(Chuyên đề) cực trị của hàm số

Công thức tính nhanh: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, của đồ thị hàm số 1... Biết rằng tồn tại hai số thực m , 1 m của tham số m để hai điểm cực trị của 2 C và hai giao

BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x= ( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b và điểm x0∈( ; )a b +) Nếu tồn tại số h > sao cho 0 f x( )< f x( )0 với mọi x x h x h∈( 0− ; 0+ ) và x x≠ 0 thì ta nói hàm số y f x= ( ) đạt cực đại tại x0

+) Nếu tồn tại số h > sao cho 0 f x( )> f x( )0 với mọi x x h x h∈( 0− ; 0+ ) và x x≠ 0 thì ta nói hàm số y f x= ( ) đạt cực tiểu tại x0

* Chú ý

+) Nếu hàm sốy f x= ( ) đạt cực đại tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số; f x( )0

được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là f CÑ(f CT), còn điểm M x f x( ; ( ))0 0 được gọi là

điểm cực đại của đồ thị hàm số

+) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại còn gọi là cực

đại và được gọi chung là cực trị của hàm số

4 Định lí 3: Giả sử hàm số y f x= ( ) có đạo hàm cấp hai trong khoảng K =(x h x h0− ; 0+ với ) h > 0

Khi đó:

+) Nếu f x′( )0 =0,f x′′( )0 >0 thì x0 là điểm cực tiểu

+) Nếu f x′( )0 =0,f x′′( )0 <0 thì x là điểm cực đại 0

+) Nếu f x′( )0 =0,f x′′( )0 =0 thì phải lập bảng biến thiên để kết luận

QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ a) Quy tắc 1

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2 Tính f x′( ) Tìm các điểm tại đó f x′( ) bằng 0 hoặc f x′( ) không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên

Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

DẠNG 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI BIỂU THỨ C.

• Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ phương trình y′ =0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ >′ 0

b Trong trường hợp ∆ >′ 0, gọi A x y B x y( 1; 1) (, 2; 2) là tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm

số ( )1 , trong đó x x là 2 nghiệm phân biệt của phương trình 1, 2 y′ =0

Ta có f x( )=(mx n f x r x+ ) '( ) ( )+ , với r x( ) là nhị thức bậc nhất

( ) ( ) ( ) ( )

Suy ra tọa độ A B, thỏa mãn phương trình y r x= ( )

Do đó phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị A B, là y r x= ( )

Công thức tính nhanh: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, của đồ thị hàm số ( )1

Câu 8: Với giá trị nào của tham số thì hàm số 1 3 2 ( 2 4 3) 2021 2020

3

có cực trị?

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y mx= 3−(2m−1)x2+2mx m− −1

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

Câu 10: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x= 3−3mx2+3(m2−1)x m− 3 có hai

điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành là khoảng ( )a b; Giá trị a b bằng

Câu 11: Cho hàm số 1 3 1 2 4 2021

y= x − mx + x− , với m là tham số; gọi x , 1 x là các điểm cực trị của 2

hàm số đã cho Giá trị lớn nhất của biểu thức ( 2 )( 2 )

P= x − x − bằng

Câu 12: Cho hàm số y x= 3−3mx2+4m2−2 có đồ thị là ( )C Có bao nhiêu giá trị nguyên của m m để

đồ thị hàm số ( )C có hai điểm cực trị m A B, sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4, với C( )1;4

Câu 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y= − +x3 3mx2−3m−1 có điểm cực

đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d:x+8y−74 0=

Câu 14: Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

( )

y x= − mx + m − x m m− + có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm cực đại của

đồ thị hàm số đến gốc tọa độ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ Tính tổng các phần tử của S

Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

Câu 18: Biết hai hàm số f x( )=x ax3+ 2+2 1x− và g x( )= − +x bx3 2−3 1x+ có chung ít nhất một điểm

cực trị Tìm giá trị nhổ nhất của biểu thức P a b= +

Câu 19: Cho hàm số y x= 3−6mx+4 có đồ thị ( )C Tìm tất cả các giá trị của tham số m m để đường

thẳng đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị ( )C cắt đường tròn tâm m I( )1;0 , bán kính

