Giáo trình vật liệu điện tử 3 pot

Khi hạt qua khe thì ta có thể xác định được vị trí của hạt nhưng thành phần xung lượng P„ theo phương z của hạt trở nên khác không vì hạt chuyển động lệch với phương ban đầu về một điểm

Do bản chất của vật chất, ta biết rõ hạt sẽ bị nhiễu xạ khi đi qua khe Ta không thể đoán trước hạt sẽ rơi vào chỗ nào trên màn chắn, nhưng sau khi hạt đã rơi vào một điểm nào đó trên màn chắn thì ta biết chắc hạt đã qua khe

và có sự thay đổi của xung lượng của hạt

Hiện tượng nhiễu xạ đã tác động đến xung lượng của hạt Khi hạt chưa qua khe ta hoàn toàn không biết vị trí của nó nhưng lại biết xung lượng của hạt, cả về độ lớn (vì đã biết năng lượng hạt) và phương (vuông góc với khe) Khi hạt qua khe thì ta có thể xác định được vị trí của hạt nhưng thành phần xung lượng P„ theo phương z của hạt trở nên khác không vì hạt chuyển động lệch với phương ban đầu về một điểm nào đó trên ảnh nhiễu xạ Vì ta không biết hạt rơi vào đâu trên màn hình nên ta có một độ bất định tương ứng A.P, vẻ thành phần xung lượng theo phương z Theo lý thuyết nhiễu xạ thì vị trí của van tối thứ nhất được xác định theo công thức sin a = 4 Mặc dầu ta không thể biết chính xác điểm rơi trên màn nhưng vị trí có xác suất lớn nhất vẫn ở lân cận vùng trung tâm ảnh nhiễu xạ Vì vậy ta có thể coi P„ nằm trong khoảng

từ 0 đến Psina, nghĩa là AP, = psina = p} AP, = £3 = 4

Để giảm độ bất định về thành phần ? ta có thể mở rộng khe d, nhưng khi

đó lại tăng độ bất dinh Ax

Ta có hệ thức

AAP, =h Như vậy cùng một thí nghiệm ta không thể về nguyên tắc làm nhỏ đồng thời

độ bất định về vị trí Az và về thành phần xung lượng theo phương z, A7„

Ví dụ trên đã minh họa nguyên lý Heisenberg phát biểu năm 1927, gọi là nguyên lý bất định Heisenberg Cơ lượng tử đã chứng minh rằng đối với mọi kiểu thí nghiệm các độ bất định Az và AP, liên hệ với nhau theo hệ thức

ArAP, > & ~ Qn Cần nhấn mạnh rằng hệ thức này có hiệu lực cả trong lý thuyết, nó có thể được suy ra từ hệ thức AzA# = 1 đã nói ở trên, trong đó Az là kích thước nhóm sóng , AK là gia số của số sóng trong nhóm sóng

2.3.2 Hệ thức bất định về năng lượng và thời gian Ta có thể thiết lập hệ thức bất định Heisenberg cho nhiều cặp đại lượng khác nhau Ví dụ muốn đo năng lượng E của một vật ta phải tiến hành trong một thời gian A¿ Như vậy

ta có thể chứng minh rằng giữa độ bất định về năng lượng và độ bất định về

là thời gian sống r Muốn đo năng lượng của hệ thì phải đo trước khí trạng thái đó bị phân rã Như vậy độ bất định của hệ về năng lượng sẽ là

Ví dụ, nếu ta làm thí nghiệm để đo các đặc trưng hạt của một đối tượng thì ở đây nhất thiết phải có Az và A: bằng không vì theo định nghĩa một hạt

có thể được định xứ với độ chính xác cao vô hạn ở bất kỳ thời điểm nào Còn xung lượng và năng lượng là các đặc trưng sóng (A = h/p,v = E/h) thi theo nguyên lý bất định, hoàn toàn không biết

Như vậy khi các tính chất hạt xuất hiện thì các tính chất sóng bị loại trừ Việc không thể quan sát được đồng thời các tính chất hạt và tính chất sóng của vật chất đã minh họa một nguyên lý do Niels Bohr đưa ra vào năm 1928

mà người ta gợi là nguyên lý bổ sung

Các tính chất sóng và hạt bổ sung cho nhau theo ý nghĩa là cả hai mô hình sóng, hạt đều cần thiết để ta hiểu được đầy đủ các tính chất của vật chất tuy vẫn không thể quan sát được đồng thời các đặc trưng sóng và hạt

2.4 Phương trình cơ bản của cơ học lượng tử Phương trình

Schrödinger

Để mô tả một cách định lượng trạng thái chuyển động của các đối tượng vi

mô có lưỡng tính sóng hạt ta phải thiết lập một phương trình thể hiện được tính chất đó, giống như phương trình Newton đối với các vật vĩ mô hay như phương trình Maxwell đối với sóng điện từ.

