Lý Thuyet Nevanlinna.docx

MĐ A U 1 Lýdochonđetài Lý thuyet phân bo giá trị (hay còn goi là Lý thuyet Nevanlinna) đãđượchìnhthànhvàpháttrientrongsuotganm®tthe kqua Có the coi năm 1925 là c®t moc đánh dau sự ra đời của Lý thuyet[.]

C®t moc quan trong tiep theo của Lý thuyet Nevanlinna là năm1933khi mà H Cartan đã tőng quát ket quả của Nevanlinna cho đườngcongchỉnh hình trong không gian xạ ảnh phác có ảnh giao với m®t ho cácsiêuphȁngởvịtrítőngquát.

Trong gan m®t thekqua, Lý thuyet Nevanlinna liên tục thu hútđượcsựquantâmcủađôngđảocácnhàtoánhocởcảhaikhíacạnh:pháttrienlýthuyet n®i tại và tìm kiem nhǎng moi liên hvới các lĩnh vực khác củaToánhoc

N®id u n g c o t l õ i c ủ a L ý t h u y e t N e v a n l i n n a t pt r u n g ở h a i đ

ị n h l ý chính, được goi là các Định lý cơ bản thá nhat và Định lý cơ bản thá hai.Định lý cơ bản thánhat được suy ra tà công thác Jensen và nói chúngchúng ta hieu biettương đoi rõ ve nó Tuy nhiên, Định lý cơ bản tháhaithìk h ô n g n h ư v y.V i ct h i e t l pĐ ị n h l ý c ơ b ả n t h á h a i l à r a t k h

ó v à chúngtamớichỉthietlpđượcnótrongm®tsoíttrườnghợp

Có the nói lịch sả phát trien trong suot gan m®t thekqua củaLýthuyetNevanlinnaganbómtthietvớivicthietlpcácdạngcủaĐịnh

1

lý cơ bản thá hai với các ket quả tiêu bieu của H Cartan cho đườngcongchỉnh hình trong không gian xạ ảnh phác với mục tiêu là các siêuphȁng

ởvịtrítőngquát,E.Nochkachođườngcongchỉnhhìnhtrongkhônggianxạả n h p h á c v ớ i m ụ c ti ê u l à c á c s i ê u p h ȁ n g ở v ị t r í d ư ớ i t ő n g q u á t ,

W Stoll và H Fujimoto cho ánh xạ phân hình nhieu bien phác vào không gianxạ ảnh phác với mục tiêu là các siêu

Thaiđãthietlpcácdạngđịnhlýcơbảntháhaichotrườnghợpsiêum t Cácket quả của các tác giả trên là nguon cảm háng và là định hướngcách tiep c n cho nhieu tác giả

đi sau trong vi c nghiên cáu Định lý cơbản thá hai của Lý thuyet

conSchmidtcủaLýthuyetxapxỉDiophantine.TrongboicảnhđóchúngtôichonhướngnghiêncáuthánhatcủađetàilunánlànghiêncáuĐịnhlýcơbảntháhaichotrườnghợpsiêumt

Song song với vi c phát trien n®i tại Lý thuyet Nevanlinna, vi ctìmkiemmoiliênhc ủ a nóvớicáclĩnhvựckháccủatoánhoccũngđượcnhieunhà toánhoc quan tâm Năm 1926, R Nevanlinna thiet l p m®t áng dụngcủa Lý thuyet phân bo giá trịtrong bài toán ve xác định duy nhat hàmphân hình trên m t phȁngphác dưới m®t đieu ki n ve ảnh ngược củacácgiátrịphânbit.Cụtheôngđãchángminhrang:Neuhaihàmphânhìnhkháchangtrênmtphȁngphác cócùngảnhngược(khôngtính b®i)của5 giá trị phân bi tthì chúng trùng nhau Năm 1975, H Fujimoto và sauđó vào năm 1983, L Smiley đã lanlượt mở r®ng ket quả của Nevanlinnatheo các hướng khác nhau sangtrường hợp ánh xạ chỉnh hình vào khônggian xạ ảnh phác có cùng ảnh

củacácsiêuphȁngởvịtrítőngquát.VanđenàyđượcH.Fujimoto,S.Ji,W

Stoll tiep tục quan tâm trong nhieu công trình sau đó Gan đây, bang viccải tien đáng ke các phương pháp của các tác giả đi trước và với cáckythutti n h x ả o , c á c t á c g i ả Đ o Đ á c T h á i , T r a n V ă n T a n , S ĩ Đ á c

Q u a n g ,

G Dethloff, Z Chen và Q Yan đã thu được nhieu ket quả sâu sac vechủđe này, theo hướng tinh giảm đáng ke các đieu ki n đưa ra, đ c bi t làsosiêuphȁngcanthiet

Tiep noi các nghiên cáu này, chúng tôi chon hướng nghiên cáu tháhaicủa đe tài lu n án là thiet l p các định lý ve sự suy bien tuyen tínhcủatích các ánh xạ phân hình tàCmvào CP n dưới đieu ki n có cùng ảnhngượccủam®tsoítcácsiêuphȁng.

