Bài Tập Đstt.pdf

CHƯƠNG 1 SỐ PHỨC 1 Viết dạng lượng giác của các số phức sau a

CHƯƠNG 1 SỐ PHỨC

1 Viết dạng lượng giác của các số phức sau:

a 𝑧 = −2 − 2𝑖

b 𝑧 = √3 − 𝑖

c 𝑧 = −1 + √3𝑖

d 𝑧 = −√3 − 𝑖

2 Tính:

a 𝑧 = (√3 + 𝑖)7(1 − 𝑖)

b 𝑧 = (1−𝑖√3)

4

1+𝑖

c 𝑧 = √(1+𝑖)15

(√3−𝑖)12

3

d 𝑧 = √(√3 − 𝑖)4 9(2𝑖 + 2)5

3 Tìm và biểu diễn hình học tập hợp số phức:

a (|𝑧 − 𝑖| − 3)(𝑧 + 𝑧̅) > 0

b 𝑅𝑒(𝑧2− 𝑧̅) = 2 − 2 (𝐼𝑚(𝑧))2

c |𝑧 − 2| < |1 − 2𝑧̅|

d |𝑧 − 1| ≥ |1 − 𝑧̅|

4 Giải pt phức:

a 𝑧3− 𝑖 + √3 = 0

b 2𝑧𝑧̅ + (2 + 𝑖)𝑧 − (2 − 𝑖)𝑧̅ = 2

c 𝑧̅5 = 1

𝑧

d 𝑧8+ 𝑧4+ 1 = 0

BTVN

5 Tính:

a 𝑧 = √1+𝑖

√3+𝑖

3

√3+𝑖

6 a Giải phương trình 𝑧2− 2𝑧̅ + 1 = 0

b Tìm và biểu diễn hình học số phức thỏa mãn

𝑅𝑒(𝑧 𝑧̅ − 4𝑧̅) + 6 𝐼𝑚(𝑧) = 12

CHƯƠNG 2 MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PTTT

BÀI 1 MA TRẬN

1 Tìm ma trận 𝐴 thỏa mãn:

a (2𝐴𝑇 − 3 ( 1 2

−1 1))

𝑇

= ( 2 3

−1 2)

b 3 𝐴𝑇 + 2 (1 0

0 2) = (

8 0

3 1)

2 Cho các ma trận

𝐴 = ( 1 0 2

3 2 −1) , 𝐵 = (

2 −1

) , 𝐶 = (2 1

1 3)

a) Tính (−3𝐴) + 𝐵𝑇, 𝐵 − 2 𝐴𝑇

b) Tính 𝐴 𝐵 và 𝐵 𝐴

3 Tìm ma trận 𝑋 thỏa mãn ( 1 2

−3 4) (

2 1) + 2𝑋 = (

1 −2

5 7 )

4 Thực hiện các phép tính

a)(1 1

1 1)

6 b) (3 1

1 3)

5

BÀI 2 ĐỊNH THỨC

1 Tính các định thức sau:

a |

4 −1 3

2 −2 5

3 −1 6

)

2 Tìm 𝑥 biết |

| = 40

3 Tính định thức sau : det 𝐴 = |

|

4 Tính det (

1 5 7 2

2 6 8 3

3 0 9 0

4 0 1 0

)

5 Tìm 𝑥 thỏa mãn đẳng thức sau: |

| = 0

6 Tìm 𝑥 biết |

1 4 3 2

1

𝑥 + 9 8 6

1 9 8 5

1 6 5 4

| = 4

7 Cho 𝐴 = (1 0 1

0 1 0

0

1) và 𝐵 = (

1 0 1 1

0 1 2 1 ) Đặt 𝐶 = 𝐴 𝐵 Hãy tính det(𝐶2)

8 Cho 𝐴 = (1 0 1

0 1 0

0

1) và 𝐵 = (

1 0 1 1

0 1 2 1 ) Đặt 𝐷 = 𝐵 𝐴 Hãy tính det(2𝐷)

9 Tìm 𝑥 biết |

1 4 3 2

1 5 4 3

1

𝑥 + 11 10 5

1 8 7 4

| = 2

10 Cho ma trận 𝐴3×3 thỏa mãn |𝐴| = 3 Tính |𝐴𝑇𝐴|, |𝐴3| và |3𝐴|

11 Cho 𝐴 = (

) Tính det 𝐴 , det(𝐴𝐴𝑇) , det 𝐴−1

BTVN

1 Tìm 𝑥 biết |

| = 1

2 Cho 𝐴 = (2 9

1 4) , 𝐵 = (

1 −1

0 1 ) Tìm 𝐴𝐵𝐴

3 Tìm 𝑥 sao cho det 𝐴 = 0 với 𝐴 = (

)

