ereignis anzugeben Im Gegenteil beruht je-

de naturwissenschaftliche Erkenntnis darauf, daß wir bestimmtewenige Ereignisse als maßgebend für das Eintreten eines ande-ren Ereignisses herausheben So finden wir als Ursachen für dieAusdehnung der Luft die Steigerung der Temperatur oder dieVerringerung des Druckes und können einen bestimmten gesetz-mäßigen Zusammenhang angeben, der diese drei Größen ver-knüpft, so daß, wenn zwei davon bekannt sind, die dritte sofortgefunden werden kann

Eine solche Bestimmung des Erfolges aus gewissen, durchBeobachtung zu ermittelnden Momenten ist aber z B nichtmöglich, wenn wir angeben sollen, auf welchem Felde der Scheibebeim Roulettespiel die Kugel liegen bleiben wird Darum habenwir ein Recht, dieses Ereignis des Roulettespieles als ein zufäl-liges zu bezeichnen, weil wir den schließlichen Erfolg nicht auseiner bestimmten Gruppe von beobachtbaren Erscheinungen ab-leiten, d h als eine regelmäßig eintretende Folge dieser Gruppevon Erscheinungen erkennen können Aus den beobachtbarenEreignissen, die in diesem Falle die Bedingungen des Spieles bil-den (wohin neben der sorgfältigen Anfertigung des zum Spieldienenden Apparates auch die genaue horizontale Aufstellungder Roulettescheibe und ein genügender Impuls der Rouletteku-gel gehört) folgt nur, daß die Kugel auf einem der Felder lie-gen bleiben muß, aber nicht, auf welchem Felde Demnach wür-

de es, um ein Ereignis als zufällig bezeichnen zu dürfen, gen, wenn a l l e e r f a h r u n g s m ä ß i g f e s t s t e h e n d e n U m -

genüs t ä n d e , d i e b e i e i n e m E r e i g n i genüs i n B e t r a c h t k o m

Zufalls-Wir müssen aber nach allem, was wir bis jetzt entwickelthaben, sagen, ein Ereignis könne ebensogut eintreten wie aus-bleiben, wenn aus allen b e o b a c h t b a r e n Umständen, die beidiesem Ereignisse in Betracht kommen, noch nicht geschlossenwerden kann, daß das Ereignis eintreten wird Auf diese Weisevermeiden wir sowohl jede metaphysische Färbung als auch ei-

ne rein subjektive Fassung des Möglichkeitsbegriffes Allerdingsmüssen wir betonen, daß der Begriff der empirischen Bestimm-barkeit ein unsicherer und schwankender ist Was heute nochnicht bestimmbar ist, kann es morgen werden Umstände brau-chen nicht unmittelbar beobachtbar zu sein, damit wir ihneneinen bestimmten Charakter, nämlich den gleichen Charakter,den wir an unmittelbar beobachtbaren Umständen festgestellthaben, zuschreiben Die Analogiebildung spielt eine wesentlicheRolle in der naturwissenschaftlichen Erkenntnis und ist nicht zuentbehren Die Vorgänge im lebenden Körper sind zum größtenTeil unbestimmbar, aber wir zweifeln nicht, daß sie von derselbenArt sind wie andere Vorgänge, die wir kennen Unbestimmbar zusein, bedeutet an sich keinen besonderen und einheitlichen Cha-rakter Es tritt immer der Gedanke hinzu, ob wir uns ein Bildmachen können von Vorgängen, die, wenn wir sie beobachtenkönnten, das Ereignis als aus ihnen ableitbar erscheinen ließen

Beim Roulettespiel sind solche Vorgänge nicht vorhanden, wasgeschieht, ist unmittelbar zu beobachten Die Kugel liegt offenauf der Scheibe und wird dadurch in Bewegung gesetzt, daß dieScheibe selbst durch einen ihrer Achse mitgeteilten Impuls inrasche Drehung versetzt wird Wir könnten allerdings aus derStärke des Impulses, wenn sie uns genau bekannt wäre, die Be-wegung der Kugel und ihre Endlage nach den Grundsätzen derMechanik ableiten, aber die Entscheidung, auf welchem Feldedie Kugel liegen bleiben wird, hängt von solchen geringen Dif-ferenzen des Impulses und von Fall zu Fall wechselnden kleinenbesonderen Vorgängen bei der Bewegung der Kugel auf der ro-tierenden Scheibe ab, daß sie sich jeder Bestimmung entzieht.Daher haben wir hier wirklich den Typus des zufälligen Ereig-nisses vor uns.

