e.s. véntesl .- elementos de la teoría de juegos

En efecto, si clegimos, por ejemplo, la estrategia A, ef adversario siempre responderd a ella con la estrategia B,, a la estrategia Az con la estrategia B3, a la cstratcgia Ay con Ja est

En este libro cn un lenguaje sencillo, se hace una exposicién de los clementos de Ja teoria de los juegos y de ciercos procedimientos de resolucioén de juegos de matrices Casi no contiene demostraciones y las tesis bisicas de la

teoria se ilustran con cjemptos Para su lectura es

suficiente el conocimiento de los clementos de la teoria dc las probabilidades y del andlisis matematico

El objetivo del libro es la divulgacién de las ideas de la

teoria de los juegos, fas cuales tienen amplia utilizacion

practica en la economia y en el arte militar

INDICE

§ 1 Qué estudia la teoria de los juegos

Nociones básicas 7

§ 2 Valor inferior y superior đel juego

Principio del “min — max” 16

§ 3 Estrategias puras y mixtas Solución

de juegos con estrategias mixtas 22

§ 4 Métodos clementales de resolución

Al resolver una seric de problemas pricticos (en cl terreno

de fa economia, dei arte militar, etc.) se tiencn que anatizar situaciones en las cuales estan representadas dos (o mds) partes

antagonicas que persiguen objctivos opucstos El resultado de cada medida de una de las partes depende del tipo de accion

elegido por cl contrario A cstas situaciones fas denominaremos

“situacioncs de conflicto”

Se pueden dar muchisimos ejemplos de situaciones de con-

Ricto en diferentes campos práclicos Cualquier situación que

suja en cl curso de operaoiones mililares perlencce a las situaciones de conflicto: cada una de las partes contrincantes

toma todas las medidas que tiene a su alcance para impedir

que cl contrario logre ef éxito Siluaciones de conflicto son también aquellas que se crean al escoger los sistemas de arma- mento, los métodos de su empleo y, en general, al planificar las operaciones militares: cada una de estas decisiones debe

tomarse calculando la accién del contrincante menos ventajosa para nosotros En la cconomia suele haber una serie de situa- ciones (sorbe todo, al existir la libre competencia) que pertenecen

a fas llamadas de confliclo; en éstas ef papel de las partes

antagénicas 10 desempeiian Jas firmas comerciales, kis empresas industriales, etc

La necesidad de anatizar semejantes situaciones hizo que

surgiera un aparato matematico especial, La teoria de los juegos,

en esencia, no cs otra cosa mds que la teoria matemilica

de fas situaciones de conflicto El objetivo de la teoria consiste en

la elaboracién de recomendacioncs sobre la forma razonable de

las acciones de cada ung de los contrincantes cn el curso de una situacién de conflicto

Cada situacion de conflicto tomada directamente de la practica

es muy compleja y su anilisis se dificulta por haber muchisimos

factores secundarios Para hacer posible un análisis matemático

de la situacién es necesario prescindir de estos factores y construir

un modelo simplificado y formalizado de la situacién A este modelo lo denominaremos “juego”

”

en que se realiza a base de reglas completamente determinadas

Desde hace mucho tiempo la humanidad emplea tales modelos formalizados de situaciones de conflicto denominados juegos,

en e] sentido estricto de la palabra Pueden servir de ejemplo

el ajedrez, las damas, los juegos de cartas, etc Todos estos

juegos tiencn un caracter de emulacién que transcurre de acuerdo

con reglas conocidas y termina con la “victoria” (ganancia)

de un jugador u otro,

Tales jucgos, formalmente reglamentados y organizados de

manera artificial, constituyen el material mas adecuado para fa

ilustracién y la asimilacién de las nociones fundamentales de Ja teoria

de fos juegos, La terminologia tomada de Ia priicticn de dichos

juegos se emplca también en cl aniilisis dc otras situaciones

de conflicto: a los que participan en cllas se les llama condicio-

nalmente “jugadores” y al resultado del encuentro, “ganancia”

de una de las partes

En ch juego pueden chocar los intereses de dos o més

contrincantes; en el primer caso el juego se llama “de dos personas”; en el segundo, “de varias personas” Los participantes

de un jucgo de varias personas pueden formar coaliciones

constantes o temporales Cuando hay dos coaliciones constantes

un juego de muchos se convierte en uno de dos, La mayor importancia practica la tienen los juegos de dos personas, aqui nos limitaremos sélo al estudio de éstos

Comencemos la exposicién de la tcoria elemental de los

juegos formulando ciertas nociones básicas Veamos un juego de dos personas en cl que participan los jugadores A y B que

tienen intereses antagénicos Por “juego” camprenderemos un acto

compuesto de una serie de acciones de los participantes A y B

Para que el juego pucda ser sometido a un andlisis matemd-

tico, sus reglas deben de estar exactamente definidas,

Se cntiende por “reglas del juego” cl sistema de condiciones que determina las posibles variantes de accidn de tas dos partes,

la cantidad de informacién de cada parte sobre la conducta de

la otra, la sucesión de las alternaciones de las “jugadas” {soluciones aisladas que se toman en el curso del juego) y también

el resultado o ch fin del juego al que conduce un determinado

conjunto de jugadas Este resultado (ganancia o pérdida) no siempre tiene una expresién cuantitativa pero, generalmente, estableciendo cjerta escala de medidas, se puede expresar con un

mimero definido Por ejemplo, en el ajedrez puede atribuirse

solamente tales juegos

En un juego de suma cero la ganancia de uno de los jugadores es igual a la ganancia del otro con signo contrario,

es por cso evidente que al analizar tal juego puede examinarse

fa ganancia de sdlo uno de los jugadores, Supongamos que ~

éste sea, por ejemplo, cl jugador A Para mayor comodidad

a continuacién denominaremos conditionalmente “nosotros” a la parte A y “cl udversario”, a la parte B

La parte A (“nosotros”) la consideraremos siempre “la que gana” y la parte B (“cl adversario”), “la que picrde” Esta

condicion formal, evidentemente, no significa que al primer jugador

se le dé alguna preferencia real; ficilmente se ve que todo

quede invertido al cambiar el signo de la ganancia por et

contrario

Vamos a imaginar que el desarrollo del juego cn el tiempo

se compone de una serie de ctapas o “jugadas” sucesivas En

Ja teoria de los juegos se denomina jugada a la clección dc una

de las variantes previstas dentro de las reglas del juego Las

jugadas pueden ser personales o de azar

Se denomina jugada personal a la cteccion conscicnte por

uno de los jugadores en la situacién creada de una de las posibles jugadas y a su realizacion

