i.m. yaglom.- álgebra extraordinaria

el signo de interrogacién por «divisién» sin reparar mucho en lo que significa esta «proporcién»; también se observa en que Jos alumnos, e incluso sus padres, confunden frecuentemente lo

Lecciones populares

de matematicas

ALGEBRA EXTRAORDINARIA

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M M HTJIOM

HEOBbIKHOBEHHAA AJITEBPA

H3/ATEJIbGTBO KHAVKA»

I M YAGLOM

ALGEBRA EXTRAORDINARIA

Segunda edicién 1983

Ha ucnanenom asune

© Traduccién al espafiol Editorial Mir, 1977

IMPRESO EN LA URSS

algebra de las proposiciones 54

§ 5 «Leyes del pensamiento» y reglas

de la deducción, 60

§ 6 Proposiciones y cireuitos de contactos 66

Apéndice Definicién del áÌgebra de Boole 76

Respuestas y sugerencias a ejercicios 78

Bibliografia 82

enteros que no les crean dificultades, pues en su mayoria vienen a Ja escuela teniendo cierto conocimiento de los

mismos Pero mas tarde aparecen nuevos y nuevos «ntimerosy;

ahora ya nos hemos acostumbrado a ellos y no nos sorprenden; pero no menos cierto es que cada vez que se amplia el concepto

de numero tenemos que deshacernos de unas u otras ilusiones

EI nứmero (entero) responde a la pregunta de cudntos objetos contiene una u otra coleccién; por ejemplo, de cudntas manza- nas hay en una cesta, de cudntas paginas tiene un libro o de cudntos varones hay en un aula ¢Y las fracciones? ¿Ácaso

puede haber en unaula 33 5 varones 0 aparecer 3 + platos en una mesa? Claro que no Pero en Ja mesa puede haber 4 a

manzanas, wna pelicula puede durar 4 3 horas e incluso puede haber en un estante 6 ¿ libros (lo que no habla a favor

del duefio de los libros pero tampoco contradice el sentido comin) Apenas nos acostumbramos a que puede haber un

niimero fraccionario de objetos, aparecen los nimeros negati- yos Claro est4 que en un estante no puede haber —3 libros; esto seria ya contranatural Pero un termémetro puede marcar

—5° y ti puedes tener —50 kopeks; lo úÌtÌmo, desde luego,

es muy lamentable, pero sélo para ti y no para las Matemati- cas Y eri los grados superiores aparecen nimeros verdadera-

mente «terribles»: primero los irracionales, como es V3, 2

y después los imaginarios, como es 1 -+- 2i); los propios

nombres explican la actitud del hombre hacia estos numeros

hasta que se acostumbré6 a ellos, Es posible que tii los ignores por ahora y sélo los conozcas més adelante”); esto no es ébice

también llevan el nombre de «némeros»

éQué es lo que tienen de comén todos estos tipos de nú- meros? ¢qué obliga a darles el mismo nombre de «ntimeron?

La semejanza principal entre todos los tipos de números

consiste en que se pueden sumar y multiplicar*) Pero esta semejanza es bastante relativa: aun cuando podamos sumar

y multiplicar números de todos los tipos, estas operaciones tienen sentido absolutamente distinto en Jos diferentes casos

1) Los niimeros de tipo 4 -+- 2i suelen denominarse actualmente complejos; el término tmaginario (0 tmagtnario puro)

so emplea para los nimeros como 2i 0 —V/2 (on contraposicién, los

niimeros como 1, > 0 V2 suelen denominarso reales)

*) Una exposicién licida y sencilla de los distin- tos tipos de ntimeros aparece en e! libro do 1 Niven, Numbres: rational and irrational, Random House, New York, 1964

‘) Pero no restar ni tampoco dividir: si conocemos sốlo los nimeros positives, no podemos restar del número 3 el núme-

ro 5; si conocemos s6lo los nameros enteros, no podemos dividir el

niimero 7 por el numero 4,

hallar el nứmero đe objetos comprendidos en Ja unién de dos colecciones, una de a y otra de 4 objetos: si en una clase de séptimo grado hay 33 alumnos y en otra clase del mismo gra-

do hay 39 alumnos, en ambas clases de este grado habrá

35 -+ 39 = 74 alumnos (véase también la fig 1), De modo andlogo, multiplicar los nimeros enteros positivos a y b significa ha)lar el nñmero de objetos del conjunto de @

colecciones con objetos en cada una; si en una escuela hay

3 clases de séptimo grado y en cada una estudian 36 alum- nos, en la escuela habré 3-36 = 108 alumnos de séptimo grado {véase también la fig 2) Pero se hace imposible extender en esta forma las definiciones de la adicién y de la multiplica-

cién al caso de las fracciones ni al de los nimeros negativos

(de los nimeros irracionales e imaginarios preferimos incluso

no hablar aqui)

De tal manera llegamos, al parecer, a la conclusién si-

guiente: denominamos con la misma palabra «ntimero» dis-

tintos tipos de nimeros debido a que todos se pueden sumar

y multiplicar; pero las propias operaciones de adicién y de multiplicacién son absolutamente distintas segin los dife- rentes tipos de nimeros Sin embargo, aqui nos hemos apre- surado un poco: de hecho, la adicién de los nimeros enteros

y la adicién de las fracciones no son operaciones tan absolu- tamente distintas Mas exactamente, las definiciones de estas operaciones son efectivamente diferentes; ahora bien, sus propiedades son absolutamente idénticas Asi, para niimeros

para los cuales estan definidas las operaciones de adicién y

de multiplicacién que verifican las leyes ya sefialadas y otras como, por ejemplo,

(a + b) ¢ = ac + be,

ley distributiva do la multiplicacién respecto a la suma donde a, 6 y ¢ son nimeros de cualquier indole

La existencia en los sistemas de nimeros de dos operacio-

nes —la adicién y Ja multiplicacién— origina cierto parale-

lismo tanto més manifiesto por cuanto las propiedades de la

adicién se parecen mucho a las de la multiplicacién Este

paralelismo se observa, por ejemplo, en que cualquier interro- gado sustituira en la ¢proporcién» extrafia

adieốn — multiplicación

Testa 7 ?

