1 batphuongtrinh i (nhom3)

 Nhóm bất phương trình có mẫu sốĐối với bất phương trình chứa mẫu số, hướng xử lý thường gặp là xét mẫu số và khử mẫu.. Nghĩa là mẫu dương thì bỏ mẫu làm cho bất phương trình

 Nhóm bất phương trình có mẫu số

Đối với bất phương trình chứa mẫu số, hướng xử lý thường gặp là xét mẫu

số và khử mẫu Nghĩa là mẫu dương thì bỏ mẫu làm cho bất phương trình không đổi dấu, còn nếu mẫu âm thì bất phương trình đổi dấu Còn nếu thật sự chưa biết dấu của nó thì không thể bỏ ngay được mà cần phải chia ra hai trường hợp âm, dương và

bỏ mẫu hoặc đưa về bất phương trình dạng tích – thương và xét dấu Do đó, khi bỏ mẫu ta cần lý luận hoặc chứng minh mẫu đó luôn dương hay luôn âm Công cụ để đánh giá điều này thường là đưa về các hằng đẳng thức với: 2

(ax b )  c c, 2

c ax b  c a (bx c )2a hoặc sử dụng phương pháp phản chứng hoặc bất đẳng thức cổ điển hoặc cực trị của hàm số,… Để làm rõ ý tưởng này, ta cùng xét các ví dụ sau:

Bài 8 Giải bất phương trình:

2 2

1



   ( )

 Lời giải Điều kiện: 2

x  x   x hoặc x 1

1 2 x  x  1 1 (2x 1) 3 1  30,   x

( )  3 2 x 3x2 1 2 x  x1, (do : 1 2 x  x 1 0)

2

0

6

1 4

x

x

 

 

  



   



Kết luận: Giao với điều kiện, tập nghiệm cần tìm là 13 1;

6

x   

Bài 9 Giải bất phương trình: ( 3 2) 1

( 1)

x x





  ( )

 Lời giải Điều kiện: 3

3

( 2) 0; 0









suy ra: 3

(x1)  x0

( )  x x( 2) (x1)  xx x( 2) (x1)  2 x x( 1) x

2 2 1 2( 1) ( 1) 0, (do : 0 1 0)

2

2

x  

Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm duy nhất 5 1

2

0

(x 1)(x x 1) 2(x 1) x x( 1) 0 (x 1)(x x 1 2 x x) 0



  

Bài 10 Giải bất phương trình: 2 1





(Đại học Khối A – 2010)

2(x  x1) x (x 1)  1 1, suy ra: 2

1 2(x  x1)0

Điều kiện: x  Khi đó: 0 2

( ) x x 1 2(x  x1) (1)

 Lời giải 1 Do x  không là nghiệm của (1), nên chia hai vế cho 0 x 0 :

x x

x x

tt

tt t

1

1,

1 0

t

t t

 

 

x

Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm duy nhất 3 5

2

 Lời giải 2 Đặt: 0 2( 2 1) 2 2 2(1 ) 2 2 2 2

1





 



Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm duy nhất 3 5

2

 Lời giải 3 Đặt t x thì 0 (1) 2tt4 2tt22 2  1

tt tt tt

tt tt tt tt

Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm duy nhất 3 5

2

Bài 11 Giải bất phương trình:

2

2 3

1 1

 



   ( )

 Lời giải Điều kiện: 0 x 1

x x  x  x x x  x x x  x   x  

( )  x x(  1 x )x x 1 x  x  x  x  1 x(1 x )

( x) 2 x 1 x ( 1 x ) 0 ( x 1 x ) 0 x 1 x

Kết luận: Bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 5 1

2

Bài 12 Giải bất phương trình: 24 1

x x





   ( )

 Lời giải Điều kiện: x  suy ra: 0, 2

2(x 6x1) 1  2 1 0,  nên:

( )  4 x x 2x 12x2 1  x 1 2x 12x2 4 x (1)0

 Trường hợp 1 Nếu x  thì (1)0,  2 1 0  nên x  là nghiệm của (1).0

 Trường hợp 2 Nếu x 0, chia hai vế của (1) cho x 0, ta được:

x x

x x

2

2

2 16 0

t tt

t

  



t tt

  







8 0

t t

  

 



 2

Kết luận: Hợp các trường hợp, tập nghiệm BPT là x  0; 33 8 37 1;



Lưu ý Ta có thể giải (1) theo phương pháp lũy thừa.

Bài 13 Giải bất phương trình: 2 1 1

1 2(x x 1) x x





   ( )

 Lời giải Điều kiện: 0 x 1

 Trường hợp 1 Nếu x  0;1 thì 2 2 2

2(x  x1) x x (x 1)  1 x0 và

1 0

x   nên ( ) luôn đúng Suy ra: x  0;1 là một tập nghiệm ( ).