Cualquicra de las jugadas en el ajedrez es un ejemplo

de jugada personal Al hacer la jugada siguicnte cl jugador

elige conscicntemente una de las variantes posibles de acuerdo

a la disposicién dada de las figuras en et tablero

El conjunto dc todas las posibles variantes en cada jugada

personal esti determinado por las reglas del juego y depende

de la totalidad de jugadas anteriores de tas dos partes

Se denomina jugada de azar a ta eleccién que sc realiza

dentro de una serie de posibilidades no por la decisién del

jugador, sino por algin mecanismo de cleccion casual (cl lan-

zamicnto de una moneda, fos dados, la accién de barajar

y repartir las cartas, etc), Por ejemplo la entrega de la primera

carta a uno de los jugadores en el préférence, es una jugada

de azar con 32 variantes de iguales posibilidades

Para que el juego esté matemdticamente definido, sus reglas

deberin indicar para cada jugada de azar la distribucién de las

probubilidades de las posibles salidas

Hay juegos que pueden componerse solo de jugadas de azar

(los Hamados juegos de puro azar) 0 sélo de jugadas personales {ajedrez, damas} La mayoria de juegos de cartas pertenece a los

juegos de tipo mixto, que conticncn jugadas personales y de azar

Los juegos no solo se clasifican por el cardcter de las

jugadas (personales, de azar), sino también por el cardcter y por

la cantidad de informacién que es accesible a cada jugador

sobre las acciones del otro Una clase particular de juegos

la componen fos Hamados “juegos con informacién perfecta”

Se denomina juego con informacion perfecta a aquel en cl que

cada jugador al hacer cada jugada personal conoce el resultado

de todas fas jugadas anteriores, tanto las personales como las

de azar, Ejempios de juegos con informacién perfecta son el

ajedrez, las damas, también el conocido juego de “tres “en

raya”, etc

La mayoria de los juegos que ticnen importancia pritctica

no pertenecen a la clase de juegos con informacién perfecta puesto que la incertidumbre sobre las acciones del contrario

es generalmente un elemento substancial en las situaciones de conflicto

Una de las concepciones básicas en la teoria de los juegos

es la nocién de “estrategia”

Llamese estrategia del jugador al conjunto de reglas que

determinan de una manera tinica la elecciỏn en cada jugada

personal del jugador dado en dependencia de la situacién que

se haya creado en el proceso del juego

La nocién de estrategia debe explicarse con mas detalle

Por lo general el jugador escoge la sotucién (a eleccién) en cada

jugada personal durante la marcha del mismo juego en dependencia

de la situaciỏn cóncrcta creảda No obstante, tedricamente las cosas no cambian si nos imaginamos que el jugador toma

todas estas soluciones de antemano Para eso el jugador debe

establecer anticipadamente una enumeracién de todas las posibles situaciones que pueden aparecer en el curso del juego y prever

su solucién para cada una de ellas En principio (si no en la

practica) esto es posible para cualquier jucgo Si se acepta un

sistema tal de soluciones esto querrd decir que el jugador ha

elegido una estrategia determinada

El jugador que ha clegido la estrategia puede ahora no

participar personalmente en el juego y reemplazar su participacién

con una lista de reglas que aplicaré en su lugar alguna persona

desinteresada (el arbitro) La cestrategin puede ser también intro- ducida en una maquina automata en forma de un programa determinado En fa actualidad es precisamente asi como juegan

al ajcdrez las maquinas computadoras electrónicas

Para que tenga sentido la concepción de “estrategia” es

necesario que en et juego haya jugadas personales En los

juegos que cstản compuestos sdlo de jugadas de azar no existen

estrategias

Ea dependencia del número de posibles estrategias los juegos

se dividen en “finitos” ¢ “infinitos”

Llimese finito al juego en cl que cada jugador sélo puede

tener un nitmero finito de estrategias

A un juego finito en el que el jugador A pucde tener m estrategias y el jugador B, n estrategias se lc Hama juego de m x n

Veamos un juego de m x n de dos jugadores A y B (“nosotros”

y el “adversario”)

Designaremos nuestras estrategias por A,, Az, „ Am y [as estrategias del adversario por By, B;, .,

Si el juego se compone sdJo de jugadas “personales, la eleccion

de la estrategia 4, B; determina de una sola manera el término del jucgo, nuestra victoria Lo designarcmos aij,

Si el juego contiene jugadas de azar, ademas de las perso- nales, entonces la ganancia que producen las dos estrategias A,

Bj es uma magnitud aleatoria que depende de los términos

de todas las jugadas de azar En este caso el valor natural

de la ganancia esperada es su valor medio (la esperanza mate-

matica) Emplearemos el mismo signo a, para la ganancia misma

(cn los juegos sin jugadas de azar) y para su vator medio (cn los juegos con jugadas de azar)

Supongamos que conocemos el valor mj de la ganancia

(o de la ganancia media) en cada par de cstrategias Se pueden

expresar los valores a cn forma de una tabla (matriz) en la que las lineas corresponden a nuestras estrategias (4,) y las columnas,

a las estrategias del adversario (B,) Esta tabla se denomina

matriz de pago o simplemente matriz del juego

Designdremos abreviađamente esta matriz del juego por |i

Veamos algunos cjenrplos elementales de jucgos

Ejemplo \ Dos jugadores, A y B, sin mirarse el uno al otro colocan en la mesa una moneda cada uno en posicién de cara arriba o de cruz arriba, scgin su propio parecer Si eligieron

la misma posicién (los dos pusieron cara o los dos cruz) entonces

et jugador A se queda con las dos monedas, en caso contrario el

jugador B se queda con ellas $e debe analizar el juego y componer

su matriz

Resolucion, El juego consta sélo de dos jugadas: la nuestra

y la del adversario Las dos son personales Este juego no

pertenece a los juegos con informacion perfecta pucsto que en el

momento en el cual se hace la jugada el jugador no sabe lo

que ha hecho el otro

Como cada jugador tiene sélo una jugada personal, su estrategia

es la eleccién cn esta unica jugada personal

Nosotros tenemos dos estrategias:

A, que es elegir la cara y A, clegir la cruz El adversario

tiene también jas mismas dos estrategias: B, (cara), Bz (cruz)