el signo de interrogacién por «divisién» sin reparar mucho en

lo que significa esta «proporcién»; también se observa en que Jos alumnos, e incluso sus padres, confunden frecuentemente los términos de «niimero opuesto» (el nimero —a que sumado con el nũmero ø đa 0) y de antimero inverso» (el nimero t/a cuyo producto por el numero dado a es igual a 4), asi como

en la similitud que existe entre las propiedades de la progre-

sién aritmética (serie de niameros en la cual la diferencia en- tre dos nimeros sucesivos cualesquiera es la misma) y la

progresién geométrica (serie de niimeros en Ja cual el cociente

de dos nameros sucesivos cualesquiera es el mismo),

Sin embargo, no siempre se observa esta semejanza, este

paralelismo Por ejemplo, el némero 0 desempefia un papel especial no sélo respecto a la adicién sino también respecto ala multiplicacion: esto se expresa en que para todo ntiimero a

a-0=0

(de aqui resulta, en particular, que no se puede dividir por 0

un número đistinto de 0) Ahora bien, si en la últïma igualdad sustituimos la multiplicacién por la adicién y el cero por el

uno, obtendremos una <igualdad» extrafia

at+i=1

válida sólo para ø = 019) Además, sỉ en la ley distributiva (a + b) ¢ = ac + be sustituimos la adicién por la multipli- eacién y viceversa, obtendremos la «igualdad»

gb + c=(ø+e)(b+-e) con la que nadie, por supuesto, estará de acuerdo [Como

es obvio que

(a+) (b+c) = ab+ac+ bc + c? = ab+c(a+b+e),

resulta que (2+ c) (b-+c)=ab+c sélo si c=0 0 si

œ+ b+c=t.]

Pero el Algebra conoce también otros sistemas, no numé- ricos, en los que también se pueden definir las operaciones de adicién y de multiplicacién més similares entré si que la adicién y la multiplicacién de los números Consideremos, por ejemplo, el «dlgebra de los conjuntos» que es muy impor- tante, Se entiende por conjunio una coleccién cualquiera de objetos arbilrarios denominados elementos del conjunto:

se puede hablar del «conjunto de los alumnos de una clase

de séptimo grado», del «conjunto de los puntos de un circulo», del «conjunto de los puntos de un cuadrado», del «conjunto

de los elementos de la tabla periédica de Mendeléev», del

«conjunto de los números pares», del «conjunto de las notas

de los alumnos de una clase», del «conjunto de los clefantes

de la India», del «conjunto de las faltas gramaticales en tu composicién», etc Resulta bastante claro cémo puede defi- nirse la «suma de dos conjuntos»: entenderemos por suma

A + B del conjunto A y del conjunto B simplemente la unién

de ambos conjuntos Por ejemplo, si A es el conjunto de varo- nes y B el conjunto de hembras de tu clase, A + Bes al conjunto de todos Jos alumnos de tu clase; si A es el conjunto

de todos los nimeros enteros positivos pares y B es el con- junto de todos los nimeros divisibles por 3, el conjunto

1) Sila igualdad a + 4 = 4 {uese valida para todo

a, seria imposible restar 4 a cualquier nimero distinto de 4; esto, por supuesto, eg falso; asi 3-4 = 2.

B es el conjunto de los puntos del 6valo sombreado oblicua-

mente, el conjunto A -+ B eg toda la region sombreada en la fig 3 Esta claro (véase, por ejemplo, la fig 3) que para cualesquiera dos conjuntos A y B

A+B=B8+4,

0 sea, para la adicién de conjuntos se cumple la ley conmuta-

tiva Ademas, por supuesto, cualesquiera que sean los con-

juntos A, B y C siempre

(A+B)+C=A+(B+0C),

0 sea, tiene lugar la ley asociativa de la adicién de conjuntos

El conjunto (4 + 8) + C(o A + (B + C)) se puede indicar

Conyengamos ahora en denominar producto AB de los

conjuntos A y B la parte comin o la interseceién de estos con- juntos Asi, si A es el conjunto de ajedrecistas de tu clase y B

es el conjunto de nadadores, AB ser4 el conjunto de los ajedrecistas diestros en natacién; si A es el conjunto de los

niimeros enteros positivos pares y B es el conjunto de los

nimeros divisibles por 3, el conjunto AB

tales y verticales Esta claro que también para la multiplica-

cién de conjuntos se cumple la ley conmutativa, o sea, para cualesquiera dos conjuntos A y B

AB =BA (véase la misma fig 5; se comprende también que el «con-

junto AB de los ajedrecistas diestros en natacién» y el «eon- junto BA de los nadadores diestros en el ajedrez» es un mismo

conjunto) Ademas, es igualmente obvio que para la multi-

plicacion de conjuntos es vélida también la ley asociativa, 0 sea, para cualesquiera tres conjuntos A, By C

(AB) C = A (BC)

£1 conjunto (AB) C 0 A (BC) se puede indicar simplemente

por ABC omitiendo los paréntesis; representa la parte comun 361176

o la interseccién de los tres conjuntos A, By C (en la fig 6

el conjunto ABC tiene un triple sombreado?))

