Đề 18, đa, tl 100

1,5 điểm Nếu chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật cùng tăng thêm 2m thì diện tích hình chữ nhật tăng 58m.. Nếu chiều dài giảm 2 2m , chiều rộng tăng 3m thì diện tích hình chữ nh

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ II TRƯỜNG THCS

MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC

Bài 1. (2.5 điểm)

1 Giải hệ phương trình sau:







2 Giải các phương trình sau:

a) x2 5x  2 0

b) 2x2 4x 3 0

Bài 2. (1,5 điểm) Nếu chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật cùng tăng thêm 2m thì diện tích

hình chữ nhật tăng 58m Nếu chiều dài giảm 2 2m , chiều rộng tăng 3m thì diện tích hình chữ nhật giảm 63m Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu.2

Bài 3. (2 điểm) Cho Parabol  P y: 2x2 và đường thẳng  d :y mx 1

1 Tìm m để  d tiếp xúc với  P .

2 Với m 3;

a) Tìm tọa độ giao điểm của A và B của  d và  P .

b) Hình chiếu của A và B trên Ox theo thứ tự là C và D. Tính S ABCD.

Bài 4. (3,5 điểm) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ( )O , vẽ hai tiếp tuyến , AB AC với đường tròn (

,

B C là các tiếp điểm) Trong AOC vẽ đường thẳng đi qua A cắt ( ) O tại hai điểm , D E (

AD AE ) Lấy M là trung điểm DE Chứng minh:

a) Bốn điểm , , ,O B A M cùng thuộc đường tròn.

b) Chứng minh: AC2 AD AE

c) Biết AO cắt BC tại I Chứng minh rằng: AI AO. AD AE. và tứ giác OIDE nội tiếp

d) Đường thẳng BC và hai đường phân giác của hai góc BEC BDC,  đồng quy

Bài 5 (0,5 điểm) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x y z  2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

A

 HẾT 

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KÌ II TRƯỜNG THCS

MÔN: TOÁN 9 – NĂM HỌC

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài 1. (2.5 điểm)

1 Giải hệ phương trình sau:







2 Giải các phương trình sau:

a) x2 5x  2 0

b) 2x2 4x 3 0

Lời giải

1 Giải hệ phương trình sau:







Đkxđ: y 1



y



 



1 1

y



 



1 1

2 1

y x

 



 

 



2

y x





 

 



2 1 3

y x x







  



 





Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là S    1; 2 ; 3; 2   

2 Giải các phương trình sau:

a) x2 5x 2 0

Ta có  25 8 17 0  

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

5 17

2

x  

; 2

5 17 2

x  

Vậy phương trình có nghiệm 1

5 17 2

x  

; 2

5 17 2

x  

b) 2x2 4x 3 0

Ta có   ' 4 2 3 3 2 3 1    3 1 2 0

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

;

2

x     

Vậy nghiệm của phương trình là 1

2

x  

và 2

1 3 2

x  

Bài 2. (1,5 điểm) Nếu chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật cùng tăng thêm 2m thì diện tích

hình chữ nhật tăng 58m Nếu chiều dài giảm 2 2m , chiều rộng tăng 3m thì diện tích hình chữ nhật giảm 63m Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu.2

Lời giải

Gọi xlà chiều dài hình chữ nhật ban đầu

y là chiều rộng hình chữ nhật ban đầu

ĐK: x y  2

Diện tích hình chữ nhật ban đầu: xy

Nếu chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật cùng tăng thêm 2m thì diện tích hình chữ

nhật tăng 58m nên ta có phương trình sau: (2 x2)(y2) xy58 (1)

Nếu chiều dài giảm 2m , chiều rộng tăng 3m thì diện tích hình chữ nhật giảm 63m nên ta có 2

phương trình sau: xy (x 2)(y 3) 63 (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình sau:

( 2)( 3) 63







3 2 6 63



 



2 2 54 (3)

3 2 69 (4)



 

Lấy (4) (3) vế theo vế ta được: x 15 (nhận)

Thay x 15 vào (3) ta được:

2.15 2 y54

2y 24

12

y

  (nhận)

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu lần lượt là 15m và 12m

Bài 3. (2 điểm) Cho Parabol  P y: 2x2 và đường thẳng  d :y mx 1

1 Tìm m để  d tiếp xúc với  P .

2 Với m 3;

a) Tìm tọa độ giao điểm của A và B của  d và  P .

b) Hình chiếu của A và B trên Ox theo thứ tự là C và D. Tính S ABCD.

