Một số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phân

Một số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phânMột số vấn đề của lý thuyết nevanlinna và ứng dụng cho đa thức vi phân

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM

VI›N TON HÅC

NGUY™N VI›T PH×ÌNG

MËT SÈ V‡N — CÕA LÞ THUY˜T NEVANLINNA V€ ÙNG DÖNG CHO

A THÙC VI PH…N

LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC

H  Nëi - 2022

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM

VI›N TON HÅC

NGUY™N VI›T PH×ÌNG

MËT SÈ V‡N — CÕA LÞ THUY˜T NEVANLINNA V€ ÙNG DÖNG CHO

A THÙC VI PH…N

Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½chM¢ sè: 9 46 01 02

LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: PGS.TSKH T¤ Thà Ho i An

H  Nëi - 2022

Líi cam oan

Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõaPGS TSKH T¤ Thà Ho i An C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n vi¸t chung vîi c¡c t¡c gi£kh¡c ¢ ÷ñc sü nh§t tr½ cõa çng t¡c gi£ khi ÷a v o luªn ¡n C¡c k¸t qu£ ÷ñcn¶u trong luªn ¡n l  trung thüc v  ch÷a tøng ÷ñc ai cæng bè trong b§t ký cængtr¼nh n o kh¡c

T¡c gi£

Nguy¹n Vi»t Ph÷ìng

Líi c£m ìn

Luªn ¡n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS TSKH T¤ Thà Ho i An,mët nh  gi¡o m¨u müc, nh  khoa håc tªn t¥m ¢ khæng ch¿ ành h÷îng v  d¼u d­tt¡c gi£ tr¶n con ÷íng nghi¶n cùu, m  cán luæn quan t¥m v  d¤y b£o cho t¡c gi£nhúng b i håc quþ gi¡ trong cuëc sèng Líi ¦u ti¶n, t¡c gi£ xin ÷ñc ph²p b y täláng bi¸t ìn s¥u s­c nh§t ¸n ng÷íi cæ ¡ng k½nh

T¡c gi£ xin ÷ñc tr¥n trång c£m ìn Ban l¢nh ¤o Vi»n To¡n håc - Vi»n H nl¥m Khoa håc v  Cæng ngh» Vi»t Nam, Trung t¥m  o t¤o sau ¤i håc, c¡c phángchùc n«ng v  c¡c nh  khoa håc cõa Vi»n To¡n håc ¢ gióp ï, t¤o i·u ki»n thuªnlñi nh§t cho t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu t¤i Vi»n T¡c gi£ côngxin tr¥n trång c£m ìn pháng ¤i sè v  Lþ thuy¸t sè ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi ºt¡c gi£ ÷ñc tham gia c¡c buêi sinh ho¤t khoa håc cõa li¶n pháng

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc Kinh t¸ v  Qu£ntrà Kinh doanh - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Khoa Khoa håc cì b£n v  c¡c th¦y cæ gi¡otrong Bë mæn To¡n ¢ luæn ëng vi¶n v  t¤o i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ ho n

th nh ÷ñc luªn ¡n n y

Nh¥n dàp n y t¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c tîi PGS TS H  Tr¦nPh÷ìng ¢ d nh cho t¡c gi£ nhúng t¼nh c£m v  sü ëng vi¶n gióp ï quþ b¡u.Cuèi còng, xin d nh mân qu  tinh th¦n n y d¥ng t°ng Bè, Mµ, c¡c anh chà emtrong ¤i gia ¼nh th¥n y¶u, t°ng ng÷íi vñ hi·n y¶u d§u, nhúng ng÷íi ¢ chàu nhi·ukhâ kh«n v  d nh h¸t nhúng t¼nh c£m y¶u th÷ìng, ëng vi¶n t¡c gi£ ho n th nhk¸t qu£ nghi¶n cùu cõa m¼nh

T¡c gi£

Nguy¹n Vi»t Ph÷ìng

2 Ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 222.1 Quan h» sè khuy¸t cõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh 232.2 Mð rëng cõa gi£ thuy¸t Hayman cho mët sè d¤ng a thùc vi ph¥n 262.3 K¸t luªn 37

3 T½nh duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp c¡c athùc vi ph¥n chung mët h m nhä 393.1 C¡c h m ph¥n h¼nh chung mët h m nhä 393.2 C¡c a thùc vi ph¥n cõa c¡c h m ph¥n h¼nh chung mët h m nhä 523.3 K¸t luªn 73

Mð ¦u

ành lþ cì b£n cõa ¤i sè nâi r¬ng mët a thùc bªc n tr¶n tr÷íng sè phùc C

câ óng n khæng iºm V o nhúng n«m cuèi cõa th¸ k 18 ¦u th¸ k 19, c¡c nh to¡n håc ¢ ph¡t triºn nhúng k¸t qu£ ¤t ÷ñc v· sü ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c athùc l¶n èi t÷ñng l  c¡c h m nguy¶n trong m°t ph¯ng phùc Trong thíi gian n y,Borel ¢ th nh cæng trong vi»c k¸t hñp v  c£i ti¸n c¡c k¸t qu£ cõa Picard, Poincar²

v  Hadamard cho c¡c h m nguy¶n v  lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà b­t ¦u h¼nh th nh

Lþ thuy¸t n y nghi¶n cùu mªt ë cõa c¡c iºm m  t¤i â h m ph¥n h¼nh nhªn mëtgi¡ trà cö thº

Mët âng gâp nêi bªt cõa lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà cho c¡c h m ph¥n h¼nh ¢

÷ñc nh  to¡n håc ng÷íi Ph¦n Lan Rolf Nevanlinna ÷a ra Sau n y, c¡c k¸t qu£

â ¢ g­n li·n vîi t¶n tuêi cõa æng v  th÷íng ÷ñc nh­c ¸n vîi t¶n gåi Lþ thuy¸tNevanlinna Sü ra íi cõa lþ thuy¸t n y ÷ñc ¡nh gi¡ l  mët trong nhúng th nhtüu µp ³ v  s¥u s­c nh§t trong ng nh gi£i t½ch phùc v  ng y c ng câ nhi·u ùngdöng trong nhúng l¾nh vüc kh¡c nhau cõa to¡n håc, ch¯ng h¤n nh÷ lþ thuy¸t ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n, lþ thuy¸t hå chu©n t­c, h¼nh håc phùc v  lþ thuy¸t sè, Tr£i quag¦n mët tr«m n«m, h÷îng nghi¶n cùu ¢ ÷ñc ph¡t triºn r§t m¤nh m³ v  ¢ chùngki¸n sü âng gâp to lîn cõa c¡c nh  to¡n håc n÷îc ngo i nh÷ Gol'dberg, Ostrovskii,Ahlfors, Shimizu, Drasin, Hayman, Bergweiler, Langley, Ru, Vojta, Yamanoi, v c¡c nh  to¡n håc trong n÷îc nh÷ L V Thi¶m, H H Kho¡i,   Th¡i, S .Quang, T V T§n, T T H An, Tuy nhi¶n, vîi t¦m quan trång trong gi£i t½chphùc, h÷îng nghi¶n cùu n y v¨n ang ti¸p töc thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa c¡c

nh  to¡n håc Möc ti¶u cõa c¡c nh  to¡n håc l  ÷a ra c¡c b§t ¯ng thùc giúa h m

¸m, h m x§p x¿ v  h m °c tr÷ng cõa h m ph¥n h¼nh, thæng qua c¡c b§t ¯ngthùc â câ thº xem x²t sü ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c h m ph¥n h¼nh v  t¼m c¡c ùngdöng cõa c¡c k¸t qu£ â