4 Tính det 𝐴 = |

1 1 1 1

2 3 4 5

4 9 16 25

8 27 64 125

|

5 Tìm 𝑥: |

1 3 3 4

2 7 6 8

1 1 4 𝑥

1 2 5 7

| = 1

BÀI 3 HẠNG MA TRẬN

1 Tìm hạng của ma trận 𝐴 = (

)

2 Tìm hạng của ma trận sau: 𝐵 = (

1 3 1 2

2 6 2 4

− 3 − 5 7 6

− 2 − 4 − 4 − 3

1 3 1 3 )

3 Tìm hạng của ma trận sau: 𝐴 =

(

4 Tìm hạng của ma trận sau: 𝐴 = (

)

5 Biện luận hạng của ma trận sau theo 𝑚: 𝐴 = (

1 2 3 4

1 𝑚 3 4

1 2 𝑚 4

1 2 3 𝑚 )

6 Biện luận hạng của ma trận sau: 𝐴 = (

1 2 3 4

1

𝑚 + 2 3 4

1 2

𝑚 + 3 4

1 2 3

𝑚 + 4

)

7 Biện luận hạng 𝐵 = (

−1 𝑚 1 1

2 − 1 𝑚 2

1 1 0 2

− 1 − 1 1 − 1

1 − 1 1 1

)

BTVN

8 Tìm hạng của ma trận sau: 𝐴 = (

−1 −1 4 −3

)

9 Biện luận hạng theo m: 𝐴 = (

)

BÀI 4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

1 Nếu det 𝐴 = 2 và det 𝐵 = 5 Tính det(𝐴3𝐵−1𝐴𝑇𝐵2)

2 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 𝐴 = (

1 4 −1

)

3 Tìm ma trận nghịch đảo của 𝐴 = (

1 1 1 1

0 2 2 2

0 0 1 5

0 0 0 4 )

4 Tìm ma trận nghịch đảo của A = (

1 1 1 1

0 2 2 2

0 0 3 3

0 0 0 4 )

5 Cho ma trận 𝐴 = (

1 1 1

𝑎 − 1

1 4 7 12

1

𝑎 + 1 3 4

1 2 3 4 ) Tìm 𝑎 để A khả nghịch

6 Tìm 𝑐 để ma trận 𝐴 = (

) khả nghịch

7 Giải phương trình (

) 𝑋 = (

−4 1

−1 1

)

8 Tìm ma trận 𝑋 thỏa mãn (2 1

3 2) 𝑋 (

5 −3) = (

3 −1)

BTVN

9 Tìm 𝑐 để ma trận 𝐴 = (

) khả nghịch?

10 Tìm ma trận nghịch đảo của 𝐴 = (

2 1 −1

)

11 Tìm ma trận 𝑋 biết (

) 𝑋 = (

−1 −2

)

BÀI 5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1 Giải hệ sau: {

2𝑥1+ 𝑥2 − 𝑥3+ 3𝑥4 = 7

𝑥1+ 3𝑥2 + 𝑥3+ 5𝑥4 = 8

𝑥1+ 𝑥2+ 5𝑥3− 2𝑥4 = −4 2𝑥1 + 3𝑥2− 4𝑥3+ 6𝑥4 = 11

2 Giải và biện luận theo 𝑚 các hệ phương trình

𝑎) {

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1

𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5

−𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2

𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 𝑚

𝑏) {

2𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑧 = 1

𝑥 + 2𝑚𝑦 + 𝑧 = 𝑚

𝑥 + 𝑚𝑦 + 2𝑧 = 1

𝑐) {

𝑚𝑥 + 𝑦 + 𝑡 = 𝑚 + 1

𝑥 + 𝑚𝑦 + 𝑧 = 𝑚 − 1

𝑦 + 𝑚𝑧 + 𝑡 = 𝑚 + 1

𝑥 + 𝑧 + 𝑚𝑡 = 𝑚 − 1

3 Tìm điều kiện của 𝑎 và 𝑏 để hệ sau có vô số nghiệm {

𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2 3𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 3𝑏 2𝑥 + 𝑎𝑦 − 𝑧 = 𝑏