Wir können nun andere Vorgänge bilden, die den beim lettespiel vorliegenden gleichartig sind, dahin gehören die Zie-hungen der Lose bei den Lotterien oder die Ziehungen einerKugel aus einer Urne, die Kugeln von verschiedener Farbe ge-mischt enthält, das Würfeln mit einem oder mehreren Würfelnund dergleichen mehr Solche Vorgänge sind es, auf denen wirdie Glücksspiele aufbauen Wo diese Vorgänge nicht willkürlichzum Zweck des Glücksspiels herbeigeführt werden, aber doch ei-

Rou-ne dem Glücksspiel ähnliche Abmachung getroffen wird, sprichtman bekanntlich nicht von einem Spiel, sondern von einer Wette

Es liegt in der Natur der Sache, daß eine Wette auch da gen kann, wo die hauptsächlichste Bedingung eines Glücksspie-les, die vorherige Unbestimmbarkeit des Erfolges, nicht erfülltist In vielen Fällen ist sie es aber, z B wenn bei einer Seefahrtauf die letzte Ziffer in der Anzahl der an einem bestimmten Ta-

vorlie-ge zurückvorlie-gelegten Seemeilen vorlie-gewettet wird Diese letzte Ziffer

hängt in der Tat von unbestimmbaren Einflüssen ab.

Fassen wir das allgemeine Ergebnis, zu dem wir vorläufiggelangt sind, kurz zusammen, so ist es dieses, daß sich, auchwenn wir von einer durchgängigen Kausalität alles Geschehensausgehen, gewisse Ereignisse herausheben, die wir als zufälligebezeichnen dürfen Ein wesentliches Merkmal dieser Ereignis-

se ist, daß wir vorher nicht entscheiden können, ob sie ten werden oder nicht, daß sie also vor ihrem Eintreten nur alsmöglich, aber auf keine Weise als notwendig erscheinen Es sindsolche Ereignisse, bei denen die uns mögliche ursächliche Be-stimmung, selbst wenn wir sie über die unmittelbare Erfahrunghinaus durch Analogiebildung ergänzen, als nicht ausreichendbefunden wird

eintre-Die statistische Methode.

Erscheint als das Bezeichnende der zufälligen Ereignisse nächst die Unmöglichkeit einer vollständigen kausalen Erklärungund damit einer Voraussage ihres Eintretens, wenn alle beob-achtbaren Bedingungen des Ereignisses bekannt sind, so wirdman sagen, dann hat das Zufällige überhaupt den Charakterder Unerkennbarkeit Es lohnt nicht, weiter darüber zu reden.Und doch erweisen sich die Zufallsereignisse als eine Quelle sehrweitgehender Betrachtungen, selbst dann, wenn wir außerstandesind, den Zusammenhang des Geschehens in ihnen vollständig

zu-zu durchschauen

Diese Betrachtungen gehen davon aus, daß wir in den fallsereignissen eine gewisse innere Gleichartigkeit zu erkennensuchen Das gibt uns die Möglichkeit, sie uns durch Analogiebil-dung näher zu rücken Wir greifen gewisse typische Ereignisseunter ihnen heraus, bei denen die Gesamtheit der beobachtba-ren Bedingungen willkürlich geschaffen werden Diese Ereignissesind die G l ü c k s s p i e l e Wir schaffen uns so aus den Glückss-pielen ein Mittel, um die Besonderheit der Zufallsereignisse all-gemein zu beurteilen Wir vergleichen die Zufallsereignisse mitGlücksspielen, indem wir das Wort Vergleich aber nicht im poe-tischen Sinne, sondern im Sinne der Zusammenstellung zahlmä-ßiger Resultate verstehen