B i to¡n quan trång trong lþ thuy¸t n y l  nghi¶n cùu mèi quan h» giúa c¡ckhæng iºm, cüc iºm cõa mët h m v  ¤o h m cõa h m â N«m 1922, Pâlya [43]

¢ chùng m¼nh r¬ng n¸u h m ph¥n h¼nh f câ ½t nh§t hai cüc iºm th¼ vîi méi sènguy¶n d÷ìng k õ lîn, ¤o h m c§p k cõa h m ph¥n h¼nh â câ ½t nh§t mët khæng

iºm Li¶n quan tîi k¸t qu£ â, Gol'dberg [19] ¢ °t ra gi£ thuy¸t sau:

Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C v  k ≥ 2 l  mët sè nguy¶n Khi

f (k)

l 

h m ¸m c¡c khæng iºm cõa ¤o h m c§p k cõa h m f t½nh c£ bëi

Gi£ thuy¸t cõa Gol'dberg ch¿ óng vîi c¡c ¤o h m câ c§p ½t nh§t l  hai, chóng

ta x²t v½ dö ìn gi£n l  h m f(z) = tan z, khi â h m f câ væ sè cüc iºm trong khi

¤o h m c§p mët f0 khæng câ khæng iºm N«m 1986, Frank v  Weissenborn [18]

¢ chùng minh gi£ thuy¸t Gol'dberg b¬ng ph÷ìng ph¡p Wronskian èi vîi tr÷ínghñp h m ph¥n h¼nh f ch¿ câ c¡c cüc iºm ìn Sau â, Langley [25] ¢ chùng minhr¬ng n¸u f l  mët h m ph¥n h¼nh c§p húu h¤n thäa m¢n i·u ki»n ¤o h m c§phai f00câ húu h¤n khæng iºm th¼ f câ húu h¤n cüc iºm N«m 2013, b¬ng vi»c x¥ydüng h m x§p x¿ hi»u ch¿nh v  ÷a ra c¡c ch°n cho h m x§p x¿ â, Yamanoi [33]

¢ t¤o ra mët b÷îc ët ph¡ trong lþ thuy¸t Nevanlinna vîi chùng minh ho n to ngi£ thuy¸t Gol'dberg v  thªm ch½ k¸t qu£ cõa æng ÷a ra cán m¤nh hìn gi£ thuy¸tban ¦u Vi»c chùng minh gi£ thuy¸t Gol'dberg câ þ ngh¾a r§t lîn trong lþ thuy¸tph¥n bè gi¡ trà, nâ ¢ gióp cho c¡c nh  to¡n håc v÷ñt qua nhi·u khâ kh«n trongvi»c gi£i quy¸t c¡c b i to¡n quan trång cõa lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c h mph¥n h¼nh

l  sè khuy¸t Nevanlinna cõa h m f v 

Θ(a, f ) = 1 − lim sup

þ r¬ng t§t c£ c¡c cüc iºm cõa ¤o h m c§p k cõa h m ph¥n h¼nh f ·u câ bëi ½tnh§t l  k + 1, Hayman [21] ¢ ch¿ ra r¬ng, vîi måi k ∈N,

÷ñc câ thº l  mët sè nhä hìn thüc sü Cö thº, Mues ¢ chùng minh r¬ng

X

a∈Cδ(a, f(k)) ≤ k

÷ñc Wang [30] chùng minh l  óng vîi måi k ≥ 0, ngo¤i trø nhi·u nh§t bèn gi¡trà cõa k Ch¼a khâa trong c¡c chùng minh ÷ñc ÷a ra bði c¡c t¡c gi£ ð tr¶n ·u

câ mët iºm chung â l  hå cè g­ng t¼m ra mèi li¶n h» giúa sè cüc iºm cõa h mph¥n h¼nh v  sè khæng iºm cõa ¤o h m cõa h m ph¥n h¼nh â ð d¤ng y¸u hìn gi£thuy¸t Gol'dberg N«m 2013, Yamanoi [33] ¢ chùng minh th nh cæng gi£ thuy¸tGol'dberg, v  tø â æng thu ÷ñc gi£ thuy¸t Mues nh÷ mët h» qu£

V§n · tü nhi¶n ÷ñc °t ra â l  têng qu¡t gi£ thuy¸t Gol'dberg v  gi£ thuy¸tMues theo h÷îng nh÷ sau:

1) T¼m mèi li¶n h» giúa sè cüc iºm cõa mët h m ph¥n h¼nh v  sè khæng iºmcõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh â

2) T¼m quan h» sè khuy¸t cõa a thùc vi ph¥n cõa mët h m ph¥n h¼nh

Li¶n quan ¸n v§n · thù hai ð tr¶n, Jiang v  Huang [24] ¢ x²t cho c¡c ìn thùc

vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh f câ d¤ng fl(f(k))n, trong â l, n, k l  c¡c sè nguy¶nlîn hìn 1 Hå ¢ nhªn ÷ñc ch°n tr¶n cho têng c¡c sè khuy¸t cõa ìn thùc vi ph¥n

n y l  1 + 1

nk+n+l Tuy nhi¶n, ch°n n y câ thº ÷ñc l m tèt hìn, ¥y l  mët trongnhúng möc ti¶u cõa luªn v«n n y

