Phép chia có dưTrên đây, ta đã nói đến phép chia hết, tuy nhiên nếu cho truớc hai số nguyên a và b thì không phải bao giờ cũng tìm đuợc số nguyên q sao cho a = b.q.. THUẬT TOÁN Ơ-CLÍT EU
Trang 1Lưu ý : Khi a chia hết cho b thì a cũng chia hết cho – b nên ta chỉ xét các ước
nguyên dương của a
Ví dụ: số 28 có các ước là ±1, ±2, ±4, ±7, ±14 và ±28 và ta chỉ xét các ướcdưong của 28 là 1, 2, 4, 7, 14 và 28
Từ định nghĩa trên ta rút ra một số tính chất:
a) Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
b) Nếu hai số a và b đều chia hết cho m thì ax ± by cũng chia hết cho m
với mọi x, y nguyên Đặc biệt a ± b cũng chia hết cho m.
c) Nếu a chia hết cho tích m.n thì a chìa hết cho m và a chia hết cho n.
Chú ý: Điều ngược lại nói chung không đúng, chẳng hạn 28 chia hết cho 4 và 14
nhưng không chia hết cho 4 x 14 = 56
Trang 22 Phép chia có dư
Trên đây, ta đã nói đến phép chia hết, tuy nhiên nếu cho truớc hai số nguyên a
và b thì không phải bao giờ cũng tìm đuợc số nguyên q sao cho a = b.q Chẳng hạn a =
1979 và b = 22 thì không có số nguyên q nào để 1979 = 22.q Người ta đã chứng minh
được định lí sau đây về phép chia
Trang 3(20, 12) = (12, 8) = (8,4) = (4,4) = 4.
e) Nếu (a, c) = 1 thì (ab, c) = (b, c).
f)(a1, a2,…., an) = (d, a n ), trong đó d= (a1, a2, …,a n -1).
g)Cho (a, b) = d Khi đó, nếu d' là ước chung của a và b thì d' là ước của d.
THUẬT TOÁN Ơ-CLÍT (EUCLIDE)
Để tìm ƯCLN của hai số a và b trong trường hợp a không chia hết cho b, ngoài cách phân tích các số a, b ra thừa sô nguyên tố ta còn có một thuật toán hiệu quả xuất
Dãy các phép chia liên tiếp này được gọi là thuật toán Ơ-clít thực hiện trên hai số
a và b Sau không quá n + 1 phép chia, ta nhận được r n+1 = 0 và thuật toán dừng lại.Khi đó, ta có
Trang 44 Bội số chung nhỏ nhất
Cho hai số nguyên a và b khác 0 So nguyên m được gọi là bội (số) chung của a
và b nếu m là bội của cả a và b Số dương nhỏ nhất trong các bội số chung của a và b được gọi là bội (số) chung nhỏ nhất của a và b, kí hiệu là BCNN(a, b) hay đơn giản là [a, b].
Nhận xét: Ta có BCNN(a,b) > 0 hay [a, b] > 0 với mọi a và b khác 0.
Một cách tương tự, ta cũng có định nghĩa bội số chung nhỏ nhất của n số nguyên
d) Nếu số dương d là ước chung của a và b thì
e) (a, b).[a, b] = a.b, với mọi a, b thoả mãn a.b > 0.
b) Nếu tích a.b chia hết cho c và (b, c) = 1 thì a chia hết cho c.
c) Cho p là một số nguyên tố Khi đó: nếu tích ab chia hết cho p thì a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p.
d) Khi chia n + 1 số nguyên dương liên tiếp cho n (n > 1) luôn nhận được hai
Trang 5Cho a là một số nguyên Tìm ƯCLN (2a + 3, 3a + 4).
g) Nếu (a, b) = d thì tồn tại hai số nguyên x và y sao cho :
(a, b) = 1 khi và chỉ khi tồn tại hai số nguyên x, y sao cho ax + by = 1.