Zu-Von vornherein erscheinen zwei Wege gangbar, um der genart des Zufälligen näher zu kommen Entweder man sucht

Ei-sich einen Mechanismus des Geschehens zu denken, der im sultat mit den beobachteten Zufallsereignissen übereinstimmt,und überträgt das innere Wesen dieses Mechanismus auf alle Zu-fallsereignisse Das wollen wir eine g e n e t i s c h e Erklärung desZufalls nennen Oder aber man stellt nur die Ereignisse zusam-men, die bei der statistischen Zählung gleiche Resultate liefern,ohne weiter auf ihr Zustandekommen einzugehen Man hält nurdas im statistischen Ergebnis Gleichartige nebeneinander undsieht mit diesem Nebeneinanderhalten die Aufgabe als erledigt

Re-an Dies Verfahren wollen wir als die s t a t i s t i s c h e Methodebezeichnen

Auf den ersten Weg deutet W Wu n d t in seiner Logik(1 Bd., 5 Abschn., 1 Kap., 3c) hin, der zunächst die Bedeu-tung des Zufalls als einer Durchbrechung der Notwendigkeit desGeschehens hervorhebt

Er betont, daß es doch eine Auffassung gibt, die eine senschaftliche Theorie des Zufälligen ermöglicht Kurz gesagtist diese Auffassung die, daß wohl auch das Zufällige auf einerdurchgängigen Kausalität beruht, daß aber bei einem zufälligenEreignis die Ursachen wenigstens teilweise einen solchen beson-deren Charakter haben, daß sie sich unserer Beobachtung ent-ziehen Von der wirklichen kausalen Entstehung des zufälligenEreignisses sind daher bestimmte Aussagen zu machen, und wirkönnen von einem objektiven Charakter der zufälligen Ereignissesprechen, ohne daß wir darum den Gedanken einer durchgängi-gen Kausalität aufgeben

wis-Auf diese Weise scheint die Schwierigkeit völlig gehoben.Wir finden eine Betrachtung, die den Grundsätzen der naturwis-senschaftlichen Forschung nicht widerspricht und die uns dochdie Möglichkeit gibt, den Begriff des Zufälligen auch in einer ob-

jektiven Bedeutung zu erhalten Damit scheint diese genetischeBetrachtung des Zufalls, die auf das wirkliche Zustandekommender als zufällig erscheinenden Ereignisse eingeht, ihre Bedeutungund ihre Berechtigung zu erweisen Es erhebt sich nur die Fra-ge: Wie können wir denn über solche Ursachen urteilen, die sichunserer Beobachtung völlig entziehen? Nach Wu n d t s Darstel-lung handelt es sich dabei um eine Hypothese Nehmen wir dasVorhandensein solcher Ursachen an, so können wir nach denGrundsätzen der Logik und der allgemeinen Erfahrung die wirk-lich beobachteten Verhältnisse erschließen Dies geht allerdingsnicht ohne eine ziemlich umständliche mathematische Entwicke-lung, und Wu n d t s Darstellung scheint nur eine Zusammen-fassung der Grundgedanken dieser von B e s s e l herrührendenAbleitung, die uns später noch beschäftigen wird, zu bedeuten.Die B e s s e lsche Ableitung bezieht sich aber auf ganz be-sondere Erscheinungen, nämlich die Abweichungen der bei derBestimmung einer physikalischen Größe gefundenen Zahlenwer-

te voneinander Der Begriff des Ereignisses scheint hier haupt nicht zu passen, es handelt sich sozusagen nur um eineBegleiterscheinung der wirklichen Ereignisse, nämlich der Beob-achtungen Daher rührt es wohl auch, wenn Wu n d t äußert,der Zufall könne niemals als selbständiges Phänomen, sondernimmer nur als individuelle Abänderung einer gesetzmäßig be-stimmten Erscheinung vorkommen Diese Bedeutung würde denGeltungsbereich des Zufälligen nun erheblich einschränken, denn