2 tại hai điểm phân biệt A B; sao cho tam giác IABcó diện tích lớn nhất

Câu 20: Cho hàm số y x= 3−3x2−(m2−2)x m+ 2có đồ thị là đường cong( )C Biết rằng tồn tại hai số

thực m , 1 m của tham số m để hai điểm cực trị của 2 ( )C và hai giao điểm của ( )C với trục hoành tạo thành bốn đỉnh của một hình chữ nhật Tính 4 4

T m m= +

m

Câu 21: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

f x x m x mx với m là tham số thực Có tất cả bao nhiêu giá

trị nguyên của m thuộc khoảng (−20;22) sao cho đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía đối với trục hoành?

Câu 23: Cho hàm số 1 3 ( 1) 2 3( 2) 2021

3

y= mx − m− x + m− x+ với m là tham số Tổng bình phương tất

cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x , 1 x thỏa mãn 2 2x x1+ 2 =2 bằng

Câu 24: Tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m trên (−10;10)để đồ thị hàm số y x x mx= 3+ 2+ −1

có điểm cực tiểu của nằm bên phải trục tung

Câu 25: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng đi

qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y x= 3−3x m nhỏ hơn hoặc bằng + 2 5

DẠNG 4 : RIÊNG VỀ CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG I: KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Cho hàm số: y ax bx c a= 4+ 2+ ( ≠0) có đồ thị là ( )C

+) Đồ thị ( )C có đúng một điểm cực trị khiy′ =0 có đúng một nghiệm⇔ab≥0

+) Đồ thị ( )C có ba điểm cực trị khi y′ =0 có 3 nghiệm phân biệt⇔ab<0

giác cân tại A

II CÔNG THỨC NHANH MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP

Áp dụng định lý cosin trong ∆ABC ta

có điều phải chứng minh

2 3

2 2

16 20

b a a

y r x= = bx +c

Câu 26: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=2x4−(m+1)x2+4 có ba điểm cực trị

Câu 27: Cho hàm sốy x= 4−2(m+1)x m2+ 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của

hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Câu 28: Cho hàm số y x= −4 4(m−1)x2+2m−1có đồ thị( )C m Xác định tham số m để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều

Câu 29: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x= 4+2mx2−1 có ba điểm cực trị tạo thành

một tam giác có diện tích bằng 4 2

Câu 30: Cho hàm số y x= 4−2mx m2+ −1, với m là tham số thực Xác định các giá trị của tham số m

để đồ thị hàm số có ba cực trị đồng thời các điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Câu 31: Cho hàm số y x= 4−2mx m2+ , với m là tham số thực Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm cực trị này có bán kính bằng

1

DẠNG 5: CỰC TRỊ CỦA HÀM y = f x y f x ( ) , = ( )

Câu 32: Cho hàm số y f x= ( ) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ Tìm số điểm cực trị của hàm số

Câu 34: Cho hàm số y x= 3 − 3x Tìm số điểm cực trị của hàm số

Câu 35: Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên như sau :

Hàm số y f x= ( −3)có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 36: Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thị như hình dưới đây

BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa: Cho hàm số y f x= ( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b và điểm x0∈( ; )a b +) Nếu tồn tại số h > sao cho 0 f x( )< f x( )0 với mọi x x h x h∈( 0− ; 0+ ) và x x≠ 0 thì ta nói hàm số y f x= ( ) đạt cực đại tại x0

+) Nếu tồn tại số h > sao cho 0 f x( )> f x( )0 với mọi x x h x h∈( 0− ; 0+ ) và x x≠ 0 thì ta nói hàm số y f x= ( ) đạt cực tiểu tại x0

* Chú ý

+) Nếu hàm sốy f x= ( ) đạt cực đại tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số; f x( )0

được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là f CÑ(f CT), còn điểm M x f x( ; ( ))0 0 được gọi là

điểm cực đại của đồ thị hàm số

+) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại còn gọi là cực

đại và được gọi chung là cực trị của hàm số

4 Định lí 3: Giả sử hàm số y f x= ( ) có đạo hàm cấp hai trong khoảng K =(x h x h0− ; 0+ với ) h > 0

Khi đó:

+) Nếu f x′( )0 =0,f x′′( )0 >0 thì x0 là điểm cực tiểu

+) Nếu f x′( )0 =0,f x′′( )0 <0 thì x là điểm cực đại 0

+) Nếu f x′( )0 =0,f x′′( )0 =0 thì phải lập bảng biến thiên để kết luận

QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ a) Quy tắc 1

Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2 Tính f x′( ) Tìm các điểm tại đó f x′( ) bằng 0 hoặc f x′( ) không xác định

Bước 3 Lập bảng biến thiên

Bước 4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

DẠNG 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI BIỂU THỨ C.