Phương trình cần tìm phải đồng thời thoả mãn giả thuyết De Broglie và sự phụ thuộc giữa năng lượng và tần số thông qua hằng số Planck

Ta xét một hạt vì mô có khối lượng z chuyển động với vận tốc ø < e trong một trường lực = U(z,y,z,t) Tinh chất hạt có thể được đặc trưng bằng hai đại lượng E va B

2

Av+ 2 uso — A0+ 7rw=n R Bi

vi £ =T hay 1 vi hat tu do ta 6 E = T nén viét duge:

62 Chương 2 Một số vấn để vật lý lượng tử

2.4.2 Hạt trong một trường lực Xuất phát từ phương trình (2.29), SẴchrödinger

đã đưa ra một giả định về sau được thừa nhận như một tiên để của cơ học lượng tử: chuyển động của một vi hạt bất kỳ trong một trường lực U # 0 cũng được mô tả bằng phương trình giống như (2.29) trong đó 7 = # được thay thế bởi 7 = E— U, nghĩa là phương trình có dạng:

Cần lưu ý rằng: bản thân hàm sóng # nói chung là hàm phức không có ý nghĩa vật lý trực tiếp mà chỉ có bình phương modun của nó mới có ý nghĩa vật lý Đại lượng |ữ|? xác định không phải mật độ một đại lượng vật lý nào như trong lý thuyết cổ điển mà nó chỉ xác định mật độ xác suất đại lượng đó,

ví dụ mật độ xác suất tìm thấy hạt trong một đơn vị thể tích tại một thời điểm nhất định |]? được tính như sau

Trong đó ø* là hàm liên hợp phức của # Vì xác suất tìm thấy hạt trong toàn

bộ không gian bằng 1 nên ta có điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng:

[Tf |W|?dzdudz = 1

iu

Mặt khác từ (2.36) ta có :[YGœ,z)-e#|} = W*{z,w,z)eŠŸt, và 0(e,y,z, 0 -

*(z,,z,#) = Ö(z,w,z) - U*(z,,z) nên đối với trạng thái dừng sự phân bố xác suất tìm thấy hạt không phụ thuộc vào thời gian

Với những nhận xét trên đây chúng ta thấy rằng về mặt toán học, hàm sóng phải thoả mãn những điều kiện sau đây: đơn trị, liên tục, hữu hạn

2.5 Toán tử trong cơ học lượng tử

2.5.1 Khái niệm toán tử Toán tử là sự biểu diễn tượng trưng một phép toán nào đó (đại số, vi phân, tích phân ) được tiến hành đối với một hàm số để nhận được một hàm số khác và được viết như sau:

iv=¢

Ta noi rang todn tir £ tac dung én & cho ta y Nhu vay toán tử ? thiết lập quy tắc nhận hàm „ từ hàm ữ

Giả sử do kết quả tác dụng của toán tử Í lên hàm số ữ ta được chính hàm

số đó nhân với một hằng số 1, tức là Ê = Lữ, khi đó hàm số ữ được gọi là hàm riêng của toán tử £ và số 7 được gọi là trị riêng của toán tử đó Tập hợp tất cả các trị riêng của toán tử Í, hợp thành phổ của toán tử, Phổ này có thể

là phổ rời rạc, phổ liên tục hoặc phổ hỗn hợp Trong trường hợp phổ rời rạc, các hàm riêng và trị riêng được đánh số thứ tự và viết như sau:

Èữ,= LýU,, #=1,2,3,

Điều kiện (2.39) đảm bảo nguyên lý chồng chất các trạng thái: Nếu hệ có thé

ở vào các trạng thái ữ, và ; thì nó cũng có thể ở vào trạng thái được xác định bằng tổ hợp tuyến tính của hai hàm

Gad, +h (e¡,o¿ là các hằng số) (2.40) Toán tử tuyến tinh 2 dugc gọi là tự liên hợp nếu thoả mãn điều kiện:

Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử Hermit

Ví dụ toán tử ÿ không phải là toán tử tự liên hợp, nhưng toán ti iz lai

là toán tử tự liên hợp Thật vậy

Các toán tử liên hợp có hai tính chất cơ bản sau đây:

1 Các trị riêng của toán tử tự liên hợp bao giờ cũng là trị thực ZL, = Es

2 Các hàm riêng của toán tử tự liên hợp ứng với các trị riêng khác nhau hợp thành một hệ hàm trực giao Tính chất này được biểu diễn như sau:

Bay gid ta xét hai toán tử Ê X7 Nếu Ô(W) # W(È) thì ta nói Ê và # không giao hoán với nhau, Nếu Ê(Äf#) = Äï(Ê9) thì ta nói ? và lữ giao hoán với nhau

Ví dụ 1 Hai toán tử £ =z va M = £ 1a không giao hoán với nhau vì

của hai toán tử ? và Ấï khác nhau, thì hai toán tử này sẽ giao hoán với nhau

Điều này có nghĩa là tính giao hoán của các toán tử là tiêu chuẩn xác nhận rằng các đại lượng liên quan đến các toán tử đó có thể được đồng thời đo chính xác Ngược lại nếu các toán tử ? và Ấ không giao hoán thì các đại lượng vật lý và 8 không thể đồng thời được đo chính xác Độ chính xác của phép đo đại lượng L phụ thuộc vào độ chính xác phép do đại lượng X Tính chất này là hệ quả trực tiếp của nguyên lý bất định Heisenberg

66 Chương 2 Một số vấn đề vật lý lượng tử

2.5.2 Toán tử và các đại lượng vật lý Các toán tử trong cơ học lượng tử được thiết lập từ các đại lượng vật lý bằng cách so sánh các biểu thức tương ứng trong phương trình sóng hoặc dựa vào các công thức cổ điển biểu diễn mối liên hệ giữa các đại lượng vật lý Ở đây chúng ta sẽ dé cap đến một số toán tử thường gặp nhất

1 Toán tử xung lượng Xung lượng P có các thành phần theo các trục tọa

độ z,y,z là P„,P„,P,, Ở day ta tim toán tử thành phần xung lượng theo trục

z, nó được ký hiệu là , Từ biểu thức hàm sóng De Broglie (2.27):

W,yz,9 — ÁceT EŒ-Re=Rv-RtÐ,

ta tính được đạo hàm theo z:

eu it = qed hay 1a 5 — thế = PLY OU (2.44)

Người ta xem phương trình (2.44) như một phương trình toán tử trong đó

—¿h;ˆ- là toán tử thành phần xung lượng theo trục z và #, là trị riêng của Py Cũng tương tự như vậy ta có:

Py =-thệ

,= -ihŸ

2 Các toán tử tọa độ và các hàm tọa độ Các toán tử tọa độ được định nghĩa

là phép nhân bình thường với tọa độ đó, nghĩa là ta có:

3 Toán tử động năng, Toán từ động năng được xác định dựa trên công thức

cổ điển liên hệ giữa động năng và xung lượng:

= Fd py pry py 2m 2m * * v 2 Trong cơ học lượng tử, toán tử động năng được định nghĩa:

f = aa (h2 + 2 + A)

= dk [Cin dying + ind ying) + in y-ing)]

= -ấi [ấn tiến + im] = ÂNA:

Như vậy năng lượng toàn phần E của hệ là trị riêng của toán tit Hamiltonian

5 Toán tử thành phân moment động lượng Toán tử moment động lượng được xác định từ công thức cổ điển đối với moment động lượng tương đối với một điểm cho trước Ó

(Ma, My] =ihM,; (My, M,] = ii,

(M,, My] =ihMy; [My My ~ My» M,]0 = in

Tuy nhiên mỗi toán tử 4ĩ;, M,, M, lại giao hoán với toán tử bình phương moment động lượng

8 Or Od ôðuô 9ô

ay ~ Beda” Apdy * Opdz

os —rsin@sin 'Ở +rdinđcos a dp — ? on Pay

Điều kiện đơn trị: Hàm sóng không đổi khi y thay đổi một lượng bằng 2z:

W(o+2m) =W(@) —+ ek Meet?) ~ ek Mae Điều đó có nghĩa là

và “% phai 1a cdc s6 nguyén

Như vậy hàm riêng của toan tit 1, 1a © = e-e”", còn trị riêng của nó bằng

1, = mh Trong cơ học lượng tử hình chiếu của moment động lượng của hệ

vi mô nhận những giá trị gián đoạn bằng số nguyên lần ñ Trong trường hợp này người ta nói &⁄, đã bị lượng tử hoá Số m xác định độ lớn của AM, được gọi là số lượng tử từ