Chú ý: Bằng cách chứng minh tương tự như trên ta cũng có thể chứng minh
được nếu (a, b) = d và a, b > 0 thì tồn tại hai số nguyên dương x, y sao cho ax - bý
Cho a, b là các số nguyên và n là số tự nhiên Khi đỏ ta có
• Nếu a - b 0 thì a n - b n chia hết cho (a - b).
• Nếu a + b 0 và n lẻ thì a n + b n chia hết cho a + b.
7. Một số ví dụ
• Ví dụ 1
Trang 6Ví dụ 2: Cho a, b là các sô nguyên dương sao cho a + b chia hêt
cho tích a.b Hãy tính giá trị của biểu thức
A=
(Thi học sinh giỏi Toán 9 - Thành phố Hà Nội, năm 2002).
Chứng minh răng với mọi số nguyên dương n ta đêu có n 3 + 5n
chia hêt cho 6
(Thi vào lớp 10 chuyên, ĐHKHTN-DHQGHN năm 1996)
Lời giải
Gọi d = (2a + 3, 3a + 4), ta có d\2a +3 và d\3a + 4.
Vì 3(2a + 3) - 2(3a + 4) = 1 nên d là ước của 1 hay d = 1.
.
Lời giải
Gọi d = (a, b) thì a = d.a 1 và b = d.b 1 với (a1, b1) = 1 Ta có :
a 2 +b 2 =d 2 (a 2 +b 2 ) và ab = d 2 a 1 b 1
Vì a 2 + b 2 chia hết cho ab nền a 2 + b 2 chia hết cho a 1 b 1 Suy ra + chia hết
cho a 1 và b 1 Suy ra chia hết cho b 1 và chia hết cho a 1
Vì (a 1 , b 1 ) = nên a1 chia hết cho b1 và b1 chia hết cho a1
Suy ra a 1 = b 1 = 1 Vậy,
Lời Giải
Ta có n 3 + 5n = (n3 – n) + 6n Để chứng minh n 3 + 5n chia hết cho 6 ta chứng
minh n 3 – n chia hết cho 6
Do n 3 – n = n(n – 1)(n + 1) là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết 2 và 3.
• Ví dụ 3
Trang 7Cho a, b, c là các số nguyên Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 chia hết 6 khi
và chỉ khi a + b + c chia hết cho 6
Chứng minh S= n 2 + 3n - 38 không chia hết cho 49, với mọi số tự nhiên
Theo ví dụ 3 thì a 3 - a, b 3 – b và c 3 - c đểu chia hểt cho 6 Suy ra A chia hết cho
6 Vậy, a + b + c chia hết cho 6 khi và chỉ khi a + b + c chia hết cho 6.
Ta có 2004 = 12 x 167 Vì (12, 167) = 1 nên để chửng minh A chia hết cho 2004
ta chứng minh A chia hết cho 12 và 167.
Trang 8suy ra 2005n – 1897n chia hết cho 2005 - 1897 = 108 = 12 x 9.
Suy ra 2005n – 1897n chia hết cho 12 Mặt khác, 168 và 60 đều chia hết cho 12 nên 168n – 60n chia hết cho 12 Vậy A chia hết cho 12.
Tuơng tự như trên, ta có
A = (2005 n – 168 n ) - (1897 n – 60 n ).
Cũng lập luận tự như trên, ta có 2005n - 168n chia hết cho 2005 - 168 = 1837 ;
1897n – 60n chia hết cho 1897 - 60 = 1837 và 1837 =11 x 167 nên 2005n - 168n và
1897n – 60n chia hết cho 167 Suy ra A chia hết cho 167.
Vậy ta có điều phải chứng minh
BÀI TẬP
1.1 Chửng minh a + 2b chia hết cho 3 khi và chỉ khi b + 2a chia hết cho 3,
1.2 Giả sử a - c là ước của ab + cd Chứng minh rằng a - c cũng là ước của
ad+bc.
1.3 Cho a, b N Chứng minh Z khi và chỉ khi Z
1.4 Cho n nguyên dương Chứng minh rằng
1.7 Giả sử (a, n) = p và (b, n) = q Chứng minh rằng (ab, n) = (pq, n).
1.8 Cho a < b < c và b = aq 1 + r 1, c = a.q 2 + r 2 Chứng minh rằng
(a, b, c) = (a, r 1 , r 2 ).