2 Mncđ í c h n g h i ê n c fí u

Năm 1997, P Vojta và M Ru đã thiet l p định lý cơ bản thá haichotrường hợp đường cong nguyên không suy bien tuyen tính trongkhônggian xạ ảnh với mục tiêu là các siêu phȁng tùy ý (thay vìởvị trítőngquát) Mục đích thá nhat của chúng tôi là mở r®ng ket quả trênsangtrường hợp đường cong chỉnh hình không suy bien đại so trong đatạp xạảnhphácvớimụctiêu làcácsiêumt

Năm 1985, H Fujimoto nghiên cáu phân bo giá trị của ánh xạphânhìnhtàm®tđatạpK¨ahlervàokhônggianxạảnhphácvớimụctiêulàcácsiê

u phȁng ở vị trí tőng quát Mục đích thá hai của lu n án là mở r®ng ketquảtrên sang trường hợp ánh xạ vào đa tạp đại so xạ ảnh với mục tiêulàcácsiêumtởvịtrídướitőngquát

Mục đích thá ba của lu n án là thiet l p định lý ve tính suy bientuyentính của tích các ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh có cùngảnhngượccủam®tsoítcácsiêuphȁngởvịtrítőngquát

3 Đoitưngvàphạmvinghiêncfíu

Định lý cơ bản thá hai của Lý thuyet Nevanlinna và áng dụng củaLýthuyet Nevanlinna vào vi c nghiên cáu bài toán xác định duy nhat ánhxạphânhình

- Thiet l p được định lý ve quan hso khuyet, phản ánh sự phânbogiátrịcủaánhxạphânhìnhtàm®tđatạpK¨ahlervàođatạpđạisoxạảnhvớimụctiêulàcácsiêumtởvịtrídướitőngquát.Nólàm®tsựmởr®ngketquảcủaFujimototàtrườnghợpsiêuphȁngsangsiêumt.

- Thietl pđược định lý ve tính suy bien tuyen tính của tích các ánhxạphân hình không suy bien tuyen tính tàCm vàoCP n có cùng ảnh ngượccủa m®t so ít các siêu phȁng ở vị trí tőng quát Ket quả này tőng

quát ketquảcủaJitớitrườnghợpcóítsiêuphȁnghơn

6 Cautrúclunán

Ngoàicácphanmởđau,tőngquan,ketlunvàkiennghị,lunánbaogom3chương:

TONGQU A N

Trướchetchúngtađiemlạicácsựki ntiêubieucủaLýthuyetNevanlinnatrong vi c thiet l p định lý cơ bản thá hai cho trườnghợpđườngcongtrongkhônggianxạảnhgiaocácsiêuphȁng:

- Năm 1925, Nevanlinna thiet l p định lý cơ bản thá hai cho hàmphânhình khác hang trên m t phȁng phác, với mục tiêu là các điem vàcáckhôngđiemđượcngatb®ibởi1(nóicáchkháckhôngtính b®i)

- Năm 1986, Steinmetz mở r®ng ket của trên của Nevanlinnasangtrường hợp mục tiêu là các hàm phân hình "nhỏ" (so với hàm đangcanxem xét sự phân bo giá trị) Tuy v y, trong định lý cơ bản thá haicủaSteinmetz, b®i giao không được ngat (nói cách khác, trong hàm đem,tatính cả b®i của các không điem tương áng) Năm 2006, Yamanoi đạtđượcđịnh lý cơ bản thá hai cho trường hợp mục tiêu là các hàm phânhình"nhỏ"vàb®icũngđượcngatbởi1nhưtrongketquảcủaNevanlinna