Asi que éste es un juego de 2x2 Consideraremos que la

ganancia de una moneda se expresa con +1 La matriz del juego se representa aqui,

4 : (cruz)

En el ejemplo de este juego, a pesar de ser tan elemental,

es posible aclarar ciertas ideas escnciales de la teoria de los juegos

Comencemos suponiendo que este juego se hace una sola

vez Entonces es evidente que no tiene sentido hablar de tales

© cuales “estrategias” de unos jugadores mds razonables que otros Cada jugador puede elegir cualquier solucién con el misma motivo Sin embargo, al continuar el juego Ia cosa cambia Realmente, supongamos que nosotros (el jugador A) elegimos

cierta estrategia (digamos la A,) y nos atenemos a ella Entonces

ya por los resullados de Jas primeras jugadas el adversario

adivinard nuestra estrategia y responderd de la manera menos ventajosa para nosotros o sea escogiendo la cruz Estaré claro

que sera para nosotros desfavorable emplear siempre una misma estrategia: para no quedar con pérdidas tenemos que clcgir unas

veces cara y otras cruz No obstante, si vamos a alternar la cara

y la cruz con alguna sucesién determinada (por ejemplo una jugada

si y otra no) el adversario también puede observarlo y responder

a esta estrategia de Ja peor manera para nosotros Evidentemente,

cl procedimiento de mds seguridad que garantiza que cl adversario

no conozca nuestra estrategia es una organizacién de la cleccién

en cada jugada en la que nosotros mismos no conozcamos de

antemano la soluciỏn (eso se puede asegurar, por cjemplo, lanzando

una moneda al airc) Asi, con razonamientos intuitivos llegamos

a una de las nociones esenciales de la teoria de los juegos,

a la nocién de la “estrategia mixta”, o sea aquella cn la que las

estrategias “puras” (en nuestro caso A, y A;) se alternen aleatoria-

mente con determinadas frecucncias En cl ejemplo dado, partiendo

del razonamiento de la simetria, esta claro anticipadamente que Jas cstrategias “A, y Az deben alternar con igual frecuencia;

cn juegos mis complicados fa resolucién puede estar lejos de ser

trivial

Ejemplo 2 Cada uno de los jugadores A y B simultánea

¢ independientemente apunta uno de los tres numeros: |, 2 6 3

Si la suma de los numeros escritos es par B le paga a A

cn rublos esta suma y viceversa, si es impar, 0 sea, A le paga la suma a B Se requierc analizar ct jucgo y formar su

mat

Resolucion El juego se compone de dos jugadas; las dos son

personales Nosotros (A) tenemos tres estrategias: A,, apuntar cl 1;

Az, apuntar el 2; A3,apuntar el 3, El adversario (B) tiene las

mismas tres estrategias Se trata entonces de un juego de 3x3

que tiene la matriz que aparece aqui

Evidentemente, como en cl caso anterior, a cualquier estra-

tegia clegida por nosotros el adversario puede contestar de ta manera que peor nos afecte En efecto, si clegimos, por ejemplo,

la estrategia A, ef adversario siempre responderd a ella con la estrategia B,, a la estrategia Az con la estrategia B3, a la cstratcgia

Ay con Ja estrategia Bz, De esta manera cualquier clección dc

una estrategia determinada inevitablemente nos Ilevari a la

pérdida.*

La resolucion de este juego (o sea cÌ conjunto de estrategias

is ventajosas para los dos jugadores) se dard cn el § 5

Ejemplo 3, Se eucucntran a nuestra disposicién tres clases

de armamentos: 4;, 42, 43; el encmigo cuenta con tres clases

de aviones B,, Bz, Bs Nuestro objetivo consiste en hacer blanco

en el avidn; cl de} encmigo, cn mantenerlo a salvo Si se emplea

el armamento A, se hard blanco en los aviones de las clases B,, B,, By con las respectivas probabilidades 0,9; 0,4 y 0,2; con el

armamento Az, las probabilidades serdn 0,3; 0,6 y 0.8; con el

armamento 44a, serán 0,5, 0,7 y 0,2 Se requiere definir Ja situacion

cn los términos de la teoria de los jucgos

Resoluciôn La situacion puede examinarse como un juego

de 3x3 con dos jugadas personales y una de azar Nuestra

jugada personal es la cleccién de la clase de armamento; la

jugada personal del enemigo es ta eleccion del avión que parti-

cípará en el combate La jugada de azar es el empleo del

armamento; esta jugada puede acabar derribando o no el avion

Nuestra gandncia será igual a la unidad si el avion ha sido derribado y serd igual a cero en caso contrario Nuestras estrategias son las tres variantes de Jos armamentos; las estra-

tegias del cnemigo, as tres variantes de los aviones El valor

medio de la ganancia para cada par dado de estrategias no cs,

* No se debe olvidar que en esa misma dificil situa- cidn se encuentra el adversario

ni mas ni menos, que la probabilidad de que sca derribado

el avién dado con el armamento dado La matriz del juego se encuentra aqui

El objetivo de la tcoria de los jucgos cs elaborar recomen-

daciones para obtener una actuacién razonable de los jugadores

en las situaciones de confticto, o sea para definir “la estrategia

éptima™ de cada uno de clios,

En la teoria de tos juegos se Hama estrategia optima de un jugador a aquella que al repetirse reiteradamente ef juego garan- tiza al jugador dado fa ganancia media maxima posible (o lo que

cs lo mismo, la pérdida media minima posible) Al elegir esta

estrategia, cl razonamiento bdsico esti en la suposición de que el enemigo es por lo menos tan razonable como nosotros

mismos y hace todo lo posible para evitar que consigamos nuestro

objetivo

En la teoria de los juegos todas las recomendaciones se elaboran partiendo precisamente de estos principios; por consi- guiente, en ella no se toman en cuenta los clementos de riesgo que

inevitablemente estan prescntes en cada estrategia real, ni tampoco los fallos y errores de cada uno de los jugadores

La teoria de los juegos, como cualquier otro modelo mate-

matico de un fendmeno complejo, tiene sus restricciones La mas importante de ellas consiste en que la ganancia se reduce

artificialmente a un solo nitmero En Ja mayoria de las situaciones

de conflicto prácticas al elaborar una cstrategia razonable sc tiene que poner atencién no solamente a uno sino a varios pardmetros

que son criterios del éxito de las medidas No es preciso que

la estrategia que sea optima, segin un criterio, sea también Sptima para tos otros No obstante, siendo conscientes de estas restricciones y por tanto sin atenerse ciegamente a las recomen- daciones que se obtienen con los métodos de jucgo, se pucde

a pesar de todo emplear el aparato matematico de la teoria de tos

juegos para la elaboracién si no cxactamente de la “éptima”,

por lo menos de una estrategia “preferibie”