über-es wäre ein solchüber-es Zufallsereignis wie die Tötung einüber-es gehenden durch einen herabfallenden Ziegel oder die Tötung ei-nes Soldaten durch den Hufschlag eines Pferdes schwer in diesesSchema zu bringen

Vorüber-Indes ist die B e s s e lsche Hypothese nicht auf die

Erklä-rung der Beobachtungsfehler bei physikalischen Messungen schränkt, sie läßt sich dem Grundgedanken nach in viel weite-rem Umfange anwenden Die Hypothese ist im wesentlichen die,daß ein typisch zufälliges Ereignis auf sehr vielen Einzelumstän-den beruhe, die selbst von vornherein unbestimmt sind, daß dasschließliche Endergebnis nur die Frucht einer großen Anzahl vor-ausgehender Erscheinungen sei, die alle voneinander unabhängigsind Die Natur des Zufallsereignisses wird dadurch aber immernoch viel enger umgrenzt als früher, wo nur zwei voneinanderunabhängige Kausalreihen bestehen mußten, während jetzt sehrviele voneinander unabhängige Umstände in dem Ereignis zu-sammenwirken sollen.

be-Wir würden daher so den Bereich des Zufälligen von herein enger bestimmen, als es gerechtfertigt erscheint Wie ge-langen wir nun aber zu einer anderen, allgemeineren Methode, indie Natur der zufälligen Ereignisse einzudringen? Zu dem Zwe-cke müssen wir, wenn wir sagen, ein Zufallsereignis sei durchdie feststellbaren Ursachen nicht völlig bestimmt, uns fragen,was überhaupt innerhalb der Grenzen der Erfahrung bedeutet,wenn wir von Umständen sprechen, die in dem Verhältnis vonUrsache und Wirkung einen Erfolg bestimmen Damit kann nurgemeint sein, daß, wo wir diese Umstände zusammen beobach-ten, stets auch der Erfolg zu beobachten ist Nur an die tatsäch-liche Verbindung in allen beobachteten Fällen ist gedacht Wennalso, wie beim Zufallsereignis, durch die feststellbaren Ursachendas Ereignis nicht völlig bestimmt ist, so bedeutet das, daß inden Fällen, wo diese Ursachen zusammen beobachtet sind, dasEreignis bisweilen eingetreten, bisweilen aber auch ausgebliebenist

vorn-Wir können, um noch klarer zu sein, diese Feststellung in

zwei zerlegen Die eine bedeutet, daß unter den in Betracht menden Umständen, welche die Gesamtheit der beobachtbarenUrsachen des Zufallsereignisses darstellen, dieses Ereignis wirk-lich wenigstens einmal eingetreten ist Die zweite Feststellungbedeutet, daß das Ereignis unter den in Betracht kommendenUmständen auch wenigstens einmal ausgeblieben ist Quidquidexistit contingenter, aliquando non existit, ist ein alter Schul-satz Das Feststellen einer solchen einfachen Tatsache würde al-lerdings an sich noch keine Statistik sein, die Statistik erscheinterst da, wo man z ä h l t, wie oft ein Ereignis eingetreten ist.Man wird nun sagen, die Häufigkeit ist für die Tatsache derMöglichkeit, um die es sich hier allein handelt, gänzlich bedeu-tungslos Was einmal geschehen, ist schon möglich Wie oft eswieder geschieht, ist gleichgültig, außer wenn es in allen in Be-tracht kommenden Fällen zu beobachten ist Dann würde sichdie Möglichkeit in die Gewißheit verwandeln.

