Đơn thức và đơn thức thu gọn
○ Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến hoặc một tích giữa các số và các biến.
○ Số 0 được gọi làđơn thức không.
Đơn thức thu gọn là biểu thức toán học bao gồm tích của một số và các biến, trong đó mỗi biến được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương Hệ số là số đứng trước các biến, trong khi phần còn lại tạo thành phần biến của đơn thức thu gọn.
— Ta cũng coi một số là đơn thức thu gọn.
— Trong đơn thức thu gọn, mỗi biến chỉ được viết một lần.
○ Bậc của đơn thức có hệ số khác0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.
— Số thực khác 0là đơn thức bậc không.
— Số 0 được coi là đơn thức không có bậc.
○ Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.
Đơn thức đồng dạng
○ Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác0 và có cùng phần biến Các số khác0 được coi là những đơn thức đồng dạng.
Hai đơn thức đồng dạng thì có cùng bậc
○ Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Nhận biết đơn thức
Để xác định một biểu thức đại số là đơn thức, ta dựa vào định nghĩa đơn thức, bao gồm một số, một biến hoặc một tích của các số và biến Ví dụ, trong các biểu thức đã cho, cần phân tích để nhận diện biểu thức nào là đơn thức.
. cVí dụ 2 Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không phải là đơn thức?
Tính tích các đơn thức
Để nhân hai hay nhiều đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau. cVí dụ 3 Thu gọn các đơn thức sau: x 2 ã Å
. cVí dụ 4. a) Thu gọn đơn thức 3x 2 ã4xđược đơn thức nào? b) Thu gọn đơn thức 4xyzã5x 2 yz 3 được đơn thức nào?
. cVí dụ 5 Xác định hệ số của các đơn thức sau:
Xác định bậc của đơn thức
Bậc của một đơn thức có hệ số khác 0 được xác định bằng tổng số mũ của tất cả các biến trong đơn thức đó Ví dụ, hãy tính tích của các đơn thức và sau đó xác định bậc của đơn thức thu gọn.
. cVí dụ 7. a) Bậc của đơn thức 7xy 2 z 6 bằng bao nhiêu? b) Bậc của đơn thức A= 7ã(x 2 y) 2 bằng bao nhiờu?
. cVớ dụ 8 Cho đơn thứcP = (xy 2 ) 3 ã Å1
2x 2 y ã Xác định bậc của đơn thức P 3
. cVí dụ 9 Thu gọn các đơn thức sau, xác định hệ số và phần biến, bậc của đơn thức sau khi thu gọn a) A Å
Tính giá trị của đơn thức
Thay giá trị của các biến vào đơn thức rồi thực hiện phép tính. cVí dụ 10 Tính giá trị của đơn thức−3
. cVí dụ 11 Tính giá trị của đơn thức a) 2015ãx 2 y 2 ạix=−2;y = 1
Nhận biết đơn thức đồng dạng
Hai đơn thức đồng dạng là những đơn thức có hệ số khác 0 và phần biến giống nhau Tất cả các đơn thức có hệ số khác 0 được xem là đồng dạng Ví dụ, hãy xếp các đơn thức sau thành từng nhóm các đơn thức đồng dạng.
. cVí dụ 13 Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau
. cVí dụ 14 Trong các đơn thức sau, đơn thức nào đồng dạng với đơn thức−3x 2 yz?
. cVí dụ 15 Trong các đơn thức sau, đơn thức nào không đồng dạng với đơn thức 2xy 2 z 3 ?
Cộng trừ các đơn thức đồng dạng
Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến. cVí dụ 16 Tính tổng
. cVí dụ 19 Tính giá trị của biểu thức P = 2011x 2 y+ 12x 2 y−2015x 2 y, tạix=−1,y= 2.
Tìm đơn thức thỏa mãn đẳng thức
Phương pháp chung là sử dụng quy tắc chuyển vế:
○ NếuB−M =A thì M =B−A. cVí dụ 20 Xác định đơn thức M để 2x 4 y 3 +M =−3x 4 y 3
. cVí dụ 21 Cho đơn thức N thỏa mãn −2xy+N =xy Tìm đơn thức N.
Vận dụng
Khái niệm đa thức
○ Đa thức là một tổng của những đơn thức Mỗi đơn thức trong (tổng gọi là một hạng từ của đa thức đó.
Mỗi đơn thức được coi là một đa thức.
Đa thức thu gọn
○ Đưa đa thức về dạng thu gọn tức là trong đa thức không còn hai hạng tử đồng dạng.
Ta thường viết một đa thức dưới dạng thu gọn (nếu không có yêu cầu gì khác)
Bậc của đa thức
○ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.
○ Số 0 cũng được gọi là đa thức không và nó không có bậc.
○ Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết phải thu gọn đa thức đó.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Nhận biết đa thức
○ Đa thức là một tổng của các đơn thức.
○ Mỗi đơn thức được coi là một đa thức. cVí dụ 1 Hãy chỉ ra các đa thức trong các biểu thức sau x−1 + 2 x; xyz−ax 2 ; 101; y 3 −4; z+ 1 x 2 + 2+yz; xã(y+ 2).
. cVí dụ 2 Choalà hằng số Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?
