087 đề hsg toán 9 quảng nam 2017 2018

Đường thẳng qua B, vuông góc với đường thẳng DE tại H và cắt đường thẳng CD tại F, Gọi K là giao điểm của AH và BD.. a Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp trong đường tròn và ba điểm K, E,

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BẬC THCS

Năm học : 2017-2018

Thời gian: 150 phút Ngày thi : 17/4/2018

Câu 1 (5,0 điểm)

a) Cho biểu thức

A

x 4

x x 8 x 2 x 4



Rút gọn biểu thức A Tìm các số nguyên x để A là số nguyên

b) Cho ba số thực a, b, c sao cho 1 a   2;1   b 2 ;1   c 2

Chứng minh

a b c a c b

7

bcacba 

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Cho phương trình 2

x  2x 3 2m    0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x ;x 1 2 trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại b) Giải phương trình : 2

2 1 x   1 x    3 x

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1 thì n 2 n 1 n 8        không thể

là lập phương của một số tự nhiên

b) Cho số nguyên tố p (p  3) và hai số nguyên dương a, b sao cho p2 a2  b 2

Chứng minh a chia hết cho 12 và 2(p a 1)   là số chính phương

Câu 4 (3,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm E là điểm nằm trên cạnh BC (E khác B và C) Đường thẳng qua B, vuông góc với đường thẳng DE tại H và cắt

đường thẳng CD tại F, Gọi K là giao điểm của AH và BD

a) Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp trong đường tròn và ba điểm K, E, F

thẳng hàng

b) Khi E là trung điểm cạnh BC, tính diện tích tứ giác BKEH

Câu 5 (3,5đ)

Cho hai đường tròn   C , C 1 2 cắt nhau tại hai điểm A, B Tiếp tuyến tại A của

C 2 cắt  C 1 tại M (M khác A) Tiếp tuyến tại A của  C 1 cắt C 2tại điểm N (N khác A) Đường thẳng MB cắt C 2tại P (P khác B) Đường thẳng NB cắt  C 1 tại

Q (Q khác B)

.a) Chứng minh tam giác AMP , AQN đồng dạng

MB.NA  NB.MA

-Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẢNG NAM NĂM 2017-2018 Câu 1

1a)

x 2

A

x 2 x 4

x 2 x 4

x 2 x 2 x 4







x 2 x 4

   là ước của 3; chỉ có x 2 x    4 3 có nghiệm x=1 thỏa mãn ĐK

1b) Khử mẫu ta được 2 2 2 2 2 2

a c ab   bc  a b ac   b c  7abc

Giả sử a  b c b a  b c   0 b2acbabc

b a a c abc a b

b c ac abc bc



 



a c ab ac b c 2abc a b bc

a c ab bc a b ac b c 2abc 2a b 2bc

2abc 2a b 2bc    7abc  2a b 2bc2  2  5abc  2a2 2c2  5ac (2a c)(c 2a) 0

Câu 2

2a) ĐK có hai nghiệm phân biệt    ' 0 2m 2    0 m  1

Khi m  1 ta có

2

1 2

x x (1)

x x 3 2m (2)

x x 2 (3)

 



 



  



Thế (1) vào (2) : x22  x 2  2   0 x 2  1;x 2  2

) x 1 x 1 3 2m 1 m 1

         (loại)

2 1

)x 2 x 4 8 3 2m m 11 / 2

          (chọn)

2b) 2 x 1  1 x 2  3 x DK : x 1

2

2

2

2

2

2 x 1 2 x 1 x 1 0

4(x 1) (4 4x x ) 1 x 1

0

2 x 1 (2 x) 1 x 1

0

2 x 1 2 x 1 x 1

2 x 1 2 x 1 x 1

Vì x 1 nên trong ngoặc dương Do đó phương trình có nghiệm x=0 Câu 3

3a An 1 n 2 n 8       

+) Khi n   1 A  54 không lập phương

+) Khi n   2 A  120 không lập phương

+)Khi n  2 ta chứng minh A cũng không lập phương

3

A n 1 n 2 n 8 n 11n 26n 16 n 12n 48n 64 n 4

A n 3 n 11n 26n 16 n 9n 27n 27 2n n 11 0

1 89

4



hoặc

1 89

4



Suy ra khi n > 2    

n 3   A  n  4 Vậy A không thể là lập phương

3b p2 b2 a2 b a b a    

b a

  và b a  là ước của p2  b a  và b a  là ước của p vì p nguyên tố

Vì b – a < b+a nên b – a =1  b a   p2  2a 1   p2

Cộng vào hai vế cho 2p+1 ta có: 2a2p 2 p 1   2(a p 1)p 1  Chứng minh a chia hết cho 12

+) Chứng minh a chia hết cho 3

Vì 2a 1   p2 2a  p2 1 vì p nguyên tố >3 nên p2 chia 3 dư 1  2a 3   a 3 

+)Chứng minh a chia hết cho 4

Vì 2a 1   p2 2a  p2 1 vì p nguyên tố >3 nên p chia 4 dư 1 hoặc dư 3

2a 16k 8k 8 a 4

2a 16k 24k 8 8 a 4

Do đó a chia hết cho 12

Câu 4

K

F H

E

a) Chứng minh KDCE nội tiếp

BHD  BCD  90  BHCD là tứ giác nội tiếp

CHF BDC 45

ECFH nội tiếp 0   

45 CHF CEF KDC KDCE

Chứng minh K, E, F thẳng hàng

BC; DH là 2 đường cao  BDF  FE  BD

Mà KDCE nội tiếp   0

EKD ECD 90 EK BD K, E, F

b)

2 2

BKE

BKE BCD

 

          



2 DCE

BHE

BKEH

4 14

5 5

 

        

 



Câu 5

Q

P N

C1

C2 A

5a) Chứng minh tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQN

Ta có: AMP  AQN (cùng chắn cung AB)

APM  ANQ (cùng chắn cung AB)

Suy ra tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQN (g-g)

5b)  AMP   AQN nên

AB AM BM

NBNA AB

2

2

MB.NA AB.AM MB.NA AB.AM NA NB.MA AB.NA NB.MA AB.NA.MA MB.NA NB.MA

