SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO … ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: Toán – Bảng B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 12122018 Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số có đồ thị (H) và đường thẳng d: (với m là tham số). Tìm tất cả giá trị của m để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Câu 2 (4,5 điểm). Giải các phương trình sau trên tập hợp các số thực 1) . 2) . Câu 3 (2,5 điểm). Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển , biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức . Câu 4 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC có , là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A và . Chứng minh rằng tam giác ABC đều. Câu 5 (2,0 điểm). Một quả bóng cao su được thả rơi từ độ cao h = 18 m. Sau mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên cao bằng độ cao của lần rơi ngay trước đó. Giả sử quả bóng khi rơi và nảy đều theo phương thẳng đứng. Tính tổng độ dài đoạn đường quả bóng đã di chuyển từ lúc được thả đến lúc quả bóng không nảy nữa. Câu 6 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I có phương trình , tam giác ABC nội tiếp đường tròn và đường phân giác trong góc A có phương trình . Biết rằng hai điểm A và I cách đều đường thẳng BC và điểm A có hoành độ dương. Tính diện tích tam giác ABC.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
…
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán – Bảng B
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 12/12/2018
Câu 1 (2,5 điểm) Cho hàm số
2 1 1
x y x
có đồ thị (H) và đường thẳng d: y ( m2 1) x 2 (với m là tham số) Tìm tất cả giá trị của m để d cắt (H) tại hai điểm phân biệt có hoành độ
1, 2
x x sao cho biểu thức P12(x1x2) 11 x x1 2 đạt giá trị lớn nhất
Câu 2 (4,5 điểm) Giải các phương trình sau trên tập hợp các số thực
1) x4 6x36x29x2 x2 3x
2) 7x 6 log (67 x1) 1 0
Câu 3 (2,5 điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển (1 x x2)n , biết n là số tự
nhiên thỏa mãn hệ thức 20 22 24 22n 512
C C C C
Câu 4 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có AB c BC a CA b , , , h là độ dài đường cao xuất a
phát từ đỉnh A và 2 a 3
a
b c h
Chứng minh rằng tam giác ABC đều
Câu 5 (2,0 điểm) Một quả bóng cao su được thả rơi từ độ cao h = 18 m Sau mỗi lần chạm đất,
quả bóng lại nảy lên cao bằng
3
4 độ cao của lần rơi ngay trước đó Giả sử quả bóng khi rơi và
nảy đều theo phương thẳng đứng Tính tổng độ dài đoạn đường quả bóng đã di chuyển từ lúc được thả đến lúc quả bóng không nảy nữa
Câu 6 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I có phương trình
(x 1) ( + 1)y , tam giác ABC nội tiếp đường tròn và đường phân giác trong góc A có5 phương trình x y 1 0 Biết rằng hai điểm A và I cách đều đường thẳng BC và điểm A có hoành độ dương Tính diện tích tam giác ABC.
Câu 7 (2,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, chiều cao h
không đổi Gọi M, N lần lượt là hai điểm di động trên hai cạnh BC, CD sao cho góc
450.
MAN Đặt BM = x Tìm x theo a sao cho thể tích của khối chóp S.AMN đạt giá trị nhỏ
nhất
Câu 8 (1,5 điểm) Cho a, b, c là ba số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện a b c Tìm giá trị0
nhỏ nhất của biểu thức
2
M
Trang 2
-Hết -Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……… ……; Số báo danh: … ; Phòng thi số:
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán – Bảng B
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
(Hướng dẫn chấm có 03 trang)
m
1
(2,5đ
)
Phương trình hoành độ giao điểm của (H) và d là
2
2 1
1
x
x
(m 1)x (m 5)x 1 0
(do x = 1 không là nghiệm phương trình)
0,5
Đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phân biệt (m2 5)2 4(m2 1) 0
(m 2 3)212 0 Suy ra m thì d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt. 0,5
Ta có
2
;
m
2
m
59
1
m
0,5
Do đó P đạt giá trị lớn nhất là 71 khi m = 0 Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. 0,5
2
(4,5đ
)
1)
(2,5đ)
4 6 3 6 2 9 2 2 3 ( 2 3 )2 3( 2 3 ) 2 2 3 0
Đặt t x2 3x, t , phương trình trở thành 0 t4 3t2 2t 0 0,5 0; 2; 1
Với t suy ra 0 x0,x3
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x0,x3,x1,x4 0,5
2)
(2,0đ)
Điều kiện
1 6
x
Đặt ylog (67 x1), khi đó 7y 6x1
Kết hợp với phương trình đã cho ta có hệ
x y
y x
0,5
Suy ra 7x 7y 6y 6x 7x6x7y6y (1) Xét hàm số ( ) 7f t t 6t
Ta có '( ) 7 ln 7 6 0,f t t nên hàm số t f đồng biến trên
Do đó (1) f x( )f y( ) xy Suy ra 7x 6x 1 0 (*)
