Cđ1 biến đổi đại số part 1

Trang 1 CLB Toán THCS.

CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 1 

Chuyên đề 1: Biến đổi đại số

1.1 CĂN THỨC BẬC 2

Kiến thức cần nhớ:

 Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho 2

x a

 Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là

một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a :

2











 Với hai số thực không âm a b, ta có: a  ba b

 Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:

+ A2 A A

A



  





nếu 0

0

A A



 + A B2  A B A B với A B , 0; A B2  A B  A B với

0; 0

A B

+ A A B.2 A B.

B  B  B với AB0,B0

+ M M. A

A

A  với A  ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu) 0

A B

 với A B, 0,AB (Đây gọi là phép

trục căn thức ở mẫu)

1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n

1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3

Kiến thức cần nhớ:

 Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là 3

 Cho 3 3  3 3

;

 Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3

 Nếu a  thì 0 3

0

a 

 Nếu a  thì 0 3

0

a 

 Nếu a  thì 0 3

0

a 



3 3

3

b  b với mọi b  0

ab a b với mọi a b,

A B  A B



3 2

B  B với B  0



3

3 3













với A B

1.2.2 CĂN THỨC BẬC n

Cho số aR n, N n; 2 Căn bậc n của một số a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a

 Trường hợp n là số lẻ: n2k1,kN

Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:

2 1



   , nếu a  thì 0 2 1

0

k

a



 , nếu a  thì 0

2 1

0

k

a



 , nếu a  thì 0 2 1

0

k

a





 Trường hợp n là số chẵn: n2 ,k kN

Mọi số thực a  đều có hai căn bậc chẵn đối nhau Căn bậc chẵn 0 dương kí hiệu là 2k

chẵn âm kí hiệu là 2k

a

 , 2

0

k

a xx và 2k

x a; 2

0

k

    và 2k

x a

HayB  4x 1 12   4x 1 12  4x  1 1 4x 1 1

4x 1 1 4x 1 1

     

2

x    x   x thì 4x  1 1 4x  suy 1 1

ra B2 4x 1

x    x   x thì

4x   1 1 4x  suy ra 1 1 B 2

c) Để ý rằng: 7 4 3 2 32  7 4 3  2 3

Suy ra

9 5 3 5 8 10(2 3) 9 5 3 5 28 10 3

Bài tập 3: Chứng minh:

a) A  7 2 6  72 6 là số nguyên

B     là một số nguyên

c) Chứng minh rằng: 3 1 8 1 3 1 8 1

x a    a   với

1 8

a  là số tự nhiên

d) Tính xy biết  2  2 

Lời giải:

a) Dễ thấy A 0,

Tacó

2

7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 2 7 2 6 7 2 6

14 2.5 4

Suy ra A  2

b) Áp dụng hằng đẳng thức:  3 3 3  

3

uv u v  uv uv Ta có:

3

B

Hay

2

B B B   

suy ra B 1

Vậy B là số nguyên

c) Áp dụng hằng đẳng thức:  3 3 3  

3

uv u v  uv uv

Ta có

Xét đa thức bậc hai 2

2

x  x a với   1 8a 0

+ Khi 1

8

a  ta có 3 1 3 1

1

x   

+ Khi 1,

8

a  ta có   1 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x  1

Vậy với mọi 1

8

1

x a    a    là

số tự nhiên

d) Nhận xét:

Kết hợp với giả thiết ta suy ra x22015x y22015y

Bài tập 4:

a) Cho x  4 10 2 5  4 10 2 5 Tính giá trị biểu thức:

2

2 12

P



b) Cho x  1 32 Tính giá trị của biểu thức

c) Cho x  1 3 234 Tính giá trị biểu thức:

Px  x x x  x

Giải:

a) Ta có:

2 2

4 10 2 5 4 10 2 5 8 2 4 10 2 5 4 10 2 5

2

x

5 1

x

   Từ đó ta suy ra  2 2

x  x  x

Ta biến đổi:  2 2  2  2

2

1

P

b) Ta có 3  3 3 2

x   x  x  x  x  Ta biến đổi biểu thức P thành:

c) Để ý rằng: 3 2 3

x    ta nhân thêm 2 vế với 3 2 1 để tận dụng hằng đẳng thức: 3 3    2 2

a b  a b a ab b Khi đó ta có:

2 1 x 2 1 2  2 1

2 1 x 1 2x x 1 2x x 1 x 3x 3x 1 0

Ta biến đổi:

Bài tập 5: Cho x y z , , 0 và xyyzzx1

a) Tính giá trị biểu thức:

 2 2  2 2  2 2

b) Chứng minh rằng:

2

Lời giải:

a) Để ý rằng: 1x2 x2 xyyzzx(xy x)( z)

Tương tự đối với 2 2

1y ;1z ta có:

2

1

Suy ra Px y zy z xz x y2xyyzzx 2

b) Tương tự như câu a)

Ta có:

Bài tập 6:

a) Tìm x x1, 2, ,x thỏa mãn: n

1

2

b) Cho

2

( )

f n



   với n nguyên dương Tính (1) (2) (40)

Lời giải:

a) Đẳng thức tương đương với:

Hay x12,x2 2.2 , ,2 x n 2.n2

b) Đặt

2 2

2

2 2

4

2







Suy ra

3 3

2 2

Áp dụng vào bài toán ta có:

      1  3 3  3 3  3 3

2

1

2

Bài tập 7

a) Chứng minh rằng: 1 1 1 4

1 2 3 4  79 80  Chứng

b) Chứng minh: 2 2 1 1 1 1 1 2 1

n

mọi số nguyên dương n 2

Lời giải:

Dễ thấy AB

1 1

1

 

Suy ra AB 2 1  3 2  81 80 81 1 8  Do

AB suy ra 2AA B  8 A 4

CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 9 

2

1

2

Bài tập 7

a) Chứng minh rằng: 1 1 1 4

1 2 3 4  79 80  Chứng

b) Chứng minh: 2 2 1 1 1 1 1 2 1

n

mọi số nguyên dương n 2

Lời giải:

Dễ thấy AB

1 1

1

 

Suy ra AB 2 1  3 2  81 80 81 1 8  Do

AB suy ra 2AA B  8 A 4

b) Để ý rằng:

với

Suy ra

VT

P

n

n n  n  n  n n với mọi số tự nhiên n 2

Từ đó suy ra

n

Do đó: 2 2 1  3 2  n 1 nT

Hay 2 n 2 T 2 n 1

Bài tập 8

a) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn

2

a b b c c a  Chứng minh rằng:

2

a b c 