4 Tìm 𝑚 để phương trình ma trận sau vô số nghiệm (

2 7 2𝑚 + 1

) 𝑋 = (

−1 2 1 )

5 Biện luận số nghiệm của hệ {

(2 − 𝑎)𝑥1 + 𝑥2+ 𝑥3 = 0

𝑥1+ (2 − 𝑎)𝑥2+ 𝑥3 = 0

𝑥1+ 𝑥2+ (2 − 𝑎)𝑥3 = 0

6 Tìm 𝑎 để hệ sau có nghiệm không tầm thường {

𝑎𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 3𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0

BTVN

7 Giải hệ sau : {

−𝑥1+ 2𝑥2− 8𝑥4 = −7

−𝑥2+ 3𝑥4 = 2

𝑥2+ 2𝑥4 = 3

𝑥1− 𝑥2 + 5𝑥3+ 𝑥4 = 6

8 Tìm 𝑎 để hệ sau có nghiệm duy nhất {

𝑥 + 2𝑎𝑦 = 8 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −5

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1

9 Tìm 𝑎 để hệ sau có nghiệm không tầm thường {

𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 0 2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 0 4𝑥 + 𝑎𝑦 − 8𝑧 = 0

CHƯƠNG 3 KHÔNG GIAN VÉC TƠ BÀI 2 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

1 Xét sự phụ thuộc và độc lập tuyến tính của hệ sau:

a 𝑆 = {(1,2,3); (2,0, −2); (4,4,4)} ⊂ 𝑅3

b 𝑆 = {(1,0,1,0); (2,0,1,2); (2,0,2,4)}

c {𝑥2− 1, 𝑥2+ 1, 4𝑥, 2𝑥 − 3} trong 𝑃2(𝑥)

2 Tìm m để hệ sau phụ thuộc tuyến tính trong 𝑅3

𝑎 = (1, −2,5); 𝑏 = (2, 𝑚 − 3,1); 𝑐 = (2, 𝑚, 0)

3 Tìm điều kiện của 𝑎 để các ma trận sau phụ thuộc tuyến tính trong 𝑀2

𝐴 = (1 2

4 2) ; 𝐵 = (

2 5

3 1) ; 𝐶 = (

3 2

2 3) ; 𝐷 = (

𝑎 2)

BTVN

4 Ktra S độc lập hay phụ thuộc tuyến tính:

𝑆 = {1 + 3𝑥; 4 + 𝑥 + 2𝑥2; −2 + 5𝑥 − 2𝑥2} ⊂ 𝑃2

5 Tìm 𝑡 để hệ véc tơ 𝑆 = {𝑢1 = (1, −2,4); 𝑢2 = (3, −5,1); 𝑢3 = (4, −2, 𝑡)} độc lập tuyến tính

BÀI 3 CƠ SỞ CỦA KGVT

1 Chỉ ra rằng các hệ sau không là cơ sở của không gian tương ứng

a {(1,2,3); (2,1,0); (4,5,6)} trong 𝑅3

b {(1 3

0 2) ; (

1 2

0 0) ; (

2 5

0 3) ; (

0 0

0 3)} trong 𝑀2

c {𝑥2− 2𝑥; 𝑥3+ 8; 𝑥3− 𝑥2; 𝑥2− 4} trong 𝑃3(𝑥)

d 𝑆 = {(6,4,1), (3, −5,1), (8,13,16), (0,6,9)} trong 𝑅3

e 𝑆 = {(1 0

0 0) ; (

0 2

1 0) ; (

1 −1

0 1 ) ; (

2 1

1 1)} trong 𝑀2

2 Giả sử hệ (𝑒1, 𝑒2, 𝑒3) là cơ sở của không gian véc tơ 𝑉 Cho hệ véc tơ

𝑥1 = 𝑒1+ 2𝑒2− 𝑒3; 𝑥2 = 2𝑒1+ 5𝑒2− 𝑒3; 𝑥3 = −3𝑒1− 5𝑒2+ 7𝑒3

Hệ (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) có là cơ sở của không gian véc tơ 𝑉 không? Tại sao?