Thu gọn đa thức
Muốn thu gọn một đa thức, ta thực hiện
○ Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.
○ Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm. cVí dụ 3 Thu gọn các đa thức sau a) A= 5x 3 y 2 + 3y 2 x 3 −4x 3 y 2 ; b) B = 5x 2 y−2xy 2 + 3x 3 y 3 + 3xy 2 −4x 2 y−4x 3 y 3 ; c) C= (5x+ 5y)−(3x−2y).
. cVí dụ 4 Thu gọn các đa thức sau
Tìm bậc của đa thức
○ Viết đa thức dưới dạng thu gọn (nếu đa thức chưa thu gọn).
Bậc của đa thức được xác định bởi hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của nó Ví dụ, đối với đa thức A = 3x^4y^3 − 4x^2y^3 + 2x^2y^3 + 5x^2y − 4x^4y^3, sau khi thu gọn, bậc của A là 4 Tương tự, với đa thức B = 3x^2y^3z^4 + 3x^4 − 5x^2y^3z^4 + 6y^2z^3 + 2x^2y^3z^4, bậc cao nhất sau khi thu gọn là 4.
. cVí dụ 6 Tìm bậc của đa thức sau
. cVí dụ 7 Thu gọn các đa thức sau rồi tìm bậc của chúng a) P =−4x 3 y 3 −3x 4 y 3 +x 4 y 3 −6xy 2 + 4x 3 y 3 ; b) Q=xy−x+ 1 + 2xy−(xy−x+ 2); c) R=x 2 y+ 2xxy−3xz+x 2 y−2xy+ 3xz.
. cVí dụ 8 Cho đa thứcP = 4x 5 y 2 −3x y + 7x 3 y+ax 5 y 2 (ahằng số) Để đa thức P có bậc là 4 thì giá trị củaalà bao nhiêu?
Vận dụng
Để tính số tiền phải trả khi mua, ta có thể biểu thị bằng các biểu thức toán học a) Mua 8 quyển vở và 7 cái bút sẽ có biểu thức là \( 8x + 7y \), với \( x \) là giá mỗi quyển vở và \( y \) là giá mỗi cái bút b) Mua 3 xấp vở và 2 hộp bút, với mỗi xấp vở có 10 quyển và mỗi hộp bút có 12 chiếc, sẽ có biểu thức là \( 30x + 24y \) c) Cả hai biểu thức trên đều là đa thức vì chúng đều có dạng tổng của các hạng tử.
Bức tường hình thang có cửa sổ hình tròn cần tính diện tích không bao gồm phần cửa sổ Để tính diện tích bức tường, ta sử dụng công thức phù hợp với kích thước đã cho Khi a = 2 m, h = 3 m và r = 0,5 m, ta thay các giá trị vào biểu thức và tính toán Với π ≈ 3,14, kết quả cuối cùng được làm tròn đến hàng phần trăm để có diện tích chính xác của bức tường.
C – BÀI TẬP VẬN DỤNG cBài 1 Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức? x 2 + 2y; 2x 2 y; 2x 2 y ; x 2 + 2 y ; x 2 +y
. cBài 2 Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức?
. cBài 3 Thu gọn các đa thức sau
. cBài 4 Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử trong đa thức sau: x 2 y−3xy+ 5x 2 y 2 + 0,5x−4; a) x√
. cBài 6 Thu gọn đa thức: a) 5x 4 −2x 3 y+ 20xy 3 + 6x 3 y−3x 2 y 2 +xy 3 −y 4 ; b) 0,6x 3 +x 2 z−2,7xy 2 + 0,4x 3 + 1,7xy 2
. cBài 7 Tìm bậc của đa thức
. cBài 8 Tính giá trị của đa thứcP =x 2 y+xy 2 tạix=−3;y =−2.
. cBài 9 Thu gọn (nếu cẩn) và tìm bậc của mỗi đa thức sau: x 4 −3x 2 y 2 + 3xy 2 −x 4 + 1; a) b) 5x 2 y+ 8xy−2x 2 −5x 2 y+x 2
. cBài 10 Thu gọn rổi tính giá trị của đa thức:
. cBài 11 Cho đa thức P = 8x 2 y 2 z−2xyz+ 5y 2 z−5x 2 y 2 z+x 2 y 2 −3x 2 y 2 z. a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức P; b) Tính giá trị của đa thức P tại x=−4; y= 2 vàz= 1.
. cBài 12 Cho a, b,c là những hằng số thỏa mãna+b+c= 2015 Tìm giá trị của đa thứcA=axy 2 z 3 + bx 3 y+cxy 2 z, vớix= 1;y = 1;z= 1.
Để tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật có kích thước như Hình 4 (tính theo cm), ta cần xác định các biểu thức sau: thể tích V = dài × rộng × cao và diện tích xung quanh A = 2 × (dài + rộng) × cao Khi có kích thước khia = 2 cm và h = 5 cm, ta có thể tính toán giá trị của thể tích và diện tích xung quanh dựa trên các công thức này.
ĐỊNH LÍ THALÈS 22 Bài số 15 ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC
Đoạn thẳng tỉ lệ
Tỉ số của hai đoạn thẳnglà tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.