kom-Aber der Gedanke, daß in allen Fällen es gerade von Wertist, zu erfahren, wie oft verhältnismäßig unter den gegebenenUmständen ein bestimmtes Ereignis eingetreten ist, bietet sichvon selbst dar S i g w a r t formuliert diesen Gedanken in seinerLogik (Bd II, Tl III, S 406) mit den Worten: „In der statisti-schen Zählung sind zwar die etwaigen individuellen Differenzen,durch die jedes Ding einzig in seinen bestimmten Eigenschaf-ten sich von allen anderen unterscheidet, untergegangen, aberdas Einzelne hat doch noch insofern sein Recht gefunden, als

es nicht bloß als gleichgültiger Repräsentant eines allgemeinenBegriffes, sondern in seiner numerischen Unterschiedenheit vonallen anderen beachtet ist.“ Der hierdurch gemachte Fortschrittist durchaus dem zu vergleichen, den in der Naturwissenschaftder Übergang von der bloßen Feststellung eines Zustandes zu

seiner zahlmäßigen Bestimmung bedeutet Wenn ein Ereignis in

90 von 100 Fällen eingetreten ist, so werten wir die Möglichkeitanders, als wenn wir es unter 100 Fällen nur einmal beobachtethaben

Die Statistik, zu der wir so gelangen, betrifft statistischeVerhältniszahlen, d h es wird aufgezeichnet, wie oft unter be-stimmten Umständen, also in einer bestimmten Gruppe von Er-scheinungen, ein Ereignis eingetreten ist, wobei es sich zunächstnur um die relative Häufigkeit, nicht aber um die absolute An-zahl des Vorkommens handelt Nun erhebt sich aber sofort dieFrage, die den Kernpunkt alles folgenden bildet: Nehmen wir

an, wir haben die relative Häufigkeit nicht bloß aus einer Serievon Beobachtungen festgestellt, sondern wir haben mehrere Rei-hen von Beobachtungen benutzt und aus jeder die relative Häu-figkeit bestimmt Dann fragt es sich, ob wir ganz verschiedeneWerte der relativen Häufigkeit bei den einzelnen Bestimmungen

zu erwarten haben oder ob sich zwar nicht genau, aber dochangenähert derselbe Wert bei den verschiedenen Bestimmun-gen ergeben wird In dem einen Falle erweisen sich die festge-stellten Werte der relativen Häufigkeit als gänzlich unbrauchbarzur Charakterisierung des beobachteten Ereignisses im allgemei-nen, in dem anderen Falle dagegen können wir dem regelmäßigwiederkehrenden Werte der relativen Häufigkeit eine bestimm-

te Bedeutung für das Ereignis an sich zusprechen Wir können

es als eine Eigentümlichkeit des Ereignisses ansehen, daß es mitdieser relativen Häufigkeit auftritt, während sonst die relativeHäufigkeit nur eine Bedeutung innerhalb der räumlichen undzeitlichen Begrenzung, der die beobachteten Fälle entsprechen,besitzt Wenn wir also etwa in regelmäßigen Zeitabschnitten dievorgekommenen relativen Häufigkeiten notieren, so fragt es sich:

nähern sich die aufgezeichneten Verhältniszahlen alle einem stimmten Werte oder läßt sich in ihnen eine systematische Ver-änderung beobachten? Es ist z B bekannt, daß die relative Häu-figkeit der Selbstmorde zunimmt, dagegen scheint es zweifelhaft,

be-ob eine ähnliche systematische Veränderung in dem Verhältnisder Anzahlen von männlichen und weiblichen Selbstmördern zubeobachten ist

Hierin liegt eine erste Scheidung der statistischen niszahlen begründet Je nachdem, ob wir in ihnen eine systema-tische Veränderung beobachten oder nicht, werden wir von zufäl-ligen oder durch bestimmte Ursachen hervorgerufenen Schwan-kungen sprechen D e r Z u f a l l w ü r d e s o i n d e r S t a t i s -

Verhält-t i k u n m i Verhält-t Verhält-t e l b a r z u Verhält-t a g e Verhält-t r e Verhält-t e n

Der große Vorzug, der in einer solchen statistischen mung des Zufalls liegt, besteht darin, daß wir nicht mehr ge-zwungen sind, auf die Einzelheiten beim Zustandekommen desEreignisses einzugehen, die in den meisten Fällen unserer Er-kenntnis verschlossen sind und nur aus mehr oder minder unbe-stimmten Vermutungen heraus beurteilt werden, sondern viel-mehr uns an bestimmte Tatsachen halten können