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P :

2

2x mx1 2x2 mx 1 0  1

Ta có:  m2 8

1 Tìm m để  d tiếp xúc với  P .

Để  d tiếp xúc với  P thì phương trình (1) phải có nghiệm kép.

Do đó  0 m2 8 0  m2 8 m2 2

Vậy mới m 2 2 thì  d tiếp xúc với  P .

2 Với m 3;

a) Tìm tọa độ giao điểm của A và B của  d và  P .

Với m 3, Phương trình (1) trở thành: 2x2 3x 1 0 (2)

Ta có: 2 3 1 0   nên phương trình (2) có hai nghiệm x 1 1; 2

1 2

x 

Với x 1 thay vào  P ta được y  , ta có: 2 A1; 2 .

Với

1

2

x 

thay vào  P ta được y 12, ta có:

1 1

;

2 2

B 

 

Vậy với m 3  d và  P cắt nhau tại hai điểm A1; 2 và

1 1

;

2 2

B  

 

2

1

2

1 2

1

1 2

D

A

B

O

C

b) Hình chiếu của A và B trên Ox theo thứ tự là C và D. Tính S ABCD.

Ta có: AC y A 2 (đvđd)

1 1 1

2 2

DC OC OD  x  x   

(đvđd)

1 2

B

BDy 

(đvđd)

2

5

ACDB

BD AC CD

S



(đvdt)

Bài 4. (3,5 điểm) Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ( )O , vẽ hai tiếp tuyến , AB AC với đường tròn (

,

B C là các tiếp điểm) Trong AOC vẽ đường thẳng đi qua A cắt ( ) O tại hai điểm , D E (

AD AE ) Lấy M là trung điểm DE Chứng minh:

a) Bốn điểm , , ,O B A M cùng thuộc đường tròn.

b) Chứng minh: AC2 AD AE

c) Biết AO cắt BC tại I Chứng minh rằng: AI AO. AD AE. và tứ giác OIDE nội tiếp

d) Đường thẳng BC và hai đường phân giác của hai góc BEC BDC,  đồng quy

Lời giải

a) Bốn điểm , , ,O B A M cùng thuộc đường tròn.

Ta có: OBAB (gt)  OBA 90o

M là trung điểm DE nên OM DE ( t/c đường kính và dây cung)

 90o

OMA

Xét tứ giác ABOM có: OBA OMA  90o90o 180o

 Tứ giác ABOM nội tiếp đường tròn

 Bốn điểm , , ,O B A M cùng thuộc đường tròn.

b) Chứng minh: AC2 AD AE

Ta có:

2

DCA 

sđCD (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung).

2

AEC 

sđCD ( góc nội tiếp).

DCA AEC

1 2



sđCD ).

Xét ACE và ADC ta có: DAC chung;  DCA AEC ( cmt)

ACE ADC

  ∽  (g – g).

c) Biết AO cắt BC tại I Chứng minh rằng: AI AO. AD AE. và tứ giác OIDE nội tiếp +) Chứng minh rằng: AI AO. AD AE.

Ta có AB AC là hai tiếp tuyến của đường tròn nên , ABAC

ABC

  cân tại A

Mà OA là tia phân giác BAC ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) nên OABC tại I

Xét OAB vuông tại B có BI OA

  (1)

Mặt khác, AC2 AD AE. ( chứng minh b) và ABAC nên AB2 AD AE. (2)

Từ (1) và (2)  AI AO AD AE  AB2

+) Chứng minh: tứ giác OIDE nội tiếp

Ta có: AI AO. AD AE. ( cmt)

AID AEO

  ∽ 

  ( 2 góc tương ứng)

 tứ giác OIDE nội tiếp ( tứ giác có góc ngoài tại đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện) d) Đường thẳng BC và hai đường phân giác của hai góc BEC BDC,  đồng quy

Gọi T là giao điểm của BC và đường phân giác của BDC

 ∽  ( g – g)

(1)

ADC ACE

 ∽  ( g – g)

(2) và ABAC (3)

Từ (1), (2), (3)

(4)

Lại có: DT là đường phân giác của BDC

(5)

Từ (4), (5)

ET

 là đường phân giác của BEC

 Đường thẳng BC và hai đường phân giác của hai góc BEC BDC,  đồng quy

Bài 5 (0,5 điểm) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn x y z  2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

A

Giải

A

Đặt:

9 2

4 2 2

9

9

x

y z a

z

  







 

 







A

             

c

         

.3 3

A 

1

A

Vậy Amin 1