Ta nâi r¬ng mët gi¡ trà a ∈ C l  mët gi¡ trà Picard cõa h m ph¥n h¼nh f n¸u

f − a khæng câ khæng iºm ành lþ Picard ch¿ ra r¬ng mët h m ph¥n h¼nh kh¡c

h¬ng ch¿ câ thº câ nhi·u nh§t hai gi¡ trà Picard húu h¤n N«m 1959, Hayman ¢chùng minh r¬ng ¤o h m c§p k (k ≥ 1) cõa mët h m ph¥n h¼nh b§t ký câ thº cânhi·u nh§t mët gi¡ trà Picard húu h¤n èi vîi tr÷íng hñp h m nguy¶n, k¸t qu£ cõaMilloux [22] ch¿ ra r¬ng n¸u mët h m nguy¶n si¶u vi»t câ mët gi¡ trà Picard húuh¤n th¼ c¡c ¤o h m cõa nâ nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n K¸tqu£ n y sau â ÷ñc mð rëng cho h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t bði Hayman [21] Mët

iºm h¤n ch¸ trong c¡c k¸t qu£ tr¶n â l  y¶u c¦u h m ph¥n h¼nh câ gi¡ trà Picardhúu h¤n Mët c¥u häi tü nhi¶n ÷ñc °t ra l  li»u gi£ thi¸t v· sü tçn t¤i cõa gi¡ tràPicard câ thº bä i hay khæng n¸u ta xem x²t mët lîp h m ph¥n h¼nh n o â?Li¶n quan ¸n v§n · n y, Hayman [21] ¢ chùng minh r¬ng: Cho f l  mët h mph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C v  n ≥ 3 l  mët sè nguy¶n Khi â, fnf0 nhªn méigi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n Æng gi£ thuy¸t r¬ng k¸t qu£ n y óng vîimåi n ≥ 1 N«m 1979, Mues [42] ¢ ÷a ra chùng minh cho tr÷íng hñp n = 2

¸n n«m 1995, Bergweiler v  Eremenko [10] v  Chen v  Fang [14] ¢ ÷a ra chùngminh cho tr÷íng hñp n = 1 Thay cho vi»c ch¿ x²t b i to¡n cho ìn thùc vi ph¥n,Hayman [21] ¢ ÷a ra c¥u häi: N¸u f l  h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C, n ≥ 3 v 

a 6= 0 th¼ ϕ = f0− afn nhªn méi gi¡ trà húu h¤n væ sè l¦n? Æng ¢ chùng minh

÷ñc r¬ng kh¯ng ành â óng khi n ≥ 5 v  công ÷a ra c¡c ph£n v½ dö º ch¿

ra r¬ng kh¯ng ành tr¶n khæng óng khi n = 1 v  n = 2 Tuy nhi¶n, Mues [42]

¢ ÷a ra c¡c ph£n v½ dö º ch¿ ra r¬ng kh¯ng ành â khæng óng vîi n = 3, 4b¬ng vi»c x²t h m f l  nghi»m kh¡c h¬ng b§t ký cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n Riccati

w0 = −(1 + 2η)(w + 1)(w + η) (vîi η = e2πi/3) cho tr÷íng hñp n = 3 v  ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n Riccati w0 = 2(w2+ 1) cho tr÷íng hñp n = 4 N«m 1982, Doringer[15] ¢ chùng minh r¬ng k¸t qu£ tr¶n ÷ñc thäa m¢n n¸u thay ϕ = f0− afn bði

ϕ = f(k) − afn khi n ≥ k + 4 Möc ti¶u ti¸p theo ÷ñc chóng tæi nghi¶n cùu trongluªn ¡n n y â l : Xem x²t ph¥n bè gi¡ trà cõa a thùc vi ph¥n têng qu¡t hìn.Thæng th÷íng vîi méi k¸t qu£ tr¶n trong lþ thuy¸t ph¥n bè gi¡ trà, chóng ta hyvång câ mët k¸t qu£ t÷ìng ùng v· sü x¡c ành duy nh§t cõa c¡c h m N«m 1996,Fang v  Hua [17] ¢ xem x²t sü x¡c ành duy nh§t cõa c¡c h m nguy¶n f thængqua £nh ng÷ñc cõa a thùc vi ph¥n f0fn Sau â, k¸t qu£ n y ÷ñc Yang v  Hua[35] mð rëng cho tr÷íng hñp c¡c h m ph¥n h¼nh B i to¡n cho a thùc vi ph¥n c§pmët f0fn(f − 1) ÷ñc chùng minh bði Fang v  Hong [16] khi f l  h m nguy¶n v bði Lin v  Yi [27] khi f l  h m ph¥n h¼nh N«m 2013, Boussaf v  c¡c çng nghi»p[12] ¢ x²t b i to¡n cho tr÷íng hñp têng qu¡t hìn b¬ng vi»c ÷a ra c¡c i·u ki»nth½ch hñp v· sè bëi cõa c¡c khæng iºm cõa ¤o h m cõa a thùc Q(z) sao cho vîihai h m ph¥n h¼nh f v  g, n¸u (Q(f))0 v  (Q(g))0 chung mët h m nhä α t½nh c£

bëi th¼ f = g B¶n c¤nh â mët sè t¡c gi£ kh¡c ch¯ng h¤n nh÷: Bhoosnurmatha

v  Dyavanal [11], Zang [38], Xu còng çng nghi»p [31], ¢ x²t cho tr÷íng hñp athùc vi ph¥n c§p cao hìn Chó þ r¬ng c¡c k¸t qu£ tr¶n ·u x²t a thùc vi ph¥n

câ d¤ng [fnP (f )](k) v  k¸t luªn r¬ng n¸u f v  g l  c¡c h m ph¥n h¼nh thäa m¢n[fnP (f )](k)− α v  [gnP (g)](k)− α chung khæng iºm, vîi α l  h m nhä v  n l  sènguy¶n d÷ìng õ lîn, th¼ f = g Tuy nhi¶n, chóng tæi nhªn th§y câ mët sè h¤n ch¸li¶n quan ¸n c¡c k¸t qu£ n y Cö thº, c¡c t¡c gi£ ch¿ x²t c¡c a thùc câ ½t nh§t mëtkhæng iºm c§p õ cao v  c¡c h m nhä α ph£i câ húu h¤n khæng iºm v  cüc iºm.V¼ vªy, möc ti¶u ti¸p theo cõa chóng tæi l  x²t b i to¡n tr¶n cho c¡c biºu di¹n têngqu¡t hìn v  bä qua i·u ki»n v· t½nh húu h¤n cõa c¡c khæng iºm v  cüc iºm cõa

h m nhä α çng thíi, chóng tæi công ÷a ra c¡c k¸t qu£ trong tr÷íng hñp c¡c athùc vi ph¥n chung mët h m nhä khæng t½nh bëi

Luªn ¡n ÷ñc chia th nh ba ch÷ìng còng vîi ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v  t i li»utham kh£o

Ch÷ìng 1, ngo i ph¦n ¦u d nh cho vi»c tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n

÷ñc dòng trong luªn ¡n, chóng tæi ÷a ra c¡c k¸t qu£ v· c¡c khæng iºm cõa athùc vi ph¥n cõa c¡c h m ph¥n h¼nh (ành lþ 1.2.1) ành lþ n y ÷a ra mèi li¶nh» giúa sè cüc iºm cõa mët h m ph¥n h¼nh v  sè khæng iºm cõa a thùc vi ph¥ncõa h m ph¥n h¼nh â Nh÷ mët h» qu£ cõa ành lþ 1.2.1 chóng tæi thu ÷ñc k¸tqu£ cõa Yamanoi trong tr÷íng hñp °c bi»t v  mð rëng gi£ thuy¸t Gol'dberg K¸tqu£ nghi¶n cùu cõa chóng tæi trong ch÷ìng n y düa v o b i b¡o [5]