Trang 91.9 Chứng minh rằng vớị mọi số tự nhiên n, các phân số sau là phân số tối giản
Trang 101.15. Cho m, n là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau Hãy tìm ước số chung lớn
nhất của hai sô A = m + n và B = m 2 + n 2 .
(Thi học sinh giỏi Toán toàn quốc — lớp 9 năm 1979).
1.16 Xác định ước số chung lớn nhất của hai số sau :
a) (7a+l, 8a + 3);
b) (11a + 2, 18a + 5);
trong đó a là một số nguyên cho trước
1.17. Cho n là một số nguyên dương Hãy tính bội số chung nhỏ nhất của các số
n, n + 1, n + 2.
1.18. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có
[1, 2, , 2n] = [n + 1, n + 2, ,,n + n]
1.19. Cho số nguyên a không chia hết cho 2 và 3 Chứng minh rằng :
A = 4a 2 + 3a + 5 chia hêt cho 6.
1.21. Chứng minh răng A(n) = n2 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24
(Thỉ học sinh giỏi Toán toàn quốc - lớp 9 năm 1975)
1.22. Chứng minh rằng n 5 -n chia hết cho 30, với mọi n.
1.23. Chứng minh rằng m 3 + 3m 2 - m - 3 chia hết cho 48, với mọi m lẻ.
1.24. Chứng minh rằng n 12 –n 8 - n 4 + 1 chia hết cho 512, với mọi n lẻ.
1.25 Chứng minh rằng A(n) – n 4 – 14n3 + 71n 2 – 154n + 120 chia hết cho 24, với
Trang 11mọi số tự nhiên n.
1.26 Chứng minh rằng n 4 - 4n 3 -4n 2 +16n chia hêt cho 384, với mọi số tự nhiên n
chẵn
(Thi học sinh giỏi toàn quốc - lớp 9 năm 1970)
1.27 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n 2 + 9n - 2 chia hêt cho 11.
(Thi vào lớp 10 chuyên, ĐHKHTN - ĐHQGHN năm 1999)
1.28 Tìm tất cả các số nguyên x sao cho : (x - 8x + 2x) chia hết cho x + 1.
(Thi vô địch Bun-ga-ri năm 1977)
1.29 Cho f(x) = ax + bx + c thoả mãn : f(x) Z, x Z Hỏi a, b, c có nhất thiết phải
là các số nguyên hay không? Tại sao?
(Thi vào lớp 10 chuyên, ĐHKHTN - ĐHQGHN năm 2001)
1.30 Chứng minh n 2 + n + 2 không chia hết cho 15, với mọi n thuộc Z.
1.31 Chứng minh n 2 + 3n + 5 không chia hêt cho 121, với mọi n thuộc N.
1.32 Chứng minh 9n 3 + 9n 2 + 3n - 16 không chia hết cho 343, với mọi n thuộc N.
1.33 Chứng minh 4n3 – 6n 3 + 3n + 37 không chia hết cho 125, với mọi n thuộc N.
1.34 Cho a và b thuộc N Chứng minh rằng 5a 2 + 15ab – b 2 chia hết cho 49 khi và
chỉ khi 3a + b chia hết cho 7.
1.35 Cho a, b N Chứng minh rằng 2a + b chia hết cho 7 khi và chỉ khi
3a2 + 10ab - 8b 2 chia hết cho 49.
1.36 Cho n N Chứng minh rằng số A = 5 n (5 n + 1) - 6 n (3 n + 2 n ) chia hết cho 91.
(Thi vào lớp 10 chuyên, ĐHSPHN năm 1998).
1.37 Cho n N Chứng minh 6 2n + 19n – 2n+ 1 chia hết cho 17
Trang 121.38 Chứng minh 28n .56n – 1980n – 441n + 1 chia hết cho 1979, với mọi n thuộc N.