 Trường hợp 2 Nếu

1

1 0

x

x



 



( )  x 1 2(x  x1) xx 1 2(x 1) 2 x x0

2 2 1 0, (1)

x x

x x

tt

tt tt

tt t

2

x

Kết luận: Hợp 2 trường hợp, tập nghiệm BPT là 0;1 3 5

2

x    

Nhận xét Ở lời giải trên, tôi đã xác định lượng 2

2(x  x1) x0, còn x  thì 1 chưa xác định được nên chia ra 2 trường hợp x 1 0 và x  1 0 để giải

Bài 14 Giải bất phương trình: 4 22 11

x

x







   ( )

 Lời giải Ta có: 2( 4 2 1) 1 2 2 1 3 1 3 1 0

x  x    x      

Điều kiện: x  Khi đó: 1

4 2

1

x

x

 (1)

 Trường hợp 1 Nếu x 1 0  x thì 1

(1)(x2)(x 1) 2(x  x 1) 1  2(x  x 1)x  x 1

: 2

x

thỏa mãn điều kiện

 Trường hợp 2 Nếu x 1 0 x thì 1

4 2

0

2

x x



   



  







       

Kết luận: Hợp hai trường hợp, suy ra tập nghiệm là  ;1 1 5

2

x     

Nhận xét Ở lời giải trên, tôi đã xác định lượng 4 2

2(x  x 1) 1 0,  còn x  thì 1 chưa xác định được nên chia ra hai trường hợp x  1 0 và x  1 0 để giải





     ( )

 Lời giải Điều kiện: 0 x 1

2 x(2 x) 1 x 1 x2 x2 1 x x 1 x( 1 x)

2( x 1 x) 1 x( x 1 x) ( x 1 x)(2 1 x) 0, x 0;1

( ) (2x1) x( x 1 x) (2  1 x)

( x) ( 1 x) x ( x 1 x) (2 1 x)

( x 1 x) ( x 1 x) x ( x 1 x) (2 1 x)

( x 1 x) x 2 1 x, do : x 1 x 0, x 0;1

           luôn đúng   x 0;1 

Kết luận: Tập nghiệm cần tìm của bất phương trình là x  0;1 

Bài 16 Giải bất phương trình:

2

0

3 2( 10)



( )

Điều kiện:

2

6 0









x  x   nên:

( )  x  x 6 7 x 6(x 5x 2)0

       Do 2 vế không âm nên sẽ lũy thừa:

14 ( 3)( 2) 5 18 6 i

14 (x 3 )(x x 2) 5(x 3 ) 3(x x 2)

       (1)

Do với x 3 x20 nên chia hai vế (1) cho x  2 0, ta được:

2

x



2 3 0 2

x





 nên ta chỉ xét

2 3 3 2

x





 2

2 3

2

x





Kết luận: Giao với điều kiện, tập nghiệm của BPT là x  3; 6 3 6  

Bình luận: Trong ví dụ trên, tôi đã dùng phương pháp phản chứng để chứng minh

3 2( 10) 0,

x  x   còn trong các ví dụ trước đã dùng phương pháp biến đổi đẳng thức đưa về dạng 2

(ax b )  c c hoặc dạng 2

c ax b  c để chứng minh mẫu số dương hoặc âm Ngoài ra, phép biến đổi (i) sang (1) và giải là rất quen thuộc trong giải phương trình đẳng cấp dạng: ( ) f x   ( )g x  f x g x( ) ( ) Tương tự, bất phương trình: ( ) f x   ( )g x   f x g x( ) ( ) ta giải như sau:

Xét g(x) = 0 giải tìm nghiệm Với g(x) > 0, chia hai vế cho g(x), ta được:

0

              Đây là bất phương trình bậc hai

với ẩn ( ) 0

( )

f x

g x  mà đã biết cách giải Thông thường thì tích f(x).g(x) chưa được

phân tích sẵn và ,   ta tìm bằng phương pháp đồng nhất (xem lại phương pháp giải phương trình đẳng cấp dạng  ( )f x   ( )g x  f x g x( ) ( ) 

Bài 17 Giải bất phương trình:

2

1



 Lời giải Điều kiện: 0 3

2

x

  và 2

Xét hàm số 2

f x x   x x trên đoạn 0;3

2

 

 

  có:

1 1 3

2

   Do đó hàm số ( )f x đồng biến trên đoạn

3

0; ,

2

 

 

  suy ra: 2

( )  x  5x 7 3 2 x x 1x  3 2 x x2

       (1)

Xét hàm số 4 2

g x x  x   x xác định và liên tục trên 0;3

2

 

 

  có:

2

Do đó hàm số ( )g x nghịch biến trên đoạn 0;3

2

 

