Chuyen de bat dang thuc

DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP Bước 1: Kẻ bảng dự đoán giái trị lớn nhất,nhỏ nhất và đạt tại giá trị nào của biến.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 8... Tìm giá trị nhỏ

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

LUYỆN THI VÀO LỚP 10

(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 1 năm 2023

CH Ủ ĐỀ 7: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

I B ẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 2

DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH 2

DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP 3

DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 4

DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI 7

DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP 7

DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ 9

DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN 13

II.B ẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA 15

III PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 18

DẠNG 1: ĐƯA VỀ BÌNH PHƯƠNG 18

DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT 19

DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca 21

DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LUÔN TÒN TẠI HAI SỐ CÓ TÍCH KHÔNG ÂM 21

DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ 0 ĐẾN 1 24

DẠNG 6 : DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU 26

H Ệ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ 28

hay

3

3

x y z xyz  + + 

n n

Ví d ụ 3:Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a2 + b2≤ 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Vậy MaxM = 2 3 khi a = b = 1

Ví dụ 4 Cho x≥ , 0 y≥0 vàx2+y2 ≤ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2

Vậy MaxP=4 6 khi x= =y 1

Ví d ụ 5. Cho x> , 0 y>0 và xy x( −y)= + Tìm giá trị nhỏ nhất của x y P= +x y

Vậy MinP= khi 4 x= +2 2, y= −2 2

Ví dụ 1 Cho a , b , c> và 0 ab bc ac+ + = Tìm giá tr1 ị lớn nhất của biểu thức:

abc≤ (đpcm)

Nhân ba đẳng thức dương cùng chiều ta được

(a+ −b c b)( + −c a c)( + −a b)≤abc (điều phải chứng minh)

DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP

Bước 1: Kẻ bảng dự đoán giái trị lớn nhất,nhỏ nhất và đạt tại giá trị nào của biến

Bước 2: Kẻ bảng xác định số nào sẽ đi với nhau

a a a

• Khi đặt ẩn phụ ta cần tìm điều kiện của ẩn phụ

• Một số bất đẳng thức trung gian thường dùng:

+ ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K x 2y

MinK khi a hay x y

1 1 1 1 1

4 4 4 8 4 4 2 8 4 8 4 8 4 7 ( 0 )

17

2

2 2

,2

a b a b

a b c

Ví d ụ 1. Cho x y, >0và 2x2+2xy+y2−2x≤ Tìm giá tr8 ị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy MinT khi 9 x hay 3 a   b c 1

Ví d ụ 3: Cho a0,b0 và a3 b3 6ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 8

Vậy MinP507 khi x hay 4 a  b 1

Ví d ụ 5: Cho x0,y0 và  x1 y 1 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x x

  Quy ước trong dấu "" xảy ra, nếu mẫu nào bằng 0 thì tử tương ứng bằng 0

Ví dụ 1 Cho 4x + 9y = 13 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x2 + 9y2

Vậy MaxP = 2 khi 1 3

Vậy MaxP = 6 khi a + b1 = b + c1 = c + a1 a = b = c = 1

2 2 Bunhia

III PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

• A2 ± m ≥ 0 ± m ; - A2± m ≤ 0 ± m

Dấu “=” xảy ra khi A = 0

• A2 + B2 ± m ≥ 0 + 0 ± m; - A2 - B2 ± m ≤ 0 + 0 ± m

Dấu “=” xảy ra khi A = 0, B = 0

Ví d ụ 1.Cho x ≥ - 2; y ≥ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy MinF = −21 khi x2−15= x− = ⇔ = (th3 1 x 4 ỏa mãn)

Ví d ụ 5. Cho a>0,b>0, c>0 và a b c+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 6

Vậy MaxT 6 6= khi a = b = c =2

Ví dụ 6 Cho a>0,b>0, c>0, x+ + =y z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Vậy MinM =4 khi

Vậy MaxK 6= khi a= = = b c 1

Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Côsi – dự đoán min đạt tại a=b=c=1)

Vậy MaxP=18 khi (a,b,c) là hoán vị của (1;1;4)

TÍCH KHÔNG ÂM

Tính chất 1: Nếu -1 ≤ a ≤ 1 thì n

a ≤ a ∀ ∈n N * Dấu “=” xảy ra khi a=0 hoặc a=1 nếu n lẻ, khi a = 0 hoặc a = ± 1 nếu n chẳn

Tính chất 2: Nếu hai số a và b có tích ab ≥ 0 thì a b a b+ = +

Tính chất 3: Với ba số x, y, z bất kỳ, luôn tồn tại hai số có tích không âm

Bài toán cơ bản: Cho -1 ≤ x, y, z ≤ 1, x+ y+ z =0

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = x y z+ +

Với ba số a, b, c bất kì, luôn tồn tại hai số có tích không âm

Giả sử a.b ≥ 0 thì a b a b+ = + = − = nên c c

Có P ( ) (2 ) (2 )2

182

x ≤ ∀ ∈ Ν Dx n ấu “ ”= xảy ra khi 0x = hoặc 1x =

Ví dụ 1: Cho a≥0;b≥0;c≥0 và a b c+ + = Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 1

Ví dụ 2: Cho a≥0;b≥0;c≥0 và a b c+ + = Tìm giá tr3 ị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