Y SUPERIOR DEL JUEGO

Designaremos por i cl ntimero dc nuostra cstratcgia; con la

letra j c] ntimero de ta cstrategia de] adversario

Nos planteamos fa tarea de definir nucstra estrategia optima Analicemos sucesivamente cada una de nuestras estrategias comen- zando por Ay Al elegir la cstrategia A, siempre tenemos que hacer el calculo de que el adversario responder’ con una de las estrategias Bj para fa cual nuestra ganancia serd la minima Determinemos este valor de la ganancia o sea el menor entre los nimeros a), de la linea í Designémoslo a:

oy = min ay (2.1) Aqui con min (el minimo por j) se designa l mínimo de los

j

valores de cste parámetro para cualquier j-

Apuntemos los numeros 9; a la derecha de la matriz en una columna adicional

ee Đ

A | a | an

Al elegir cualquier estrategia A, debemos calcular que como

resultado de las acciones razonables del adversario no ganaremos

mds que o; Es natural que actuando con Ja mayor prudencia

y tomando en cuenta que nuestro adversario debera ser lo mas razonable posible (o sea evitando cualquier riesgo) tenemos que elegir la estrategia A; a la que le corresponde el valor maximo

del numero œ; Designemos este valor miximo por a:

= máxd,,

©, segin la formula (2.1),

% = mix min aj,

poor

La magnitud « se tlama valor inferior del juego 0, de otra forma,

la ganancia méx-min, © simplemente mix-min

El numero & se encuentra en una determinada tinea de Ja

matriz; la estrategia del jugador A que corresponde a esta linca

se le lama estrategia max-min,

Es evidente que si nos atenemos a la estrategia max-min

tendremos garantizada para cualquier conducta del adversario

una ganancia que en cualquier caso serd no menor que œ Por

eso la magnitud œ se Hama “valor inferior del juego” Este

es el minimo garantizado que- nos podemos asegurar_mantenién-

donos con la estrategia mas prudente (la “requetescgura")

Evidentemente, pueden hacerse reflexiones scmejantes a favor

de] adversario B, Nuestro adversario esta interesado cn llevar nuestra ganancia al minimo, para eso debe examinar cada estra-

tegia suya desde el punto de vista de su ganancia maxima

al cmplearla Por ello, en la parte inferior de la matriz anotamos

los valores máximos de a, de cada columna:

a la ganancia min-max se le lama su “estrategia min-max”

Ateniéndose @ su estrategia min-max mds prudente, el adver-

sario se garantiza lo siguiente: independientemente de lo que

emprendamos contra él, la swma de su pérdida en cualquier caso

no serd mayor que B

EI principio de la precaucién que les dicta a los jugadores

el empleo de las estrategias correspondientes (ta max-min y la min-

max) en la teorfa de los juegos y en sus aplicaciones es llamado con frecuencia “principio de} min-max”, Las estrategias max-min y min-max mas prudentes de los jugadores suelen denominarse con

el término general de “estrategias min-max”

En calidad de ejercicios definamos el valor inferior y superior del juego y las estrategias min-max para los ejemplos 1,2 y3 del § 1

Ejemplo 1 En el ejemplo 1 del § i se da un jucgo con la

sencilla: ateniéndose a cualquiera de sus estrategias el jugador A

puede garantizar que no perdert més de 1; lo mismo puede

también garantizar el jugador B

Ejemplo 2 En el ejemplo 2 del § t se da un juego con la siguiente matriz:

El valor inferior del juego es œ= —3; el valor superior, l

Nuestra estratepia máx-mín será 4;; cmpleándola sistemáticamente

podemos calcular con seguridad que ganaremos no menos de =3

(perderemos no más de 3) La estrategia min-max del adversario será cualquiera de las estrategias B, o B;; empleándolas sis-

temáticamente en cualquier caso puede garantizar que perderá

no mas de 4, si nosotros đesistiésemos de nuestra estratcgia máx-mín

(por ejemplo eligiésemos la estrategia Az), e! adversario nos podria

“castigar” por ello, empleando su cstrategia B; y haciendo que nuestra ganancia sea —5; lo mismo que si-el adversario desis-

tiese de su estrategia min-max podria aumentar su pérdida hasta 6

Ejemplo 3 En cl ejemplo 3 del § § se da un juego con la matriz siguiente:

El valor inferior del juego cœs œ=043; cÏ valor superior,

B207 Nuestra estrategia mds prudente (la max-min) es Ja 42,

empleando el armamento A, garantizamos que vamos a derribar

el avién con un promedio de no menos de 0,3 de todos los

casos, La estrategia de mds precaucién (la min-max) del adver-

sario cs la Bz; empleando cste avidn cl enemigo puede estar seguro de que podra ser derribado en no mis de 0,7 de todos los casos

En este ultimo ejemplo es ficil mostrar una de las importantes propiedades de las estrategias min-max, su inestabilidad Supon- gamos cl empleo por nuestra parte de Ja estrategia mas prudente (la max-min), la A, y por parte del enemigo su estrategia de

mayor precaucién (la min-max), la Bz Mientras los dos contrincan-

tes mantengan estas ‘estrategias, la ganancia media seri 0,6, mayor que el valor inferior del jucgo pero menor que el superior Ahora supongamos que el enemigo ha tenido conocimiento que empleamos la estrategia Az, inmediatamente responderd con la estrategia B, y hard que ja ganancia sea 0,3 A nuestro turno tenemos una buena respuesta a la estrategia B,, que es la estrategia A,, la que nos da una ganancia de 0,9, etc

Asi, la situación en la que los dos jugadores emplean sus

estrategias min-max es inestable y puede ser perturbada por los

datos que llegan sobre ta estrategia del adversario

No obstante, existen ciertos juegos para ios cuales las estra-

tegias min-max son cstables Esos son los que tienen su valor

inferior igual al superior:

lệnh

Si el valor inferior del juego es igual al superior, su valor

común se denomina valor puro del juego (a veces, sencillamente

el valor del juego); lo designaremos con la letra v

Veamos un ejemplo El juego de 4 x4 se da con ta matriz

Los dos resultaron igualts y por consiguicnie el juego tiene

un valor puro igual ae =B =v = 06

El elemento 0,6 encontrado en la matriz de pagos es simul-

táneamente el menor en su linea y el mayor en su columna

En geometria el punto de una ‘superficie que tiene una propiedad

semejante (el minimo de una coordenada y el maximo de otra) se_le

Hama punto de silla Este término se emplea andlogamente en

la teoria de tos juegos Al elemento de la matriz que tiene esta propiedad se le llama punto de silla de fa matriz y dicen del juego que tiene punto de sila

Al punto de silla le corresponde un par de estrategias

min-max (en este ejemplo A y B,) Estas cstrategias se denominan Gptimas y su conjunto, ta solucién del juego.