Hai đoạn thẳng AB vàCD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳngA ′ C ′ vàC ′ D ′ nếu có hệ thức
Định lí thalès trong tam giác
cĐịnh lí 15.1 (Định lí Thalès trong tam giác).
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác cắt hai cạnh còn lại, thì nó sẽ tạo ra những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ trên hai cạnh đó.
B ′ cĐịnh lí 15.2 (Định lí Thalès đảo).
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và tạo ra các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, thì đường thẳng đó sẽ song song với cạnh còn lại của tam giác.
Hệ quả định lý Ta-lét cho biết rằng khi một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại, nó sẽ tạo ra một tam giác mới Tam giác này có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác ban đầu.
Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳnga song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. a
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tìm tỉ số của các đoạn thẳng
○ Sử dụng định nghĩa tỉ số hai đoạn thẳng.
○ Sử dụng định lí Ta-lét. cVí dụ 1 Trên một đường thẳng, đặt ba đoạn thẳng liên tiếpAB Tìm tỉ số AB
. cVí dụ 2 Cho△ABC có AM là đường trung tuyến ĐiểmE thuộc AM sao cho AE= 3EM TiaBE cắt tia AC tại N Tính tỉ số AN
Tính độ dài đoạn thẳng
○ Sử dụng định nghĩa tỉ số hai đoạn thẳng.
○ Sử dụng định lí Ta-lét.
○ Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. cVí dụ 3 Cho đoạn thẳngAB= 10cm Lấy điểmC thuộc đoạn thẳngABsao cho CA
2 LấyDthuộc tia đối của tia BAsao cho DA
2. Tính độ dàiCB. a) b) Tính độ dàiDB c) Tính độ dàiCD.
Tìm độ dài DE trong hình vẽ bên Biết AB= 5cm, AC = 6cm, AD= 7,5 cm và BD∥CE.
Cho hình bên, biết QR ∥ N P và M Q= 10 cm, QN = 5 cm, RP = 6 cm.
Trong tam giác ABC với AB = 5 cm và AC = 9 cm, chúng ta kẻ một đường thẳng song song với BC cắt AB tại điểm E và AC tại điểm F Cần xác định vị trí của điểm E sao cho AE có giá trị nhất định.
Cho hình sau, biếtM N ∥BC và AM
. cVí dụ 8 Cho hình vẽ bên, có AB ∥ CD Biết rằng EA = 4 cm, EB = 5 cm, ED+EC = 18 cm,
AB+CD= 22,5 cm Tính EC,ED,AB,DC.
. cVí dụ 9 Cho hình thangABCD(AB∥CD),AC cắtBDtạiO KẻOM ∥CD, biếtCD = 9cm,M O= 3 cm Tính AB.
Chứng minh các hệ thức
○ Vận dụng định lí Ta-lét.
○ Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức. cVí dụ 10 Cho tứ giácABCDcó điểmE thuộcAC KẻEF ∥AB(F ∈BC),EI ∥CD (I ∈AD) Chứng minh EF
. cVí dụ 11 Cho△ABC Lấy điểmDthuộc đoạnAB, điểmE thuộc tia đối của tiaCA sao choBD
DE cắtBC tại M Chứng minh DM
. cVí dụ 12 Cho △ABC có AD là đường trung tuyến, G là trọng tâm Qua G kẻ đường thẳng d cắt AB,
AC thứ tự tạiM,N Chứng minh
Cho tam giác ABC với trung tuyến AM Từ điểm D bất kỳ trên cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AM, cắt AB tại E và AC tại F Cần chứng minh rằng DE + DF = 2AM.
. cVí dụ 14 Cho tam giác ABC có Ab= 120 ◦ ,ADlà đường phân giác Chứng minh rằng
Chứng minh hai đường thẳng song song
Định nghĩa đường trung bình của tam giác
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Tính chất đường trung bình của tam giác
cĐịnh lí 16.1. Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
MN là đường trung bình của △ABC ⇒
C Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tính độ dài đoạn thẳng và chứng minh các quan hệ về độ dài
Vận dụng các định lý về đường trung bình trong tam giác và hình thang, ta có ví dụ sau: Trong tam giác ABC vuông tại A với AB = 5 và BC = 13, hãy xác định độ dài MN, trong đó M là trung điểm của AB và đường thẳng MN vẽ song song với AC cắt BC tại điểm N.
. . . . . . . . cVí dụ 2 Cho tứ giácABCD,AB =a;CD=b GọiE vàF lần lượt là trung điểm củaADvàBC Chứng minh rằngEF ≤ a+b
. cVí dụ 3 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD Gọi M là một điểm trên cạnhAC sao cho AM 1
2M C GọiO là giao điểm của BM vớiAD Chứng minh rằng:
O là trung điểm của AD; a) OM = 1
Chứng minh hai đuờng thẳng song song Chứng minh ba điểm thẳng hàng
○ Có thể dùng lính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang để chứng minh hai đường thẳng song song.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ sử dụng tiên đề Ơ-clit để chứng minh ba điểm thẳng hàng Cụ thể, cho tam giác ABC, với M và N là trung điểm của các cạnh AB và AC Đồng thời, P và Q là trung điểm của BM và CN Chúng ta sẽ chứng minh rằng hai đoạn thẳng MN và PQ song song với nhau, tức là MN ∥ PQ.
