1.4 - Phuong phap toi thieu ham logic potx

ý nghĩa việc tối thiểu hóa biểu thức OR-AND: + Một biểu thức logic bất kỳ đều dễ dàng triển khai thành biểu thức dạng OR-AND.. + Từ biểu thức dạng OR-AND tối thiểu, cũng dễ dàng có đ ợc

Bài 1.4: ph ơng pháp tối thiểu hàm logic

1 Khái niệm về tối thiểu hóa.

1.1 Các loại biểu thức logic và sự thực hiện bằng mạch điện:

Dạng biểu thức: OR-AND

C A AB

A C A B

B A AB

B A

C A

C A B

A

NOR-NOR

NOR-AND

1.2 Biểu thức OR-AND tối thiểu:

a Tối thiểu hóa:

+ Số các số hạng dạng tích phải là ít nhất

+ Số biến của mỗi số hạng cũng phải là ít nhất

b ý nghĩa việc tối thiểu hóa biểu thức OR-AND:

+ Một biểu thức logic bất kỳ đều dễ dàng triển khai thành biểu thức dạng OR-AND

+ Từ biểu thức dạng OR-AND tối thiểu, cũng dễ dàng có đ

ợc các biểu thức tối thiểu dạng khác

2 Các ph ơng pháp tối thiểu hàm logic.

2.1 Ph ơng pháp biến đổi công thức.

Dựa vào các công thức và định lý trong đại số logic để thực hiện tối thiểu hóa

2.2 Ph ơng pháp bảng Karnaugh.

 Quy luật gộp các số hạng nhỏ nhất trên bảng Karnaugh:

Trên bảng Karnaugh của biến, tất cả các số hạng nhỏ nhất kề nhau đều có thể gộp với nhau, khi gộp lại thì có thể khử bỏ biến liên quan (các biến thay đổi trong vòng gộp)

Cụ thể nh sau:

+ 2 số hạng nhỏ nhất gộp lại thì khử bỏ đ ợc 1 biến

+ 4 số hạng nhỏ nhất gộp lại thì khử bỏ đ ợc 2 biến

+ 8 số hạng nhỏ nhất gộp lại thì khử bỏ đ ợc 3 biến

Tổng quát, 2n số hạng nhỏ nhất gộp lại thì khử đ ợc n biến

có liên quan

 Dïng b¶ng Karnaugh tèi thiÓu hãa hµm logic:

Quy tr×nh cã 3 b íc:

+ VÏ b¶ng Karnaugh cña hµm xÐt

+ Gép c¸c sè h¹ng nhá nhÊt

+ Chän sè h¹ng viÕt biÓu thøc OR-AND tèi thiÓu

VÝ dô: Dïng b¶ng Karnaugh tèi thiÓu hãa hµm:

A,B,C,D m1,3,8,9,10,11,14,15

F

Gi¶i: B¶ng Karnaugh:

00 01 11 10 00

01 11 10

AB

CD

1 1

1 1

1 1 1 1

Ta cã:

m 1,3,9,11 BD

m 8,9,10,11 AB

m 10,11,14,15 AC

A,B,C,D BD AB AC



 Một số vấn đề cần l u ý:

+ Vòng gộp càng lớn càng tốt

+ Mỗi vòng gộp bao gồm ít nhất một số hạng nhỏ nhất không có trong vòng khác Vòng nào bao gồm các số hạng đều đã có trong vòng khác, thì vòng đó là thừa Mặt khác, mỗi số hạng nhỏ nhất

có thể đ ợc sử dụng nhiều lần (có mặt trong nhiều vòng khác

nhau)

+ Phải khoanh vòng sao cho toàn bộ số hạng nhỏ nhất của hàm số

đều có các vòng, không sót

+ Trong một số tr ờng hợp, có thể có nhiều cách khoanh vòng,

nghĩa là có thể có nhiều hàm tối thiểu

+ Khi gộp các số hạng nhỏ nhất, cần l u ý:

- 4 ô ở 4 góc bảng Karnaugh cũng có thể gộp với nhau

- Vẽ vòng lớn tr ớc, vòng nhỏ sau

 Dùng bảng Karnaugh tìm hàm OR-AND tối thiểu của hàm đảo:

Trên bảng Karnaugh của hàm số, ta gộp tất cả các số hạng nhỏ nhất ứng với giá trị 0 của hàm xét, ta đ ợc biểu thức OR-AND tối thiểu của hàm đảo

Ví dụ: Cho Z = AB + BC + CA

Giải: Bảng Karnaugh:

00 01 11 10 0

1

A

BC

0 0 1 0

0 1 1 1

Ta có:

C B C

A B

A



Dùng bảng Karnaugh để tìm ra biểu thức OR-AND tối thiểu của Z

 

m 0,1 AB

 

m 0,2 AC

 

m 0,4 BC

3 Ph ơng pháp chuyển đổi giữa các biểu thức tối thiểu.

3.1 Tính hoàn hảo của phép tính NAND và NOR.

Mọi phép toán trong đại số logic đều có thể quy về 3 phép toán cơ bản: AND, OR, NOT Sử dụng các phép toán NAND và NOR cũng rất dễ dàng thực hiện 3 phép toán cơ bản trên