Es notable quo para cualesquiera tres conjuntos A, B y C

se cumple también la ley distributiva:

{A + B)C = AC + BC

En efecto, si A es, digamos, el conjunto de los ajedrecistas

de tu clase, B es el conjunto de ios alumnos aficionados al

ajedrecistas y de los aficionados al juego de las damas, 0 sea,

el conjunto de los alumnos aficionados a uno de estos juegos:

al del ajedrez o al de las damas (0, posiblemente, y al del

ajedrez y al đe las damas) El conjunto (A + &) C se obtiene del conjunto A + B dejando en la unién A + B sélo aque-

4) He Kê otro ejemplo que explica la ley asocia-

numeros enteros divisibles por 2, B el conjunto de los nimeros divi- sibles por 3 y Πel conjunto de los nimeros divisibles por 5; entonces,

AB es ek conjunto de los niimeros divisibles por 6 y (AB) € es el con-

Junto de los némeros divisibles por 6 y por 5, 06a, divisbles por 30

De otro lado, BC es eb conjunto de los números divisibles por 15 y

A (BC) es el conjunto de los nimeros pares divisibles por 15, 0 sea,

es de nuevo el conjunto de todos los mimeros (enteros) divisibles

por 30

lios alumnos que ademas saben nadar Pero esti claro que

obtendremos exactamente cl mismo conjunto formando la

unién AC +- BC de) conjunto AC de los ajedrecistas diestros

en natacién y del conjunto BC de los aficionados al juego de

las damas que saben nadar,

Es posible que esta explicacién verbal de la ley distri- butiva te parezea farragosa Convienc emplear en tal caso la

es facil ver que Ja regi6n AC + BC sombreada en Ja fig 7, b

no difiere de la regién (4 + Ø) € doblemente sombreada en

a fig 7,

No es dificil comprender qué «conjunto» desempefia el pa- pel del cero en nuestra «lgebra de los conjuntos» En efecto,

Ja adicién de este conjunto O (designaremos el «conjunto

cero» por la letra QO, similar por su forma al mimero 0)

nọ đebe alterar ningún conjunto; luego, ol conjunto O no contiene ningiin elemento, es «vacio» Puedes sentir ol deseo

de excluir por completo semejante conjunio vacto de Ja con-

sideracién: si el conjunto O no contiene elementos, representa

un absurdo, y ao un conjunto, y ni siquiera vale la pena hablar de 61 Sin embargo, tan infundado seria proceder de esta manera como excluir el 0 del conjunto de los nimeros

por el mero hecho de que la «coleccién» de cero objetos tam-

biến es «vacfa» y, al parecer, no tiene sentido hablar del

«número» de objetos que contiene Pero, en realidad, si tiene sentido; y mucho Si no tuyiésemos e] nimero 0, no podriamos restar uno de otro cada dos nimeros (porque en

este caso la diferencia 3—3 no seria igual a nada), no podria-

mos representar, digamos, el niimero 108 (una centena, ocho unidades y ninguna decena) en el sistema decimal de nume- racién, como tampoco podriamos hacer otras muchas cosas;

no es casual que el surgimiento de la idea del cero sea consi-

derado como uno de los acontecimientos ms notables en

toda la historia de la Aritmética Exactamente igual, si

no se incluye entre los conjuntos el conjunto vacio O, no podremos seiialar el producto (0 la interseccién) de dos con-

juntos cualesquiera: asi, es vacia la intersecoión de los

conjuntos A y B representados en la fig 8, como también es vacia la interseccién del conjunto de los alumnos de tu

clase que estudian en sobresaliente y del conjunto de los

elefantes Y en general, si nos negdsemos a usar el concepto de

«conjunto vacio», en muchos casos tendriamos que hablar de los conjuntos con gran recelo: gy si resulta vacio, o sea, no existe, el «conjunto de los alumnos de quinto grado Nama- dos Andrés en la escuela N° 6 de Leningrado»?

Esta claro que si O es el conjunto vacio, entonces para cualquier conjunto A

A+O=A

No menos claro esté que cualquiera que sea el conjunto A siempre

AO =0,

ya que es necesariamente vacia la interseccién de cualquier

conjunto A y del conjunto O carente de elementos (digamos,

la interseccién del conjunto de las alumnas de tu clase y del

conjunto de todos los alumnos de estatura superior a 2,5 m)

En cuanto al «conjunto unidad», la situacién es algo mas complicada Este conjunto J (lo designaremos por la letra I,

similar por su forma al nimero 1) debe ser tal que su producto

(o sea, interseccién) con cualquier conjunto A tiene que

coin-cidir con A Pero de aqui se deduce que nuestro voujunto I debe contener todos lus elementos de todus los conjuntos 4 Esta claro que semejante conjunto puede existir solo si nos

limitamos a aquellos conjuntos A cuyos elementos se toman

de una determinada colecci6n de «objetos»: a los conjuntos de los alumnos de una escuela o clase determinadas (por ejem- plo, A puede ser el conjunto de los alumnos que estudian en

sobresalionte y B el conjunto de los ajedrecistas); a los con-

juntos formados por nameros enteros positivos (A puede ser

el conjunto de los nimeros pares y B ol conjunto de los nimeros primos que no admiten mas divisores que ellos mismos y la unidad); a los conjuntos compuestos por puntos que forman figuras pertenecientes a un determinado cuadra-

do como las representadas en las fig 3, 4, 5, 6, 7 y 8 En

este caso entenderemos por / el «conjunto mds grande» que contiene todos los «objetos» considerados: el conjunto de todos los alumnos de la escuela o la clase consideradas, el conjunto de todos los nimeros enteros positives o bien el

conjunto de todes los puntos de) cuadrado (fig, 9) En el

«Algebra de los conjuntos» este conjunto J lleva el nombre de

unitario 0 universo Es obvio que para cualquier conjunto

«menor» A (e incluso para el conjunto A que coincide con I)

tendremos

AI=A

Gi plats correspondencia con la condicién que define la uni-

lad

De este modo vemos que en el «algebra du los conjuntos»

construida las leyes de las operaciones se asemejan mucho a las leyes del algebra, referentes alos nuimeros, que conocemos

del curso escolar de Matematicas; sin embargo, esta semejanza con las leyes numéricas no es total Es verdad que en el dlge- bra de los conjuntos tienen lugar, como hemos comprobado, casi todas las leyes principales validas para los nuimeros;

pero en ella también se cumplen otras leyes que, posible-

mente, te pareceran extraiias Por ejemplo, hemos sefialado

ya que para los némeros no tiene lugar, como regla, la ley que resulta de la igualdad a-0 = 0 si sustituimos en ella

la multiplicación por la adieión y el cero por la unidad ya que para casi todos los números ø tenemos ø + 1 z1 En cambio, en el Algebra de los conjuntos la situacién es distinta: aqui siempre