. cVí dụ 5 Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G Gọi D, E lần lượt là trung điểm của GB và GC Chứng minh rằng:
C – BÀI TẬP VẬN DỤNG cBài 1 Cho tam giácABC, đường trung tuyến AM Gọi D,E,F lần lượt là trung diểm của AB,AC và
Ba điểmD,E,F thẳng hàng. a) b) F là trung điểm của DE.
Trong hình bên cóDE ∥F H ∥BC Hãy tìm các độ dài x vày A
. cBài 3 Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD), AB = 1
2CD Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và
BC Đoạn thẳng M N cắtBD tại P, cắt AC tại Q Chứng minh rằngM P =P Q=QN.
. cBài 4 Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH Gọi M và N lần lượt là trung điểm của HA và
HC Chứng minh rằng BM ⊥AN.
Trong tam giác ABC, với đường trung tuyến AM và trung điểm O của AM, ta vẽ đường thẳng xy sao cho các điểm B và C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ xy Gọi A′, B′ và C′ lần lượt là hình chiếu của các điểm A, B, C trên đường thẳng xy Ta cần chứng minh rằng độ dài AA′ bằng tổng độ dài BB′ và CC′.
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
A – TRỌNG TÂM KIẾN THỨC cĐịnh lí 17.1.
Trong tam giác, đường phân giác của một góc trong chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
— Định lý vẫn đúng với đường phân giác góc ngoài của tam giác.
— Các định lý trên có định lý đảo
AC ⇒AD là đường phân giác trong của tam giác.
AC ⇒AE là đường phân giác ngoài của tam giác.
B – CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tính độ dài đoạn thẳng
Phương pháp giải bài toán này là vận dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác và các quy tắc của tỉ lệ thức Cụ thể, với tam giác ABC có các cạnh AB = 30cm, AC = 45cm và BC = 50cm, ta cần tính độ dài của đoạn thẳng BD và CD, trong đó AD là đường phân giác trong của tam giác.
. cVí dụ 2 Cho △ABC có AD là đường phân giác BiếtAB = 15 cm, DC = 21 cm, BD= 9 cm Tính độ dàiAC.
. cVí dụ 3 Cho △ABC có AB= 6 cm, BC = 7 cm, AC = 8 cm Các đường phân giác trong và ngoài của
Abcắt đường thẳng BC tại Dvà E Tính độ dài đoạnDE.
. cVí dụ 4 Cho △ABC có AD là đường phân giác Trên AB lấy điểm M, trên AC lấy điểm N sao cho
BM ,CN BiếtAB= 7 cm, AC= 8 cm, BC = 12cm Tính chu vi△AM N.
. cVí dụ 5 Cho△ABC cân tạiAcó chu vi bằng80 cm Tia phân giác của B“cắt đường caoAH tại I Biết
4AH Tính độ dài các cạnh của△ABC.
. cVí dụ 6 Cho△ABC có đường phân giác AD Biết rằng BC = 10cm và 2AB= 3AC Tính độ dài đoạn thẳng BDvà CD.
. cVí dụ 7 Cho△ABC vuông tạiA, đường phân giácAD BiếtAB= 10cm,AC= 15cm QuaDkẻ đường thẳng song song với AB cắtAC tại E Tính độ dài đoạn thẳngAE,EC.
Chứng minh hệ thức hình học
Phương pháp giải bài toán liên quan đến tam giác là sử dụng các đoạn thẳng tỉ lệ dựa trên tính chất của đường phân giác Ví dụ, trong tam giác ABC với các đường phân giác AD, BE, CF, chúng ta cần chứng minh một số tính chất nhất định liên quan đến các đoạn thẳng này.
. . . . . . . . . cVí dụ 9 Đường trung tuyếnBK và đường phân giác CD của△ABC cắt nhau tại P Chứng minh rằng
. cVí dụ 10 Cho △ABC cân tại Acó BM, CN là các đường phân giác Chứng minh rằng
. cVớ dụ 11 Cho △ABC cõn tại Acú Ab= 36 ◦ Chứng minhAB 2 2 +ACãBC.
Liên quan đến tỉ số diện tích tam giác
Bài tập rèn luyện
cBài 1 Cho hình thoiBEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB,D thuộcAC,F thuộcBC). a) Tính cạnh hình thoi biết AB= 4cm, BC = 6cm Tổng quát với AB=c,BC =a. b) Chứng minh rằng BD < 2ac a+c vớiAB=c,BC =a. c) Tính độ dài AB,BC, biếtAD=m,DC=n, cạnh hình thoi bằngd.
Trong tam giác ABC với AC > AB, chọn các điểm D và E trên các cạnh AB và AC sao cho BD = CE Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng DE và BC Cần chứng minh rằng tỉ số KE có mối liên hệ nhất định với các đoạn thẳng trong tam giác.
KD không phụ thuộc vào cách chọn các điểm Dvà E.
