Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng ABCD sao cho SB SD .. Tính x để diện tích đó lớn nhất... Chứng minh rằng AM BN.
Trang 1Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG 11 trường THPT Quỳnh Lưu II – Nghệ An 2011-2012)
Tìm giới hạn:
3 2 2 1
lim
1
x
x
Lời giải
Ta có
x
và
3 2 2
3
Do đó
3 2 2 1
lim
x
x
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Tìm giới hạn sau:
3
2 1
1
x
lim
x
Lời giải
Ta có
3
1
x
lim
3 2 2
2
x
x
lim
lim
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Tính giới hạn
3
0
4 1 2 2 lim
x
x
Lời giải
Ta có
3
0
2
lim
lim
(1 2 ) 1 2 1
4 1 19
3 4 12
x
x
x
x
Trang 2Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG11 Cao Bằng 2011 - 2012) Tính
1
30 lim
4
x
B
Lời giải
Ta có
30
4
29 28
29 28
Khi đó
1
30 lim
4
x
B
29 28
1
lim
x
Vậy
93 2
B
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] [HSG_NAM ĐỊNH_2011-2012] Tính
2 1
3 2011 2009 lim
1
x
x
Lời giải
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG 11 trường THPT Tiến Thịnh 2009-2010)
Tính giới hạn
2 1
lim
1
n x
x
Lời giải
2 1
lim
1
n x
x
1
lim
1
n
x
x
1
lim
1
n
x
x
1
1 2 3 n
2
n n
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] [HSG11-QUỲNH LƯU-11-12] Tìm giới hạn của hàm số:
3 2 2 1
lim
1
x
x
Lời giải
( 3 2)( 1)( 1) ( ( 7) 2 ( 7) 4)( 1)( 1)
24 ( 3 2)( 1) ( ( 7) 2 ( 7) 4)
x
x
Trang 3Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG11 – THPT Hậu Lộc 4 – Thanh Hóa – 2014 – 2015) Tìm giới hạn sau:
1
lim
1
x
I
x
Lời giải
Ta có:
1
1 ( 3 2) 2 1 ( 9 7 4) 6( 1) lim
1
x
I
x
1
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT 4 Thọ Xuân – Thanh Hóa – 2011 - 2012)
Tính giới hạn sau: L =
3 2 0
lim
x
x
Lời giải
3
1
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] [HSG11_BẮC GIANG_2012-2013] Tình giới hạn
3
0
4 1 2 lim
x
x
Lời giải
3
0
4 1 2 2 lim
x
x
0
lim
x
x
0
lim
x
lim
x
x
x
4 1 19
3 4 12
.
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG cấp tỉnh Hà Tĩnh 2012-2013) Tính giới hạn
3
0
2
lim
x
x x
x
Lời giải
3
1 2 1
x x
x
x
0
2 4
1
x
x
4 1 19
3 4 12
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] Tính giới hạn của hàm số:
3 3 2 2 1
lim
1
x
x
Lời giải
Ta có:
3 3 2 2 1
lim
1
x
x
2 1
lim
1
x
x
Trang 4
3
lim
x
2
2
3
lim
x
11 24
Câu 5 [DS11.C3.3.E03.c] Tính giới hạn:
lim
2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1
Lời giải
Với mọi k nguyên dương, ta có
(k1) k k k 1(k1) k k k 1 k k 1
Do đó:
2 1 2 3 2 2 3 (n1) n n n 1 1 n1
lim
2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1
= 1
Câu 6 [HH11.C1.1.E04.d] Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng
(ABCD sao cho SB SD) Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM với x
2 0
2
a x
Mặt
phẳng () qua M và song song với SA, BD cắt SO, SB, AB lần lượt tại N, P, Q.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì?
b) Cho SA a Tính diện tích MNPQ theo a và x Tính x để diện tích đó lớn nhất.
