027 đề hsg toán 9 ba vì 21 22

Các đường 1 Chứng minh tứ giác BHCKlà hình bình hành 2 Kẻ OM BCtại M.. Gọi Glà trọng tâm ABC... 2,0 điểm Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là số nguyên vàsố đo diện tích

PHÒNG GD&ĐT

HUYỆN BA VÌ

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi : TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút_thi ngày 24/9/2021

Bài 1 (5,0 điểm)

1) Tính A  6 11 6 11

2) Cho biểu thức

.

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của xđể P 4 x 0

Bài 2 (3,0 điểm)

Giải phương trình 4x2 x 8 3x27x8

Bài 3 (4,0 điểm)

1) Cho hàm số ym2  4m 4x 3m 2có đồ thị là d.Tìm tất cả các giá trị của

mđể đường thẳng dcắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A B, sao cho tam giác OABcó diện tích bằng 1cm2(với O là gốc tọa độ; đơn vị độ dài trên các trục là xăng-ti-mét )

2) Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho nó vừa là tổng, vừa là hiệu của hai số nguyên tố

Bài 4 (6,0 điểm) Cho ABCcó 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn O R;  Các đường

1) Chứng minh tứ giác BHCKlà hình bình hành

2) Kẻ OM BCtại M Gọi Glà trọng tâm ABC Chứng minh:

a) Ba điểm H M K, , thẳng hàng

b) S AHG S AGO

Bài 5 (2,0 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là số nguyên và

số đo diện tích bằng số đo chu vi

ĐÁP ÁN Bài 1 (5,0 điểm)

3) Tính A  6 11 6 11( A<0)

   

2

4) Cho biểu thức

.

c) Rút gọn biểu thức P

             

0

.

4

2

x

x

x

          

 

d) Tìm các giá trị của xđể P 4 x0

 

Bài 2 (3,0 điểm)

Giải phương trình 4x2 x 8 3x27x8

     

   

2

2 2

1

2

8 9

1( )

x tm



  

   



Bài 3 (4,0 điểm)

3) Cho hàm số ym2  4m 4x 3m 2

có đồ thị là d.Tìm tất cả các giá trị của mđể đường thẳng dcắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A B, sao cho tam giác OABcó diện tích bằng 1cm2(với O là gốc tọa độ; đơn vị độ dài trên các trục là xăng-ti-mét )

Vì ba điểm O A B, , tạo thành một tam giác nên m2 4m 4 0  và 3m  2 0

Tọa độ giao điểm Acủa d và Oxlà 2 2

;0

Tọa độ giao điểm Bcủa dvà Oylà B0;3m 2  OB3m 2

Do tam giác ABOvuông tại O nên :

2

OAB

m



2

2

3 2

11

m

m

tm m







 



4) tìm tất cả các số nguyên tố sao cho nó vừa là tổng, vừa là hiệu của hai số nguyên tố

Gọi số nguyên tố đó là p

Th1: pchẵn, p nguyên tố  p2

Mà 2 không thể là tổng hai số nguyên tố nên loại

Th2: plẻ Giả sử p a b  (a b, nguyên tố)

Vì plẻ  a b, có 1 số chẵn , 1 số lẻ Mà a b, nguyên tố  a2,b p 2

Giả sử p m n  (m, n nguyên tố), vì plẻ nên m n, 1 chẵn 1 lẻ  n2,m p 2

p p p là 3 số nguyên tố liên tiếp

Nếu p 5 p 2 3  p 2 2( ktm)

Nếu p5( )tm

Nếu p 5 p 2; ;p p 2 3

*)p  2chia 3 dư 1 nên p3nên p không nguyên tố

*) p  2chia 3 dư 2 nên p2 3  p2không nguyên tố

Vậy p 5

Bài 4 (6,0 điểm) Cho ABCcó 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn O R;  Các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H Kéo dài AOcắt đường tròn tại K

G

M

K

E F

D

A

4) Chứng minh tứ giác BHCKlà hình bình hành

Vì ACKnội tiếp đường tròn  O ,đường kính AKnên ACKvuông tại C Suy ra KCAC Ta có : BE AC gt suy ra KC BE/ /  KC BH/ /

Chứng minh tương tự ta có KB CH/ /

Vậy tứ giác BHCKlà hình bình hành

5) Kẻ OM BCtại M Gọi Glà trọng tâm ABC Chứng minh:

c) Ba điểm H M K, , thẳng hàng

Chứng minh M là trung điểm của BC

Ta có tứ giác BHCKlà hình bình hành suy ra 2 đường chéo BC HK, cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà M là trung điểm của BC cmt nên M cũng là trung điểm của HK  3điểm H,M, K thẳng hàng

d) S AHG S AGO

Vì M là trung điểm BC gt( ) AM là đường trung tuyến ABC

ABC

 có AM là đường trung tuyến, G là trọng tâm  gt

Suy ra G thuộc đoạn

2 ,

3

Vì M là trung điểm HK nên AHKcó AM là đường trung tuyến mà G thuộc đoạn

,

AM

2

3

là trọng tâm AHK, chứng minh được HG 2GO

Vì AHGvà AGOcó chung đường cao kẻ từ A đến HO, HG 2GO

Do đó S AHG S AGO

Ta có :

1

HD BC HE AC HF AB

HD HE HF

Áp dụng bất đẳng thức Buniacopxki

2

         

Áp dụng ta có :

Do

Bài 5 (2,0 điểm) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài các cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi

Ta có hệ phương trình :

 

   

2 2 2 1

ab a b c

  





  



Từ (1) ta có :

a b2 4a b 4 c2 4c 4

Thay vào (2) ta được :

   

4 4 8 1.8 2.4

13

10

c

c

     







    



Từ đó ta có 2 tam giác vuông cần tìm 5;12;13 , 6;8;10  thỏa mãn yêu cầu của bài toán