Trong các bài tập áp dụng định lý Ta-lét, việc vẽ thêm một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho thường rất cần thiết Phương pháp này không chỉ giúp tạo ra các cặp đoạn thẳng tỉ lệ mà còn làm rõ hơn các mối quan hệ hình học trong bài toán Cụ thể, trong bài 3, với hình thang ABCD có AB song song với CD và AB nhỏ hơn CD, ta xác định O là giao điểm của hai đường chéo và K là giao điểm của AD và BC Đường thẳng KO cắt AB và CD lần lượt tại M và N, từ đó ta có thể chứng minh các tính chất cần thiết trong bài toán.
Nhận xét:Từ ví dụ trên, ta suy ra:
Trong hình thang với hai cạnh đáy không bằng nhau, một đường thẳng đi qua giao điểm của các đường chéo và giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên sẽ đi qua trung điểm của hai cạnh đáy.
Tính chất này có nhiều ứng dụng quan trọng, được gọi làbổ đề hình thang.
Bài tập bổ sung
cBài 4 Trong hình thang ABCD (AB ∥ CD) có AB = 28cm, CD = 70cm, AD = 35cm, vẽ một đường thẳng song song với hai cạnh đáy, cắt AD,BC theo thứ tự ởE vàF Tính độ dàiEF biết rằngDE = 10cm.
Bài 5 Gọi O là giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC của hình thang ABCD Đường thẳng đi qua O và song song với AB cắt các đường thẳng AC, BD theo thứ tự ở M, N Chứng minh rằng M và N có một số tính chất đặc biệt liên quan đến hình học của hình thang.
Bài 6 Cho hình thang ABCD với các cạnh đáy AB = a và CD = b Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD tại E và BC tại G Chứng minh rằng
Bài 7 đề cập đến hình thang ABCD với AB song song với CD Một đường thẳng d song song với hai cạnh đáy cắt hai cạnh bên AD và BC tại các điểm M và N, đồng thời cắt hai đường chéo BD và AC tại các điểm H và K Câu a yêu cầu chứng minh rằng độ dài MH bằng độ dài KN Câu b yêu cầu nêu cách dựng đường thẳng d sao cho MH, KH và KN đều bằng nhau.
. cBài 8 Tam giácABC có AC > AB,AC = 45cm Hình chiếu củaAC vàAB trênBC theo thứ tự là27cm và 15cm Đường trung trực củaBC cắtAC ởN Tính độ dàiCN.
. cBài 9 Cho hình bình hànhABCD, điểmG chia trong cạnhDC theo tỉ số1 : 2, điểm K chia trong cạnh
BC theo tỉ số 3 : 2 Tính độ dài ba đoạn thẳng doAG,AK định ra trên BD, biết rằngBD= 16cm.
Để vẽ đường thẳng song song trong các bài tập, tạo thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ, hãy xem xét bài tập 10 a) Trong tam giác ABC với góc Ab = 120°, độ dài AB = 3cm và AC = 6cm, chúng ta cần tính độ dài của đường phân giác AD b) Đối với tam giác ABC, đường phân giác AD phải thỏa mãn điều kiện nhất định.
AC.Tính số đo gócBAC.
. cBài 11 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng nếu một đường thẳng cắt cạnh AB ở D, cắt cạnhBC ở
K và cắt tia đối của tiaCAở E sao cho BDthì tỉ số KE
Trong tam giác ABC, điểm D chia cạnh BA theo tỉ lệ 1:2, trong khi điểm E chia cạnh AC theo tỉ lệ 2:5 Gọi F là giao điểm của các đường thẳng ED và BC Cần tính tỉ số F B:F C.
. cBài 13 Cho tam giác ABC, điểm Dchia trong cạnh BC theo tỉ số 1 : 2, điểmO chia trongAD theo tỉ số3 : 2 GọiK là giao điểm củaBO vàAC Tính tỉ sốAK :KC.
Trong tam giác ABC, với đường trung tuyến AM, cho điểm I nằm trên cạnh BC Đường thẳng đi qua I và song song với AC cắt AB tại điểm K Đồng thời, đường thẳng đi qua I và song song với AB cắt AM và AC lần lượt tại các điểm D và E Cần chứng minh rằng độ dài DE bằng độ dài BK.
. cBài 15 Tứ giácABCD có E, F theo thức tự là trung điểm của CD,CB,O là giao điểm củaAE,DF;
3OF Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
. cBài 16 Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh đối AB, CD của tứ giác ABCD cắt các đường thẳng
AD vàBC theo thứ tự ở I vàK Chứng minh rằng:
Trong tam giác ABC, với điểm M nằm trên cạnh BC, ta vẽ các đường thẳng song song với cạnh AB và AC, cắt AB tại H và AC tại K Cần chứng minh rằng tổng AH và MK bằng một giá trị nhất định.
AC không bị ảnh hưởng bởi vị trí của điểm M trên cạnh BC Ngoài ra, trường hợp khi điểm M di chuyển trên đường thẳng BC nhưng không nằm trong đoạn thẳng BC cũng cần được xem xét tương tự.
. cBài 18. a) Cho tam giác ABC, đường trung tuyếnAM Qua điểm O của AM, vẽ đường thẳng cắt các cạnh AB,
AC theo thứ tự ở B ′ ,C ′ Chứng minh rằng khi đường thẳng thay đổi vị trí mà vẫn đi qua O thì tổng AB
AC ′ không đổi. b) Tổng quát hóa bài toán trên khi O là một điểm cố định trên đoạn thẳng AM.