 

  và có ( )g x g(1) 0  x1

Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x  0;1 

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

(x  4 ) 2x x  3x 2 ( )0  (x  )

 Lời giải

2

2

2

1

2













Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là ; 1  2 4; 

2

x        

BT 2 Giải bất phương trình:



  ( ) (x  )

 Lời giải

2

2

3

( )

x

x x

 



           



Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là x    2; 1    3 

2x  10x16 x 1 x 3 ( ) (x  )

 Lời giải Điều kiện: x 1

2

2





3

7 10 0

x



5

5

x x







Kết luận: So với điều kiện, bất phương trình có nghiệm duy nhất x 5

x



   ( ) (x  )

 Lời giải Điều kiện: 1 3

0

x x

  







 Khi đó: 3x3 3 x0

( )

4

 Nếu x    1; 0 thì bất phương trình  2x 6 2 (3x3)(3 x) 16

3x 6x 9 5 x 4x 16x 16 0 (x 2) 0 :

 Nếu x 0; 3 thì bất phương trình 2x 6 2 (3x3)(3 x) 16

3x 6x 9 5 x 4x 16x 16 0 (x 2) 0 x 2

Kết luận: Tập nghiệm cần tìm của bất phương trình là x    1; 0   2 

BT 5 Giải bất phương trình:

2 2



 Lời giải Điều kiện: x 0

( )

8

2

2

8

2( 24 x x) 3( 24 x x) 5 x 24 x x 1

Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x  0;1 

x

    ( ) (x  )

 Lời giải Điều kiện: x  Do 2 vế đều dương nên bình phương thì: 1

2

1 2

1 2

3



Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là 3 5

; 4

x  

BT 7 Giải bất phương trình: 2 2 2

x  x  x  x  x  x ( )

 Lời giải Điều kiện: x  hoặc 1 x 5

( )  (x1)(x2) (x1)(x5) (x1)(2x7) (1)

 Nếu x  thì (1) đúng nên 1 x  là một nghiệm của (1).1

 Nếu x  1, suy ra: x 1 0, x2 0,  x 5 0, 2x70

(1) x2 x5 2x7  (x2)(x5)0

:

 Nếu x 5, suy ra: x 1 0, x 2 0, x 5 0, 2x 7 0

(1) x 2 x 5 2x 7  (x2)(x5)0

5

x

Kết luận: Bất phương trình có 2 nghiệm là x1, x5

x  x  x  x  ( ) (x  )

 Lời giải Điều kiện:  2 x 2.

( )  x(3 2 ) 2 x  x  x 2 x ( 2 x ) (1 x )

( 2 x ) (1 x ) 2 x x 0

( 2 x ) x 2 x ( 2 x x) 0

2 x ( 2 x ) x  ( 2 x x) 0

2 x ( 2 x x) ( 2 x x) ( 2 x x) 0

( 2 x x)  2 x ( 2 x x) 1 0

( 2 x x) (3 x x 2 x ) 0

2 x x 0, do : 3 x x 2 x 0, x  2; 2

2

2 2

2





Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x  1; 2

BT 9 Giải bất phương trình:

2 2

( 2)

8

x

x



 

   ( ) (x  )

 Lời giải Điều kiện: 1

2

x   Suy ra: 3 x 1 2x 10

2 2

( 2)

x



2

1 2

1

1

x x

x

x



 



Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là 1;1

2

x 

 

( x3 x 1) (1  x 2x 3) 4 ( )

 Lời giải Điều kiện: x  Suy ra: 1 x3 x 10.

2

2

1 x 2x 3 2 x 2x 3 x 3 x 1 2 (x 3)(x 1)

2

     hoặc x 2

Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x  2; 

( x 4 x  1)(1 x 3x  4) 5 ( )

 Lời giải Điều kiện:

2

1

x







        hoặc x  2.

Kết luận: So điều kiện, tập cần tìm là x    ; 2 2; 

 

x     ( ) (x  )

 Lời giải Điều kiện: x 0 Khi đó: ( ) 4 2x 17 2x 1

x

2 ( 2x 17 2x 1) 16x (2x 17)(2x 1) 6x 9

(2 17)(2 1) 0

x

 

 

2

x

x



 



2 x

  

Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là x 0; 4 

BT 13 Giải bất phương trình:

2 2

x



   ( ) (x  )

 Lời giải Điều kiện:

2

2

2

1

2

x

 



2

2

x

 Nếu 2 2

2

0

x

 



 2

:

7

x

  thỏa điều kiện ( )i và thỏa (1) nên nhận 2

7

x  

7

x x  x   x thì:

2

0 (7 5 2)

 

(3x 2x 5x2)  nên 0 2 2

.(7 5 2) 0

7

x x  x   x  hoặc 0x1

Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là  ; 2 1; 2 0;1

2 7

x          