Ayla

En efecto, el conjunto J es, por đefinición, el «més grande»

Y, por eso, es imposible aumentarlo mAs: cualquiera que sea

al conjunto A (tomado entre los conjuntos considerados) que

agreguemos al conjunto unitario J, siempre obtondremos

el mismo conjunto J

Ademés, al sustituir en la ley distributiva (@ -+ 6)¢ =

= ac + be la adicién por la multiplicacién y viceversa, he-

mos obtenido la «igualdad» absurda ab + ¢ = (a +c) X

X (b + e) que para los nimeros resulta casi siempre falsa

En el algebra de los conjuntos la situacién es otra: aqui siempre (0 sea, para cualesquiera conjuntos A, B y C) tiene

lugar la igualdad

AB+C€=(A+C) (B+ C0)

que expresa la segunda ley distributiva (la ley distributiva de

la adicién respecto a la multiplicacién) del Algebra de los

conjuntos En efecto, sean de nuevo A el conjunto de los ajedrecistas, B el conjunto de los aficionados al juego de las damas y C ol conjunto de los nadadores de tu clase En tal

caso es evidente que la interseccién AB de los conjuntos A

y RB comprende a todos los alumnos diestros tanto enel aje-

drez como en el juego de las damas y que Ja unión 4 + £

de los conjuntos AB y C consta de todos los alumnos que son

aficionados y al ayedrez y al juego de las damas vu que saben

nadar (es posible que son aficionados ui ajedrez, al juego de

las damas y a la natacion) De otro lado, las uniones A+ C

y B + € de los conjuntos A y C y de los conjuntos B y C se componen, respectivamente, de los alumnos aficionados al ajedrez o diestros en natacién (0, posiblemente, aficionados

y al ajedrez y a la natacién) y de los alumnos aficionados al juego de las damas o a la natacién Esti claro que la inter- seccién (A + C)(B + €) de estos dos últimos conjuntos

Puesto que esta explicacién verbal te puede parecer enre-

vesada, daremos además una interpretación gráfica de la

sogunda ley đistributiva En la fig 10, a la intersección AB

de los conjuntos A y J? esté sombroada con lineas oblicuadas

hacia la derecha y el conjunto C, con lineas oblicuadas hacia

la izquierda; toda la regién sombreada en esta figura repre-

senta el conjunto AB -+ C En la fig 10, b hemos sombreado

horizontalmente la unién A + C€ de los conjuntos A y C y

verticalmente la unién B 4-C de los conjuntos B y C; la interseccién (A + C)(B + C) de estas dos uniones queda

cubierta en esta figura por una «red» Dero es facil ver que

Ja regiéu de la lig 10, 6 cubierta pur la red de lineas hori- zoutales y verticales coincide exactamente cou la region som- breada en la fig 10, a; esto demuestra precisamonte la se-

gunda ley distributiva

Sefialemos, para terminar, otras dos leyes del algebra de los conjuntos que contradicen los conocimientos algebraicos adquirides en la escuela Es facil comprender que cualquiera que sea el conjunto A, su unidn con otro igual y su intersec- cién con st mismo coinciden con el conjunto inicial A:

Estas dos igualdades se denominan a veces leyes idempotentes

Es muy ventajoso el hecho de que Jas leyes generales del Algebra conservan una misma forma para todos los tipos de numeros: gracias a ello, al pasar de los niimeros enteros a los fraccionarios o relativos (tomados con el signo «mds» o «me- nos»), podemos utilizar plenamenie los hábitos adquiridos con anterioridad y sélo necesitamos afiadir otros (de acuerdo

a la reserva mas rica de nimeros considerados), pero no ad- quirir nuevos La situacién es enteramente distinta cuando pasamos de los nimeros a los conjuntos: aqui parcialmente necesitamos también habitos nuevos, ya que una serie de leyes del Aigebra de los conjuntos no tiene lugar para los núũmeros!)

3) En esta diferencia entre las leyes del Algebra

de los conjuntos y las leyes auméricas radica precisamente la causa

de que en muchos textos la adicién y la multiplicacién (0 sea, la union

y la interseccién) de tos conjuntos se indican con signos completamente

distintos de los signos corrientes -+ y -; la unién de los conjuntos

Ay B se indica por A U Ð y la intersecoión de estos conjuntos, por 4ñ Z Puesto que en este folleto también hablaremos de otros siste-

mas algobraicos en los cuales la «adicióny y la emultiplicaoiôns se

rigen por las mismas leyes que se dan en el algebra do los conjuntos,

resulta natural gue nos desentendamos de los simbolos |J y (| propio3

precisamente de la teoria de los conjuntos; el deseo de subrayar ta proximidad existente entro las digebras consideradas y ol algebra

escolar empuja a emploar los signos habituales de adicién y multi-

plicacién Sin embargo, conviene, por lo visto, escribir aqui Tas prin=

cipales leyes del Algebra de los conjuntos también en las designaciones

estandar de la teoria de los conjuntos:

AUB=BUA y ANB=BN 4;

leyes conmutativas

loyes asociativas

Enumeremos estas leyes nuevas, Futre ollas figura Ja relacién

A+ T=1

que determina la profunda diferencia existente entro ol con- junto mnitario 7 y el nimero 1 La segunda ley distributiva del Algebra de los conjuntos ofrece una forma muy peculiar

de «abrir Jos paréntesis»:

(A+ C)(B+4C)=AB+C;

por ejemplo, aqui

(4 + D)(B + D) (C 4+ D) =[(A -+D) (8B + D)](€ + Ð)=

= (AB 4D) (C+D) =(AR)C + D = ABC + D

Por tltimo, resultan totalmente nuevas para nosotros las

leyes idempotentes

que a veces se expresan en Ja forma siguiente: en el dlgebra

de los conjuntos no existen exponentes ni coeficientes En efecto,

tenemos para cualesquiera A y n,

AtAt.+A=A oy AAs Aad;

(compara con el ejercicio 6 que viene a continuacién)