. cBài 19 Cho tam giácABC vuông cân tại A, đường trung tuyếnBM Trên cạnhBC lấy điểmDsao cho
BD= 2DC Chứng minh rằng BM vuông góc với AD.
. cBài 20 Cho tam giác ABC vuông tạiA Các điểmD,E thuộc cạnhBC sao choBD Biết
AD= 10cm, AE= 15cm Tính độ dài BC.
. cBài 21 Cho tam giác ABC vuông tạiA Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giácABD vuông cân tại
B, ACF vuông cân tại C GọiH là giao điểm củaAB và CD,K là giao điểm củaAC vàBF Chứng minh rằng a) AH =AK. b) AH 2 =BHãCK.
Cho tứ giác ABCD với M là trung điểm của CD và N là trung điểm của CB Nếu AM và AN cắt đường chéo BD thành ba đoạn bằng nhau, ta cần chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.
. cBài 23 Trên cạnh BC của hình vuôngABCD cạnh 6, lấy điểm E sao choBE = 2 Trên tia đối của tia
CD lấy điểm F sao cho CF = 3 GọiM là giao điểm củaAE vàBF TínhAM C.÷
Cho tam giác ABC, đường thẳng cắt các cạnh BC và CA lần lượt tại D và E, đồng thời cắt đường thẳng BA tại F Vẽ hình bình hành BDEF Đường thẳng đi qua F và song song với BC cắt HA tại I Cần chứng minh rằng FI.
. cBài 25 Cho tam giácABC, đường phân giácAD, đường trung tuyếnAM Qua điểmI thuộc đoạn thẳng
AD, kẻIH vuông góc vớiAB,IK vuông góc vớiAC GọiN là giao điểm củaHK vàAM Chứng minh rằng
Cho tam giác có ba góc nhọn và trực tâm H Một đường thẳng đi qua H cắt các cạnh AB, AC tại các điểm P, Q sao cho HP = HQ Gọi M là trung điểm của cạnh BC Cần chứng minh rằng đoạn thẳng HM vuông góc với đoạn PQ.
Hình chữ nhật ABCD có M và N là trung điểm của cạnh AD và BC Điểm E nằm trên tia đối của tia DC, và K là giao điểm của đoạn thẳng EM với đường chéo AC Cần chứng minh rằng đoạn thẳng NM là tia phân giác của góc.
. cBài 28 Cho hình bình hànhABCD, điểm M thuộc cạnhBC, điểmN thuộc tia đối của tia BC sao cho
BN =CM Cỏc đường thẳngDN,DM cắtAB theo thứ tự ở E,F Chứng minh rằng AE 2 EF.
. cBài 29 Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCDcắt BD,BC,DC theo thứ tự ởE,
K,G Chứng minh rằng: a) AE 2 =EKãEG; b) 1
AG; c) Khi đường thẳng thay đổi vị trớ nhưng vẫn đi qua A thỡ tớch BKãDGcú giỏ trị khụng đổi.
Trong tam giác đều ABC, các điểm D và E lần lượt nằm trên các cạnh AB và AC, với điều kiện AD Gọi M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC Từ điểm M, vẽ đường thẳng MH song song với CD, trong đó H thuộc cạnh AB, và vẽ đường thẳng MK song song với một đường thẳng khác.
BE (K thuộc AC) Chứng minh rằng khi điểmM chuyển động trên cạnhBC thì tổngM H+M K có giá trị không đổi.
Trong tam giác đều ABC với trọng tâm G, cho điểm M nằm trong tam giác Đường thẳng MG cắt các cạnh BC, AC, AB lần lượt tại A', B', C' Cần chứng minh rằng mối quan hệ giữa các đoạn thẳng này có những đặc điểm nhất định.
. cBài 32 Cho tam giácABC vuông cân tạiA Các điểmD,E,F theo thứ tự chia trong các cạnhAB,BC,
CA theo cùng một tỉ số Chứng minh rằng a) AE b) AE vuông góc vớiDF.
. cBài 33 Cho hình thang ABCD (AB∥ CD) có diện tíchS.AB= 2
Tính độ dài đoạn thẳng Tỉ số
Sử dụng định lý và hệ quả của định lý Ta-lét, cùng với tính chất của đường phân giác trong tam giác và tam giác đồng dạng, chúng ta có thể thiết lập tỷ số để tính toán độ dài đoạn thẳng Ví dụ 1.
Cho hình vẽ bên Biết Ab = 90 ◦ , M N ∥ BC và AM = 3 cm,
AN = 4 cm, N C= 2 cm Tính BC?
Trong tam giác ABC với AB = 8 cm, BC = 16 cm và AC = 12 cm, một đường thẳng song song với BC cắt AB tại M và AC tại N, sao cho BM = AN Để tìm độ dài đoạn MN, ta áp dụng định lý về tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác.
Cho hình vẽ sau, biếtAB ∥M N ∥CD;AB = 6cm, CD = 9 cm và AM
. cVí dụ 4 Cho △ABC vuông góc A, có AB = 6 cm, AC = 8 cm và đường phân giác AD KẻDE ∥ AB (E thuộcAC) thì độ dàiDE là bao nhiêu?
