033 đề hsg toán 9 đak lak 2017 2018

1 Chứng minh các tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp.. 2 Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF cắt nhau tại N.. Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội tiếp.. Một điểm M nằ

ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK

NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4 điểm)

1 Rút gọn biểu thức 3 2 4 4

P



  Tìm x sao cho 2017

2018

2 Giải phương trình x2  4x x  2  4  20

Câu 2: (4 điểm)

1 Cho phương trình x2  2 2 m 3x m 2  0 , với m là tham số Tìm tất

cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác 0,

(chúng có thể trùng nhau) và biểu thức

1 2

1 1

x x đạt giá trị nhỏ nhất

2 Cho parabol  P y ax:  2 Tìm điều kiện của a để trên  P có

 0 ; 0

2

Câu 3: (4 điểm)

1 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y;  thỏa mãn:

2 2 4 2 18

2 Tìm tất cả các cặp số a b; nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) a b, đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a b, là 1

ii) Số N ab ab  1 2  ab 1 có đúng 16 ước số nguyên dương

Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt cạnh

AB và AC lân lượt tại D và E (D B E C ,  ) BE cắt CD tại H Kéo dài

AH cắt BC tại F

1) Chứng minh các tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp

2) Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF cắt nhau tại N Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC

Câu 5: ( 2 điểm)

Với x, y là hai số thực thỏa mãn y3  3y2  5y  3 11 9  x2  9x4  x6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x y 2018.

Câu 6: (2 điểm)

Cho tam giác đềuABC Một điểm M nằm trong tam giác nhìn đoạn thẳng BCdưới một góc bằng 150 0 Chứng minh MA2  2MB MC.

LỜI GIẢI

Câu 1: (4 điểm)

3 Rút gọn biểu thức 3 2 4 4

P



  Tìm x sao cho 2017

2018

4 Giải phương trình x2  4x x  2  4  20

Lời giải

1 Ta có 3 2 4 4

P



 2





   



2

1

x





1 2

x x







Mặt khác 2017

2018

2018 2

x x



  x  2016  x 20162

2 Ta có x2  4x x  2  4  20  x x  4 x 2 x 2  20

 2   2 

x2 2x 42 16 20

     x2  2x 42  36

2

2

2 4 6

   

 

  

Ta thấy phương trình x2  2x 4  6vô nghiệm

Mặt khác,x2  2x 4 6   x2 2x 10 0  1 11

1 11

x x

  

 

 

Vậy phương trình có nghiệm là x  1 11 và x  1 11

Câu 2: (4 điểm)

3 Cho phương trình x2 2 2 m 3x m 2  0 , với m là tham số Tìm tất

cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác 0,

(chúng có thể trùng nhau) và biểu thức

1 2

1 1

x x đạt giá trị nhỏ nhất

4 Cho parabol  P y ax:  2 Tìm điều kiện của a để trên  P có

 0 ; 0

2

Lời giải

1.Phương trình có hai nghiệm khác 0khi

2

0

m









0

m



 





1 3 0

m m m

 



  

 



Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét, ta có 1 2 2  

1 2

2 2 3







1 2 1 2



2

2 2m 3

m

3

m m



2

3

m



2

2

m m



3

 Dấu bằng sảy ra khi m 3

2.Ta có 2

2

Vậy nên

2

2







2

     x02  1 y0  4

1 a x 02 3

1

a



Câu 3: (4 điểm)

3 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y;  thỏa mãn:

2 2 4 2 18

4 Tìm tất cả các cặp số a b; nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) a b, đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a b, là 1

ii) Số N ab ab  1 2  ab 1 có đúng 16 ước số nguyên dương

Lời giải

1.Ta có x2  y2  4x 2y 18  2   2 

      x y  1 x y  3  21

Do đó sảy ra các trường hợp sau:



+)x y x y  1 33 7 x y22

2 Ta có: N ab ab  1 2  ab 1 chia hết cho các số: 1;a ;

b ab ab ;b;a ab  1 2  ab 1;ab 1;ab ab 2 1;2ab 1 ; ab ab  1

;N;ab;ab 1 2  ab 1 ;b ab  1;a ab 2 1 ;a ab  1; b ab 2 1 có 16 ước dương Nên để N chỉ có đúng 16 ước dương thì a b ab; ;  1; 2ab 1

là số nguyên tố Do a b,   1 ab  1 2

Nếu a b; cùng lẻ thì ab 1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý) Do đó không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ  a 2

Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab  1 4b 1 và

1 2 1

ab  b chia hết cho 3 là hợp số (vô lý) b 3

Vậy a 2; b 3

Câu 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB và

AC lân lượt tại D và E (D B E C ,  ) BE cắt CD tại H Kéo dài AH cắt

BC tại F

1) Chứng minh các tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp

2) Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF cắt nhau tại N Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC

N M

H

E D

A

F

1) Chứng minh tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp (Đơn giản) 2) Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF cắt nhau tại N Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC như sau:

180

Mà DHE BHC   (đối đỉnh) suy ra    

1 2

     

1 1 ; 2 1 ; 1 1

F B F C B C (tứ giác BDHF, CEHF, BCED nội tiếp)

   

1 2 1 2

1

Câu 5: ( 2 điểm)

Với x, y là hai số thực thỏa mãn y3  3y2  5y  3 11 9  x2  9x4  x6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x y 2018.

Điều kiện    3 x 3

Do

2

Suy ra

Đẳng thức xảy ra khi 3 2 0 3 1.

x

x

 



 

của T là 2022 tại x = 3; y=-1

Ta lại có

x y    x  x     x   x  x  x   x

 2

2

2x 6 2x 9 0 2x 3 0

Suy ra T  x y 2018 1 3 2 2018 2019 3 2     

Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 2 3 0 3 2

2

x   x (thỏa mãn) Suy ra

 

1 3 2

Vậy GTNN T là 2019 3 2  tại 3 2; 3 2 2.

Câu 6: (2 điểm)

Cho tam giác đềuABC Một điểm M nằm trong tam giác nhìn đoạn thẳng BCdưới một góc bằng 150 0 Chứng minh MA2  2MB MC.

M E

F

Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chưa điểm M,lấy điểm E sao cho

AME

 đều; trên nửa mặt phẳng bờ BC không chưa điểm m,lấy điểm F sao cho CMF đều

(c – g - c) Suy ra BE CM ABE ;   ACM

Tương tự MCF  ACB 60 0  MCB BCF   MCB ACM    BCF  ACM

Suy ra BAECBF c g c    AE BF Mà AEAM  BF AM.

Mặt khác BMF  BMC CMF   150 0  60 0  90 0 (CMF đều, nên

Xét BMF BMF:   90 0  BF2 MB2 MF2  MA2 MB2 MC2  2MB MC. (

CMF

 đều MF= MC)