1.39 Chứng minh 118n - 101n - 16n - 1 chia hết cho 234, với mọi n lẻ.
1.40 Chứng minh 11n + 2 + 122n + 1 chia hết cho 133, với mọi n thuộc N.
1.41 Chứng minh 52n- 1 2 n + 1 + 3n+1.2 2n 1 chia hết cho 38, với mọi n thuộc N*
1.42 Chứng minh 5n + 2 + 26.5n + 82n+1 chia hết cho 59, với mọi n thuộc N.
Trang 131.43 Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho 29n là ước của 2003!.
1.44 Tìm số tự nhiên k lớn nhất sao cho (1994!)1995 : 1995k
(Thi học sinh giỏi Toán toàn quốc — lớp 9, năm 1994).
1.45 Cho n thuộc N và n > 3 Chứng minh rằng nếu 2n = 10a + b (0 < b < 10) thì tích
a.b chia hết cho 6.
(Thi học sinh giỏi Toán toàn quốc — lớp 9 năm 1983).
1.46 Cho n thuộc N, n > 1 Chứng minh T n = l5 + 25 + + n 5 chia hết cho tổng của n
số tự nhiên đầu tiên S n = 1 + 2 + + n.
(Thi vào lớp 10 chuyên ĐHSPHN năm 2001).
1.47 Tìm n nguyên dương sao cho (n-1)! chia hết cho n.
(Thi vôđịch Hungari năm 1951).
1.48 Xác định n nguyên dương (n > 3) sao cho số A = 1.2.3 n (tích của n số nguyên
dương đầu tiên) chia hết cho B = 1 + 2 + + n.
(Thi vào lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQGHN năm 1994).
1.49 Cho a và m là các số nguyên dương và a > 1 Chứng minh rằng
1.52. Cho a, b là hai số nguyên dương không nhỏ hơn 2 và nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh rằng nếu m, n là hai số nguyên dương thỏa mãn a n + b n \ a m + b m thì ta cũng có n\ m.
Trang 141.53. Cho a, b, n là các số nguyên dương Biết rằng với mọi số tự nhiên k b ta đều
có kn – a chia hết cho k – b Chứng minh a = b n
Trang 151.54. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho 4n 2 +1 chia hết cho cả 5
và 13
1.55. Giả sử 1 - + - …+ trong đó p, q là các số nguyên Chứng
minh rằng p chia hết cho 1979.
1.56. Cho a 1 , an, …, an {1, -1}, n eN* và thoả mãn :
a1a2 + a1a3 + …+ ana1 = 0
Chứng minh n chia hết cho 4.
1.57. Chứng minh rằng tổng bình phương của p số nguyên liên tiếp (p là số nguyên tố,
1.59 Có tồn tại hay không 4004 số nguyên dương sao cho tổng của 2003 số bất kì đều
không chia hết cho 2003
(Balkan 2003).
1.60. Tìm một cặp số nguyên dương (a, b) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
a) ab(a + b) không chia hết cho 7.
b) (a + b)7 - a - b7 chia hết cho 77
(IMO-1984).
1.61. Giả sử a, b là hai số nguyên dương khác nhau Chứng minh rằng tồn tại vô số số
tự nhiên n sao cho a + n và b + n là hai số nguyên tố cùng nhau.
LỜI GIẢI – HƯỚNG DẪN – ĐÁP SỐ
1.1 Suy ra từ đẳng thức : (a + 2b) + (b + 2a) = 3(a + b).
1.2 Suy ra từ đẳng thức : (ab + cd) - (ad + bc) = (a- c)(b - d).
1.3 Suy ra từ đẳng thức 5 - 2
1.4 Giả sử d = (n! + 1, (n + 1)! + 1).
Ta có d\n! + 1 và d \ (n + 1)! + 1 nên d \ (n + 1)! + 1 - n! - 1 =
Trang 16Vì d\n! + 1 nên (d, n) = (d, n!) = 1 Từ (1) suy ra d= 1.