- Năm 1933, Cartan mở r®ng ket của của Nevanlinna sang trườnghợpđườngc o n g c h ỉ n h h ì n h k h ô n g s u y b i e n t u y e n tí n h t r o n g k h ô n g g

i a n x ạ ảnhp h á c v à c á c m ụ c ti ê u l à c á c s i ê u p h ȁ n g ở v ị t r í t ő n g q u á t K

e t q u ả của Cartan không chỉ đánh dau sự mở đau cho vi c nghiên cáu Lý thuyetphân bo giá trị chotrường hợp chieu cao mà phương pháp của Cartan (cókhởi nguon tà Nevanlinna)còn có ảnh hưởng trực tiep tới cách tiep c nvan đe của nhieu tác giả sau này Chúng tôi sě

mô tả rõ hơn ket quả quantrongnàycủaCartanphía sau

- Năm1953,Stollthietlpđịnhlýcơbảntháhaichotrườnghợpánhxạ chỉnh hìnhkhông suy bien tuyen tính tàCm(nhieu bien) vàokhônggianxạảnhphácvàcácmụctiêulàcácsiêuphȁngởvịtrítőngquát

5

- Năm 1983, Nochka thiet l p định lý cơ bản thá hai cho đườngcongchỉnh hình khác hang trong không gian xạ ảnh với mục tiêu là cácsiêuphȁng ở vị trí tőng quát (nói cách khác là đường cong chỉnh hìnhtrongkhônggianxạảnhkhôngsuybientuyentínhvàmụctiêulàcácsiêuphȁngởvịtrídướitőngquát).KetquảcủaNochkagiảiquyettronvengiảthuyetnăm1933củaCartan

- Năm 1985, Fujimoto nghiên cáu sự phân bo giá trị của ánh xạphânhìnhtàm®tđatạpK¨ahlervàokhônggianxạảnhphácvàmụctiêulàcácsiêuphȁngdiđ®ngởvịtrítőngquátvàdướitőngquát

- Năm 1991, Ru-Stoll thiet l p định lý cơ bản thá hai cho trườnghợpmụctiêulàcácsiêu phȁngdiđ®ngnhỏ

- Năm 1997, Vojta, Ru thiet l p các dạng mở r®ng của định lý cơbảntháhaichotrườnghợphocácsiêuphȁngtùyý

- Năm 2004, Ru thiet l p định lý cơ bản thá hai cho đường congchỉnhhình không suy bien đại so trong không gian xạ ảnh phác và mụctiêu làcácsiêumtởvịtrítőngquát

- Năm 2009, Ru thiet l p định lý cơ bản thá hai cho đường congchỉnhhìnhkhôngsuybienđạisotrongđatạpđạisoxạảnhphácvàmụctiêulàcácsiêumtởvịtrítőng quát

- Năm 2010, Dethloff-Tan thiet l p định lý cơ bản thá hai cho ánhxạphân hình không suy bien đại so trong không gian xạ ảnh phác vàmụctiêulàcácsiêumtdiđ®ng

- Năm 2011, Dethloff-Tan-Thai thiet l p định lý cơ bản thá haichođường cong chỉnh hình không suy bien đại so trong đa tạp đại so xạảnhphácvàmụctiêulàcácsiêum tởvịtrídướitőngquát

Bây giờ chúng ta sě phân tích rõ khó khăn chính g p phải khinghiêncáuđịnhlý c ơbản thá hai c ho trư ờnghợp siêu mt.Tabat đau vớiket quảvàcáchtiep cncủaCartan

H j (f) (f,H j)

Bőđesauchophéptangatb®icủacácgiaođiemcủađườngcongvớicácsiêuphȁngtươngáng

f

Th t không may, các bő đe 0.0.3 và 0.0.4 khôngmở r®ng được

sangtrường hợp mà ở đó các siêu phȁngH jđược thay the bởi siêu phȁng diđ®ng hay

siêu m t Gan đây, Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretiiđạt đượccác ket quảthú vị trong nghiên cáu xap xỉ Diophantine, nó đong thờithúcđȁyvicnghiêncáuđịnhlýcơbảntháhaichotrườnghợpsiêum

ào CP n c ó cùngảnh ngược(tính cảb®i)của3n+2siêuphȁng ởvị trí tőng quát thì

hai ánh xạ đó trùng nhau Năm 1983, Smiley mở r®ngketquảcủaCartannhưsau:

Vớicáccáchtiepcnkhácnhau,năm1989Stollvànăm1998Fujimototiept ụ c n

h nđ ư ợ c k e t q u ả t r ê n G a n đ â y , k h ở i đ a u t à c á c t á c g i ả T r a n VănT a n ,

S ĩ Đ á c Q u a n g , G e r d D e t h l o ff , Đ o Đ á c T h á i v à ti e p n o i l à m ® t so tácgiả khác đã đạt được nhieu dạng của định lý xác định duy nhat đoivới trường hợp có ít siêuphȁng; các ket quả này mở r®ng mạnh mě hauhet các định lý trước đó

ve xác định duy nhat ánh xạ phân hình Chȁnghạn, định lý nêu trên của

Smiley còn đúng cho trường hợp có 2n+3 siêuphȁng Hướng nghiên cáu

thá hai của lunán là thietl pđịnh lý xácđịnhduynhatánhxạphânhìnhchotrườnghợpcóítsiêuphȁng

Địnhljcơ bản thfí hai cho đư ngcongnguyêntrongđatạpxạảnh ,vimnctiêu làcácsiêumttùyj.