. cVí dụ 5 Cho△ABC có AB = 10cm Tia phân giác gócB cắt đường caoAH tại I Biết AI
. cVí dụ 6 Cho△ABC có điểmD trênAB sao cho BD= 1
3AB Kẻ DE song song với BC (E∈AC) Gọi
O là giao điểm củaBE vàCD Tìm tỉ số OE
Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau
○ Sử dụng định lí, hệ quả định lí Ta-lét.
○ Chú ý rằng: a m = b m thìa=b. cVí dụ 7 Cho ABCD là hình thang(AB ∥ CD) Gọi M là trung điểm của CD Gọi I là giao điểm của
AM vàBD;K là giao điểm củaBM vàAC. a) Chứng minh IK ∥AB. b) Gọi giao điểm của đường thẳng IK vớiAD vàBC làF và E Chứng minh rằng F I=IK =KE.
Cho tam giác ABC với BM và CN là các đường trung tuyến, trong đó BM nhỏ hơn CN, và G là trọng tâm Từ một điểm D bất kỳ trên cạnh BC, kẻ hai đường thẳng DE song song với CN và DF song song với BM, với E thuộc AB và F thuộc AC Gọi I và K là các giao điểm của EF với BM và CN Cần chứng minh rằng EI = IK = KF.
Cho tam giác ABC, một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB tại M và AC tại N Từ điểm A, vẽ một đường thẳng song song với BC cắt các đường thẳng BN và CM tại I và K Cần chứng minh rằng AI = AK.
Tính tỉ số của hai đường thẳng
Vẽ thêm đường phụ song song để tạo thêm các cặp đoạn thẳng tỉ lệ. cVí dụ 10 Cho tam giác ABC, lấy điểmM trênBC sao cho BM = 1
2M C TrênAM lấy điểmN sao cho
2AN GọiP là giao điểm của đường thẳngBN vàAC Tính tỉ số AP
. cVí dụ 11 Chứng minh rằng nếu một đường thẳng không đi qua các đỉnh của tam giác ABC và cắt đường thẳng BC,CA,AB tạiM,N,P thì AP
N A = 1 (Định lý Mê-nê-la-uýt).
. cVí dụ 12 Chứng minh rằng nếu trên các cạnh đối diện với đỉnhA,B,Ccủa tam giácABC, lấy các điểm
M,N,P sao cho AM,BN,CP đồng quy tạiO thì AP
Sử dụng tính chất đường trung bình để chứng minh bài toán
Trong tam giác ABC với AB < AC, lấy điểm D trên AC sao cho CD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn AD, DB, BC và CA Cần chứng minh rằng M P vuông góc với N Q và vẽ tia phân giác của góc A cắt BC tại E, từ đó chứng minh rằng AE song song với M P.
. cVí dụ 14 Cho đoạn thẳng AB = 6cm Điểm C nằm giữa A và B Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
AB các hình vuông ACDE vàBCF H Gọi K là giao điểm của AD vàBF, O là giao điểm của AD vàCE,
O ′ là giao điểm củaCH vàBE. a) Tứ giác OKO ′ C là hình gì? b) Khi điểm C di động thì giao điểmM củaOO ′ vàCK di động trên đường nào?
C – BÀI TẬP VẬN DỤNG cBài 1 Cho△ABC nhọn có đường caoBD;CE KẻDF ⊥AB,EG⊥AC Chứng minh rằngF G∥BC.
Cho hình vẽ bên Biết DE ∥ BC,M N ∥AB,P Q∥AC Tính tổng DE
Trong tam giác ABC, với điểm M nằm trong miền tam giác, ta xác định các giao điểm I, J, K của các tia AM, BM, CM với các cạnh BC, CA, AB tương ứng Đường thẳng đi qua M và song song với BC sẽ cắt các đoạn IK và IJ tại các điểm E và F Cần chứng minh rằng độ dài ME bằng độ dài MF.
. . . . . . . . . . . . . cBài 4 Chứng minh rằng nếu trên các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C của tam giác ABC, lấy các điểm
M,N,P sao cho AM,BN,CP đồng quy tạiO thì AO
Trong bài 5, cho hình thang cân ABCD với AB song song với CD, trong đó AB = a và CD = 3a Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD và AC Cần chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng và tứ giác ABQP là hình chữ nhật.
D – BÀI TẬP BỔ SUNG cBài 6 Cho tam giácABC có BC =a, các đường trung tuyến BD, CE Lấy các điểm M, N trên cạnh
BC sao cho BM =M N =N C GọiI là giao điểm củaAM vàBD,K là giao điểm của AN vàCE Tính độ dàiIK.
Trong tam giác nhọn ABC với trực tâm H và M là trung điểm của BC, ta kẻ đường thẳng vuông góc với HM qua H, cắt AB và AC tại E và F Đặt điểm D trên tia đối của HC sao cho HD = HC, ta cần chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác DBH Đồng thời, cần chứng minh rằng HE = HF.
. . . . . . . . . . . . . . . . cBài 8 Tứ giácABCD có B vàC nằm trên đường tròn có đường kính là AD Tính độ dài CD biết rằng
. cBài 9 Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tịa O Qua D vẽ đường thẳng xy sao cho
A và C nằm cùng phía với xy Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên xy Chứng minh rằng
. cBài 10 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N,P, Q lần lượt là trung điểm của AB,AD,DC và CA Chứng minh tứ giác M N P Qlà hình bình hành.