1.5 Giả sử d = (a, b) và d' = (5a + 3b, 13a + 8b).
Vì d\ a và d\ b nên d\ 5a + 3b và d\ 13a + 8b Suy ra d\d ' (1)
1.6 Giải tương tự bài 1.5.
1.7 Ta có (a, n)-p nên a =p.a 1 , n =pn 1 với (a 1, n 1) = 1 Suy ra
(ab, n) = (pa 1 b, pn) =p.(a 1 b, n 1 ) =p(b, n 1 ) = (pb, n)
Vì (b, n) = q nên b = q.b 1 và n = q.n 2 với (b1, n 2 ) = 1 Suy ra
Phân số B tối giản khi và chỉ khi (2n + 3, 5) = 1
Ta có (2n + 3, 5) 1 khi và chỉ khi 5 \ 2n + 3 hay 2n + 3 = 5a.
Trang 17Ngược lại, nếu n + 5 chia hết cho 29 thì có thể đặt
n + 5 = 29.m (m N*)
Khi đó n2 + 4 = 29(29m2 – 10m + 1) chia hết cho 29 nên A chưa tối giản.
Như vậy, ta chỉ cần tìm n sao cho n + 5 = 29m, với m N*
Ta có 1 < n < 2002 khi và chỉ khi 1 < m < 69.
Vậy có tất cả 69 giá trị của n để A là phân số chưa tối giản.
1.12 Giải tương tự bài 5.
1.13 Giải tương tự bài 5.
1.14 Giải tương tự bài 5.
1.15 Giả sử d= (A, B) (d > 1) Ta có d \A 2 - B suy ra d\2mn. (1)
Vì d\A nên d\2n.A hay d\2mn + 2n2 Suy ra d\2n2 (2)
Tương tự ta cũng có d\ 2m 2
Vì (m, n) = 1 nên m, n không cùng chẵn Xét các trường hợp:
•Nếu m, n khác tính chẵn lẻ thì d lẻ Từ (2) và (3) ta suy ra d \ m 2 và d \ n 2 Vì (m, n) = 1 nên d = 1.
Trang 18• Nếu a = 19m - 14, m Z thì (11a + 2, 18a + 5) = 19
• Nếu a 19m - 14, m Z thì (11a + 2, 18a + 5) = 1.
Trang 19Trong a số nguyên liên tiếp n + 1, , n + a luôn có một số chia hết cho a nên a \
m’ Suy ra các số 1, 2, …,2n đều là ước của m ’ hay m\m’
Vì tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 nên A(n) chia hết cho 3 Trong
bốn số ngưyên liên tiếp luôn có hai số chẵn liên tiếp, một trong hai số đó chia hết
cho 4 nên A(n) chia hết cho 8.
Vì (3, 8) =1 nên A(n) chia hết cho 3 x 8 = 24.
1.22. Ta có 30 = 6 x 5 Vì (6, 5) = 1 nên để chứng minh n 5 — n chia hết cho 30 ta
chứng minh n 5 - n chia hết cho 6 và 5.
Ta có n 5 - n = (n-1)n(n +1)(n2 + 1) Vì (n - 1)n(n + 1) là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 Suy ra n 5 - n chia hết cho 2 x 3 = 6.
Mặt khác ta lại có
n 5 - n = (n-1)n(n + 1)(n 2 - 4 + 5)
= (n-2)(n-1)n(n - l)(n +2) + 5(n-1)n(n + 1).
Trang 20Vi (n - 2)(n – 1)n(n + l)(n + 2) là tích của năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 Suy ra n 5
Vì A(n) là tích của bốn số nguyên liên tiêp nên A(n) chia hêt cho 3.
Trong bốn số nguyên liên tiếp n-2, n-3, n-4, n-5 luôn có hai số chẵn liên tiếp Một trong hai số
đó chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2 nên A(n) chia hết cho 8 Vì (3,8)= 1 nên A(n) chia hết
Trang 21=>n 2 + n + 2 = (n 2 - 1) + n + 3 không chia hết cho 3, mâu thuẫn với (1).