AUT=T y ANO=0;

proniedades đel conjunto vadïo Ø y đel eonjunto unitario †

= (4 UC) N (BUC;

leyes distributivas

AaU4=4 ANA=A4

leyes tdempotentes

EJERCICIOS

Demuestra Jas igualdados siguientes en las quo las letras mayñsou

las representan conjuntos (con la particularidad de que las lotras 0 0 J representan siempre los conjuntos vacio y unitario, respectivamente):

leyes asociativas

(A+B)C=AC+BC y AB+CH=(A+C)(R +0);

leyes distributivas

A+A=A y AA=A

leyes idempotentos Ademas, en el Algebra de los conjuntos existen dos ele- mentos (conjuntos) especiales O J tales que

A+O=2A y AISA;

A+l=Tl y AO=0

Estas leyes (o reglas de las operaciones) son similares

a las leyes del algebra de los nameros que ti dominas pero

no coinciden con ellas; por supuesto, el algebra de los conjun-

tos también es un cAlgebran, pero no aquella que ti has estu-

diado antes, sino un Algebra nueva, extraordinaria

Pero tampoco el digebra corriente de los miimeros cs un Algebra unica, sino muchas «dlgebras»: podemos hablar del

«Algebra de los nimeros enteros positivos», del «Algebra de los números raeionales {o sea, enteros y fraccionarios)», del

«Algebra de los ntimeros relativos (o sea, positivos y no posi- tivos)»; existe adem4s el «dlgebra de los nimeros reales (o sea, racionales e irracionales)», el «álgebra de los núme- ros complejos (reales e imaginarios)», etc Todas estas «ilge- bras» difieren una de otra tanto on los nimeros con los que

se opera, como en la definicién de estas operaciones (0 sca,

de la adicién y la multiplicacién); sin embargo, las propie-

dades principales de las operaciones son las mismas en todos Jos casos Bs natural preguntarse entonces cnal es la situacién

en el Algebra especifica de los conjuntos: gaparece ésta en

una forma Gnica, o también aqui existe una serie de cilgebrasy similares que difieren una do otra tanto en los elementos con los que se opera como en Ja definicién de estas operaciones (que continuaremos denominando adicién y multiplicacion) pero que son idénticas en cuanto a las propiedades de estas operaciones?

Probablemente, td presientes ya que existen muchas

Algebras semejantes al algebra de los conjuntos (0 sea, Alge-

bras en las que rigen Jas mismas reglas que en el algebra de los conjuntos) Y esto efectivamente es asi En primor lugar, Jas propias dlgebras de los conjuntos pueden scr muy variadas:

podemos hablar del ¢4lgebra de los conjuntos de alumnos de

tu clase», del «ilgebra de los conjuntos de animales del par-

que zoolégico de Mosci» (que, por supucsto, es un algebra

totalmente distinta), del «Algebra de los conjuntos formados

por \mos u otros niimerose, del «ilgebra de los conjuntos for-

mados por puntos de un cuadrado» (véanse Jas figuras de la 3a la 10), del edlgebra de los conjuntos de libros de wna bi- hlioteca escolar» o del «Algebra de los conjuntos de estrellas» Perv existen también otros ejemplos, muy distintos, de Algebras que tienen propiedades semejantes; ahora daremos algunos

Un minuto de atencién antes de pasar a estos ejemplos

Al analizar los ejemplos que vienen a continuacién, debes recordar con seguridad que definir en un conjunto de objetos (elementos) a, b, Las operaciones de adicién' y multiplicacién significa exponer las reglas que a cada par de objetos a y b ponen

en correspondencia otros dos objetos ¢ y d@ llamados suma y

producto de a y b:

Escogeremos estas reglas de modo que se cumplan todas las

leyes de operaciones que caracterizan el digebra de Jos con- juntos Pero no tienes derecho a preguntar por qué la suma

de a y 6 es igual a ¢; pues definimos la suma a ++ b precisa- mente como c y las definiciones, coma se sabe, no son objeto

de discusién Puede suceder que en algunos casos nuestras definiciones te parezcan extrafias; y es natural, porque estas definiciones serfin nuevas para ti y todo lo nuevo, lo insólito, siempre parece extrafio En la vida no te sorprenden objetos tan asombrosos como son el televisor y el teléfono; pero esto

se debe sélo a que estas acostumbrado a ellos En cambio, si

tomamos un alumno de segundo o tercer grado —que esta

firmemente convencido de que la suma đe dos números ø y b

es el nimero de objetos de la unión de una coleccién de @ objetos y de wna coleccién de b objetos (véase la fig 1 de la

pag 8) y de que el producto ad es el número de objetos de la

unién de a colecciones con 6 objetos en cada una (véase la

fig 2 de ia pag 8)—, le explicamos qué es una fraccién y

después le decimos que la suma y el producto de las fracciones

ab ; +

Ty ye definen asi

a,b øử Lộc a b_ ab

clan a Vaya

estas reglas (que para ti resultan ahora absolutamento natu-

rales) le parecerén, seguramente, muy extrafias

Pues bien, he aqui nuestros ejemplos

Ejemplo 1 Algebra de los dos mimeros Aceptemos que nuestra Algebra tiene dos elementos solamente que, por razones de comodidad, denominaremos nimeros e indicare- mos con los símbolos habituales 0 y 1 (aunque aqui estos simbolos tienon un sentido completamente nuevo) Definire- mos la multiplicacién de nuestros nimeros exactamente igual que en la Aritmética habitual, o sea, mediante la siguiente

«tabla de multiplicars:

01

9000

1 0 1 mientras que la adicién la definiremus «asi de la forma co- rriente», o sea, con la inica diferencia de la Aritmética habi- tual consistente eu que la suma 1 + 4 serd ahora de nuevo igual a 1 y noa2(pucs este nimero simplemente no existe en nuestra «algebra de los dos nitmeros») De este modo, la