Ta có: y′ =2x3−4x=2x x( 2−2); 0

' 0

2

x y

x x x

Ta có bảng biến thiên

Suy ra hàm số đạt cực đại tại 8

3

x = , y = và hàm số đạt cực tiểu tại CĐ 0 x = , 2 y = − CT 4

• Hàm số có hai điểm cực trị ⇔ phương trình y′ =0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ >′ 0

b Trong trường hợp ∆ >′ 0, gọi A x y B x y( 1; 1) (, 2; 2) là tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm

số ( )1 , trong đó x x là 2 nghiệm phân biệt của phương trình 1, 2 y′ =0

Ta có f x( )=(mx n f x r x+ ) '( ) ( )+ , với r x( ) là nhị thức bậc nhất

( ) ( ) ( ) ( )

Suy ra tọa độ A B, thỏa mãn phương trình y r x= ( )

Do đó phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị A B, là y r x= ( )

Công thức tính nhanh: Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị, của đồ thị hàm số ( )1

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y mx= 3−(2m−1)x2+2mx m− −1

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?

Lời giải

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi phương trìnhmx3−(2m−1)x2+2mx m− − =1 0 có 3 nghiệm phân biệt

m

m

Do m∈ ⇒ = − m 1

Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn đề bài

Câu 10: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x= 3−3mx2+3(m2−1)x m− 3 có hai

điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành là khoảng ( )a b; Giá trị a b bằng

y= x − mx + x− , với m là tham số; gọi x , 1 x là các điểm cực trị của 2

hàm số đã cho Giá trị lớn nhất của biểu thức ( 2 )( 2 )

Khi đó y′ = ⇔0 x mx2− − =4 0

Ta có ∆ =m2+16 0> , ∀ ∈ m ⇒y′=0 luôn có hai nghiệm phân biệt ∀ ∈  hay hàm số m

luôn có hai điểm cực trị x , 1 x m2∀ ∈ 

Do x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của y′ =0 nên theo định lý Viet ta có 1 2

Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 9 khi m = 0

Câu 12: Cho hàm số y x= 3−3mx2+4m2−2 có đồ thị là ( )C Có bao nhiêu giá trị nguyên của m m để

đồ thị hàm số ( )C có hai điểm cực trị m A B, sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4, với C( )1;4

Đồ thị có hai điểm cực trị khi y′ =0 có hai nghiệm phân biệt, khi m ≠ 0

Tọa độ hai điểm cực trị là A(0;4m −2 2); B m(2 ; 4− m3+4m2−2)

= ±



⇔  = ±

Câu 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y= − +x3 3mx2−3m−1 có điểm cực

đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d:x+8y−74 0=

Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0; 3− m−1); B m m(2 ;4 3−3m−1)⇒AB=(2 ;4m m3)

Trung điểm I của AB có toạ độ: I m m( ;2 3−3m−1)

Đường thẳng d : x+8y−74 0= có một VTCP u = (8; 1− )

Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua d

Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn đề bài

Câu 14: Gọi Slà tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số

( )

y x= − mx + m − x m m− + có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm cực đại của

đồ thị hàm số đến gốc tọa độ bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ Tính tổng các phần tử của S

Kết hợp điều kiện ta có m =3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

Hai điểm cực trị đó nằm cùng 1 phía đối với trục hoành khi và chỉ khi f x f x >( ) ( )1 2 0,tương đương đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại đúng một điểm, tức là, phương trình

Lời giải

Cách 1:

y = có 1 nghiệm đơn duy nhất, khi đó 1 3 2 ( 2) 0 2( )

