Động học chất lưu pot

Chẳng hạn, khi xét dòng nước chảy trong một ống nước thì kích thước của hạt chất lưu phải nhỏ hơn nhiều so với đường kính của ống nước, nhưng lại lớn hơn nhiều so với khoảng cách trung b

ĐỘNG HỌC CHẤT LƯU

Biên soạn: Lê Quang Nguyên

1 HẠT CHẤT LƯU

Trong cơ học chất lưu khái niệm chất điểm vẫn được dùng,

dưới tên gọi khác đi là hạt chất lưu Cũng như chất điểm hay

điện tích điểm, hạt chất lưu phải có kích thước rất nhỏ so với

các khoảng cách đặc trưng của bài toán đang xét, nhưng không

nhỏ đến mức độ nguyên tử, phân tử Mỗi hạt chất lưu phải

chứa một số lớn các nguyên tử, phân tử vật chất, để cho chất

lưu vẫn có thể coi như một môi trường liên tục

Chẳng hạn, khi xét dòng nước chảy trong một ống nước thì

kích thước của hạt chất lưu phải nhỏ hơn nhiều so với đường

kính của ống nước, nhưng lại lớn hơn nhiều so với khoảng

cách trung bình giữa các phân tử nước Nếu đường kính ống

nước là cỡ 10-1 m, và biết rằng khoảng cách trung bình giữa

các phân tử nước là 10-10 m, người ta có thể chọn hạt chất lưu

có kích thước khoảng 10-6 m Một hạt nước như thế vẫn còn

chứa đến 1010 phân tử nước!

Để mô tả chuyển động của các hạt chất lưu trong một dòng

chảy, người ta có thể chọn khảo sát quỹ đạo của từng hạt chất

lưu một (phương pháp Lagrange) hay dùng khái niệm trường

vận tốc (phương pháp Euler)

2 PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE

Như đã nói ở trên, cách mô tả Lagrange đòi hỏi phải biết quỹ

đạo của các hạt chất lưu, đó cũng chính là cách mô tả quen

thuộc trong cơ học, dựa vào các vectơ vị trí r t( )

, vận tốc ( ( ), )

v r t t 

và gia tốc ( ( ), )a r t t 

của từng hạt

Nói một cách hình tượng, thì phương pháp Lagrange tương

đương với việc đánh dấu các hạt chất lưu trong một dòng chảy,

bằng cách nhuộm màu chúng chẳng hạn, rồi chụp ảnh dòng

chảy với thời gian mở ống kính thật dài để có thể thấy được

đường đi của các hạt đánh dấu Hình 2.1 cho thấy một ảnh

chụp như thế của một dòng chảy quanh một ống trụ

Do số lượng hạt quá lớn nên phương pháp Lagrange gặp nhiều

trở ngại trong các tính toán thực tế Trong các ứng dụng người

ta hầu như chỉ dùng cách mô tả dòng chảy bằng trường vận tốc

do Euler đề ra

3 PHƯƠNG PHÁP EULER

Chúng ta hẳn đã rất quen thuộc với cách mô tả tính chất điện

và từ của một môi trường bằng các khái niệm điện trường và từ

trường Theo đó các vectơ điện trường và từ trường được xác

định tại mọi điểm của không gian cần khảo sát Đối với điện

trường và từ trường tĩnh thì E

và B chỉ là các hàm của vị trí, còn khi điện từ trường biến thiên thì chúng là hàm của cả vị trí

lẫn thời gian

3.1 TRƯỜNG VẬN TỐC

Theo phương pháp Euler người ta cũng làm tương tự như vậy

đối với dòng chảy Vận tốc tức thời của dòng chảy tại các điểm

Hình 2.1

khác nhau trong dòng chảy, tức là biểu thức v r t ( , )