Ch÷ìng 2 d nh cho vi»c nghi¶n cùu ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c a thùc vi ph¥n.Ph¦n ¦u cõa ch÷ìng ÷a ra quan h» sè khuy¸t cho a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥nh¼nh (ành lþ 2.1.1) ành lþ n y l  mët ùng döng trüc ti¸p cõa ành lþ 1.2.1 trongCh÷ìng 1 v  çng thíi công cho ta mët d¤ng têng qu¡t hìn cõa gi£ thuy¸t Mues cho

a thùc vi ph¥n cõa c¡c h m ph¥n h¼nh Ph¦n cuèi cõa ch÷ìng n y ÷ñc d nh chovi»c nghi¶n cùu ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh Trongph¦n n y, c¡c ành lþ 2.2.1, 2.2.5 v  2.2.7 l  c¡c mð rëng cõa gi£ thuy¸t Haymancho c¡c a thùc vi ph¥n têng qu¡t hìn Ch÷ìng 2 ÷ñc tr¼nh b y düa v o c¡c b ib¡o [5, 7]

Ch÷ìng 3 tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ v· t½nh duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh trongtr÷íng hñp c¡c a thùc vi ph¥n chung mët h m nhä Ph¦n ¦u cõa ch÷ìng ÷a rac¡c °c tr÷ng cõa c¡c h m ph¥n h¼nh chung nhau mët h m nhä trong c¡c tr÷ínghñp t½nh c£ bëi v  khæng t½nh bëi (ành lþ 3.1.2, ành lþ 3.1.4 v  ành lþ 3.1.5).Ph¦n cuèi cõa ch÷ìng ÷a ra c¡c ùng döng cõa c¡c ành lþ ð ph¦n ¦u cho vi»cnghi¶n cùu t½nh duy nh§t cõa c¡c h m ph¥n h¼nh trong tr÷íng hñp c¡c a thùc vi

ph¥n chung nhau mët h m nhä ÷ñc thº hi»n trong nëi dung cõa c¡c ành lþ: ành

lþ 3.2.1 ¸n ành lþ 3.2.6, ành lþ 3.2.8 v  ành lþ 3.2.9 K¸t thóc ph¦n n y, chóngtæi ÷a ra °c tr÷ng nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng Q(f) = Q(g) + c trong âQ(z) l  a thùc vîi h» sè tr¶n C, f, g l  c¡c h m ph¥n h¼nh v  c l  mët h¬ng sèphùc Nëi dung cõa ch÷ìng düa v o c¡c b i b¡o [6, 8, 28]

sè khæng iºm cõa mët a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh â Trong tr÷íng hñp

°c bi»t, k¸t qu£ cõa chóng tæi thu ÷ñc k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa Yamanoi [33] v  gi£thuy¸t cõa Gold'berg K¸t qu£ nghi¶n cùu cõa chóng tæi trong ch÷ìng n y düa v o

b i b¡o [5] Tr÷îc h¸t, chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n trong lþ thuy¸tNevanlinna cê iºn v  mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi

1.1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

1.1.1 Lþ thuy¸t Nevanlinna cê iºn

Trong ph¦n n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n trong lþ thuy¸tph¥n bè gi¡ trà cê iºn dòng cho vi»c nghi¶n cùu c¡c nëi dung ch½nh C¡c kh¡i ni»m

v  c¡c k¸t qu£ cì b£n n y chõ y¸u ÷ñc tham kh£o trong c¡c t i li»u [13, 22, 29].Chóng ta nh­c l¤i mët trong nhúng k¸t qu£ quan trång cõa gi£i t½ch phùc â l cæng thùc Jensen Cæng thùc n y cho ta c¡ch t½nh mæun cõa h m ph¥n h¼nh t¤igèc thæng qua mæun cõa h m t¤i c¡c iºm tr¶n ÷íng trán v  c¡c khæng iºm, cüc

iºm cõa h m ph¥n h¼nh trong ¾a â

ành lþ 1.1.1 (Cæng thùc Jensen) Cho f 6≡ 0 l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n ¾a

¯

D(r) = {z ∈C||z| ≤ r}, (r < ∞) Gi£ sû a1, , aM l  c¡c khæng iºm cõa f trongD(r) t½nh c£ bëi v  b1, , bN l  c¡c cüc iºm cõa f trong D(r) t½nh c£ bëi Khi â,n¸u f(0) 6= 0, ∞ th¼

log |f (0)| =

Z 2π 0

log |f (reiθ)|dθ

Chó þ 1.1.2 Gi£ sû f(z) câ khæng iºm c§p m (vîi m > 0) ho°c cüc iºm c§p

−m (vîi m < 0) t¤i z = 0 Khi â, ta vi¸t

Tø â suy ra

log |cm| = 1

2π

Z 2π 0log |f (reiθ)|dθ +

log+x = max{log x, 0}

ành ngh¾a 1.1.3 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n Cv  a l  mët sè phùc H mx§p x¿ cõa f ÷ñc ành ngh¾a bði:

m(r, f ) = 1

2π

Z 2πlog+|f (reiθ)|dθ,

Z 2π 0

log+ 1

|f (reiθ) − a|dθ.

V· m°t þ ngh¾a ta th§y h m x§p x¿ m(r, f) o ë lîn trung b¼nh cõa tªp hñpc¡c iºm trong ¾a D(r) m  t¤i â h m nhªn gi¡ trà x§p x¿ ∞

K½ hi»u n(t, f) l  sè cüc iºm cõa f(z) trong ¾a |z| ≤ t, trong â méi cüc iºm

÷ñc ¸m vîi sè l¦n b¬ng bëi cõa nâ, n(t, f) l  sè cüc iºm cõa f(z) trong ¾a

|z| ≤ t, trong â méi cüc iºm ch¿ ÷ñc ¸m mët l¦n, n(0, f) l  sè bëi cõa cüc iºmcõa f(z) t¤i z = 0 v 

l  sè khæng iºm cõa f(z) − a trong ¾a

|z| ≤ t, trong â méi khæng iºm ÷ñc ¸m vîi sè l¦n b¬ng bëi cõa nâ, n t, 1

V· m°t þ ngh¾a ta th§y c¡c h m ¸m N(r, f) v  N r, 1

f −a l¦n l÷ñt o ë lîncõa tªp c¡c cüc iºm v  tªp c¡c a-iºm t÷ìng ùng cõa h m f(z) trong ¾a b¡n k½nh

r → +∞ câ thº trø ra mët tªp câ ë o húu h¤n

Mët sè t½nh ch§t cõa c¡c h m Nevanlinna ÷ñc cho trong m»nh · sau

M»nh · 1.1.7 Gi£ sû fk vîi k = 1, , p l  c¡c h m ph¥n h¼nh trong m°t ph¯ngphùc C. Khi â, ta câ

1) m r,Pp

k=1fk
≤Pp

k=1m(r, fk) + log p,2) m r,Qp

k=1fk
≤Pp

k=1m(r, fk),3) N r,Pp

k=1fk
≤Pp

k=1N (r, fk),4) N r,Qp

k=1fk
≤Pp

k=1N (r, fk),5) T r,Pp

k=1fk
≤Pp

k=1T (r, fk) + log p,6) T r,Qp

k=1fk
≤Pp

k=1T (r, fk)

Bê · 1.1.8 N¸u f(z) l  h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C th¼

limr→∞

T (r, f )log r = ∞.