1.31. Giả sử n2 + 3n + 5 121 suy ra n2 + 3n + 5 11 hay 4n2 + 12n + 20 11
Trang 221.32 Giải tương tự bài 1.31
1.33 Giải tương tự bài 1.31
1.39 Giải tương tự bài 1.36.
1.40 Giải tựơng tự bài 1.37.
Trang 232A-BD SỐ HỌC 9
1.41 Giải tương tự bài 1.36.
1.42. Giải tương tự bài 1.37
1.43. Các số chia hết cho 29 trong khoảng từ 1 đến 2003 là:
29 x 1, 29 x 2, 29 x 3, , 29 x 69
Suy ra 2003! = 2969.69!.A, trong đó (A, 29) = 1.
Các số chia hết cho 29 trong khoảng từ 1 đến 69 là: 29 x 1, 29 x 2
Suy ra: 69! = 292.2! B, trong đó (B, 29) = 1.
Vậy 2003! = 2971.2.A.B, trong đó (A.B, 29) =1.
Trang 24Tổng quát, ta có thể chứng minh được:
1k + 2 k + + n k chia hết cho 1 + 2 + + n, n , k N, n > 1 và k lẻ
1.47 Dễ thấy n - 1 thỏa mãn và n = 4 không thỏa mãn Xét n > 1 và n 4:
Từ giả thiết suy ra n là hợp số, như vậy n cỏ thể viết được dưới dạng
n -p.q, trong đó p, q là các sô nguyên dương thỏa mãn: 2 </p, q <
• Nếu p q thì trong tích (n - 1)! = 1.2 n chứa cả hai số p và q nên (n - 1)! chia hết cho n.
• Nếu p = q thì/q > 2 và trong tích (n - 1)! chứa cả p và 2p nên (n-1)!
Trang 25nên d' chia hết cho ad - 1 (1)
Mặt khác, vì d= (m, n) nên tồn tại hai số nguyên dương x, y sao cho
a m-n - b m-n = a m-2n (a n + b n ) - b n (a m-2n + b m-2n ).
Suy ra a n + b n \ a m - 2n - b m - 2n
Cứ lặp lại cách làm trên ta suy ra a n + b n \a m-n.k + (-1)kbm - nk, k<q.
Đặc biệt với k = q ta có a + b n \ a r + (-1) q b r Điều này không xảy ra vì
0 < r ( 1)q r
a b < a r +b r < a n + b n
1.53 Ta có k- b \ k n - a = (k n - b n ) + (b n - a) và k – b \ k n - b n nên k- b \ b n - a.
Vì điều này đúng với mọi k nên chọn k sao cho k - b > |b n - a |.
Vì b n - a chia hết cho k - b nên b n - a = 0 hay a = b n
1.54 Cần tìm n sao cho 4n2 + 1 chia hết cho 65 Đặt n = 65k + r, ta chọn r sao
cho 4r2 + 1 = 65 hay r = ± 4.
Khi đó, mọi số n có dạng 65k ± 4 đều thỏa mãn.
Trang 26Từ (1) và (2) suy ra m chẵn và điều đó có nghĩa là n chia hết cho 4.
1.57. Giả sử p số nguyên liên tiếp đó là: a + 1, a + 2, , a +p (a Z)
Đặt A = (a + l)2 + (a + 2)2 + + (a + p 2 Ta có
A = p.a 2 + 2(1 + 2 + + p)a + (12 + 22 + + p 2 )
Mặt khác: 1 + 2 +…+ p = p p ( 2 1) , 12 + 22 + + p 2 = p p ( 1)(2 p 1)6
Suy ra 6A = p [6a2 + 6(p + l)a + (p +1)(2p + 1)] chia hết cho p.
Do p là số nguyên tố và p > 3 nên (p, 6) = 1 Vậy A chia hết cho p.
1.58. Vì a2001 –a 2000 = a 2000 (a-1) >22000 = 1024200 >10600 nên giữa a2000 và
a2001 có ít nhất 10600 số nguyên dương liên tiếp Trong số đó, tồn tại một số chiahết cho 10600, đó chính là số A cần tìm.