Bestim-Nun ist aber klar, daß solche Schwankungen, die wir alszufällige bezeichnen, nicht bloß bei statistischen Verhältniszah-len auftreten können, sondern überhaupt, wo eine statistischeAufzeichnung vorliegt Wenn wir nämlich eine solche Reihe vonstatistischen Zahlen uns vor Augen halten oder am besten sie

in einer Kurve oder Staffel graphisch darstellen, so ten wir bald, daß neben systematischen Veränderungen auch einregelloses Hin- und Herschwanken auftritt Ein solches Schwan-ken werden wir wieder als zufällig bezeichnen Allerdings ist eseine besondere, vielleicht nicht immer lösbare Aufgabe, die zu-

beobach-fälligen Schwankungen richtig herauszuschälen Unter der aussetzung, daß dies gelingt, zeigt sich nun aber, daß das unbe-stimmte und meistens auf bloßen Vermutungen beruhende Tren-nen der Ursachen in systematische und zufällige ersetzt wirddurch ein quantitativ auf Grund gemessener oder gezählter Zah-lenwerte ausführbares Scheiden der systematischen und der zu-fälligen Veränderungen Wir können also der Methode der exak-ten Naturwissenschaft treu bleiben, nur auf Grund bestimmterMessungen und bestimmter, nach festen Regeln an diese Mes-sungen geknüpfter Berechnungen vorzugehen.

Vor-So werden wir darauf geführt, die Analyse statistischer bellen nach bestimmten besonderen Gesichtspunkten als unsereAufgabe anzusehen Hierbei erweist sich nicht einmal der Ur-sprung der Tabelle aus einer statistischen Zählung als entschei-dend, vielmehr würden auch Tabellen, die auf Messungen einerund derselben physikalischen Größe beruhen, möge diese Größenun veränderlich sein oder nicht, einer ganz analogen Analysezugänglich sein

Ta-Bevor wir an diese Untersuchung gehen, scheint die

Fra-ge Fra-gerechtfertigt, welche Resultate wir von ihr erwarten dürfen.Dadurch, daß wir, statt auf das innerliche Zustandekommen derZufallsereignisse einzugehen, nur ihre äußerliche Verteilung insAuge fassen, geben wir, scheint es, die Hoffnung auf ein Eindrin-gen in das innere Wesen des Zufälligen auf Über dieses Wesenkönnen wir ja keine Auskunft erhalten, wenn wir nichts anderesaufzeichnen, als wie oft innerhalb einer gewissen Gruppe einzel-ner Fälle das in Rede stehende Ereignis eingetreten und ausge-blieben ist

Der Ausweg ist eben der, daß wir in der Verteilung, die unsdie statistische Erhebung offenbart, doch in gewissem Sinne ein

Merkmal der Zufallsereignisse erkennen können Es ergeben sichgewisse Verteilungen, die typisch für die zufälligen Ereignissesind Darin liegt, daß wir aus der übereinstimmenden Verteilungauch auf eine innere Verwandtschaft der beobachteten Ereignisseschließen Ist dieser Schluß aber berechtigt? Das bleibt unent-schieden und muß unentschieden bleiben, weil wir in den Me-chanismus des Geschehens nicht eindringen können Aber auch