Vậy MaxT =3 2 khi a= = = b c 1

Cách 2: ( Sử dụng bất đẳng thức Cosi - dự đoán max đạt tại a= = = ) b c 1

Vậy MinT =2 3 khi ( ; ; )a b c là hoán vị (3; 0; 0)

Ví dụ 3: Cho a≥0;b≥0;c≥0 và a b c+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

Vậy MinF = khi 4 ( ; ; )x y z là hoán vị (1;1; 4) nên (a b c là hoán v, , ) ị (0; 0;1)

Ví dụ 4: Cho a≥0;b≥0;c≥0 và a b c+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1

Vậy MinM = khi ( ; ; )7 a b c là hoán vị (0; 0;1)

Ví d ụ 1: Cho x y; ≥0 thỏa mãn x+ =y 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

H Ệ THỐNG BÀI TẬP VẬN DỤNG

Cho x , y, z là các số thực thỏa mãn x≥ , 7 x+ ≥y 12 và x+ + =y z 15 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

A=x +y + z

Bài 2 (Thi th ử Trường Vinshool – Hà Nội 2020-2021)

Cho a b c là các số dương thay đổi thỏa mãn , , 1 1 1 2020

Bài 3 (Trường THCS Thạch bàn Hà nội 2020-2021)

Với a, b, c là các số dương thoả mãn có ab bc+ =2ac Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 4 (Trường THCS Phúc Lợi Quận Long Biên 2020-2021)

Cho a b, là các số không âm thỏa mãn 2 2

Bài 5 (Trường THCS Phúc Đồng Quận Long Biên 2020-2021)

Cho hai số dương a và b thỏa mãn 1 1 2

a b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 6 (Trường THCS Ngọc Thụy Long Biên 2020-2021)

Với x y, là các số dương thỏa mãn điều kiện x≥2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

x y M

Với x> , 0 y>0 và x2+y2 = Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 B

Bài 9. (Tr ường THCS Lương Thế Vinh Cầu Giấy 2020-2021)

Cho hai số dương x và y Chứng minh rằng x 2 y 2 8

Bài 10. (Tr ường THCS Giang Biên 2020-2021)

Cho a b c, , là các số dương và a b c+ + ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Cho các số thực dương a b c, , .Chứng minh rằng:

Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn: 2 2 2

3

x +y +z ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1

Bài 14. (Tr ường THCS Đa Trí Tuệ 2020-2021)

Cho ba số a , b, c dương Chứng minh 21 2 1 2 1

Bài 15. (Tr ường THCS Cự Khôi – Long Biên 2020-2021)

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Cho các số thực dương a, b thay đổi luôn thỏa mãn a+ +3 b+ =3 4 Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức P= a+ b

Bài 17. (Tr ường THCS Ái Mộ – Long Biên 2020-2021)

Cho hai số x>0, y >0 và x+ =y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 18. (Qu ận Hà Đông 2020-2021)

Cho ba số thực dương , ,x y z thỏa mãn x+ + ≥ Tìm giá try z 6 ị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 19. (Qu ận Long Biên 2020-2021)

Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn x+ + =y z 2020

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=x + y + xy

Bài 21. (Huy ện Thanh Oai 2020-2021)

Cho các số thực dương x, y là những số thực thỏa mãn: x+ +y xy=8 Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức P=x2+y2

Bài 22. (Tr ường Nguyễn Trường Tộ - Hà Nội 2020-2021)

Bài 23. (Tr ường Quỳnh Mai - Hà Nội 2020-2021)

Cho x;y là các số thực dương thỏa mãn x+ ≤y 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Bài 25. (Tr ường Thái Thịnh- Đống Đa 2020-2021)

Với x, y≥0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 26. (Tr ường Lương Thế Vinh - Hà Nội 2020-2021)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

P= + +x − −x −x

Bài 27. (Tr ường Quốc Oai - Hà Nội 2020-2021)

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: x+ =y 15 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức A= x+ +1 y+2

Bài 28. (Qu ận Long Biên 2020-2021)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

Dấu “ = ” xảy ra khi x= , 7 y=5, z=3 (thỏa mãn)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 83khi x=7, y=5, z=3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi a= = b c

Bài 4 Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a= =b 1 Khi đó 3a= +a 2 , 3b b= +b 2a nên ta có thể áp dụng

bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho biểu thức trong dấu căn

Cộng hai bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được:

4+2ab≤ +4 a +b =6 Từ đó ta có ngayM ≤6 Dấu bằng xảy ra ⇔ = = a b 1

Bài 5 Từ giả thiết 1 1 2

2 khi

12

x y x x y y

y x

1

a b a c a

1

a b b c b

1

a c b c c

Dấu bằng xảy ra: = = = 3

Dấu '' = '' xảy ra khi x= = =y z 1

a b c b a c c a b A

với mọi x;y ⇒ ≥P 9

Dấu "=" xảy ra ( )

2 2

Dấu bằng xảy ra khi x= =y 2

Vậy MinP=8 khi x= =y 2

Vậy giá trị nhỏ nhất P=13 dấu bằng xảy ra khi x= ;2 y= ;3 z=4

min 2 2 2 2 2 0

⇒P = − ⇔ =t ⇔ =x

Vậy Pmax =2 khi x= ±2 và Pmin =2 2−2 khi x=0

Bài 27.Với các số thực dương x , y thìA>0, giá trị của biểu thức A được xác định

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 6 khi x=8; y=7

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5 khi và chỉ khi a= = =b c 1