Lời giải
a) Ta có: SB SD SBC SDC (c-c-c)
Gọi I là trung điểm SC Xét IBC và IDC Ta có: IC cạnh chung, BC CD , DCI BCI
IBC IDC
IBID IBD cân tại I IOBD
Mà OI //SA SA BD (*)
Ta có:
( ) / /
( ) ( )
BD
Trang 5Tương tự:
( ) / /
( ) ( )
BD
Từ (1) và (2), suy ra MQ NP BD (3).// //
Mặt khác:
( ) / /
( ) ( )
SA
Tương tự:
( ) / /
( ) ( )
SA
Từ (4) và (5), suy ra MN //PQ SA (6).//
Từ (3), (6) và (*), suy ra MNPQ là hình chữ nhật.
b) Ta có: S MNPQ MQ MN.
Xét tam giác AQM, ta có:
45 45 90
A
M
cân tại M MQ AM x
Xét tam giác SAO, ta có: MN //SA
2
2 2
a x
2
MNPQ
S MQ MN x a x x a x
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương x 2và a x 2, ta có
x a x
2
2
² 4
a
4
Đẳng thức xảy ra khi x 2 a x 2
2 4
2 2
x
M là trung điểm AO
Vậy, với
2 4
a
x
thì S MNPQđạt giá trị lớn nhất.
Câu 7 [HH11.C2.1.E03.b] Cho hình lập phương ABCD A B C D. Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai
cạnh B C và CD sao cho B M CN Chứng minh rằng AM BN
Lời giải
Đặt AB a AA , b AD c,
, a b c a
, ta có a b a c b c 0
Đặt B M kB C Ta có AM AB BB B M a b kc
, BN BC CN c ka
Suy ra: AM BN a b kc c ka ka2ka2 0
Do đó AM BN
Trang 6Câu 8 [DS11.C3.3.E02.c] Tìm số hạng tổng quát un của dãy số u n
xác định bởi:
1 1
2
, 3
n n
n
u
u
u
Lời giải
Ta có 1
1 1 3
–1 5 n n n
u
3
n n
u u
Nên 1
3
n
u
Đặt
1 1
n n
v u
, ta có 1
1 4
n n
v v
1
1 1 1
u
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng, ta được:
1
4
–1 1
n
v v n
4
1 n 1
4
n
Suy ra
4 3
–1
n u
n
hay
1
n
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là
7 3
n
n
, với n Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG 2018 2019 -THPT Đan Phượng - Hà Nội) Tính giới hạn
2 3 1
I lim
x
Lời giải
+) Xét
3 2 1
J lim
x
3
1
lim
x
+)Tính 1 2
2 1 1
A lim
x
x
2 2 1
lim
x
x
1
lim
x
x
2
+Tính
3 2 1
B lim
x
x
3
3 3
lim
x
x
1 3 3 2
1 lim
x
x
1 3 3 2
lim
3
x
Khi đó:
J A + B 1
Vậy
I =
J 4.
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] [ HSG CẨM THỦY 2008 – 2009] Tìm giới hạn sau:
3
2 0
lim
x
x
Lời giải
3
Trang 7
3
x
9
9 2
2
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] Tính giới hạn hàm số 6
cos 3 sin lim
cos3
x
L
x
Lời giải
2( cos sin )
6
3 3sin( ) 4sin ( ) 3 4sin ( )
L
x
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG Toán 11 - THPT ĐAN PHƯỢNG Hà Nội năm 1415) Tính:
2 3
1
lim
1
x
L
x
Lời giải
2 3
1
2 3
1
lim
1
lim
lim
12 2
7
12
x
x
x
L
x
x x
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] Tùy theo giá trị của tham số m , tính giới hạn
Lời giải
Tính lim3 3 2 2 1 4 2 2 3
Nếu m thì 3 lim3 3 2 2 1 4 2 2 3 3
lim
x
Trang 8
2
2
lim
3 2
x
2
2 2
lim
3 2
x
x x
x
2 1
3 2
6
Nếu m thì 3 lim3 3 2 2 1 4 2 2 3
Nếu m thì 3 lim3 3 2 2 1 4 2 2 3
Câu 1 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG Toán 11 – Cụm Hà Đông năm 1819) Tính
2018 2018 2018 2018 1
lim
1
x
x
Lời giải
2018
S C C x C x C x x
2018
S C C x C x C x x
2018 2018 2018 2018
1
2
2018 2018 2018 2018 1
2 lim
1
x
x
2018 2018 2018
1
lim
x
x
2018 2018 2017 1
lim
x
x
1
lim
x
x
1
lim
x
2016
2018.2