La solucién del juego tiene Ja siguiente notable propiedad:

si uno de los jugadores (por ejemplo A) se atiene a su estrategia Optima y el otro jugador (B) se desvia de cualquier manera de

su trayectoria éptima, esto munca fe puede resultar ventajoso al

jugador que ha admitido esta desviacién Tal desviacion, en et mejor

de los casos, puede dejar sin cambios la ganancia del juagador B

y en el peor, aumentarla

Por el contrario, si B se atiene a su estrategia dptima y A

se desvia de la suya, esto en ninguno de los casos puede ser ventajoso para A

Esta afirmacién puede comprobarse facilmente en el ejemplo examinado del juego con punto de silla

Vemos que en el caso de juego con punto de silla las

estrategias min-mdx gozan de una singular “cstabilidad”: si una

de las partes se mantiene en su estrategia min-max, para la otra

el desviarse de la suya puede ser sdlo desventajoso Observemos que en este caso si uno de los jugadores dispusicse del dato

de que el adversario ha elegido su estrategia dptima esto no podria cambiar la conducta propia del jugador: si no quiere actuar cn

contra de sus propios intereses debe seguir su estrategia optima

En el juego con punto de silla el parle estrategias ỏptimas

es algo semejante a una “posicién de equilibrio”: cualquier desviacién

de ta estrategia Optima lleva al jugador que se desvia a con- secuencias desfavorables que le obligan a volver a la posicién inicial

Asi que para cada juego con punto đe silla existe la solu-

cion que determina cl par de estrategias óptímas de las dos par-

tes, caracterizadas por las propiedades siguientes:

1) Si las dos partes se rigen por sus cstrategias ỏptimas,

fa ganancia media seré igual al valor puro del juego v, que es simultdncamente su valor inferior y superior

2) Si una de las partes manticne su estrategia Gptima y la otra

se desvia de la suya, ello conducird a que la parte que se

desvia sélo podra perder y en ninguno de los casos podrá aumen-

tar su ganancia

La'clase de jucgos que ticnen punto de silla presenta gran interés, tanto desde el punto de vista teỏrico como práctico

En la teoria de los juegos se demuestra, en particular, que

cada juego con informacién perfecta tiene punto de silla y en

consecuencia cada juego de este tipo tiene solucién, o sea,

que exisie un par de estrategias Sptimas de una y otra parte

que dan una ganancia media igual al valor del juego Si el jucgo

3-905

con informacién perfecta se compone sélo de jugadas personales,

al emplear cada parte su cstrategia éptima ésta siempre tendra que

acabarse en un término enteramente definido, con una ganancia exactamente igual al valor del juego

En calidad de juego con informacion perfecta citaremos el

tan conocido en el que se colocan monedas en una mesa

redonda Dos jugadores colocan alternativamente monedas iguales

en una mesa redonda, cligiendo cada vez cualquier lugar para

el centro de la moneda No se permite que una moneda tape

a otra ni siquiera parcialmente Gana cl jugador que coloque

jla wltima moneda cuando ya no haya sitio para otra más

Bs evidente que el final de este juego siempre estd deci

antemano y que existe una estrategia completamente determinada que ascgura una victoria cierta al jugador que coloque la primera moneda Precisamente la primera moneda debe colocarse en el centro

de la mesa y a continuacién contestar a cada jugada del adver-

sario con una jugada simétrica En este caso cl segundo jugador puede comportarse de cualquier manera y no cambiard el resultado predeterminado del juego Por eso este juego sdlo tiene sentido para los jugadores que no conocen la estrategia optima Una cosa ,Semejante ocurre con el ajedrez y otros juegos de informacion

* perfecta; alquiera de estos juegos tiene punto de silla y solucién

que le indica a cada uno de los jugadores su estrategia Óptỉma,

la solucién del juego de ajedrez no ha sido encontrada exclusi-

vamente porque el numero de combinaciones de las jugadas

posibles es en el ajedrez demasiado grande para que se pueda

construir Ja matriz de pagos’y encontrar cn cella el punto de silla

§ 3 ESTRATEGIAS PURAS

Y MIXTAS

SOLUCIÓN DE JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS

Entre los juegos finitos que tienen importancia práctica es relativamente raro encontrar juegos cori punto de silla Es mas

tipico el caso cuando los valores inferior y superior del juego

son diferentes -Analizando las: matrices de tales juegos Negamos

a la conclusién de que si a cada jugador se le presenta la

posibilidad de eleccién de una sola estrategia, esta elccción,

calculando que tenemos un adversario que actia razonablemente,

debe determinarse por el principio del min-max Ateniéndonos

a nuestra estrategia max-min, con cualquier conducta del adversario

hos aseguramos con anticipación una ganancia igual al valor

inferior del juego o Surge una pregunta natural: ges posible asegurarse una ganancia media mayor que @ si se emplea no una sola estrategia “pura”, sino que se alternan en forma casual varias estrategias?