3 Trong không gian 𝑅3 cho hệ véc tơ 𝑆 = {(1,3,2); (0,1,2); (0,2,1)}

a Chứng minh 𝑆 là cơ sở của 𝑅3

b Tìm tọa độ của véc tơ 𝑥 = (1,6,5) theo 𝑆

4 Trong không gian 𝑃2(𝑥), cho hệ 𝑆 = {1 + 4𝑥 + 4𝑥2, 𝑥 − 𝑥2, 2 + 8𝑥 + 3𝑥2}

a Chứng minh 𝑆 là cơ sở của 𝑃2(𝑥)

b Tìm tọa độ của đa thức 𝑝 = 3 + 13𝑥 + 3𝑥2 theo 𝑆

5 Tìm ma trận chuyển từ cơ sở 𝑆 sang 𝑆′ và ma trận chuyển từ 𝑆′ sang 𝑆

a) 𝑆 = {(1,0), (0,1)}; 𝑆′ = {(2,4), (1,3)}

b) 𝑆 = {(1,0,2), (0,1,3), (1,1,1)}; 𝑆′ = {(2,1,1), (1,0,0), (0,2,1)

BTVN

6 Ktra S có là cơ sở của 𝑃2 không: 𝑆 = {1 + 4𝑥 + 2𝑥2; 𝑥 − 𝑥2; 2 + 8𝑥 + 3𝑥2}

7 Trong không gian 𝑅2, cho hai cơ sở

𝑆 = {𝑢1(1,1); 𝑢2(1,0)}, 𝑆′ = {𝑣1(1,4); 𝑣2(2,3)}

Tìm ma trận chuyển cơ sở từ 𝑆 sang 𝑆′

8 Tìm tọa độ của 𝑥 = (2; −1; 3) theo cơ sở 𝑆 = {𝑎(1; 0; 0), 𝑏(2; 3; 0), 𝑐(1; 4; 8)}

BÀI 4 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON

1 Tập nào trong các tập sau là không gian con:

a 𝐻 = {(𝑎 −1

1 𝑏 ) ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅} ⊂ 𝑀2×2

b 𝐹 = {(𝑎 𝑏

𝑏 𝑐) ; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅} ⊂ 𝑀2×2

c 𝐼 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + (𝑎 + 𝑏)𝑥2|𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅} ⊂ 𝑃2(𝑥)

d 𝐾 = { 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2|𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 2} ⊂ 𝑃2(𝑥)

2 Cho không gian con 𝑊 = {𝑃(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2|𝑎 − 𝑏 − 2𝑐 = 0} Tìm cơ sở

và số chiều của 𝑊

3 Cho không gian con 𝑊 = {𝑚 = ( 𝑎 2𝑎 + 3𝑏

3𝑏 −𝑏 ) ; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅} Tìm cơ sở và số chiều 𝑊

4 Cho không gian con 𝑊 = {(2𝑎 − 𝑏; 𝑎; 𝑎 + 5𝑏)} ⊂ 𝑅3 Tìm cơ sở và số chiều của 𝑊

5 Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi

a {(1, 3, 1); (2, 5, 1); (1, 1, 1)} trong 𝑅3

b 𝑢1 = (−2, −1, −3); 𝑢2 = (1, 2, 3); 𝑢3 = (−1, 1, 0) trong 𝑅3

c 𝑝1 = 1 + 𝑥; 𝑝2 = 1 − 2𝑥 + 3𝑥2; 𝑝3 = 3 − 3𝑥 + 6𝑥2 trong 𝑃2(𝑥)

d 𝑚1 = (1 2

1 3) ; 𝑚2 = (

0 1

2 1) ; 𝑚3 = (

1 3

3 4) ; 𝑚4 = (

1 4

5 5) trong 𝑀2

6 Tìm số chiều và một cơ sở cho không gian nghiệm hệ phương trình

a {3𝑥1 + 𝑥2+ 𝑥3+ 𝑥4 = 0 5𝑥1 − 𝑥2+ 𝑥3+ 𝑥4 = 0

b {

3𝑥 + 𝑦 + 9𝑧 = 0

𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = 0 2𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 0

c (

−1

−2 4

−1

1 1 1 4

0 −1 2 0

2 0 −3 −1 ) (

𝑥1

𝑥2

𝑥3

𝑥4 ) = (

0 0 0 0 )