0,5
Xét hàm số ( ) 7g x x 6x 1 trên khoảng
1
; 6
Ta có g x'( ) 7 ln 7 6; ''( ) 7 (ln 7) x g x x 2 nên đồ thị hàm số g lõm trên 0
khoảng
1
; 6
Do đó (*) có không quá hai nghiệm thuộc
1
; 6
0,5
Mà g(0) 0, (1) 0 g nên x = 0, x = 1 là tất cả các nghiệm của (*) Vậy nghiệm
3
(2,5đ Ta có
1
2
Trang 42 1
2
n
n
5 5
2 5
5 0
k
5
5
0 0
k
k i k i k
C C x
, ( ,i k,i k ) 0,5
Vì số hạng chứa x5nên
5
i k
, giải ra ta được
Hệ số cần tìm là C C55 50 C C41 54 C C32 53 51 0,5
4
(2,5đ
)
Ta có 2 a 3
a
3 2
ABC
b c
a
2
a
sin( )
2
B C
sin sin sin ( cos sin ) sin ( cos sin )
0,5
Vậy tam giác ABC đều. 0,5
5
(2,0đ
)
Sau lần chạm đất đầu tiên, quả bóng nảy lên độ cao là 1
3 4
Tiếp theo, bóng rơi từ độ
cao h , chạm đất và nảy lên độ cao 1 2 1
3 4
Sau đó bóng lại rơi từ độ cao h và cứ tiếp 2
tục như vậy Sau lần chạm đất thứ n, quả bóng nảy lên độ cao 1
3 4
0,5
Tổng độ dài đoạn đường quả bóng đi được từ lúc thả đến lúc quả bóng không nảy nữa là
d là tổng của hai cấp số nhân lùi vô hạn có công bội
3 4
q
, có số hạng đầu lần lượt là h h, 1 0,5
Do đó
1 126
d
6
(2,0đ
)
Ta có I(1; 1) Tọa độ giao điểm của đường phân giác
trong góc A và (I) là nghiệm của hệ phương trình
1 0
x y
2; 1
Suy ra có hai giao điểm A(2;1), '( 1; 2)A
0,5
Đường thẳng BC vuông góc A’I nên phương trình BC có
dạng: 2x y m 0 (BC A I' )
d A BC d I BC m
Phương trình BC: 2x y 3 0
0,5
Tìm được tọa độ điểm B, C là: 0,5
Trang 59 21 3 2 21 9 21 3 2 21
Vậy diện tích tam giác ABC là
ABC
7
(2,5đ
)
Ta có .
1 3
12
h
AM AN
Đặt MAB , 0 0
0 45 , NAD 450
0
cos cos(45 )
AM AN
0,5
2 2 cos (cos sin )
a
2
0
1 2 sin(2 45 )
a
.
s AMN
V nhỏ nhất AM AN. nhỏ nhất
0
1 2 sin(2 45 )
lớn nhất 22,50
0,5
Vậy với x a .tan 22,50 a( 2 1) thì thể
tích của khối chóp S.AMN đạt giá trị nhỏ nhất. 0,5
8
(1,5đ
)
Biến đổi
M
0,25
Ta có bất đẳng thức
,( , 0, 1)
1x1y 1 xy x y xy
Thật vậy 1 1 2 2( 1) 0,
1x1y1 xy x y xy đúng x y, 0,xy1
0,25
Do đó
1
M
c a
a c
Đặt
a t
c
Vì a b c 0nên t 1 t t Suy ra
M
Xét hàm số
5 1 ( )
1
t
f t
t
, ta có '( ) 4 2 0, 1;
( 1)
t
nên f t( ) đồng biến trên
1; Do đó f t( )f(1), t 1
0,25
Lưu ý : - Thí sinh giải cách khác, nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn chấm điểm tối đa.
- Điểm toàn bài không làm tròn.
Hết
Trang 6SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ DỰ BỊ
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán – Bảng B Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 12/12/2018
Câu 1 (2,5 điểm) Cho hàm số
1
x y x
có đồ thị C Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường thẳng d: yx m cắt C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác PAB đều,
biếtP2;5
Câu 2 (4,5 điểm) Giải các phương trình sau trên tập hợp các số thực
1) x4 2x2 1 8x x3 x
2) 11x 2log (1011 x1)5 1
Câu 3 (2,5 điểm) Tính tổng P3C20180 5C20182 7C20184 2021C20182018
Câu 4 (2,5 điểm) Cho tứ diện ABCD và M là điểm nằm trong tứ diện sao cho các đường thẳng
MA, MB, MC, MD cắt các mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) lần lượt tại A’, B’, C’, D’
MA MB MC MD Gọi V V V V lần lượt là thể tích của1, , ,2 3 4
các khối tứ diện MBCD MCDA MDAB MABC Chứng minh rằng , , , V1V2 V3 V4
Câu 5 (2,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định bởi hệ thức
1 1
, ( 0)
; ( 1; 2 )
Chứng minh dãy số (un) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
Câu 6 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(1; 3) Biết M(6; 4)
thuộc cạnh BC (M khác B và C) và
17 9
;
2 2
N
thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ các đỉnh B,
C, D của hình vuông ABCD.
Câu 7 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có m m m lần lượt là độ dài ba đường trung tuyến a, b, c
xuất phát từ các đỉnh A, B, C của tam giác Chứng minh rằng
1)
4
2)
3 27
8
R
m m m
, (với R là bán đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
Câu 8 (1,5 điểm) Cho a, b, c là ba số thực tùy ý thuộc đoạn [1;9] và a b a c , Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
1
M
Trang 7
-Hết -Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……… …; Số báo danh… ; Phòng thi số:
MA TRẬN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN TOÁN – BẢNG B
Cấp độ
Chủ đề
Vận dụng cao
Cộng
1 Hình học
- Thể tích khối đa diện
- Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
- Nhận dạng tam giác
2 Giải tích - Cấp số nhân
3 Đại số
- Tương giao của hai đồ thị
- Giải phương trình chứa căn thức
-Nhị thức Niu-tơn
- Giải phương trình mũ, logarít
Bất đẳng thức