Năm 1997, Vojta mở r®ng Định lý cơ bản thá hai của Cartansangtrườnghợpmàởđóđườngcongnguyêntrongkhônggianxạảnhgiaocácsiêup

h ȁ n g t ù y ý ( t h a y v ì g i ả t h i e t ở v ị t r í t ő n g q u á t n h ư t r o n g k e t q u ả củaCartan) Ngay sau đó, Ru cải tien ket quả của Vojta bang cáchđưam®tướclượngrõrànghơnveđạilượngvôcùngbévàđưasựngatb®ivàohàm đemcác giao điem Gan đây, Ru, Dethloff-Tan, Dethloff-Tan-Thaivàm®ts ot ác gi ả khác đạ tn hǎ ngk e tq uả t hú v ịv eĐ ị nh lý cơ bả nt há ha icho trường hợp siêu m t ở vị trí tőng quát Mục đích của chương nàylàthietlpm®tĐịnh lý cơbảntháhaichotrường hợpcácsiêu mttùyý,nói

c á c h k h á c l à m ở r ® n g c á c k e t q u ả c ủa V o j t a v à c ủ a R us a n g t r ư ờ n g hợpsiêumt

Chương 1 gom hai mục: Mục thá nhat được dành đe trình bày m®tsokhái ni m và ket quả bő trợ; mục thá hai dành đe trình bày cho vi cphátbieuvàchángminhđịnhlýchính

Chương1 đ ượ c vie t d ự a t r ên b à ib áo [3 ] (t r o n g m ụ c cá c côn g t r ìn h đãcôngboliênquanđenlunán)

10

{i0, ,in }làm ®tt ¾ pco n củ a {0, ,N}saoch o{x=(x0:···:x N)∈

CP N : xi= ···=xi= 0}∩X= ∅.Khiđó

Bođ e 1 1 4 Chofl à ánhxạchínhhìnhkhôngsuybientuyentính tùC

vàoCP N với bieu dien thu gon f = (f0:· · ·:f N) Đ¾t W(f)

Năm 1933, Cartan đã thiet l p định lý cơ bản thá hai cho các ánh

xạchỉnh hình tàCvàoCP n giao với các siêu phȁng ở vị trí tőng quát Năm1997,Vojtađãđưaradạngmởr®ngsauđâycủaĐịnhlýcơbảntháhai.

0

Cũng trong năm 1997, Ru đã tőng quát hóa ket quả trên củaVojtabangvicđưangatb®ivàocáchàmđemvàướclượngrõrànghơnvephanvôcùngbé.

Địnhl j 1.2.2.Choflàánhxạchínhhình khôngsuybie nđạisotùC

vàoCP n vàcho{Hj}q làcácsiêuphȁngtùyýtrongCP n Choψvàφ

làcáchàmtăngtrongR+v ớ i

∫∞

dr <∞và∫∞dr

Năm2009,Ruđãchángminhrang

Địnhl j 1 2 3 C h o V ⊂ CP N l à đ a t ạ p x ạ ả n h p h ú c , n h ȁ n c ó c h i e u n≥1.ChoflàcácánhxạchínhhìnhkhôngsuybienđạisotùCvàoV.

¨∫

2

π

¨

ChoD1, ,Dql à c á c s i ê u m ¾ tt r o n g CP N c ó b ¾ c d jvàớ v t r í t ő n g q u á t trongV. Khiđóvớimőiϵ>0

Địnhlj1.2.4.Cho V⊂CP N là đa tạp xạ ảnh phúc, nhȁn có chieun≥ 1 C h o f l à á n h x ạ c h í n h h ì n h k h ô n g s u y b i e n đ ạ i s o t ù C vàoV ChoD1, , Dq(V/⊂Dj)là các siêu m¾t tùy ý trongCP n có b¾cdj.Khiđóv ớ i m ő i ϵ > 0,t o n t ạ i m ® t s o n g u y ê n d ư ơ n g M p h ự t h u ®

Địnhl ý t r ê n l à k e t q u ả c h í n h t h á nh a t c ủ a l u ná n V i c c h á n g m i n h địnhlýtrênđượcthựchintheohaibước.Đautiên,chúngtôichángminh

Sfiphânbogiátrịcủaánhxạphânhì nhtfiđatạpK¨ahlerđayvàođatạpxạản h,vi mnctiêu làcácsiêumt.