, phải được xác định Như vậy dòng chảy tương ứng với một trường vận

tốc Lưu ý là ở đây r

là vị trí của các điểm trong dòng chảy,

chứ không phải là vị trí của các hạt chất lưu, vì thế r

và t là

các biến số độc lập Một cách hình tượng thì cách mô tả Euler

tương ứng với việc chụp hình nhanh dòng chảy ở các thời điểm

khác nhau

Hình 3.1.1 cho ta thấy một ví dụ về trường vận tốc; đó là kết

quả mô phỏng trên máy tính cho trường vận tốc tại tâm một

cơn lốc

3.2 ĐƯỜNG DÒNG

Để mô tả điện từ trường người ta thường dùng các đường sức,

là các đường tiếp tuyến tại mọi điểm với vectơ điện trường hay

từ trường Tương tự như vậy người ta dùng khái niệm đường

dòng để mô tả trường vận tốc của một dòng chảy: đường dòng

là đường sức của trường vận tốc

Nói chung thì đường dòng không trùng với quỹ đạo, chúng chỉ

trùng nhau khi trường vận tốc là dừng (không thay đổi theo

thời gian, vận tốc tại mỗi điểm luôn có một giá trị duy nhất)

3.3 GIA TỐC CỦA HẠT CHẤT LƯU

Theo cách mô tả Euler, mặc dù không dùng biểu thức tường

minh của vận tốc hạt, người ta vẫn có thể xác định được gia tốc

hạt chất lưu

Thật vậy, xét một hạt chất lưu ở vị trí r

vào thời điểm t, tới lúc t+dt thì hạt di chuyển tới vị trí rdr

Vậy vận tốc của hạt lúc

t và t+dt là ( , ) v r t 

và (v r dr t, dt)

Độ biến thiên vận tốc của hạt sẽ là:

t





(3.3.1)

Chia biểu thức trên cho dt ta thu được gia tốc của hạt chất lưu:

( )

v

t





(3.3.2)

Về mặt hình thức, biểu thức trên cũng giống như đạo hàm toàn

phần của vận tốc theo thời gian, nếu coi vị trí là hàm của thời

gian Nhưng sự thật là chúng ta đã không lấy đạo hàm toàn

phần của vận tốc, vì vị trí ở đây không phụ thuộc vào thời gian

Để chỉ rõ rằng đấy không phải là đạo hàm toàn phần theo thời

gian, một số tác giả đã dùng khái niệm đạo hàm theo hạt, định

nghĩa như sau:

( )

D

v









(3.3.3)

Như vậy theo cách mô tả của Euler thì gia tốc của hạt chất lưu

ở một vị trí nào đó là đạo hàm theo hạt của trường vận tốc tại

vị trí đó:

Hình 3.1.1 Trường vận tốc tại tâm lốc xoáy

a

Dt







(3.3.4)

Có tên gọi đạo hàm theo hạt là vì, như trình bày trên đây,

chúng ta đã đi theo hạt chất lưu trong quá trình tính toán độ

biến thiên của vận tốc Trong cách mô tả của Euler, nếu muốn

tính tốc độ biến thiên của một đại lượng nào đó dọc theo

đường đi của một hạt, thì nhất thiết phải dùng đạo hàm theo

hạt

4 SỰ BẢO TOÀN KHỐI LƯỢNG

4.1 MẬT ĐỘ DÒNG

Xét một dòng chảy đều có khối lượng riêng  chuyển động với

vận tốc v

Vectơ mật độ dòng j

được định nghĩa như sau:

jv

(4.1.1) Giả sử có một hình phẳng, diện tích bằng đơn vị, vuông góc

với dòng chảy (hình 4.1.1) Khối lượng nước đi qua hình

phẳng ấy trong một đơn vị thời gian chính bằng khối lượng

nằm trong hình hộp có đáy là hình phẳng và chiều cao bằng

vận tốc dòng chảy Khối lượng đó bằng khối lượng riêng nhân

với thể tích của hình hộp:

1

Vậy j

có độ lớn bằng khối lượng nước đi qua một đơn vị diện

tích vuông góc với dòng chảy trong một đơn vị thời gian, và

lưu lượng nước đi qua một diện tích phẳng S vuông góc với

dòng chảy là jS Nếu S không vuông góc với dòng chảy

(hình 4.1.2) thì ta lập luận như sau:

Lưu lượng qua S = lưu lượng qua S ’ = jS ’ = jScos

Vậy:

S

n

j 







Lưu ý rằng lưu lượng là một số đại số, lưu lượng là dương nếu

các hạt đi theo chiều dương của bề mặt (chiều của vectơ đơn vị

pháp tuyến n

), và âm trong trường hợp ngược lại

Nếu dòng chảy có khối lượng riêng thay đổi và bề mặt S cũng

có hình dạng bất kỳ (hình 4.1.3) thì ta chia bề mặt ra làm nhiều

phần nhỏ dS, mỗi phần nhỏ như vậy có thể coi như phẳng và

mật độ dòng tại đó cũng có thể coi là không đổi Như vậy

thông lượng hạt qua dS là:

dS

n

j





Lưu lượng qua S là tổng các lưu lượng sơ cấp qua các phần

nhỏ dS trên mặt S:







S

S d j ndS

(4.1.5)

dS

S

j

Hình 4.1.3

Hình 4.1.1

v

n j



Hình 4.1.2

Trong trường hợp S là một mặt khép kín, người ta quy ước

chọn n

hướng ra ngoài, như thế lưu lượng ra khỏi mặt là

dương, còn lưu lượng vào mặt là âm

4.2 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC

Xét một mặt kín S trong một dòng chảy (hình 4.2.1) Vì khối

lượng được bảo toàn, nên nếu trong thời gian dt bên trong mặt

S khối lượng chất lưu giảm đi dm, thì cũng phải có một khối

lượng tương ứng đi ra khỏi mặt S trong cùng thời gian ấy Hay

nếu tính trong một đơn vị thời gian, thì tốc độ giảm khối lượng

bên trong S phải bằng lưu lượng ra khỏi S Như thế:

S

dm

j ndS

Có dấu trừ trong hệ thức trên vì dm < 0, còn lưu lượng ra khỏi

mặt S lại là một số dương Hệ thức trên cũng đúng trong

trường hợp khối lượng trong S tăng lên, tức là dm > 0, khi đó

lưu lượng qua S sẽ âm, tương ứng với dòng chảy đi vào trong

mặt S

Gọi V là thể tích giới hạn bởi mặt S, ta có:





Mặt khác, theo định lý Ostrogradsky-Gauss, lưu lượng qua mặt

kín S có thể biến đổi thành tích phân theo thể tích V của divj

:

dV j

dS

n



(4.2.3)

Thay (4.2.2) và (4.2.3) vào (4.2.1) rồi chuyển vế, ta thu được:

0

V

j dV

t





     



Hệ thức trên đúng với một thể tích V bất kỳ, nên hàm dưới dấu

tích phân phải bằng không tại mọi điểm:

0

j

t





   



 

(4.2.5)

Tương tự như phương trình (4.2.1), phương trình (4.2.5) cũng

mô tả sự bảo toàn của khối lượng Chỉ có điểm khác biệt là nó

diễn tả sự bảo toàn khối lượng trong một thể ích nhỏ dV bao

quanh một vị trí xác định, bởi vì  j



 chính là lưu lượng qua

bề mặt bao quanh dV chia cho dV (lưu lượng hạt trên một đơn

vị thể tích) Phương trình bảo toàn khối lượng định xứ (4.2.5)

còn được gọi là phương trình liên tục

Nếu dùng hệ thức:

.j (v) ( )v   v

       

(4.2.6)

dm < 0

Hình 4.2.1 Khối lượng ra bằng khối

lượng giảm đi trong mặt S

Dòng ra

và nhớ lại định nghĩa của đạo hàm theo hạt (3.3.3) thì phương

trình liên tục còn có thể viết dưới dạng:

D

v

Dt





  

(4.2.7)

Khi dòng chảy là dừng thì khối lượng riêng của chất lưu ở từng

vị trí không phụ thuộc vào thời gian (  t 0), phương trình

liên tục trở thành:

.j 0

 

(4.2.8) Nghĩa là: lưu lượng khối lượng của một dòng chảy dừng qua

một mặt kín luôn luôn bằng không  khối lượng vào bằng khối

lượng ra trong cùng một khoảng thời gian

Khi dòng chảy là không nén được (thể tích của hạt chất lưu khi

nó chuyển động là không đổi, D Dt0), phương trình liên

tục dưới dạng (4.2.7) biến đổi thành:

.v 0

 