in der bloßen Analogiebildung liegt eine gewisse Erklärung Wirmachen uns eine Erscheinung schon begreiflich, wenn wir eineandere Erscheinung finden, die sich in derselben Weise äußerlichoffenbart wie die erste Alles Erklären ist im Grunde ein Ver-gleichen Der Vergleich kann im vorliegenden Falle einerseits sogeführt werden, daß wir nur die Erscheinungen zusammenfassen,die eine gleiche oder verwandte Verteilung zeigen; andererseitskönnen wir aber auch gewisse typische Erscheinungen heraus-greifen, deren innerer Organismus uns leidlich klar erscheint undnach ihnen die Erscheinungen mit verwandter Verteilung beur-teilen Solche typische Erscheinungen sind die Glücksspiele Wirwürden danach als zufällige Ereignisse solche zu bezeichnen ha-ben, bei deren statistischer Verfolgung sich dieselbe Verteilungder Ergebnisse wie bei den reinen Zufallsspielen herausstellt Fürdie Glücksspiele kann man aber als zweckmäßig ein bestimmtesSchema wählen, und dieses wird fast immer durch die Ziehun-gen aus einer Urne, in der Kugeln von verschiedener Farbe ge-mischt enthalten sind, gebildet Die Beurteilung der Zufallser-eignisse nach diesem Urnenschema würde so das letzte Stadiumder Untersuchung sein Welchen Wert man ihr beimessen will,bleibt in gewisser Weise dem freien Belieben überlassen Jeden-falls scheint es kein anderes Verfahren zu geben, um in einwand-freier Weise dem Charakter des Zufälligen nachzuspüren Die

Betrachtungen, zu denen dieser Gedankengang führt, hat manfür solid genug zu halten, um darauf die Erforschung sowohlder Vorgänge in den kleinsten Teilen der Materie als auch derVerteilung der Himmelskörper im Weltenraum zu gründen.

Eines aber wird geltend gemacht werden und verdient gleich hervorgehoben zu werden Indem man zur statistischenZählung übergeht, verschwindet das einzelne Ereignis und dieBetrachtung bezieht sich nur auf die statistische Gesamtheit.Die gewählte Behandlungsweise setzt so voraus, daß es nicht daseinzelne Ereignis ist, worauf wir unser Interesse lenken, daß wirvielmehr erst in der Gesamtheit der zusammengefaßten Ereig-nisse den Gegenstand unserer Überlegung sehen So ist in demangeführten physikalischen Beispiel nicht die Bewegung des ein-zelnen Moleküls der Zielpunkt der Untersuchung, sondern wiesich aus einer bestimmten Verteilung der Bewegungen aller ein-zelnen Moleküle die beobachtbaren Eigenschaften und Zuständedes ganzen Körpers ergeben In dem anderen Beispiele, das derAstronomie angehört, handelt es sich nicht um die Lage deseinzelnen Fixsterns, sondern um die Verteilung aller Fixsterne

so-im Weltenraum Ebenso ist bei den Untersuchungen über dieErscheinungen in der menschlichen Gesellschaft, die auf zah-lenmäßiger Grundlage möglich sind, nicht das einzelne Indivi-duum der Gegenstand der Betrachtung, sondern eben die Ge-samtmasse der Bevölkerung Das Wohl und Wehe des einzelnenverschwindet und nur das Los der Allgemeinheit ist es, was inder Untersuchung zutage tritt Man kann es vermissen, daß sodie Aufklärung des einzelnen Zufallsereignisses an sich, die nurdurch ein Eingehen auf seine individuelle Besonderheit möglichist, durch die statistische Methode nicht gegeben wird Man wirdaber erkennen, daß doch das wahre, kardinale Problem berührt

wird Denn dieses Problem ist das, wie sich auf der barkeit und anscheinenden Regellosigkeit des einzelnen Falleseine Gesetzmäßigkeit aufbaut und feste in Zahlen ausdrückbareZusammenhänge in der Gesamtheit ergeben Gerade dies ist es

Unbestimm-ja auch, was selbst nach aller möglichen Aufklärung unser tiefesErstaunen hervorruft

Stationäre Zahlenreihen.