Bê · 1.1.9 ([34]) Cho f(z) l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng v  an(6≡ 0),

an−1, , a0 l  c¡c h m nhä so vîi f Khi â, ta câ

T (r, anfn+ an−1fn−1+ · · · + a0) = nT (r, f ) + o(T (r, f ))

Ti¸p theo, chóng tæi nh­c l¤i Bê · ¤o h m logarit Bê · n y l  ch¼a khâatrong chùng minh ành lþ cì b£n thù hai cõa Nevanlinna Tuy nhi¶n, b¶n c¤nh â

bê · cán th÷íng xuy¶n ÷ñc sû döng trong nhi·u v§n · kh¡c

Bê · 1.1.10 (Bê · ¤o h m Logarit) Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ngtr¶n C. Khi â, ta câ

m r,f

0f

= o(T (r, f ))khi r → +∞ câ thº trø ra mët tªp câ ë o húu h¤n

Tø ành lþ cì b£n thù nh§t ta câ thº xem têng m r, 1

sè cho tr÷íng hñp c¡c h m nguy¶n v  h m ph¥n h¼nh Tuy nhi¶n, trong ành lþ cìb£n thù nh§t ngo i h m ¸m N r, 1

lþ cì b£n thù hai, â l  mët k¸t qu£ s¥u s­c hìn nhi·u so vîi ành lþ cì b£n thùnh§t ành lþ cì b£n thù hai cho th§y r¬ng ¤i l÷ñng m r, 1

f − a

nâi chung l  r§tnhä Nëi dung cõa ành lþ cì b£n thù hai nh÷ sau

ành lþ 1.1.12 (ành lþ cì b£n thù hai) Cho a1, , aq(q ≥ 2) l  q sè phùc ph¥nbi»t v  f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng tr¶n C. Khi â, ta câ b§t ¯ng thùc

m(r, f ) +

q

X

j=1m(r, 1

f − aj) ≤ 2T (r, f ) − N1(r) + o(T (r, f ))

óng vîi måi r câ thº trø ra mët tªp E ⊂ (0, +∞) câ ë o Lebesgue húu h¤n, trong

Nh÷ ¢ nâi ð tr¶n, º câ ÷ñc sü t÷ìng tü ành lþ cì b£n cõa ¤i sè cho c¡c

h m ph¥n h¼nh, ta ph£i bê sung th¶m h m x§p x¿ º bò l¤i sü thi¸u höt nghi»m sovîi c§p t«ng cõa h m ph¥n h¼nh f º ành l÷ñng cho sü thi¸u höt â, Nevanlinna

¢ ÷a ra ành ngh¾a v· sè khuy¸t nh÷ sau

ành ngh¾a 1.1.13 Sè khuy¸t Nevanlinna ÷ñc ành ngh¾a bði

δ(a, f ) = lim inf

Tø ành ngh¾a tr¶n ta câ 0 ≤ δ(a, f) ≤ 1 çng thíi, tø ành lþ cì b£n thù hai ta

câ thº d¹ d ng nhªn ÷ñc quan h» sè khuy¸t sau ¥y:

X

a∈C∪{∞}

δ(a, f ) ≤ 2

Trong ph¦n ti¸p theo, chóng tæi s³ tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi ¢

÷ñc cæng bè g¦n ¥y v  ¢ câ £nh h÷ðng khæng nhä tîi sü ph¡t triºn cõa lþ thuy¸tph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c h m ph¥n h¼nh

1.1.2 Mët sè k¸t qu£ cõa Yamanoi

Tr÷îc khi ÷a ra mët sè k¸t qu£ quan trång cõa Yamanoi, chóng ta nh­c l¤i c¡ckh¡i ni»m v· kho£ng c¡ch c¦u giúa c¡c iºm v  mªt ë logarit cõa mët tªp nh÷ sau

ành ngh¾a 1.1.14 ([22]) Kho£ng c¡ch c¦u giúa hai iºm z v  w trongP1(C)÷ñcx¡c ành bði

[z, w] = |z − w|

p

1 + |z|2p1 + |w|2n¸u z, w l  c¡c sè phùc húu h¤n v 

[z, ∞] = p 1

1 + |z|2

ành ngh¾a 1.1.15 ([20]) Cho E l  mët tªp con cõa R. Khi â, mªt ë logarittr¶n v  mªt ë logarit d÷îi cõa E l¦n l÷ñt ÷ñc ành ngh¾a bði

logdens(E) = lim sup

r→∞

1log r

Z

[e,r]∩E

dt

t ,logdens(E) = lim inf

r→∞

1log r

Z

[e,r]∩E

dt

t .N¸u logdens(E) = logdens(E), th¼ ta ành ngh¾a

logdens(E) = lim

r→∞

1log r

Z

[e,r]∩E

dtt

ành ngh¾a 1.1.17 Cho d v  n l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng Cho f l  mët h m ph¥nh¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C. Khi â, h m x§p x¿ hi»u ch¿nh ÷ñc ànhngh¾a bði

md,n(r, f ) = sup

(a 1 , ,a n )∈(R d ) n

Z 2π 0

max1≤j≤nlog 1

[f (reiθ), aj(reiθ)]

dθ2π,trong â Rd l  tªp t§t c£ c¡c h m húu t bªc nhä hìn ho°c b¬ng d bao gçm c£ ∞

Chó þ 1.1.18 Cho a1, , an ∈C l  c¡c sè phùc ph¥n bi»t Ta câ

max1≤j≤nlog 1

[f (reiθ), aj]

dθ2π + O(1) ≤ md,n(r, f ) + O(1),

trong â O(1) l  ¤i l÷ñng bà ch°n ch¿ phö thuëc v o a1, , an V¼ vªy, c¡c h mx§p x¿ nevanlinna m r, 1

log |f (reit)| − inf

Bê · 1.1.19 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh trong m°t ph¯ng phùc C v   > 0 b§t

ký Khi â, ta câ

v(r, f, λ(r)20) ≤ T (r, f )

vîi måi r > e câ thº trø ra mët tªp câ mªt ë logarit b¬ng khæng

Chóng ta thu ÷ñc c¡c ÷îc l÷ñng ch°n tr¶n v  ch°n d÷îi cõa h m x§p x¿ hi»uch¿nh nh÷ sau