«tabla do sumar» tiene en nuestra Algebra la forma

atb=b+a y ab=ba para cualesquicra a y b

Es ficil comprobar que también se cumplen en ella Jas leyes asooiativas

(+ ð)+c=sø+(b+) y (a0)c = a (be)

para cualesquiera a, 6 y ¢,

con la particularidad de que ni siquiera hace falta comprobar

la ley asociativa para la multiplicacién, pues nuestra muti- phicacién nueva coincide integramente con la multiplieación

de los nimeros y para ésta la ley asociatiya es valida Tam- bién es facil ver que tienen Ingar aqui las leyes idempotentes:

a@ta=a y aa=a_ pare cualquier a,

elemento J, tendran iugar también las reglas referentes a los

elementos especiales O e J: siempre (o sea, para a= U y para a = 1)

Ejemplo 2 Algebra de los cuatro mimeros He aqui un ejemplo algo mas complejo aunque del mismo género Supou- gamos que los elementos del algebra son cuatro «nimerosy que indicaremos con las cifras 0 y 1 y con las letras p y 4 Definiremos la adicién y la multiplicacién en el Algebra con-

siderada con las tablas siguientes:

at+tb=b+a y ab=ba para cualesquiera a y by

(a+ 6) +c=a+(b+c) y (ab) c =a (be)

Además, los números Ö y 1 desompeñan aqui el papel de los elementos O e J del álgebra de los conjuntos ya que para cualquier @

Ejemplo 3 Algebra de los mazimos y los minimos Tome-

mos como los elementos de nuestra Algebra un conjunto

(acotado) de números, por ejemplo, aceptemos que estos

elementos son algunos nimeros x (0, posiblemente, todos ellos) tales que 0 < x <1, 0 sea, los nimeros comprendidos entre 0 y 4 incluyendo los propios nameros 0 y 1 En cuanto

a las operaciones de adicién y multiplicacién, las definire- mos de un modo enteramente nuevo y, para no confundirlas

con la adicién y la multiplicacién corrientes, emplearemos incluso signos nuevos: ® (adicién) y ® (multiplicacién)

A saber, aceptaremos que la suma x ® y de dos niimeros

xe y es igual al mayor de éstos (o a cualquiera de ellos si x= y); entenderemos por producto z @ ý de los números

az ey el menor de éstos (o cualquiera de ellos si # = ÿ) Por ejemplo, si los elementos de nuestra algebra son los nit- meros 0, /5, '/y, 9/3 y 1, la «tabla de sumars y la «tabla de multiplicary de nuestros nimeros tienen la forma

En las Matematicas, 6] mayor de dos o varios nimeros u,

v, ~ +, 2 Suele designarse asi: mix fu, v, , 2] y el menor

de estos nfimeros, por el simbolo min [u, v, ., zl) De esta

*) méx lu, v, -, 2) y min [u,v - , 2| Sẽ

puede leer, respectivamente, como «maximo de u,v, -, +, a y &mÍ-

nimo de u,%, 2.4, 2

forma, eu nuestra «Algebra de los méximos y los minimos», por definicién

z@®y=máxlz,ì y z® ụ = mín{z, gì

Podemos también couvenir ei representar Ïos números por

medio de puntos de la recta numérica; entonces, los niimeros :c,

donde 0 < z < 4, quedaran representados por los puntos del

segmento horizontal de longitud 1, la suma z ® y de dos ni-

meros x e y por aquél de los puntos zo y que se halla a la

derecha y el producto z ® y por el punto situado a Ja izquier-

da (fig, 11)

Esté claro que nuestras nuevas operaciones de adicién y multiplicacién satisfacen las leyes conmutativas:

‘También se cumplen obviamente las leyes asociativas

@ Oy O2=2B (yO2y (By) @z=2® (y 2);

asi, el nimero (x ® y) @z2 0 « ® (y ® z) —que se puede

indicar simplemente por z ® @® z omitiendo los paréntesis

es el max [a, y, z] (fig 12) y el niimero (2 ® g) ®zoz@®

@ (y @ z) —o simplemente x @ y @ z, sin los paréntesis—

es el min |x, y, 2] (véase de nuevo Ja fig 12) No menos claro

estd que también las leyes idempotentes tienen lugar aqui: œ€@®z = mấx [z,z]Ì —+ y z® z= min [z, z] = #

Comprobemos, finalmente, la validoz de las leyes distri- butivas

es igual a zsialmenos uno de los niimeros x 0 y es mayor que z

y es igual al mayor de estos nimeros si ambos son menores

(z @ 2) @ (y @z) = max {min [z, 2], min fy, 2]}

(véase de nuevo la fig 13) De un modo andlogo, el niimero

(x @ y) ® zs = max {min [2, y, 2)}

es igual az si al menos uno de los mimeros x 0 y es menor que 2

y es igual al menor de estos numeros si ambos son mayores

Para persuadirnos aliora de que en nuestra algebra especi-

fica se cumplen todas las leyes del Algebra de los coujuntos,

bastard sefalar solamente que el papel de los elementos O

eJ del algebra de los conjuntos lo desempefian aqui el menor

de los nimeros considerados —el nimero Ủ— y el mayor de estos números —el número 1 En efecto, cualquiera que sea

el nimero z, donde O<2<1, siempre

z@0 =max([z, 0] =z y 2 @1= min (2, 1] = 2; œ@® 1 =máx Íz, 1] =1 y z® 0 = min Iz, 0) = 0

Ejemplo 4 Algebra de los minimos multiples y los mézimos divisores Sea N un numero entero positivo cualquiera; tome-

mos como elementos de nuestra Algebra nueva todos los posi-

bles divisores del nimero NV; por ejemplo, si N = 210 =

= 2.3.5.7, los elementos del dlgebra considerada son los números 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105

y 240 La adicién y la multiplicacién de nuestros nimeros las definiremos ahora de una forma completamente nueva: entenderemos por suma m @ 7 de los números m y n el minimo comin miltiplo de los mismos, o sea, él menor ni- mero entero (positivo) que es divisible por ambos números

m y n; tomaremos como producto m ® n de los nimeros m

y n el méximo comin divisor de estos niimeros, o sea, el

mayor nimero entero que divide a m y a n Por ejemplo, si

N = 6 y nuestra Algebra contiene solamente cuatro nimeros 1,2, 3 y 6, la adicién y la multiplicacién de los ntimeros vienen dadas por las tablas siguientes:

se designa frecuentemente por [m, n, ., s] y el maximo co-

min divisor de estos mismo nimeros, por (m, n, -, 8)