Tales estrategias combinadas, que consisten en el empleo de varias estrategias puras que alternan por una ley aleatoria con una determinada relacién de frecuencias, en la teoria de los juegos se llaman estrategias mixtas

Es evidente que cada estrategia pura es un caso particular

de la mixta, en [a cual todas las estrategias menos una sc

emplean con frecuencia cero y la dada, con frecuencia 1

Resulta que al emplear no sélo estrategias puras, sino también

mixtas, se puede obtener para cada juego finito una solucién,

© sca un par de estrategias (por lo general mixtas) tales que al

ser empleadas por los dos jugadores originardn una garanciu

igual al valor del juego; ademas, con cualquier desviacién de Li

estrategia óptima por un jugador la ganancia sóio puedt cambiar

desfavorablemente para el que se desvi

La alirmación enuriciada es el contenido del Hamado teorema básico de la teoria de los juegos Este teorema lo demostré por

primera vez John Neumann en el afio 1928 Las demostra-

ciones conocidas de este teorema son relativamente complicadas,

y por lo tanto aqui sélo citaremos su enunciado

Cada juego finito tiene, por lo menos, una solucién (posible-

mente en el campo de las estrategias mixtas)

La ganancia que se obtiene como fruto de la solucién | sẽ

llama valor det juego Del teorema basico se deduce que cada juego

finito tiene un valor Es evidente que el vator del’ juego v siempre se encuentra entre los valores inferior a y superior ÿ del juego:

Efectivamente, œ es la máxima ganancia garantizada que nos

podemos asegurar empleando sólo nuestras estrategias puras Ya

que las cstrategias mixtas incluyen como caso particular también

todas las puras, entonces admiticndo las estrategias mixtas, ademas

de las puras, en cualquicr caso no empeoramos nuestras posi-

bilidades y por consiguicnte

vee Examinando cn forma andloga las posibilidades del adversario,

mostraremos que

veh

de lo que sc deduce Ja desigualdad (3.1) a demostrar

Introduciremos designaciones especiales para las estrategias

mixtas Si, por ejemplo, nuestra estrategia mixta consiste en el empleo de las estrategias A,, Az, A3, con las frecuencias py,

Pas ps (teniendo en cucnta que py + p2 + pa = 1) designaremos

esta estrategia asi:

(‘ 4 Bì

Pr pz ps Andlogamente, a la estrategia mixta det adversario la desig- ciareimos:

a=(® By =

gi q2 43

donde qi, 92) 3 Son las frecuencias con las que se mezclan jas cstrategias Bị, B;, Bạ; đị + đ; + đ; = L

Supongamos que hemos encontrado la solución đel juego quc

consiste de dos estrategias ptimas mixtas Sy, Sg En cl caso

general, no todas las cstrategias puras acccsibles a cada jugador

entran en su cstrategia optima mixta, sino sólo algunas Llama-

remos a las estrategias que entran en la estrategia optima mixta del jugador sus estrategias “utiles”

Resulta que la solucién del juego goza de una notable pro-

piedad mas: si uno, de los jugadores se atiene a su estrategia

Gptima mixta S% (S$), la ganancia queda inalterable e igual al valor del juego v, independientemente de lo gue haga el otro jugador,

a menos que él salga de fos limites de sus estrategias “titiles”

Puede, por ejemplo, emplear cualquiera de sus cstrategias

“tiles” en forma pura o también mezclarlas en cualquier pro- porción

Demostremos esta afirmacién Supongamos que exista la solu-

cién “8%, Sp del juego m xn, Concretando, consideremos que

la estrategia óptima mixta Sĩ cónsta de una mezcla de tres estrategias ““itiles” Ay, Az, 43; Sp consta respectivamente de una

estrategias By, By, By en cualesquiera proporciones, pero la ganan-

cia quedard inalterable y como antes sera igual al valor del

juego v

Demostremos esto de la manera siguiente: supongamos que

Vị, V¿, Vạ SON la§ ganancils que se obtendrán con nuestra

estrategia ky y las estrategias del adversario By, B, y By;

correspondientemente

De la definicién de cstrategia éptima se deduce que cualquier desviacion del adversario de la estrategia Sy no le puede ser conyeniente, por eso:

Si

Vi2V, V22V; V3 2BV

Veamos si fa magnitud v,, v; 6 v3 puede resultar mayor que

Vv aunque sea cn uno de los tres casos, Resulta que no Efectiyamente, €Xpresemos la ganancia v de las estratcgias optimas

Sa Sp con ayuda de las ganancias v;, V2, V3 Pucsto que en la

estrategia se emplean B,, Bz y B3 con las frecuencias

mayor que v, fo cual contradice a la condicién expucsta, Asi

se demuestra la importante propiedad de las estrategias sptimas

que vamos a utilizar ampliamente en ta solucién de los juegos

DE RESOLUCION DE JUEGOS

JUEGOS DE 2 x2 YDE2xN

Sỉ un juego de mxn no tiene punto de sila, cl cálculo

đe su solucién es, en general, un problema bastante dificil, sobre

todo cuando m y m son grandes

A veces se puede conseguir simplificar este problema si

anticipadamente se disminuye el nimero de estrategias tachando algunas excedentes

Las estrategias excedentes pucden ser a) duplicadas y b) a ciencia

cierta desfavorables Veamos, por cjemplo, un jucgo con la matriz

No es dificil convencerse de que la estrategia 4; repite

(“duplica”) exactamente la estrategia 4,, por eso se puede tachar

cualquiera de estas dos estrategias

Continuemos, comparando las lineas A, y Az miembro a miembro

vemos que cada elemento de la linea A, es menor (0 igual)

que su elemento correspondicnte dc la linea A, Es evidente

que nosotros nunca debemos cmplear Ìa cstratcgia A,; sabemos

de antemano que es desfavorabic, Tachando A; y Az daremos una forma mds simple a la matriz

Observemos ahora que para el adversario la estrategia B, es

a ciencia cierta desfavorable, tachandola llevaremos la miatriz

a su aspecto final (vea abajo) Asi que al tachar las

estrategias duplicadas y desfavorables a ciencia cierta, el juego

El proceso de reducción de la matriz siempre debe preceder

a la resolucién del juego

Los casos mas'simples de juegos finitos que siempre se pueden

resolver con procedimientos clementales son los juegos de 2 x 2

juego no tiene punto de silla, La solucién del primer caso es

evidente: es un par de cstrategias que se cruzan en el punto

de sila Observaremos, a propésito, que en et jucgo de 2x2

la presencia de punto de silla siempre corresponde a la existencia

de estrategias a ciencia cierta desfavorables, fas cuales deben ser

tachadas en el análisis previo *\,

Supongamos que no haya punto de silla y en consecuencia

el valor inferior del juego no sea igual al supcrior: œ# ÿ

Se requiere encontrar la estrategia Optima mixta del jugador A:

A, A

aa 2) Pì Pz

Esta se distingue por ia propiedad de que cualesquicra que fuesen las accioncs del adversario (sin salirse de los limites

de sus estrategias “utiles"), la ganancia serd igual al valor del

juego v En el juego de 2x 2 las dos estrategias del adversario

son “útiles” pues de otro modo el juego tendria solución compuesta

de estrategias puras (punto de silla), Esto significa que si nos

- * Se propone al lector comprobar esto en una serie

de matrices de 2 x 2.

regimos por nuestra estrategia éptina S* = (@ 2) el adverse

Pi Pr

rio puede emplear cualquiera de sus estrategias puras sin alterar

la ganancia media v De aqui resultan dos ecuaciones:

45121 + 42502 =, (4.1)

ta1Pì †*822Ð2 = Vy

de las cuales, teniendo en cucnta que py + pz =1, obtendremos

ayyPy + dal = Pr) = aps + aaa{l — pi),

Encontraremos el valor del juego v colocando el valor de p,,

Pz con cualquicra de las ccuaciones (4.1)

Si se conoce cl valor del jucgo es suficiente una ecuacién

para determinar la estrategia óptima del adversario Sz =

Ejemplo 1 Encontrar la solucién del juego 2x2, que se

examina cn el ejemplo 1 del § l, con la matriz

El juego no ticne punto de silla (a= —1; B= +1) y por

lo tanto la solucién, debe encontrarse en la regién de las estrategias mixtas

s~(“.2), ä- %9)

Pa P2 4 42,

Hay que hallar py, p2 41 Y 42

Para p, tenemos la ecuacién:

En consecuencia, la estrategia dptima para cada uno de los

jugadores consisic cn alternar de modo casual sus dos estra-

tegias puras, empleando cada una de cllas con la misma fre- cuencia; la ganancia media entonces’ sera igual a cero

La conclusién recibida ya antes estaba lo suficientemente

clara En el ejemplo siguicnte examinaremos un juego mds complicado, cuya solucién no cs tan evidente El ejemplo es un modelo clemental de los juegos conocidos con el nombre de

juegos con “engafio” o “induccién al error” En ta priictica,

cn las situaciones de conflicto sc emptean con frecuencia diversos procedimientos para inducir al adversario al error (desinformacion, mantenimiento aparente de objetivos falsos, etc) A pesar de

su sencillez, el ejemplo es bastante instructivo

Ejemplo 2 El juego consiste en lo siguiente: se tienen dos

cartas: un as y un dos El jugador A toma al azar una de ellas;

B no ve qué carta ha sacado él Si A ha cogido el as

anuncia: “Yo tengo el as” y te exige al adversario un rublo

Si A saca el dos puede o bien A) anunciar “yo tengo el as”

y exigirle al adversario 1 rublo, o bien A3) reconocer que tiene el dos y pagarle al adversario 1 rublo

E! adversario, cuando le pagan voluntariamente un rublo, sólo puede aceptarlo Ahora bien, si le exigen 1 rublo cl puede

o B,) crecr que cl jugador A tiene el as y darle 1 rublo,

o B,) exigir que le enseñc la carta para comprobar que la

afirmacién de A es justa, Si resulta que verdaderamente A tiene

el as B le debe de pagar 2 rublos Si resulta que 4 le engaña

y tiene el dos entonces paga a B 2 rublos

Hay que analizar el juego y encontrar ta estrategia optima

de cada uno de los jugadores

Resolucion El juego tiene una estructura relativamente compli-

cada; ésta se compone de una jugada de azar obligatoria

(el jugador 4 debe elegir una de las dos cartas) y de dos jugadas personales que, sin cmbargo, no tienen que realizarse obligatoriamente, En efecto, si A sacd el as, no hizo ninguna jugada personal: a él se le presenta sdlo una posibilidad, exigir

1 rublo, que es lo que hace En este caso, la jugada personal,

crecr o no creer (0 sea pagar o no pagar | rublo) se le transmite

al jugador B Si A, como resultado de su primera jugada de azar,

obtiene el dos, se ie presenta una jugada personal: pagar 1 rublo

© tratar de cngaðar al adversario y exigirle 1 rublo (digamos:

“no engañar" o “engafar") Si A elige lo primero, a # no le

queda més que recibir | rublo; si A escoge to segundo, al

jugador B se Je presenta una jugada personal: ercerle o no

creerle (o sca pagar a A 1 rublo o exigirle la comprobacion)

La estrategia de cada uno de los jugadores consta de reglas que indican lo que debe de hacer cl jugador cuando se le presenta una jugada personal

Es evidente que A tienc sdlo dos estrategias:

A, — engaiiar, Az — no engaijar

B también tiene dos estrategias:

B, ~ creerle, B, — no creerle

Construyamos Ia matriz del juego Para eso calculemos la

ganancia media de cada combinacidn de cstrategias

1 A,B, (A engatia, B le cree)

a

2

jugada personal; exige 1 rublo y el jugador B le cree: la

ganancia de A en rublos es igual a 1

Si A saca el as (1 probabilidad es ) entonces ya no tiene

Sỉ A saca et dos [la probabilidad de eso también es

de acuerdo con su estrategia engaiia y exige 1 rublo; B le

cree y paga: la ganancia de A también es igual a 1

c

2 A,B, (A engafia, B no le éree)

Si A saca el as no tiene jugada personal; él cxige 1 rublo;

Bde acuerdo con su estrategia no le cree y como resultado

de la comprobacién paga 2 rublos (la ganancia de A es

igual a +2).

Si A saca ef dos de acuerdo con su estrategia exige 1 rublo; B de acuerdo con la suya no le cree; en resultado 4 paga 2 rublos (la ganancia de A es igual a —2), La ganancia

media serd igual a:

= (4 4 $-(-=2)=0

3 AzB, (A no engatia, B le cree)

Si A saca el as, exige 1 rublo; B de acuerdo con su estrategia paga; la ganancia de A es igual a +1 Si A saca

el dos, de acuerdo con su cstrategia paga 1 rublo; a B le

queda sdlo el recibirlo (Ia ganancia de 4 es igual a —1)

La ganancia media es igual a:

ty =D EF (90

4, AB, (A no engatia, B no le cree)

Si A saca ef as, exige 1 rublo; B comprueba y como resul-

tado de la comprobacién paga 2 rublos (la ganancia es igual

a +2)

Si A saca el dos, paga f rublo; a B sdlo le queda aceptarlo

(la ganancia es igual a —1)

La ganancia media es igual a:

‡

8y =2) +11) =:

Construimos la matriz del juego

La matriz no tiene punto de silla El valor inferior del juego

es x=0, el valor superior B= Encontremos Ia solucién

del juego en el terreno de las estrategias mixtas.- Empteando

© sea, que el jugador A debe en un tercio de todos los

casos emplear su primera cstrategia (engafiar) y en dos tercios,

la segunda (no engafiar) Asi ganard por término medio el valor

de] juego

yoy +

El valor v= + atestigu que en estas condiciones el jucgo

es ventajoso para A y es desfavorable para B Empleando su estrategia optima, A siempre pucde asegurarse una ganancia media

positiva

Observaremos que si A emplease su estrategia mds prudente (la max-min) tendria una ganancia media igual a cero (en este

caso ambas estrategias, A; y Az, son max-min) De este modo

el empleo de una estrategia mixta le da a 4 la posibiidad

de sacar provecho de su yentaja sobre B, fa que surgié con las

reglas de] juego dadas

Decterminemos la estrategia óptima dc B Tenemos:

comprobarle y en dos tercios, le debe comprobar Entonces él

en cada juego, por término medio, perderd + Sỉ éL empleas

su estrategia mín-máx pura Ö; (no crecr), en cada juego perderia

en promedio L,

A la resolucién de un juego 2x2 se le puede dar una sencilla interpretacién geométrica, Supongamos que hay un juego

de 2 x 2 con la matriz

33

Tomemos una seccién del eje de abscisas de longitud 1

(fig 4.1) El extremo izquierdo de ta seccién (el punto con la

abscisa x = 0) representard la estrategia A,; el extremo derecho de

la seccién (x = 1), la estrategia Az, Tracemos por los puntos A,

y Az las perpendiculares al eje de las abscisas: el oje I-I y cl eje 11-11

Marcaremos en el eje I-f las ganancias con la estrategia Ay,

en el cjc II-TI, las ganancias con la estralegia 4; Examinemos

la cstrategia dcl adversario B,; ésta da dos puntos en los ejes I-f y H-IZ con las coordenadas đ¡; y a3, respectivamente

Tracemos por estos puntos la recta B,B,; Es evidente que

si para la cstratcgia B, del adversario vamos a emplear la

estrategia mixta Sy = Ai Ad entonces nuestra ganancia media,

Es evidente que exactamente con este mismo procedimiento

se puede construir la estrategia By (fig 4.2)

Tenemos que encontrar la cstrategia Optima 5%, 0 sca aquella para !a cual la ganancia minima (con cualquier conducta de B) llegue

al maximo, Para eso construiremos el limite inferior de la ganancia

con Jas estrategias By, Bz o sea la linea quebrada B,NB;

marcada con trazo grucso en la fig 4.2 Este limite inferior

expresará la ganancia minima del jugador A con cualquicra

de sus estrategias mixtas, el punto N en el que esta ganancia

minima alcanza el maximo es el que determina la soluciỏn

y el valor del juego No es dificil convencerse de que la ordenada

del punto N es el valor del juego v y su abscisa es igual

En nuestro caso, la solucién del juego se determiné con el punto

đe ìntersección de las estrategias Sin embargo, no siempre va a ser

asi; en la fig 4.3 se muestra un caso en cl cual, a pesar de que la

interseccién existe, la solución da a los dos jugadores estrategias

puras (4; y B;), y cl valor del jucgo v =a)

La matriz tiene en este caso punto de silla y la estrategia A,

es a ciencia cierta desfavorable, puesto que a cualquier estrategia

del adversario ella da menor ganancia que A}

En caso de que el adversario tenga una estrategia a ciencia cierta desfavorable, la interpretacion geométrica toma el aspecto

representado en la fig 4.4,

En este caso el limite inferior de la ganancia coincide con

Ja estrategia B,; para-el adverSario la estrategia B, es a ciencia cierta desfavorable,

La interpretación geométrica da también la posibilidad de representar con claridad los valores inferior y superior del jucgo

(fig 4.5) Para ilustrarlo, construiremos la interpretación geométrica

de los juegos ‘de 2 x 2 que se examinaron en Jos ejemplos 1 y 2

(fig 4.6 y 4.7)

‘Nos hemos convencido de que todos los juegos de 2x2

pueden ser resuelios con procedimicntos elementales De manera

completamente andloga puede ser résuelto cualquier juego de 2x n en el que tengamos sdlo dos estrategias y el adversario un número cualquiera

FIG 4.5

Supongamos que tenemos dos estrategias: A,, Az y cl adversario, n

estrategias: B,, Bz, , By Esti dada la matriz || a„ || formada por

dos Iineas y n columnas Andlogamente al caso de las dos estrategias

daremos al problema una interpretacién geométrica; las n estrategias del adversario se representarán con n rectas (fig 4.8) Construimos

el limite inferior de Ja ganancia (la linea quebrada B,MNB,)

y hallamos en ella el punto N con la ordenada mixima Este punto

es igual a la frecuencia p, de la estrategia Az

En este caso, la estrategia Gptima de! adyersario sé componc

dc la mezcla de dos cstrategias “utiles”: Bz y By que se cruzan en cl

punto N La estrategia By es a ciencia cierta desfavorable y la

estrategia_B, no es ventajosa para ef caso de la estrategia

optima S% Si A se rige por su estrategia Optima la ganancia

no cambiará, independientemente de cual de sus estrategias

“útiles” emplee B; no obstante puede variar si B pasa a las

estrategias B, o B3

En la teoria de los juegos se demuestra que en cualquier

juego finito de m x x existe una solucién en la que ef numero de estrategias “utiles” de una y otra parte no supera al menor de

los dos números my n De esto se deduce en particular que en el

juego de 2 x m siempre existe una solucién en la que una y otra parte pueden haber no mas de dos estrategias “tiles”,

Empleando Ja interpretacidn gcométrica se puede dar un

procedimiento sencillo de solucién para cualquier juego de 2 x m

En el dibujo se encuentran directamente un par de estrategias “utiles”

del adversario B, y By que se cruzan en el punto N (si en el punto N

se cruzan mids de dos estrategias tomamos dos cualesquicra de

ellas) Sabemos que si el jugador A se atiene a su cstrategia dptima,

la ganancia no depende de la proporcién con la que B emplee sus

estrategias “iitiles”, en consecuencia,

Pads; + Play = Vy Pi8u + P28, = V

a partir de estas ecuaciones y đe la condición p, = 1 — p, encontra-

remos p;, pz y el vator del juego v.