Bê · 1.1.20 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C v 

k l  mët sè nguy¶n d÷ìng °t

uk := (k + 1) log+|f | + log 1

|f(k)|.Khi â, vîi n l  mët sè nguy¶n d÷ìng b§t ký, ta câ

ành lþ 1.1.21 Gi£ sû f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n m°t ph¯ng phùc C,

d v  n l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng v  B ⊂C∪ {∞} l  mët tªp húu h¤n iºm Gåi p l 

sè ph¦n tû cõa B Khi â, vîi  > 0 b§t ký, ta câ

K¸t qu£ cõa chóng tæi ph¡t biºu nh÷ sau

ành lþ 1.2.1 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C, k ≥ 2 l  mët sènguy¶n v   > 0 b§t ký Cho A ⊂ C l  mët tªp húu h¤n c¡c sè phùc Khi â, ta câ

Tr÷îc ti¶n, chóng ta chùng minh c¡c bê · sau

Bê · 1.2.2 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C v 

 > 0 l  mët sè d÷ìng nhä tòy þ Gi£ sû σ : (e, ∞) →N∗ l  mët h m sao cho

σ(r) ∼ log+ T (r, f )

log r

20.Khi â, ta câ

Chùng minh p döng Bê · 1.1.19, ta câ

v(r, f, λ(r)20) < 

21T (r, f )vîi måi r > e câ thº trø ra mët tªp câ mªt ë logarit b¬ng khæng Tø ành ngh¾acõa h m σ, ta ÷ñc

2πσ(r) < 7λ(r)

Tø Bê · ¤o h m logarit ta d¹ d ng nhªn ÷ñc b§t ¯ng thùc sau

bλ(r) = min1, log+ T (r, f

(k+1))log r

−1

Tø ành ngh¾a cõa λ(r),bλ(r)v  (1.4), ta ÷ñc λ(r)20 < 2bλ(r)20 vîi r õ lîn Do â,

ta câ

v(r, f(k+1), λ(r)20) < 

21T (r, f )vîi måi r > e câ thº trø ra mët tªp câ mªt ë logarit b¬ng khæng Tø â suy ra b§t

M°t kh¡c, v¼ f l  h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t n¶n tçn t¤i mët sè r0 > e sao cho

(k + 1) log(2πr) + 2(k + 1)σ(r) log 3 + o(T (r, f )) < 

3T (r, f ) (1.6)vîi måi r > r0 °t

Rk(reiθ)dθ

2π ≤ q

Z 2π 0

p döng Bê · ¤o h m logarit, ta ÷ñc

log |f (reiθ)|dθ

2π = N r,

1f

1Φ

l  mët h m ÷ñc ành ngh¾a nh÷ trong Bê · 1.2.2.

V¼ f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t v  bði ành ngh¾a cõa h m σ, ta câ

B¥y gií, ta cho A ⊂Cl  mët tªp húu h¤n c¡c sè phùc p döng ành lþ 1.1.21cho B = A ∪ {∞}, d = k, p = #A + 1 v  n = σ(r), ta ÷ñc

÷ñc k¸t qu£ trong [34] nh÷ mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa ành lþ tr¶n.

H» qu£ 1.2.4 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc, k ≥ 2

l  mët sè nguy¶n v   > 0 Cho A ⊂C l  mët tªp húu h¤n c¡c sè phùc Khi â, tacâ

N (r, f ) ≤ N r, 1

f(k)

+ o(T (r, f )),khi r → ∞ câ thº trø ra mët tªp câ mªt ë logarit b¬ng khæng

tr¼nh b y l¤i mët sè ki¸n thùc cì b£n, chóng tæi ¢ ÷a ra mët mèi li¶n h» giúa sècüc iºm cõa mët h m ph¥n h¼nh tr¶n m°t ph¯ng phùc C v  sè khæng iºm cõa athùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh â (xem ành lþ 1.2.1) K¸t qu£ n y cho ta mëttêng qu¡t hâa cõa gi£ thuy¸t Gol'dberg v  çng thíi công cho ta mët cæng cö ìngi£n º chùng minh c¡c k¸t qu£ v· ph¥n bè gi¡ trà cõa c¡c a thùc vi ph¥n cõa h mph¥n h¼nh trong ch÷ìng ti¸p theo cõa luªn ¡n.

h m ph¥n h¼nh â? V§n · n y ÷ñc °t ra ¦u ti¶n bði Hayman qua vi»c xem x²tc¡c a thùc vi ph¥n d¤ng °c bi»t Sau â, nâ ¢ thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõanhi·u nh  to¡n håc kh¡c vîi vi»c gi£i quy¸t trån vµn b i to¡n °t ra bði Hayman v nghi¶n cùu c¡c k¸t qu£ â cho c¡c a thùc vi ph¥n têng qu¡t hìn Trong ph¦n ¦ucõa ch÷ìng n y chóng tæi ¡p döng ành lþ 1.2.1 º nghi¶n cùu quan h» sè khuy¸tcõa a thùc vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh Trong ph¦n ti¸p theo cõa ch÷ìng, chóngtæi nâi v· ph¥n bè gi¡ trà cõa mët sè d¤ng a thùc vi ph¥n têng qu¡t hìn so vîi c¡cd¤ng a thùc vi ph¥n ¢ bi¸t tr÷îc ¥y Nëi dung cõa ch÷ìng n y düa v o hai b ib¡o [5, 7].