De esta forma, en nuestra algebra por definicién

(podemos convenir en indicar este número simplemento por

m ®n® p omitiendo los paréntesis) y

(m @n) @p=m® (n @ p) (= (m, n, p))

(este némero se puede indicar simplemente por m @ n ® p)

No menos evidentes son las leyes idempotentes:

m ® m =[m, m]Ì =m y m @® m = (m, m) = m Algo mas dificil (como siempre) resulta comprobar las leyes distributivas Bl número

(m ® n) ® p = (Im, nl, p)

no es otra cosa que el mézimo comin divisor del mimero p y del

minimo comin miltiplo de los niimeros m y n ( ireflexiona bien

en el sentido de esta frase!); contiene aquellos, y sdlo aque-

llos, factores primos que figuran en la descomposicion de p

y al mismo tiempo en la descomposicién de uno de Jos ni- meros mo n por lo menos Pero esta claro que estos factores primos (y sélo estos) figuran también on la descomposicién

del niimero

(m @ p) ®@ (n @ pì = lữn, p), (n, p)Ì;

por eso, siempre

(m @ n) @ p = (m @ p) @ (n @ p)

Por ejemplo, si los nameros se toman del conjunto de los

divisores del ntimero 210, tenomos

(40 @ 14) @ 105 = (110, 14], 105) = (70, 105) = 35

bien en la descomposicién de ambos niimeros m y 7 (0, posi- blemente, en la descomposicién de p y en la descomposicién

de ambos nimeros m y 7) Pero estos mismos factores exacta-

mente contione también el niimero

de los conjuntos lo desempefian aqui el menor de los nime- ros de la coleccién considerada —el nimero 1~- y el mayor

de ollos —el ntimero N En efecto, es evidente que

m@1=lm, tl=m y m@N=(m, N) =m;

mO®N= |m, N)=N y m®@i=(m, 1h=m (no olvides que en nuestra algebra figuran los divisores del

número N solamente) De esta forma, también aqui se

cumplen todas las leyes del algebra de los conjuntos

‘Vemos, pues, que cxiste una cantidad suficientemente amplia de diversos sistemas de «objetos» (elementos del dlge-

CEORGE BOOLE (1815-1864)

bra considerada) en los cuales se pueden definir las opera-

ciones de adicién y multiplicacién quo satisfacen todas las reglas que sabemos se cumplen en el algebra de los conjuntos: dos leyes conmutativas, dos leyes asociativas, dos leyes dis- tributivas, dos leyes idempotentes y cuatro reglas determi-

nantes de las propiedades de los elementos «especiales» que

en nuestras Algebras desempefian un papel proximo al que

desempofian el cero y la unidad Mas tarde veremos otros dos ejemplos, muy importantes e interesantes, de tales áÌge-

bras

Ahora, al pasar al estudio de las propiedades generales

de todas estas Algebras, debemos, ante todo, darles un nom- bre gonérico Actualmonte todas ellas se denominan algebras

de Boole!) ya que fue George Boole*), destacado matematico

inglés del siglo X1X, quien por primera voz estudio las

Algebras de propiedades tan extrafias Conservaremos los nombres de «adicién» y «nultiplicaciéne para las operaciones

principales del 4lgebra de Boole (pero debes recordar que no son la adicién y multiplicacién corrientes de los nimeros); sin embargo, a vecos denominaremos estas operaciones adi- cin booleana y multiplicacién booleana

La obra de G, Boole, consagrada al examen minucioso del Algebra extraordinaria al que est& dedicado este folleto, apa- recié por primera vez en 1854, o sea, hace mds de 100 afios,

bajo ef titulo de «Investigacién de las leyes del pensamiento» («lnvestigation of the laws of thought») Posiblemente este

titulo te parece por alwra extrafio; pero después de leer este folleto, comprenderds qué relacién existe entre las leyes de nuestro pensamiento y las 4lgebras extraordinarias que aqui

se analiza, Notemos sélo que precisamente esta conexién

entre las Algebras de Boole y las deyes del pensamiento»

explica por qué la obra de Boole, que inicialmente pasé desapercibida para los matematicos, despierta hoy tan

gtan interés Durante los altimos afios esta obra ha sido varias veces reeditada y taducida a distintos idiomas; en muchos paises el concepto de Algebra de Boole ya figura, de una u otra forma, en el curso escolar de las Matematicas;

en otros paises, entre ellos la URSS, la idea de incluir este concepto en el curso de la ensefianza media se esta debatiendo activamente y tiene ardientes adictos entre los matematicos

4) En el apéndice (pag 78) damos la đefinición exacta de las algebras de Boole

2) Padro de la escritora inglesa Etel Lilian Boole (tag conocida por ol apellido de su marido M Voinicz, rayolucionario polaco), autora de la novela «El Tébano».

2 Comprueba ambas leyes distributivas para algunas ternas de

elementos del «álgebra de Boole do los cuatro ulementoss (ejemplo 2, pag 26)

3 a) Si en tu apartamente no hay més eseolares que 9ú, log won-

juntos de escolares de tu apartamento» son: el conjunto J que consta

de un escolar y el conjunto O que no contieno escolares (conjunto vacio) Forma para el algebra de los conjuntos de escolares que resi- den en tu apartamento» (esta Algebra contione dos elementos, O 0 I, solamente) la «tabla de sumars y ta «tabla de multiplicars y compáralas con las tablas de la pag 25; deduce de aqui que para el «lgobra de log dos nimeros> considerada en el ejemplo 1 de esto pardgraio se cum-

plen efectivamente todas las leyes del algebra de Boole,

b) Supongamos que en un apartamento viven dos escolares, Pedro y Catalina Entonces el «dlgebra de los conjuntos de escolares

que residen en este apartamento» contiene cuatro elementos: el con-

junto J que corpranila dos escolares; dos conjuntos P (Pedro) y C (Catalina) formado cada uno por un escolar; 6Ì conjunto vacio 0 Forma la «tabla de sumars y la «tabla de multiplicars para osta áÌge- bra do los conjuntos y compéralug con las tablas de la pag, 26; deduce

de aqui que para el «Algebra de los cuatro nimerosy cousiderada en al ejemplo 2 de este pardgrafo so cumplen todag las leyes del algebra deo