Năm 1985, Fujimoto nghiên cáu ve sự phân bo giá trị của ánh xạphânhìnhtàđatạpK¨ahlerđayvàokhônggianxạảnhphácmàởđóảnhcủaánh xạphân hình cat các siêu phȁng Mục đích của chương 2 là nghiêncáu van

đe trên cho trường hợp ánh xạ vào đa tạp xạ ảnh và có ảnhgiaocácsiêumt

Chương2 gom h a i m ụ c : M ục t h á nhat đư ợ c dà n h đ e t r ì n h bà y m ® t

so khái ni m và ket quả bő trợ; mục thá hai nham trình bày các ket quảchínhcủachương

Chương 2 được viet dựa trên bài báo [2] (trong mục các công trìnhđãcôngbo l iê n q u an đen l u nán )

14

So khuyet Nevanlinna-Cartan với b®i được ngat của m®t hàm phânhìnhángvớim®tsiêumt

2.2 Sfi phân bo giá trị của ánh xạ phân hình tfi

(degD)ηΩ f+ dd c logh2≥[min{ν (f,D) ,p0}], ởđâytakýhiu[ν]là(1,1)-dòngl i ên k e t v ớ i di v i so r ν S o k h u y e t c ủ a f

δ [p0 ]

(D)≥1− p 0

.

∩∩∈ ∈{ }\

Mnhđ e s a u đ ư a r a s ự s o s á n h v e s o k h u y e t t h e o n g h ĩ a t r ê n v à s o khuyettheonghĩathôngthườngcủaLýthuyetNevanlinna

Mnhđ e 2 2 1 ChoM= B(R0)làm®thìnhcautrongCmvà giảsủ

limr→R0Tf(r,r0)=+∞.K h i đ ó

0≤δ [l] (D)≤∗δ [l] (D)≤1. (2.1)

ChoV⊂CP N là m®t đa tạp xạ ảnh phác, nhȁn và có so chieun≥1.ChoD1, ,Dk(k≥1) là các siêumt trongCP N có b cdj.Ta

nóicác siêu mtD1, ,Dklà ởvtrítőngquáttrongVn e u v ớ i b a t k ỳ

c á c so1≤i1<· · ·< is≤k,(1≤s≤n+1),luôn ton tại các siêu mtD1′, ,D n′

+1−s trongCP N saocho

V∩Di1∩···∩D i s ∩D1′∩···∩D n′+1−s =∅.

ĐịnhnghĩasauđâyvecácsiêumtởvịtrídướitőngquátđượcđưarabởiDethloff-Tan-Thai

Định nghĩa 2.2.2.Cho n1≥n vàq≥ 2n1−n+1 Các siêum¾tD1, , DqtrongCP N với V/⊆Djvới moi j= 1, .,q đượcgoi làớvtrín1- dướitőngqu át tr o ng Vneu2đieuki nsauthóam ãn :

qJ,neudimV ∩ (∩j∈JDj )= dimV ∩ D i∩(∩j∈JDj )t h ì D ichúaσJ.

Dethloff-Tan-Thai cũng đã cháng minh sự ton tại của trong Nochkavàhang so Nochka đoi với ho các siêu m t ở vị trí dưới tőng quát Taphátbieulạicácketquảnàynhưsau:

M nhđe 2.2.3.Cho D1, , Dqlà các siêu phȁng ớ vtrí N -dưới tőngquáttrongV,ớđóN≥ nvàq≥2N−n+1.Khiđó,tontạicáchang

≤Θ≤N+1, (iv) neuR⊆Qvà0<#R≤N+1,thì j∈R ω(j)≤c(R).

M nhđe 2.2.4.Cho D1, , Dqlà các siêu m¾t trongCP N và ớ tőngquátdướiđoivớiV,ớđóNnvàq2 Nn +1.Goiω(1), ,ω(q)là các trong, hang Nochka úng với ho các siêu m¾t trên XétRlà m®t t¾pcontùyýcủaQ:={1, ,

nhỏnhatcủad1, ,dq.Choϵ làm®thangsotùyývới0 <ϵ<1.Đt

hijdzi∧dzj.Đ ¾ t

Ricω=dd c log(det(hij )).

GiảsủphủphődựngM˜củaMlàđȁngcauchínhhìnhtớim®thình

cauB(R0)(0< R0≤∞) Choflà m®t ánh xạ phân hình không suy bienđại so

tù M vào V Giả sủ với ρ≥0nào đó, ton tại m®t hàm liên tực bch¾nh≥0t rê n M s a o c h o