2.1 Quan h» sè khuy¸t cõa a thùc vi ph¥n cõa

N«m 2016, Jiang v  Huang [24] ¢ mð rëng cho c¡c ìn thùc vi ph¥n cõa h mph¥n h¼nh câ d¤ng fl(f(k))n trong â l, n, k l  c¡c sè nguy¶n lîn hìn 1 Tuy nhi¶n,ch°n tr¶n thu ÷ñc trong k¸t qu£ cõa c¡c t¡c gi£ â ch÷a ph£i l  ch°n tèt nh§t câthº

Trong ph¦n n y chóng tæi s³ tr¼nh b y k¸t qu£ v· quan h» sè khuy¸t cõa a thùc

vi ph¥n cõa h m ph¥n h¼nh vîi ch°n tr¶n tèi ÷u Nëi dung cö thº ÷ñc thº hi»n qua

ành lþ sau

ành lþ 2.1.1 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh v  k l  mët sè nguy¶n d÷ìng Vîi Φ

÷ñc ành ngh¾a nh÷ trong ành lþ 1.2.1 Gi£ sû mët trong c¡c i·u ki»n sau ÷ñcthäa m¢n

(i) k ≥ 2 v  tçn t¤i ν ∈ {2, , k} sao cho Qν(z) câ ½t nh§t mët khæng iºm bëi

º chùng minh ành lþ 2.1.1, chóng ta c¦n chùng minh bê · sau

Bê · 2.1.2 Gi£ sû f l  mët h m ph¥n h¼nh tr¶n C, k l  mët sè nguy¶n d÷ìng v 

Φ ÷ñc ành ngh¾a nh÷ trong (1.1) Ta câ

T (r, Φ) = O(T (r, f )), v  o(T (r, Φ)) = o(T (r, f))

Chùng minh p döng c¡c t½nh ch§t cõa h m °c tr÷ng v  Bê · 1.1.9, ta câ

T (r, Φ) = O(T (r, f )), v  o(T (r, Φ)) = o(T (r, f ))

Nh÷ vªy, Bê · 2.1.2 ÷ñc chùng minh

Chùng minh ành lþ 2.1.1 Tr÷îc h¸t, chóng ta x²t tr÷íng hñp f l  mët h m húut Khi â, Φ công l  mët h m húu t kh¡c h¬ng Do â, δ(a, Φ) = 0 vîi måi

a 6= Φ(∞) Nh÷ vªy, ành lþ 2.1.1 óng trong tr÷íng hñp f l  mët h m húu t.Ti¸p theo, chóng ta chùng minh ành lþ 2.1.1 công óng trong tr÷íng hñp f l mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t Thªt vªy, v¼ f l  h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t n¶n Φ công

l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t Cho a1, , as l  c¡c sè phùc ph¥n bi»t p döng

N¸u i·u ki»n (i) thäa m¢n th¼ tçn t¤i ν ∈ {2, , k} sao cho Qν(z)câ ½t nh§t mëtkhæng iºm vîi bëi lîn hìn 1, gi£ sû l  z = βνη.Khi â, Φ0 chia h¸t cho f(ν)− βνη.N¸u i·u ki»n (ii) thäa m¢n th¼ Φ0 chia h¸t cho f(k+1)

Nh÷ vªy, trong c£ hai tr÷íng hñp ta luæn câ Φ0 chia h¸t cho Q(f(i)), trong â

i ≥ 2 v 

Q(f(i)) :=



f(ν)− βνη n¸u (i) thäa m¢n,

f(k+1) n¸u (ii) thäa m¢n

E0 câ mªt ë logarit b¬ng khæng K¸t hñp b§t ¯ng thùc tr¶n vîi c¡c b§t ¯ng thùc(2.1) v  (2.2) ta ÷ñc

Nh÷ vªy, ành lþ ÷ñc chùng minh

Trong tr÷íng hñp °c bi»t khi x²t c¡c ìn thùc vi ph¥n câ d¤ng fl(f(k))n,chóngtæi c£i ti¸n k¸t qu£ cõa Jiang v  Huang [24] vîi ch°n tr¶n ÷ñc gi£m tø 1 + 1

nk+n+lxuèng 1

H» qu£ 2.1.3 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc C v 

k, l, n l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng lîn hìn ho°c b¬ng 2 Khi â, ta câ

X

a∈Cδ(a, fl(f(k))n) ≤ 1

Khi k ≥ 1 v  Qk(z) = z ta thu ÷ñc gi£ thuy¸t Mues nh÷ mët tr÷íng hñp °cbi»t cõa ành lþ 2.1.1

H» qu£ 2.1.4 ([33]) Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t trong m°t ph¯ng phùc

C v  k ≥ 1 l  mët sè nguy¶n d÷ìng Khi â, ta câ

X

a∈Cδ(a, f(k)) ≤ 1

2.2 Mð rëng cõa gi£ thuy¸t Hayman cho mët sè

d¤ng a thùc vi ph¥n

Gi£ thuy¸t Hayman nâi r¬ng: Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t tr¶n C v 

n ≥ 1 l  mët sè nguy¶n Khi â, fnf0 nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sèl¦n

N«m 1959, Hayman [21] ¢ chùng minh gi£ thuy¸t cho tr÷íng hñp n ≥ 3 N«m

1979, Mues [42] ¢ ÷a ra chùng minh gi£ thuy¸t tr¶n cho tr÷íng hñp n = 2 ¸nn«m 1995, Bergweiler v  Eremenko [10] v  Chen v  Fang [14] mët c¡ch ëc lªp ¢

÷a ra chùng minh cho tr÷íng hñp n = 1 Sau â, v§n · n y ti¸p töc ÷ñc mð rëngcho c¡c ¤o h m c§p cao

Trong ph¦n n y, chóng tæi mð rëng k¸t qu£ tr¶n cho mët sè d¤ng a thùc viph¥n têng qu¡t hìn K¸t qu£ cõa chóng tæi nh÷ sau

ành lþ 2.2.1 Cho k l  mët sè nguy¶n d÷ìng v  Q(z) l  mët a thùc bªc q trong

C[z]. Gi£ sû l l  sè khæng iºm ph¥n bi»t cõa Q(z) Khi â, n¸u f l  mët h m ph¥nh¼nh si¶u vi»t v  q ≥ l + 1 th¼ [Q(f)](k) nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sèl¦n

Tr÷îc ti¶n, º chùng minh ành lþ tr¶n ta c¦n sû döng bê · sau

Bê · 2.2.2 (Milloux, [22]) Vîi k ≥ 1, ta câ

2q, tacâ

Trong tr÷íng hñp têng qu¡t hìn, khi Q(z) = zn v  k l  mët sè nguy¶n d÷ìngb§t ký, chóng ta nhªn ÷ñc k¸t qu£ sau ¥y vîi n ≥ 2 thay v¼ n > k nh÷ trong ành

lþ 2 cõa [10]

H» qu£ 2.2.4 ([10]) N¸u f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t, n ≥ 2 v  k l  c¡c sènguy¶n d÷ìng th¼ (fn)(k) nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n

ành lþ 2.2.5 Cho P (z) v  Q(z) l  c¡c a thùc bªc p v  q t÷ìng ùng, k ≥ 1 l mët sè nguy¶n d÷ìng Gi£ sû l l  sè khæng iºm ph¥n bi»t cõa Q(z) Cho f l  mët

h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t N¸u q ≥ (k + 1)p + l + 2 th¼ Q(f) + P (f(k)) câ væ sè khæng

iºm

Chùng minh °t

F := Q(f ) + P (f(k)), (2.3)R(f ) := [Q(f )]

0Q(f ) − F

0

F , H(f ) := P (f

(k))

v 

T (r, F ) ≤ T (r, Q(f )) + T (r, P (f(k))) + o(T (r, f ))

