Chuỗi và phương trình vi phân part 5 ppt

2 Tính tổng của chuỗi hàm trong khoảng hội tụ của nó... Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số Hàm số đã cho thỏa mãn các điều kiện của định lý Dirichlet... Giải: Hàm ƒx là hàm số chấn...

Bài 39 Cho chuỗi hàm số

yey oa 3m+l 1) Tìm miền hội tụ

2) Tính tổng của chuỗi hàm trong khoảng hội tụ của nó

Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là (0:2]

„ Thai 2) Tinh tong ) Tinh tổng S(x)= Š(x)= a 1 yo mm

(3+1) (sce

Vậy f(x) x) SN» hoặc f (x)= ¥(1-x)x với Lex <l,

Bài 43 Khai trién ham f(x) = —l thành chuỗi Maclaurin

x*~3x+2 Giải: Ta có

7¬ me x

2

với ale <x<l Qử ‘dung céng thức d2) mục 13.5)

Bài 44 Khai triển hàm / (x) = xe™ thanh chudi Taylor tai lan can diém

x =

Giải: Đặt X = x— l, khi đó

f(x) = (4 Xe" = ee + Xe" =e Ec x wee " |:

0 =| "vị" on -1 yoy por sor |

Ae eaten eae 2; mo abr (aD yo aa

rrey=(Z) sil Exe] praaa 4 472

ft »-(2} sin] Eacen( Z| = £()-(2) sin(n+1)—,

Bài 47 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm số

Hàm số đã cho thỏa mãn các điều kiện của định lý Dirichlet Ta có :

=— „]/e0=2 fl (z+x) J&e=C li Jx&- 2z+0=2z,

Bài 48 Viết khai triển Fourier của hàm f(x) = |sin x trén [-z.z]

Giải: Hàm ƒ(x) là hàm số chấn Hàm số /(x) thoả mãn các điều kiện của

4 Ha — pee cos4x cos 2kx veel

nx ml -3 ~15 (1-4k?)

97

Bài 49 Khai triển thành chuỗi Fourier theo các hàm số cosin của hàm số sau:

S(x)=1-x, 0<x<z Giải: Do muốn khai triển thành chuỗi của các hàm cosin, ta thác triển hàm

số đã cho thành #{x)là hàm số chẩn, tuần hoàn với chu kỳ 2z (Hình 1.10) và

(x) 0<x<z l-x, O<x<z, F(x) -| SO): _ |

đã cho thành F(x)la hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2 ( Hinh 1.11) va

Gidi: D6 thi ham F(x) được mô tả trong Hình 1.12, là thác triển của hàm

f(x)

Hàm số #'(x) thoả mãn các điều kiện của định lý Dirichlet Ta có

99

BÀI TẬP TỰ GIẢI Tìm ‘one riêng và tổng của các chuỗi số:

3 Š—— Z2 cm +H+]

2z nề

1.6 Tìm những giá trị của œ để chuỗi số Ya, hội tụ, với

1.10 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau

1,16 Chứng minh chuỗi hàm số N09 hội tụ đều trên tập E, nếu

Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau

LÍ Dp Ye; » VEE Ế vy 4) Š nhe họ,

1.19 Tìm khoảng hội tụ của các chuỗi hàm số sau

1) Š 'GincVz+ -Vay(x+l)"; 2) Saosin 2 (0-3)

1) Tìm miền hội tụ D của chuỗi hàm số (1)

2) Gọi S(x) là tổng của chuỗi hàm số (1), chứng minh

1 !<x<2t 2) ƒ(+)=lxl trên khoảng {—l;]];

a -n/2<x<2/2,

3 ) #Œœ) x)= h x/2<x< 3/2; rên trén khoang (—1/2;31/2); khoảng (—x/2;3x/2)

4/00 f(o= d=, =Ð TẾT texe2 rén E van khoảng [022] khoang [0;2]

1.33 Cho hàm số f(x) tuần hoàn với chu kỳ 27, xác định trên R, thỏa mãn

0, Z<x«n

2

1.37 Khai triển thành chuỗi Fourier trên (0:7) theo sin hàm số sau

107

1) Trên đoạn [—7;7] theo cosin

2) Trên khoảng (0;7) theo sin

3) Trên khoảng (0:27) theo cosin va sin

Từ các khai triển này tí tính nền các chuỗi số sau

1⁄5 1) Héitu; 2) Hội tụ; 3) Hội tụ;

4 Phânkỳ, 5) Hộitu; 6) Phân kỳ

1.6 1) ars 2) a<l

1.7, 1) Héitu; 2) Không kết luận; 3) Phân kỳ; 4) Hội tụ;

Ñ) Hội tụ khi ø< e£; Phân kỳ khi a>e; 6) Hội tụ

1⁄8 1) Hội tụ; 2) Hội tụ; 3) Không kết luận;

4) Hội tụ với bất kỳ ø; 5) Hội tụ; 6) Hội tụ

1.9, 1)Phanky; 2) Phân kỳ

1.10 1) Phan ky; 2) Hội tu; 3) Hội tụ;

4) Phân kỳ; 5) Phân kỳ; 6) Hội tụ

1.12 1) Hội tụ; 2) Hội tụ; 3) Phân kỳ

1.13 1) Hội tụ; 2) Bán hội tụ; 3) Phân kỳ;

4 Hội tụ; 5) Hội tụ; 6) Hội tụ

114.1 a, { =) —>£” #(n—> 0) Chudi phan ky

n+2

2a,=In"° n x0 vn>l, — Hma =hmlnft-g ama, = him In

f(x) ntl, f'(x)<0 Vx>1 ={a,} don diéu giám Chuỗi hội tụ

Xx

3) oe = su + yey" Am,

wd Vn(n-1) m

109

3) Hội tự tuyệt đối khi| x|< 3; 4) Hội tụ tuyệt đối trong khoảng 2kz<x<(2k+])z, ke Z7., bán hội tụ khi x= kz, keZ 1.19 1)-2<x<0; 2)0<x<6;, 3-2 <<: 4) -I<x<l

1.20 D¬ <<: 2)-l<x<3;

3) («1 -e)Ule+ 140d: sing 1 “al

121 1)/”<x<e£; 2)x>0; 3)x>-l; 4) Erbe ăn, 1.22 + Trường hợp 0 < ø <1: miền miền hội tụ là [-I,1];

+ Trường hợp a >1: miền miền hội tụ là (-I,1);