Cho tam giác đều ABC với D, E, F là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA Điểm M được xác định là điểm đối xứng với D qua F Cần chứng minh rằng: a) Tứ giác DF CB là hình thang cân; b) Tứ giác DF CE là hình thoi; c) Tứ giác AM CD là hình chữ nhật.
Cho đoạn thẳng AB dài 6cm với điểm C nằm giữa A và B Vẽ các hình vuông ACDE và BCFH trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB Ký hiệu K là giao điểm của AD và BF, O là giao điểm của AD và CE, và O' là giao điểm của CH và BE Câu hỏi đặt ra là: a) Tứ giác OKO'C có hình dạng gì? b) Khi điểm C di động, giao điểm M của OO' và CK sẽ di chuyển trên đường nào?
Trong tam giác ABC với AB < AC, lấy điểm D trên AC sao cho CD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, DB, BC và CA Để chứng minh rằng MP ⊥ NQ, ta thực hiện các bước chứng minh hình học cần thiết Tiếp theo, vẽ tia phân giác của góc A cắt BC tại E và chứng minh rằng AE song song với MP, từ đó khẳng định mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác.
Trong bài toán hình học, chúng ta có hình thang cân ABCD với AB song song với CD, trong đó AB = a và CD = 3a Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, BD và AC Cần chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng và tứ giác ABQP là một hình chữ nhật.
. cBài 15 Cho△ABC Điểm Dthuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD GọiI,K,M,
Trong tứ giác MINK, N là trung điểm của các đoạn thẳng BE, CD, BC và DE Để xác định hình dạng của tứ giác này, cần phân tích các đặc điểm của nó Đồng thời, cần chứng minh rằng IK vuông góc với tia phân giác At của góc A, điều này sẽ giúp khẳng định tính chất hình học của tứ giác MINK.
Trong tam giác đều ABC, với H là trực tâm và AD là đường cao, nếu chọn điểm M bất kỳ trên cạnh BC, ta có thể xác định hình chiếu E và F của M trên các cạnh AB và AC Từ đó, I được định nghĩa là trung điểm của AM Để chứng minh, ta cần xác định dạng của tứ giác DEIF và chứng minh rằng các đường thẳng MH, ID và EF đồng quy.
. cBài 17 Tứ giácABCD có E,F,G,F theo thứ tự là trung điểm của AB,BD,DC,CA Tìm điều kiện của tứ giác ABCD đểEF GH là hình vuông.
Cho hai hình vuông ABCD và A'B'C'D' có cùng chiều đi qua các đỉnh Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn thẳng AA', BB', CC', DD' tạo thành các đỉnh của một hình vuông.
Bài 19 yêu cầu vẽ các hình vuông bên ngoài của một tam giác, với cạnh của tam giác làm cạnh của các hình vuông Cần chứng minh rằng các đoạn thẳng nối trung điểm của một cạnh tam giác với tâm của hai hình vuông trên hai cạnh còn lại là bằng nhau và vuông góc với nhau Hơn nữa, đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông cũng bằng và vuông góc với đoạn thẳng nối tâm hình vuông thứ ba với đỉnh chung của hai hình vuông trước.
Trong bài toán này, cho tam giác ABC, chúng ta vẽ các hình vuông ABDE và ACF bên ngoài tam giác với các tâm lần lượt là M và N Đặt I và K là các trung điểm của EG và BC Để chứng minh rằng KM IN là hình vuông, ta cần chỉ ra các cạnh và góc của nó thỏa mãn tính chất của hình vuông Ngoài ra, nếu tam giác ABC có cạnh BC cố định và đường cao tương ứng là h không đổi, thì điểm I sẽ chuyển động trên một đường tròn nhất định.
. cBài 21 Cho tứ giác ABCD cóA= 40 ◦ ,D= 80 ◦ ,AD Gọi E và F là trung điểm củaAB vàCD. TínhEF D,’ EF C.’
Cho tứ giác ABCD với AD, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Đường thẳng qua M và song song với AD cắt BD tại E, trong khi đường thẳng qua M và song song với BC cắt AC tại F Cần chứng minh rằng MN vuông góc với EF.
. cBài 23 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA Chứng minh rằng tứ giác AM N P là hình thoi.
. cBài 24 Tứ giácABCD có Ab+B“= 270 ◦ GọiM,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BD,DC và
CA Chứng minh rằng tứ giác M N P Qlà hình chữ nhật.
. cBài 25 Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểmM Trên tiaAM lấy điểm N sao cho
M là trung điểm của AN Vẽ N E⊥BC,N F ⊥CD Chứng minh rằng a) CN ∥BD;EF ∥AC. b) Ba điểm M,E,F thẳng hàng.
Cho tam giác ABC, với H và K là hình chiếu của điểm A trên các đường phân giác trong và ngoài của góc B, và E, F là hình chiếu của A trên các đường phân giác trong và ngoài của góc C Cần chứng minh rằng bốn điểm H, K, E, F nằm trên một đường thẳng.