BTVN

7 Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con

𝑊 = {𝑝(𝑥) = (2𝑎 − 𝑏) + (𝑎 + 3𝑏)𝑥 − 𝑎𝑥2} ⊂ 𝑃2

8 Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con sinh bởi

𝑢1 = (2, 1, −3); 𝑢2 = (1, 2, 3); 𝑢3 = (−1, 1, 0) trong 𝑅3

9 Gọi 𝑀 là tập hợp các ma trận 𝑋 thỏa mãn phương trình

(

3 2 2

2 1 3

3 2 2

4 3 1 ) 𝑋 = (

0 0 0 ) Tìm số chiều và một cơ sở của 𝑀

CHƯƠNG 4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH BÀI 1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1 Kiểm tra các ánh xạ sau có phải là tuyến tính không?

a 𝑓 : 𝑅2 → 𝑅2; 𝑓(𝑎, 𝑏) = (𝑎 + 2𝑏, 2𝑎 − 5𝑏)

b 𝑓 : 𝑅3 → 𝑅3; 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 4 + 𝑧)

c 𝑓: 𝑃3 → 𝑃2, 𝑓(𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3) = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2

BÀI 2 MA TRẬN BIỂU DIỄN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

2 Viết ma trận chính tắc của các ánh xạ tuyến tính sau:

a 𝑓: 𝑃2 → 𝑅3, 𝑓(𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐, 2𝑎 − 𝑏, 3𝑏 + 5𝑐)

b 𝑓: 𝑅2 → 𝑀2×2, 𝑓(𝑎, 𝑏) = (2𝑎 + 3𝑏 𝑎 − 6𝑏

c 𝑓: 𝑀2×2 → 𝑃1, 𝑓 (𝑎 𝑏

𝑐 𝑑) = (𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 + 3𝑑) + (2𝑎 − 3𝑏)𝑥

d 𝑓: 𝑅4 → 𝑅3, 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) = (2𝑎 − 5𝑏 + 6𝑐 − 𝑑, 3𝑐, 5𝑐 + 6𝑑)

3 Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑅2 → 𝑅2; 𝑓(𝑎, 𝑏) = (𝑎 + 2𝑏, 2𝑎 − 5𝑏)

a) Viết ma trận chính tắc của ánh xạ 𝑓

b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở 𝑆 ={𝑢 = (2,3) và 𝑣 = (0,1)} c) Tìm ma trận của 𝑓 trong cơ sở 𝑆

4 Cho ánh xạ 𝑓: 𝑃3 → 𝑃2, 𝑓(𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2+ 𝑎3𝑥3) = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 Biết hệ 𝑆 = {𝑒1 = 1, 𝑒2 = 1 + 𝑥, 𝑒3 = 1 + 𝑥 + 𝑥2, 𝑒4 = 𝑥2+ 𝑥3} là cơ sở của

𝑃3(𝑥) Tìm ma trận của ánh xạ 𝑓 theo cặp: cơ sở 𝑆 và cơ sở chính tắc của 𝑃3(𝑥)

5 Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑅2 → 𝑅2; 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦, 4𝑥 − 2𝑦)

Tìm ma trận của 𝑓 theo cơ sở gồm 𝑎1 = (1,1); 𝑎2 = (1,2)

6 Cho ánh xạ 𝑓 : 𝑅3 → 𝑅3; 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 𝑦, 4𝑧)

a Tìm ma trận chính tắc của 𝑓

b Tìm ma trận của 𝑓 theo cơ sở gồm

𝑢1 = (0,1,1); 𝑢2 = (1,0,1); 𝑢3 = (1,1,0)

4.19 Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑅3 → 𝑅3 thỏa mãn

𝑓(1,1,1) = (1,1,1); 𝑓(1,2,0) = (3,4,1); 𝑓(3,0,0) = (2,1,0) a) Tìm ma trận chính tắc

b) Tính 𝑓(4,5,6)

4.13 Trong 𝑅3 cho hệ cơ sở gồm 𝑎1 = (1, −2,0); 𝑎2 = (1, −3,0); 𝑎3 = (0,0,1) Ánh xạ

𝑓 trong 𝑅3 thỏa mãn

𝑓(𝑎1) = (1,0,1); 𝑓(𝑎2) = (1,1,2); 𝑓(𝑎3) = (2,1,3)

Tìm ma trận chính tắc của 𝑓

4.3 Cho ánh xạ 𝑓: 𝑃2(𝑥) → 𝑃2(𝑥) có ma trận theo cơ sở 𝑆 = {2 + 3𝑥, 2 − 3𝑥, 𝑥 2 } là

𝐴 = (

) a) Tìm ma trận của 𝑓 theo cơ sở 𝑆′ = {1, 𝑥, 𝑥2}

b) Tính 𝑓(2 + 9𝑥 + 𝑥2)