Vậy phép tính NAND và NOR là hoàn hảo, vạn năng Do đó,

trong các mạch điện vi mạch số, các cổng NAND và NOR trở thành các phần tử cơ bản, điển hình

B A

B A B

A

B A B

A B

A

0 A

1 A A

3.2 Biểu thức NAND-NAND tối thiểu: Lấy đảo 2 lần

Ví dụ:

Hãy chuyển đổi hàm: thành biểu thức NAND-NAND tối thiểu

A C C

B B

A

Giải: Ta có: Z Z AB BC CA ABBCCA

3.3 Biểu thức NOR-AND tối thiểu.

Tìm biểu thức OR-AND tối thiểu của hàm , rồi lấy đảo lần nữa Z

Ví dụ: Z = AB + BC + CA Tìm ra biểu thức NOR-AND tối thiểu Giải: Theo ví dụ trên, ta có: Z AB AC BC

Lấy đảo 1 lần nữa: Z Z AB AC BC

3.4 Biểu thức NOR-NOR tối thiểu.

+ áp dụng định lý De Morgan để có biểu thức tối thiểu dạng AND-OR

+ Lấy đảo 2 lần nữa để có biểu thức NOR-NOR tối thiểu

Ví dụ: Z = AB + BC + CA Tìm ra biểu thức NOR-NOR tối thiểu

Giải: + Biểu thức OR-AND tối thiểu của :Z

+ Tìm biểu thức OR-AND tối thiểu của .Z

C B C

A B

A

+ Biểu thức AND-OR tối thiểu: Z Z AB AC BC

A C C B B



A BBCC A

 + Biểu thức NOR-NOR tối thiểu: Z Z A  BB CC A

A C

C B

B



4 Tối thiểu hàm logic ràng buộc

4.1 Khái niệm.

Là khái niệm quan trọng nói về mối quan hệ quy

định lẫn nhau giữa các biến dạng trong một hàm logic

a Ràng buộc, phần tử ràng buộc và điều kiện ràng buộc:

- Ràng buộc:

Ví dụ:

Quốc tế Phụ nữ 8/3, một đơn vị nọ tổ chức chiêu đãi phim,

vé chỉ phát cho phụ nữ của đơn vị Hãy xét xem vấn đề logic đó.

Giải: Liệt kê bảng chân lý:

Thuộc đơn vị Nam hay nữ Có vé không Đ ợc vào rạp Thuyết minh

Không Nam Không Không

Không Nam Có Không xảy ra

Không Nữ Không Không

Không Nữ Có Không xảy ra

Có Nam Không Không

Có Nam Có Không xảy ra

Có Nữ Không Không

A B C Z Thuyết minh

Nếu dùng A, B, C biểu thị các biến logic t ơng ứng 3 cột đầu và

Z biểu thị cột thứ 4:

A = 0/1 t ơng ứng không/có thuộc đơn vị

B = 0/1 t ơng ứng nam/nữ

C = 0/1 t ơng ứng không/có vé

Z = 0/1 t ơng ứng không/có đ ợc vào rạp xem phim

Ta có bảng chân lý:

Các biến A, B, C chỉ lấy các giá trị có thể là: 000, 010, 100, 110,

111 và không thể lấy các giá trị: 001, 011, 101 Vậy giữa các biến

A, B, C có một quan hệ ràng buộc nhất định, gọi là một nhóm biến ràng buộc Hàm logic ràng buộc là hàm có các biến ràng buộc

Các số hạng nhỏ nhất có các tổ hợp giá trị không xảy ra (001,

011, 101), những giá trị đó đ ợc gọi là số hạng ràng buộc

- Phần tử ràng buộc:

Số hạng ràng buộc luôn bằng 0

- Điều kiện ràng buộc:

Là biểu thức logic cấu trúc bằng tổng các số hạng ràng buộc

Điều kiện ràng buộc bằng 0

b Ph ơng pháp biểu thị điều kiện ràng buộc :

- Trong biểu thức logic:

Dùng đẳng thức điều kiện ràng buộc bằng 0 để biểu thị

Ví dụ: Theo ví trên ta có: ABC ABCABC 0

Hoặc: d1,3,5 0

- Trong bảng Karnaugh:

Dùng dấu “x” biểu thị

00 01 11 10

0 0 x x 0

1 0 x 1 0 A

BC

4.2 Tối thiểu hóa hàm logic ràng buộc

Tùy theo yêu cầu có thể tùy ý cộng thêm hoặc khử bỏ số hạng ràng buộc Số hạng ràng buộc bằng 0, nên thêm bớt 0 vào biểu thức logic không làm thay đổi giá trị biểu thức đó

a Ph ơng pháp công thức :

Ví dụ:

Theo ví dụ trên, ta có:

AB A B CAB AB C C

C B C

A ABC

ABC

Tùy theo yêu cầu có thể tùy ý khoanh vòng qua số hạng ràng

buộc Vì số hạng ràng buộc bằng 0, nên sự gộp thêm nó không làm thay đổi giá trị hàm số.

b Ph ơng pháp bảng Karnaugh:

Ví dụ:

Theo ví dụ trên, ta có bảng Karnaugh:

00 01 11 10

0 0 x x 0

1 0 x 1 0

A BC



 Z m 1,3,5,7 C