= qT (r, f ) + pT (r, f(k)) + o(T (r, f ))

≤ (q + p(k + 1))T (r, f ) + o(T (r, f ))

Do â, o(T (r, F )) = o(T (r, f))

N¸u R(f) ≡ 0 th¼ tø (2.6) ta câ H(f) ≡ 0 Khi â, tø (2.3) v  (2.4) suy ra

Q(f ) = (c − 1)P (f(k)), (2.7)trong â c 6= 0, 1 l  mët h¬ng sè V¼ q ≥ (k + 1)p + l + 2 n¶n tø ph÷ìng tr¼nh (2.7)

ta th§y h m f khæng thº câ cüc iºm M°t kh¡c, ta câ

qm(r, f ) = m(r, Q(f )) ≤ m(r, P (f(k))) + O(1) = pm(r, f(k)) + O(1)

≤ pm(r, f ) + pm r,f

(k)f

m r, 1R(f )

sû z0 l  mët cüc iºm cõa f c§p s Khi â, z0 l  mët cüc iºm cõa Q(f) c§p qs v 

l  mët cüc iºm cõa H(f) c§p nhi·u nh§t l  (s + k)p + 1 V¼ q ≥ (k + 1)p + l + 2n¶n ta câ

qs − (s + k)p − 1 = (q − p)s − kp − 1 > 0

Nh÷ vªy, tø (2.6) suy ra z0 ph£i l  mët khæng iºm cõa R(f) vîi c§p ½t nh§t l 

N r, 1R(f )

≥ (q − p)N (r, f ) − (kp + 1)N (r, f ) (2.11)K¸t hñp c¡c b§t ¯ng thùc tø (2.8) ¸n (2.11) v  ¡p döng ành lþ cì b£n thù nh§t,

Trong tr÷íng hñp °c bi»t khi x²t P (z) = z v  Q(z) = −azn+btrong â a 6= 0, b

l  c¡c h¬ng sè, chóng ta nhªn ÷ñc k¸t qu£ cõa Hayman nh÷ mët tr÷íng hñp °cbi»t cõa ành lþ 2.2.5 ð tr¶n

H» qu£ 2.2.6 (ành lþ 9, [21]) N¸u f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t, n ≥ 5 v 

a 6= 0 th¼ φ = f0(z) − af (z)n nhªn méi gi¡ trà húu h¤n væ sè l¦n

ành lþ 2.2.7 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t v  k l  mët sè nguy¶n d÷ìng.Cho

ii) k ≥ 2, Q0 câ ½t nh§t mët khæng iºm bëi v  tçn t¤i ν ∈ {2, , k} sao cho

Qν(z) câ ½t nh§t mët khæng iºm bëi

Khi â, Φ nhªn méi gi¡ trà húu h¤n kh¡c khæng væ sè l¦n

Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh trong m°t ph¯ng phùc C, k, n l  c¡c sè nguy¶nd÷ìng v  n0, n1, , nkl  c¡c sè nguy¶n khæng ¥m Ta gåi M[f] = fn 0(f0)n1 (f(k))nk

l  ìn thùc vi ph¥n cõa f, v  γM =Pkj=0nj l  bªc cõa M[f] Cho Mj[f ]l  ìn thùc

vi ph¥n cõa f bªc γM j v  aj(z)l  c¡c h m ph¥n h¼nh nhä so vîi f vîi j = 1, , n,

Tr÷îc ti¶n, º chùng minh ành lþ tr¶n chóng ta c¦n sû döng c¡c bê · sau

Bê · 2.2.8 (Bê · 2, [15]) Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng v  P1[f ], P2[f ]

l  c¡c a thùc tüa vi ph¥n cõa f thäa m¢n P2[f ] 6≡ 0 Cho Q l  mët a thùc kh¡ch¬ng bªc q thäa m¢n Q(f)P1[f ] = P2[f ] N¸u γP 2 ≤ q th¼

m(r, P1[f ]) = o(T (r, f ))

Bê · 2.2.9 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t v  k l  mët sè nguy¶n d÷ìng

°t

Φ := Q0(f )Q1(f0) Qk(f(k))

÷ñc ành ngh¾a nh÷ trong ành lþ 1.2.1 Khi â, ta câ

thº x£y ra v¼ v¸ ph£i cõa (2.14) l  h¬ng sè n¶n khæng câ cüc iºm V¼ vªy, f khængthº câ cüc iºm v  do â P [f] công khæng câ cüc iºm Tø â suy ra

q0T (r, f ) = T (r, Q0(f )) + O(1) = m(r, Q0(f )) + N (r, Q0(f )) + O(1)

≤ N (r, P [f ]) + q0N (r, f ) + o(T (r, f )) = o(T (r, f ))

i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t f l  h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t V¼ vªy, G[f] 6≡ 0

p döng Bê · 2.2.8 cho ¯ng thùc (2.12), ta ÷ñc m(r, G[f]) = o(T (r, f)) Do

Tø (2.13)ta th§y c¡c cüc iºm cõa G[f] ch¿ câ thº x£y ra t¤i c¡c khæng iºm cõa

Q0(f ), c¡c khæng iºm Φ − 1 v  c¡c cüc iºm cõa f M°t kh¡c, n¸u z0 l  mët cüc

iºm cõa f c§p s ≥ 1, th¼ z0 ph£i l  cüc iºm cõa Q0(f ) c§p q0s Do â, tø (2.12)suy ra z0 ph£i l  mët khæng iºm cõa G[f] c§p q0s − 1.Tø (2.13) ta th§y G[f] ch¿

câ c¡c cüc iºm ìn Tø nhªn x²t tr¶n v  (2.16), suy ra

Nh÷ vªy, Bê · 2.2.9 ÷ñc chùng minh.

Bê · 2.2.10 Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh si¶u vi»t v  k l  mët sè nguy¶n d÷ìng.Cho

q ij

vîi ci ∈C∗ v  Ph i

j=1qij = qi, vîi i = 1, 2, , k, v 

U (f ) := Q0(f )U1(f ) Uk(f )

Khi â, ta câ U(f) l  mët a thùc cõa f bªc q = q0+ q1+ · · · + qk vîi h» sè l  c¡c

h m nhä so vîi f p döng c¡c t½nh ch§t cõa h m x§p x¿ v  Bê · ¤o h m logarit

M°t kh¡c, ¡p döng ành lþ cì b£n thù hai cho h m Φ v  c¡c gi¡ trà 0, 1, ∞, ta

Chùng minh ành lþ 2.2.7 Gi£ sû a 6= 0 l  mët sè phùc b§t ký Chóng ta s³ chùngminh Φ nhªn gi¡ trà a væ sè l¦n Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i Φ − a câ húu h¤n khæng