3x −mx + m+ x= có một nghiệm đơn duy nhất

Để đồ thị hàm số 1 3 2 ( 2)

3

y= x mx− + m+ x cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất thì phương trình

0

y = có 1 nghiệm duy nhất, khi đó 1 3 2 ( 2) 0 2( )

3x −mx + m+ x= có một nghiệm đơn duy nhất

Câu 18: Biết hai hàm số f x( )=x ax3+ 2+2 1x− và g x( )= − +x bx3 2−3 1x+ có chung ít nhất một điểm

cực trị Tìm giá trị nhổ nhất của biểu thức P a b= +

Với 2 giá trị x , ta tìm được hai cặp giá trị ,0 a b thoả mãn

Vậy minP = 30

Câu 19: Cho hàm số y x= 3−6mx+4 có đồ thị ( )C Tìm tất cả các giá trị của tham số m m để đường

thẳng đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị ( )C cắt đường tròn tâm m I( )1;0 , bán kính

2 tại hai điểm phân biệt A B; sao cho tam giác IABcó diện tích lớn nhất

Suy ra M N thuộc đường thẳng d có phương trình , y= −4mx+4

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của ( )C m là: y= −4mx+4

Gọi ( )T là đường tròn có tâm I( )1;0 và bán kính R = 2

Đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt , A B và tạo thành tam giác IAB

Do đường thẳng d luôn đi qua điểm K( )0;4 ,IK = 17 > ⇒ nằm ngoài đường tròn nên R K

tồn tại hai điểm ,A B là giao điểm của d với đường tròn để tam giác IAB vuông tại I

+( )2

+

Câu 20: Cho hàm số y x= 3−3x2−(m2−2)x m+ 2có đồ thị là đường cong( )C Biết rằng tồn tại hai số

thực m , 1 m của tham số m để hai điểm cực trị của 2 ( )C và hai giao điểm của ( )C với trục hoành tạo thành bốn đỉnh của một hình chữ nhật Tính 4 4

Với x = suy ra 1 y = Vậy điểm uốn 0 U( )1;0

Ta có đoạn thẳng nối hai điểm cực trị luôn nhận điểm uốn U là trung điểm

Xét phương trình x3−3x2−(m2−2)x m+ 2 =0 1( )

m m

f x x m x mx với m là tham số thực Có tất cả bao nhiêu giá

trị nguyên của m thuộc khoảng (−20;22) sao cho đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía đối với trục hoành?

y= mx − m− x + m− x+ với m là tham số Tổng bình phương tất

cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị x , 1 x thỏa mãn 2 2x x1+ 2 =2 bằng

Vậy tổng bình phương tất cả các giá trị của m thỏa mãn YCBT là: 22 4 2 52

 +  =

 

Câu 24: Tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m trên (−10;10)để đồ thị hàm số y x x mx= 3+ 2+ −1

có điểm cực tiểu của nằm bên phải trục tung

, trong đó x CD <x CT vì hệ số của x3 lớn hơn 0

Để cực tiểu của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung thì phải có: x > , kết hợp CT 0 (2) và (3)suy ra (1) có hai nghiệm trái dấu 0 0

Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn YCBT là: 45−

Câu 25: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng đi

qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y x= 3−3x m nhỏ hơn hoặc bằng + 2 5

Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A m(1; −2), B(−1;m+2)

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là y= − +2x m

Cho hàm số: y ax bx c a= 4+ 2+ ( ≠0) có đồ thị là ( )C

+) Đồ thị ( )C có đúng một điểm cực trị khiy′ =0 có đúng một nghiệm⇔ab≥0

+) Đồ thị ( )C có ba điểm cực trị khi y′ =0 có 3 nghiệm phân biệt⇔ab<0

giác cân tại A

II CÔNG THỨC NHANH MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP THƯỜNG GẶP

Áp dụng định lý cosin trong ∆ABC ta

có điều phải chứng minh

2 3

2 2

16 20

b a a

y r x= = bx +c

Câu 26: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y=2x4−(m+1)x2+4 có ba điểm cực trị

Lời giải Cách 1:

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y′ =0có ba nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt khác