Wir wollen nun allgemein ausgehen von der lung einer Reihe von Zahlenwerten, die man als eine Ta b e l l ebezeichnet An einer Tabelle ist zu unterscheiden der Kopf, der

Zusammenstel-E i n g a n g und der Zusammenstel-E i n t r a g In dem K o p f der Tabelle wirdangegeben, was die in der Tabelle eingetragenen Zahlen allge-mein bedeuten Der E i n g a n g dagegen setzt die Bedeutungder einzelnen Zahlen in der Tabelle fest Damit also eine Reihevon Zahlen sich in einer Tabelle anordnen läßt, ist es notwendig,daß sie eine gemeinsame Bedeutung haben und die einzelne Zahlder Reihe nur noch durch eine besondere Bestimmung festgelegtwird Diese besondere im Eingang der Tabelle stehende Bestim-mung kann verschiedener Art sein Sie kann die in der Tabelleeingetragenen Zahlen örtlich umgrenzen, wie wenn z B in ei-ner Statistik über Preußen bestimmte Zahlen für die einzelnenProvinzen angegeben werden Sie kann auch z B., wenn es sich

um zahlmäßige Bestimmungen von Eigentümlichkeiten ner Individuen handelt, die Namen dieser Individuen enthalten,oder diese Namen durch laufende Nummern ergänzen oder er-setzen Eine solche Tabelle kann man allgemein als eine L i s t ebezeichnen Der Eingang kann aber auch selbst eine zahlmäßi-

einzel-ge Bestimmung bedeuten Sehr häufig bezeichnet er eine Zeit,entweder Zeitabschnitte, z B Jahre, Monate oder Tage, oderbestimmte Zeitpunkte

Der Eingang der Tabelle kann ferner eine reine Zahl sein.Dann haben wir eine rein mathematische Tabelle vor uns, die

bestimmten Zahlenwerten wieder bestimmte Zahlenwerte net Sie legt das fest, was man im mathematischen Sinne als eine

zuord-Fu n k t i o n bezeichnet In ihr können unter anderem die sultate bestimmter Rechenoperationen zusammengestellt sein.Dahin gehören z B die Logarithmentafeln Wir wollen solcheTabellen als a n a l y t i s c h e bezeichnen Den analytischen Ta-bellen stehen die e m p i r i s c h e n gegenüber, die nicht bloß aufmathematischen Rechnungen beruhen, sondern in denen ein be-stimmtes Erfahrungsmaterial niedergelegt ist, unter Umständen

Re-im Verein mit Rechnungen, die an die empirisch ermittelten lenwerte angeknüpft werden Wir haben bei diesen empirischenTabellen wieder zu unterscheiden, ob ihnen bestimmte M e s -

Zah-s u n g e n oder bloße Z ä h l u n g e n zugrunde liegen Im erZah-s-ten Falle können wir von einer M e s s u n g s r e i h e sprechen,

ers-im zweiten Falle haben wir eine Z ä h l u n g s r e i h e oder eineeigentliche statistische Tabelle vor uns Um gleich ein Beispielfür beide Arten anzuführen, können wir als Messungsreihe dieBestimmung der Körpergröße eines Menschen in den verschie-denen Lebensaltern nehmen, als Beispiel für eine Zählungsreiheeine sogenannte Sterbetafel, die angibt, wieviel Menschen auseiner bestimmten Gruppe von Geborenen in den verschiedenenLebensaltern sterben Der Eingang der Tabelle ist in beiden Fäl-len dieselbe Zahl, nämlich das Lebensalter Der Eintrag ist indem einen Falle eine Länge, also eine gemessene Zahl, im ande-ren Falle eine durch Abzählung gewonnene Zahl, nämlich eineAnzahl von Personen

Die K ö r p e r g r ö ß e n beziehen sich auf Personen chen Geschlechtes Sie entsprechen nicht der Entwickelung ei-nes bestimmten Menschen, sondern sind Durchschnittszahlen,geben also die Entwickelung eines „Durchschnittsmenschen“ an

männli-Der Gesamtgröße ist die Beinlänge hinzugefügt und in einer ten Spalte gleich das Verhältnis der Gesamtgröße zur Beinlän-

drit-ge andrit-gedrit-geben Man erkennt, daß dieses Verhältnis während desWachstums des Menschen abnimmt und sich einem bestimm-ten Endwert nähert, den es aber schon vor der Vollendung desWachstums erreicht

K ö r p e r g r ö ß e m ä n n l i c h e r P e r s o n e n1)

Alter

Jahre

Gesamtgröße m

Beinlänge m

Gesamtgröße Beinlänge