D01 sử dụng bđt cổ điển muc do 2

Chứng minh rằng:.. Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức Khai triển và rút gọn, ta được: luôn đúng Tương tự cho các trường hợp còn lại.. Cộng bất đẳng thức với hai bất đẳng thức tương tự,

Câu 1 [DS10.C4.2.E01.b] (Olimpic Toán 10 - Đồng Nai 1718) Xét các số thực dươngx y z, , thỏa mãn

1 1 1

2

xyz  Chứng minh rằng:x y 2z2  Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào ?6

Lời giải

Theo bất đẳng thức quen thuộc thì

4 1 1 1 2 1



    



Suy ra

4

2 1

z

x y

z

 

 với

1 2

z 

Do đó, ta cần chứng minh 4 2   2 

2 1

z

z       , đúng Đẳng thức xảy ra khi x y 2,z1

Câu 1 [DS10.C4.2.E01.b] (HSG Toán 11 - THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An năm 1718) Chứng minh:

a b c a bc b ac c ab ; a , b , c0.

Lời giải

a b c a bc b ac c ab ; a , b , c0.

3 2 2

a abc a bc , b3abc2b2 ac , c3abc2c2 ab

3 3 33 2 2  2  2

 2a3b3c3 2a2 bc b 2 ac c 2 ab, vì : a3b3c33abc

Vậy: a3b3c3 a bc b2  2 ac c 2 ab

Câu 1 [DS10.C4.2.E01.b] (HSG Toán 11 - Bắc Giang năm 1213) Cho a b c; ; là 3 cạnh của một tam giác

có chu vi bằng 3 Chứng minh rằng

1

Lời giải

Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương

3 1 , ,

3 3 3

c

a b c 

ta được

3

(1)

a b c c

a b c c

 

    

Tương tự:

3

(2)

b c a a

b c a a

 

    

3

(3)

c a b b

c a b b

 

    

Cộng (1); (2); (3)ta suy ra điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi

1

a b c  

Câu 1 [DS10.C4.2.E01.b] (HSG Toán 11 – Vĩnh Long năm 1314) Cho a, b, clà các số thực dương thỏa

mãn a b c   Chứng minh rằng:3

33a5b3 3b5c33c5a 6

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương 8,8,3a5bta có:

3

a b      a b   

Tương tự ta cũng có

3 5

12

b c

b c   

,

3 5

12

c a

c a  

Do đó

12

a b c

a b b c c a     

.(dpcm) Dấu bằng xảy ra khi a b c   1

Câu 1 [DS10.C4.2.E01.b] Cho , , là các số thực dương Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta chứng minh bất đẳng thức

Khai triển và rút gọn, ta được: (luôn đúng)

Tương tự cho các trường hợp còn lại

Cộng bất đẳng thức với hai bất đẳng thức tương tự, suy ra đpcm

Câu 1 [DS10.C4.2.E01.b] (HSG 11-Quỳnh Lưu 3-19-20) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều

kiện x2y2z2 3 Chứng minh rằng

9

x y z

y z x x y z  Lời giải

Ta có

Đặt

HẾT

-Câu 1 [DS10.C4.2.E01.b] (HSG Toán 12 - Hòa Bình năm 1718) Cho a và b là hai số thực dương.

Chứng minh rằng a b 2a2b2 8a b2 2

Lời giải

Ta có a b 2 4ab0;

a2b2 2ab0 Nhân các vế tương ứng các BĐT trên ta suy ra điều cần chứng minh

Câu 1 [DS10.C4.2.E01.b] Cho các số thực dương ,a b thỏa mãn a a 3 b b3 Chứng minh a2b2 1

Lời giải

a b c

a bc b ca c ab

1

a bc

a b a c



(a2 bc)(2a22ab2ac b 2c2) ( a2ab bc ca  )2

4 2 2 2

2

a b c a bc  (a2 bc)20

 1

2 2 2

y z x x y z z x x y z z x

2

3

9

2

2

2

t

 

a a b b     a a   a

Với a 0,1

thì a a 3 Do đó, 1 1 b b32 b b. 32b2 b 0,1 Giả sử, a2b2 Từ giả thiết ta suy ra1

a b a b    a b a b ab   a b  ab  ab a b  (vô lí) Vậy a2b2 1