(4.2.9) Nghĩa là: lưu lượng thể tích của một dòng chảy không nén

được qua một mặt kín luôn luôn bằng không  thể tích chất lưu

đi vào bằng thể tích chất lưu đi ra trong cùng một thời gian

5 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA MỘT HẠT

CHẤT LƯU

Xét một hạt chất lưu có khối tâm C, có vận tốc là vận tốc của

khối tâm Gọi M là một điểm bất kỳ trong hạt chất lưu Do kích

thước của hạt là rất nhỏ nên ta có thể viết vận tốc tại M như

sau:

v M v C  CM  v

(5.1)

Ta có hệ thức:

  a b b a a b b  a a  b

                 

(5.2)

Với aCM

và bv

ta có:

CM v  CM v CM  v

       

(5.3) Dùng (5.3), ta có thể viết lại hệ thức (5.1) dưới dạng:

v M v C    CMD

(5.4)

Trong đó ta đã định nghĩa vectơ xoáy 

: 1

    

(5.5)

Và vectơ biến dạng D

:

 

D  CM v

(5.6)

Biểu thức (5.4) cho thấy chuyển động của hạt chất lưu bao

gồm:

 Chuyển động tịnh tiến của khối tâm;

 Chuyển động quay quanh khối tâm;

 Chuyển động biến dạng đặc trưng bởi vectơ D

Hình 5.1 là kết quả mô phỏng một cơn lốc trên máy tính Do

trường vận tốc có rotv  0

nên các hạt chất lưu quay quanh khối tâm của chúng Ngoài ra chúng ta cũng quan sát thấy sự

biến dạng của chúng

6 DÒNG CHẢY KHÔNG XOÁY

Dòng chảy không xoáy là dòng chảy có rotv  0

Khi đó vận tốc của dòng chảy có thể viết dưới dạng gradient của một hàm

vô hướng :

vgrad

(6.1) Trong cơ học các trường lực có thể viết dưới dạng gradient của

một hàm vô hướng có tên gọi chung là các trường thế Vì vậy

dòng chảy không xoáy còn được gọi là dòng chảy thế, còn hàm

 được gọi là thế của dòng chảy

Ngoài ra nếu dòng chảy là không nén được thì divv  0

, do đó:

Vậy thế của một dòng chảy không xoáy, không nén được là

một hàm điều hoà (tức là thoả phương trình Laplace (6.2))

HÀM DÒNG

Xét một dòng chảy không xoáy phẳng (trường vận tốc chỉ phụ

thuộc vào hai biến không gian, chẳng hạn x và y)

Phương trình của một đường dòng được cho bởi:

dx dy

Do tính chất thế của dòng chảy nên các thành phần của vận tốc

có thể biểu diễn qua hàm thế , ta suy ra:



Người ta định nghĩa hàm dòng  như sau:

,

Hình 5.1 Sự quay và biến dạng của các hạt chất lưu

Như vậy phương trình của một đường dòng còn có dạng:

0

Điều đó có nghĩa là trên mỗi đường dòng thì hàm dòng có một

giá trị không đổi, giá trị đó được gọi là chỉ số của đường dòng

tương ứng

7 DÒNG CHẢY XOÁY

Dòng chảy được gọi là xoáy khi trường vận tốc có rotv  0

Khi đó, như đã giới thiệu trong phần 5, người ta định nghĩa

vectơ xoáy :

1

2rotv

  

(7.1)

Để mô tả một dòng chảy xoáy chúng ta có thể dùng các đường

xoáy, là các đường tiếp tuyến tại mọi điểm với vectơ xoáy

Hình 7.1 cho thấy các đường xoáy của một vòng khói tròn mà

ta thường thấy xuất hiện trên miệng núi lửa

Do div(rot) = 0 nên:

0

div 

(7.2) Vậy thông lượng của vectơ xoáy qua một mặt kín luôn luôn

bằng không

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Mécanique des fluides, 2de année PC-PC* PSI-PSI*, J

M Brébec et al, Hachette Supérieur (1998)

[2] Mécanique des fluides-Précis de physique, J.-L

Queyrel, J Mesplède, Bréal (1997)

[3] Cơ học chất lỏng ứng dụng, Phạm văn Vĩnh, Nhà xuất

bản Giáo Dục (2000)

Đường xoáy

Đường dòng

Vòng khói

Hình 7.1