7 Phương trình bình phương momeni động lượng:

NOU = M°U Mf? = M2 + M2 + M2, duge xdc định bằng công thức (2.49), trong tọa độ cầu toán tử M7? c6 dang

Trong dé A,,, là phần góc của toán tử Laplacian trong hé toa d6 cde:

1 6,, gỡ 1 @

Ase= and 59 “10 955) + Sn? 6p (2.57)

70 Chương 2 Một số vấn để vật lý lượng tử

Vì toán tử #ï? chỉ tác dụng lên phần góc ø và ¿, do đó hàm sóng ÿ cũng có thể xem như là hàm của 9 và ¿, ta có

Có thể chứng minh rằng hàm sóng #(6,¿) được xác định từ phương trình

(2.58) chỉ thoả mãn điều kiện đơn trị khi 8? bị lượng tử hoá theo quy luật:

ÁM? =I(+ DR; với 1=0,1,2,

Số ¡ được gọi là số lượng tử quỹ đạo

2.6 Một số bài toán đơn giản của cơ học lượng tử

Chúng ta sẽ xét một số bài toán đơn giản nhưng cần thiết

2.6.1 Chuyển động của hạt tự đo Giả sử ta xét một hạt có khối lượng m, chuyển động tự do trong không gian, U = 0 Phương trình Schrödinger

Vì động năng của một hạt tự do 7 = “#Ÿ luôn luôn lớn hơn không do đó

& tuôn luôn là một số thực và nghiệm (2.62) thoả mãn điều kiện liên tục, đơn trị, hữu hạn với mọi giá trị 7 > 0 Tham số £ ở đây đóng vai trò số sóng Sự phụ thuộc của năng lượng vào số sóng K có dạng

WEE

= 2m

Còn xác suất tìm hạt tại một vị trí nào đó trong không gian bằng

WU = |c|2e*i?.¿#fX« — to? = const,

Theo vật lý cổ điển trong trường hợp này hạt chỉ có thể chuyển động trong

hố :hế mà không thể nào vượt ra ngoài được

1 Trường hợp hàng rào thế vô hạn, Uạ —» oo Khi đó hàm sóng ở vùng ngoài hố phải bằng không, còn hàm sóng ở trong hố thế được xác định bởi phương trình sóng (2.61)

UY

72 Chương 2 Một số vấn đề vật lý lượng tử

Với điều kiện biên suy ra từ điều kiện liên tục của hàm sóng

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.63) có dạng

W(x) = Aef® + BeT te ứng dụng điều kiện biên ta có

#=a— Aet + Be~fe =0 efKe _ etka ny

hay 1a sin Ka = 0 va K = ® v6in =1,2,3, - Thay gid tri của K vào biểu thức năng lượng ta có

— R.K? _ h?m?n?

2m 2ma?

(Chú ý rằng ở đây không tổn tại trang thái ứng với n = 0,K = 0 vì khi đó W(x) = 0.) Như vậy vì K nhận những giá trị gián đoạn nên năng lượng Z cũng nhận những giá trị gián đoạn, nói cách khác phổ năng lượng của hạt không liên tục Năng lượng nhỏ nhất mà hạt trong hố thế có thể có là không phải bằng không mà ứng với w = 1, K = # và

B= 2ma? Ba?

Khoảng cách giữa hai mức năng lượng cho phép cạnh nhan tăng theo số lượng

tử n và tỷ lệ với hiệu bình phương giữa chúng

Pn? 2 _—n21~

AEB, = 5 alin + 1)? ~ n8] 2 Wa? ma?”

Bề rộng của hố thế năng càng lớn thì AE„ càng nhỏ Đối với điện tử, khi

Trén hinh (2.11) biểu diễn sự phụ thuộc hàm sóng và xác suất tìm hạt theo z,

2 Trường hợp hàng rào thế U là giới hạn, U = Up < oo Trong vùng II hình (2-10) nghiệm tổng quát phương trình vẫn như cũ có dang

U(x) = Ae!# + Be~!Kz (2.66)

nhưng sẽ có các điều kiện biên khác

Trong vùng I và II phương trình Schrödinger có dạng:

ev _ pa ` 4® - [2m(Ua= BỊ] |

—m quý + UaW = EỸ; hay HH TH