4.7 Cho 𝑆 = {𝑒1 = (1,1,1); 𝑒2 = (1,1,0); 𝑒3 = (1,0,0)} là cơ sở của 𝑅3 Ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑅3 → 𝑅3 có ma trận theo cơ sở 𝑆 là

𝐴 = (

) a) Tìm biểu thức của 𝑓

b) Gọi 𝐵 là ma trận của 𝑓 theo cơ sở 𝑆′ = {𝑣1 = (1,2,3); 𝑣2 = (4,5,0); 𝑣3 = (1,0,0)} Tính det(𝐵)

BÀI 3 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1 Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑅2 → 𝑅3; 𝑓(𝑎, 𝑏) = (𝑎 + 2𝑏, 𝑎 − 𝑏, 𝑎 + 𝑏)

Viết ma trận chính tắc Tìm 𝐾𝑒𝑟(𝑓) và 𝐼𝑚(𝑓)

2 Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: 𝑀2 → 𝑀2 xác định bởi

𝑓 (𝑎 𝑏

𝑐 𝑑) = (

−𝑎 + 4𝑏 𝑎 − 𝑏

−𝑐 + 𝑑 𝑐 − 𝑑) Viết ma trận chính tắc Tìm 𝐾𝑒𝑟 (𝑓) và 𝐼𝑚(𝑓)

3 Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑃1(𝑥) → 𝑃2(𝑥) xác định bởi

𝑓(𝑎 + 𝑏𝑥) = (𝑎 + 2𝑏) + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + (𝑎 − 𝑏)𝑥2 Viết ma trận chính tắc Tìm 𝐾𝑒𝑟(𝑓) và 𝐼𝑚(𝑓)

4 Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: 𝑅3 → 𝑅4; 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑧, 𝑦 − 𝑥, 𝑧 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧) Viết ma trận chính tắc Tìm 𝐾𝑒𝑟(𝑓) và 𝐼𝑚(𝑓)

BTVN

5 Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑅2 → 𝑅2; 𝑓(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 − 𝑦, 4𝑥 − 2𝑦)

Tìm 𝐾𝑒𝑟(𝑓) và 𝐼𝑚(𝑓)

6 Ánh xạ tuyến tính 𝑓 : 𝑅4 → 𝑅5 có ma trận chính tắc là

𝐴 = (

1 3 0 5 2

1 2 1 4 1

1 1 2 3 0

1 −3 6 −1 −4) Tìm 𝐾𝑒𝑟(𝑓) và 𝐼𝑚(𝑓)

BÀI 4 GIÁ TRỊ RIÊNG, VÉC TƠ RIÊNG

1 Tìm giá trị riêng của các ma trận sau

𝑎) 𝐴 = (

−2 −2 −1

) 𝑏) 𝐵 = (

1 1 0 0

0 2 0 0

0 0 3 1

0 0 1 3 ) 𝑐) 𝐷 = (

1 0 1 1

0 1 0 0

0 5 2 0

0 −10 0 3 )

2 Ma trận sau có chéo hóa được không

𝑎) 𝐴 = (

) 𝑏) 𝐷 = (

2 4 1 1

1 2 1 1

0 0 2 1

0 0 1 2 )

3 Chéo hóa ma trận sau

𝑎) 𝐴 = (

−1 3 −1

−3 5 −1

) 𝑏) 𝐴 = (

1 1 0 0

4 1 0 0

1 1 3 1

1 1 1 3 )

4 Chứng minh rằng ma trận A không đồng dạng với ma trận B nếu

𝑎) 𝐴 = (

) và 𝐵 = (

0 −2 −2

)

𝑏) 𝐴 = (

) và 𝐵 = (

0 −2 −2

)

5 Cho 𝐴 = (1 1

0 2) và 𝐵 = (

) a) Hãy chéo hóa ma trận 𝐴 và 𝐵

b) Tính 𝐴2011 và 𝐵2012

6 Tìm 𝐴𝑛 trong các trường hợp sau đây 𝐴 = (

0 0 1

0 1 0

1 0 0

)

BTVN

7 Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của các ma trận sau 𝐶 = (

0 −1 1

)

8 Ma trận sau có chéo hóa được không 𝐵 = (

)

9 Chéo hóa ma trận sau 𝐴 = (

)