Hàm số đã cho có 3 cực trị khi và chỉ khi ab< ⇔ + > ⇔ > −0 m 1 0 m 1

Câu 27: Cho hàm sốy x= 4−2(m+1)x m2+ 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của

hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân

Lời giải Cách 1:

Ta thấy A Oy∈ , B C, đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC cân tại A

Do đó tam giác ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi tam giác ABC vuông tại A

Chú ý có thể sử dụng điều kiện sau:

Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC thì H(0; 2− m−1)

( )1

Khi đó ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân khi AH BH= ( )4

m

⇔ =

Câu 28: Cho hàm số y x= −4 4(m−1)x2+2m−1có đồ thị( )C m Xác định tham số m để đồ thị hàm số

có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều

m m

3

1312

Câu 29: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x= 4+2mx2−1 có ba điểm cực trị tạo thành

một tam giác có diện tích bằng 4 2

Lời giải Cách 1:

Đồ thị hàm số y x = +4 2 mx2− 1 có ba điểm cực trị ⇔ y′=0có ba nghiệm phân biệt ⇔ <m 0

Câu 30: Cho hàm số y x= 4−2mx m2+ −1, với m là tham số thực Xác định các giá trị của tham số m

để đồ thị hàm số có ba cực trị đồng thời các điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

4 ABC 4

m m m

AB AC BC R

Cách 2: Gọi M , H lần lượt là trung điểm của AB BC, và I là tâm đường tròn ngoại tiếp

Câu 31: Cho hàm số y x= 4−2mx m2+ , với m là tham số thực Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị và đường tròn đi qua 3 điểm cực trị này có bán kính bằng

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị: A(0; ,m) B(− m; −m2 +m),C( m; −m2 +m)

Gọi H là trung điểm của cạnh BC Ta có H(0;−m2+m)

1 52

1 52

m m m

Tìm số điểm cực trị của hàm số y g x= ( )= f x( )

Lời giải

Vì y f x= ( ) là hàm đa thức nên liên tục trên 

Từ đồ thị hàm số y f x= ′( ) và f − <( )2 0, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số g x( )= f x( ) có 3điểm cực trị

Câu 34: Cho hàm số y x= 3 − 3x Tìm số điểm cực trị của hàm số

+) Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số y= f x( ) có 5điểm cực trị

Câu 35: Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên như sau :

Hàm số y f x= ( −3)có bao nhiêu điểm cực trị?

x x

0

22

+∞

00

2

20

Dựa vào BBT ta thấy hàm số y f x= ( −3) có 3 điểm cực trị

Câu 36: Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thị như hình dưới đây

Dựa vào đồ thị hàm số y f x= ( ), ta suy ra đồ thị của hàm số y f x= ( ) như sau:

Dựa vào đồ thị, ta kết luận đồ thị hàm số y f x= ( ) có 5 điểm cực trị

Câu 37: Cho hàm số y f x= ( )=x3−(2m−1)x2+ −(2 m x) +2 Tập tất cả các giá trị của m để đồ thị

⇔ y f x= ( )= −x3 (2m−1)x2+ −(2 m x) +2 có hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung

2

m m m

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị ( )C y f x: = ( )=3x4−4x3−12x m2+ luôn có 3 cực trị

Do đó đồ thị ( )H y: = 3x4−4x3−12x2+m có 5 điểm cực trị khi phương trình y f x= ( ) có 2

nghiệm phân biệt

Vậy có 31 5 1 27− + = giá trị m thỏa yêu cầu bài

Vậy m∈ −∞( ;0] thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 40: Cho hàm số f x( ) (= m−1)x3−5x2+(m+3)x+3 Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m

Câu 41: Cho hàm số y f x= ( ) có đồ thị như hình vẽ dưới Tập các giá trị của tham số để hàm số

Hàm số có 3 điểm cực trị Do đó hàm số có 7 điểm cực trị khi

và chỉ khi phương trình có 4 nghiệm phân biệt đơn hoặc bội lẻ

Từ đồ thị của hàm số đã cho suy ra − < <2 m 0

BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC

CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY Câu 1: (MĐ 101-2022) Cho hàm số y f x= ( )có bảng biến thiên như hình vẽ

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A x = −2 B x =2 C x = −1 D x =1

Câu 2: (MĐ 102-2022) Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là