Boole,

" n[3 1 }=máy {mm 3 =z]:

5 a) Forma la «tabla de sumar y Ja «tabla de multiplicars para

el digebra de Boole de tos tros nimeros 0, a y 1, dondo z@ y=

= max fz, y) y x ® ø= nún |z, yÌ; comprueba que en esta álgebra

© cumnplen las leyes del álgebra de Hoole,

b) Forma ja «tabla de sumary y Ja etabla de multiplicars para

el algebra formada por los divisores del numero 12, donde m@ n=

== Im, n] y m@ n= (m, n); comprueba que en osta Algebra so cum-

plen algunas de las leyes del Algebra de Boole,

6*, Supongamos que la descomposicién en factores primos de

ha -idly A

N= pings pie;

los niimeros aj, đạy ., đụ, bạ, bg, ., by pueden resultar iguales

a cero) 4Qué forma tienen en este caso las descomposiciones en facto- ros primog de log nameros [m,n] (minimo comun múHiplo de los nũmeros m y n) ÿ (m, n) (maximo comin divisor de los nimeros m

y a)? Emploa estas descomposiciones para demostrar que constituye

un algebra do Boole ef conjunto de todos los divisores do! niimero N con las operaciones m@ n= [m, nl ÿ m@ n = (m, n)

ta el paralelismo completo que existe entre las propiedades

de la adicién booleana y de la multiplicacién booleana: es-

tas propiedades son tan similares que en toda férmula (jco-

rrecta, por supuestol) del digebra de Boole se puede sustituir

la adicion por la multiplicacién, y viceversa; la formula seguird

siendo valida Por ejemplo, en el algebra de Boole se cumple

la igualdad

A(A+€@)(B + €) = AB + AC

como Jo hemos demostrado anteriormente (véase el ejemplo

considerado al final de los ejorcicios del § t, pag 22) Susti-

tuyendo en esta igualdad Ja adicién por la multiplicacién,

y viceversa, obtenemos la igualdad

A+ AC + BC= (A+B) (A+ C)

que también es valida (véase el ejemplo de la pag 38) Sélo debe tenerse en cuenta que si en una igualdad del algebra de Boole figuran los elementos especiales O ¢ I, al sustiiuir la adicién booleana por la multiplicacién booleana, y viceversa, deberemos sustituir el elemento O por I y el elemento I por O Por ejemplo, es valida la igualdad

(A+ B)(A+D+(A+B)(B+0)=A48

(véase el ejercicio 8 de la pag 22); de aqui resulta que tam-

bién tiene lugar la igualdad

(AB + AO) (AB + BI) = AB

Esta propiedad de las algebras de Boole que permite 4gra- tuitamente» (o sea, sin demostracién) obtener de cada igualdad

otra nueva!) lleva el nombre de principio de dualidad y las igualdades, que resultan una de otra por medio de este prin- cipio, se denominan duales unas respecto a otras El prin- cipio de dualidad se deduce de que la lista de las leyes prin- cipales del Algebra de Boole —que son las Gnicas que pode- mos emplear al demostrar una u otra formula booleana— 0s

perfectamento «simétricay: con cada ley contiene otra, dual

de la primera, es decir, que se obtiene do aquélla sustituyendo

por la multiplicaci6n, y viceversa) coincida con la inicial y on esto caso nuestro procedimiento no arroja vontaja alguna Por ejemplo,

al sustituir la adici6n por la multiplicacién, y viceversa, la igualdad correcta (véase el ejercicio 6 de la pag 22)

que slo insubstancialmente difiere de Ja inicial (se transforma en la

inieial al sustituir la lotra # por la letra € y la letra € por la tetra B)

ta adicién por Ja multiplicacién, y viceversa, y el elemento O por ef elemento J, y viceversa Asi, la ley conmutativa de

la adicién es dual de Ja ley conmutativa de la multiplica-

cién; la lay asociativa de la adicién es dual do la ley asociati-

va de la multiplicacién: la ley idempotente de la adicién es

dual de Ja ley idempotente de la multiplicacién; la primera ley distributiva es dnal de la segunda ley distributiva; por Ultimo, las igualdades A + O = Oy A + = Ï son duales

de Jas igualdades AJ = A y AO = O, respoctivamente Por eso, si para demostrar una igualdad hemos empleado nnas

u otras leyes principales del algebra de Boole, podemos de-

mostrar do la misma forma exactamente, recurriendo a las leyes duales, también la igualdad dual de la inicial

Ejemplo Demostremos la igualidad

A+ AC+ BC = (4 +8) (4 +0)

duat do la ignaldad

A(A +O) (B46) = AB+ AC

En efecto,

A+AC+BC == A+(AC+ BC) = A4(A+8)C=

de fa adicién distributiva

= (A+8)C4 A = I(1+B)+4l(C+4)=

ley coamntaliva (8 ley

đe là adiclón distributive

- (AA) + 81 (4-+)=

luyes crmsinitutive y a80elativa

de In adieton

= (A+B)(A+€) ley Iđempotente de la aficlón

(compara con la demostracién do la igualdad A (A + Œ} (8 + 6) =

= AB-+AC cụ la pấp, 22),

Otra demostracién de] principio de dualidad estd ligada

a que en el Algebra de Boole existe una operacién especial por cuyo efecto todo elemento A de esta algebra se transforma

en un elemento nuevo A a la vez que la adicidn se transforma

en la multiplicacién y viceversa En otras palabras, esta operacién (que denominaremos operacién «raya») es tal que

Además,

O=I e [=0,