Luan an tran van thang

LÍI CAM OANTæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi.. This thesis is devoted to the study of conjugate duality in scalar andmultiobjective optimization problems.. The obtained

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM

VI›N H€N L…M KHOA HÅC V€ CÆNG NGH› VI›T NAM

LÍI CAM OAN

Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi C¡c k¸t qu£

n y ÷ñc thüc hi»n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS Phan Thi¶n Th¤ch v 

GS Ho ng Töy C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n vi¸t chung vîi c¡c th¦y h÷îngd¨n ·u ¢ ÷ñc sü nh§t tr½ cõa c¡c th¦y khi ÷a v o luªn ¡n C¡c sèli»u, k¸t qu£ n¶u trong luªn ¡n l  trung thüc v  ch÷a tøng ÷ñc ai cæng

bè trong b§t cù cæng tr¼nh n o kh¡c

T¡c gi£

Tr¦n V«n Th­ng

i

T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n th¦y Ho ng Töy, ng÷íi

¢ ti¸p töc tªn t¼nh cæng vi»c h÷îng d¨n v  gióp ï t¡c gi£ sau khi th¦yPhan Thi¶n Th¤ch bà èm n°ng

T¡c gi£ xin tr¥n trång c£m ìn PGS TS Tr÷ìng Xu¥n ùc H , GS.TSKH Vô Ngåc Ph¡t, GS TSKH L¶ Dông M÷u, PGS TS Bòi Th¸T¥m, GS TSKH Nguy¹n æng Y¶n, nhúng ng÷íi ¢ luæn tªn t¼nh gióp

ï t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc Cao håc v  l m nghi¶n cùu sinh.T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban l¢nh ¤o Vi»n To¡n håc, Trungt¥m  o t¤o Sau ¤i håc v  tªp thº c¡n bë cæng nh¥n vi¶n cõa Vi»nTo¡n håc ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong thíi gian håcCao håc v  l m nghi¶n cùu sinh

T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban hi»u tr÷ðng tr÷íng ¤i håc i»nlüc, Ban l¢nh ¤o Sð Gi¡o döc v   o t¤o B­c Giang, tr÷íng THPT

Bè H¤, Y¶n Th¸, B­c Giang, c¡c th¦y cæ v  çng nghi»p ð trong tr÷íngTHPT Bè H¤ v  Khoa Khoa håc cì b£n tr÷íng ¤i håc i»n lüc.Xin c¡m ìn gia ¼nh, c¡c b¤n nghi¶n cùu sinh v  b¤n b± v· sü khuy¸nkh½ch, gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu

ii

TÂM TT

Luªn ¡n n y tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· èi ng¨u li¶n hñp cho c¡c

b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng v  tèi ÷u a möc ti¶u v  ¡p döng c¡c k¸t qu£

èi ng¨u n y º nghi¶n cùu mët sè b i to¡n trong kinh t¸ Luªn ¡n baogçm 3 ch÷ìng

Trong Ch÷ìng 1, chóng tæi nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n °c tr÷ng cholîp h m thäa m¢n t½nh ph£n x¤ v  âng k½n qua ph²p bi¸n êi tüa li¶nhñp, ÷a ra kh¡i ni»m tüa d÷îi vi ph¥n v  chùng minh mët sè t½nh ch§tcõa tüa d÷îi vi ph¥n

Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi tr¼nh b y lþ thuy¸t èi ng¨u li¶n hñp choc¡c b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng v  tèi ÷u a möc ti¶u

Trong Ch÷ìng 3, chóng tæi ùng döng sì ç èi ng¨u li¶n hñp º nghi¶ncùu mët sè b i to¡n trong kinh t¸ nh÷ sau: b i to¡n vîi mët r ng buëcph¥n bè nguçn lüc, b i to¡n vîi nhi·u r ng buëc ph¥n bè nguçn lüc v 

b i to¡n tèi ÷u khæng lçi vîi c¡c r ng buëc ph¥n bè nguçn lüc

iii

This thesis is devoted to the study of conjugate duality in scalar andmultiobjective optimization problems The obtained results are applied

to study some optimization problems in economy

The thesis consists of three chapters

In Chapter 1 necessary and sufficient conditions are established forthe reflexivity and closedness of the quasi-conjugate transformation Alsothe concept of quasi-subgradient is introduced and some basic properties

of quasi-subgradient are proved

In Chapter 2 the conjugate duality for scalar and multiobjective timization problems is studied

op-In Chapter 3 we apply the conjugate duality scheme to productionplanning and optimization problems with one or multiple resource allo-cation constraints

iv

2.1 èi ng¨u li¶n hñp cho b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng 362.2 èi ng¨u li¶n hñp cho b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u 43

3.1 B i to¡n vîi mët r ng buëc ph¥n bè nguçn lüc 58

3.2 B i to¡n vîi r ng buëc ph¥n bè nhi·u nguçn lüc 633.3 Tèi ÷u vîi c¡c r ng buëc ph¥n bè nguçn lüc 673.4 Quy ho¤ch hai c§p v  tèi ÷u ìn i»u 73

Danh möc cæng tr¼nh cõa t¡c gi£ li¶n quan ¸n luªn ¡n 78

têng trüc ti¸p

argmax{f(x) : x ∈ X} tªp c¡c iºm cüc ¤i cõa h m f(x) tr¶n tªp X

Mð ¦u

Theo G Dantzig, lþ thuy¸t èi ng¨u ÷ñc phäng o¡n bði J V.Neumann trong lþ thuy¸t trá chìi ngay sau khi G Dantzig tr¼nh b y c¡cv§n · v· quy ho¤ch tuy¸n t½nh ([18]) N«m 1951, mët chùng minh ¦y

õ v· èi ng¨u cho b i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh ¢ ÷ñc cæng bè l¦n

¦u bði A W Tucker v  nhâm cõa æng ([6]) Tø â lþ thuy¸t èi ng¨u

¢ trð tr nh mët ch÷ìng quan trång cõa lþ thuy¸t tèi ÷u, c£ v· ph÷ìngdi»n lþ thuy¸t l¨n t½nh to¡n v  ùng döng thüc t¸ v  thu hót nhi·u nh to¡n håc quan t¥m nghi¶n cùu, trong â ¡ng chó þ l  c¡c cæng tr¼nh cõa

A W Tucker ([6], [9]), R T Rockafellar ([15]), Y Sawaragi ([17], [20])

v  ð Vi»t Nam l  c¡c cæng tr¼nh cõa c¡c t¡c gi£ Ho ng Töy ([3]), Ph¤mHúu S¡ch ([16]), inh Th¸ Löc ([10]), Phan Thi¶n Th¤ch ([21]-[27]), VôNgåc Ph¡t ([14]), Nguy¹n ành ([5]), Ban ¦u lþ thuy¸t èi ng¨u ÷ñcx¥y düng cho c¡c b i to¡n tèi ÷u tuy¸n t½nh bði A W Tucker v  nhâmcõa æng, sau â c¡c nh  to¡n håc ¢ mð rëng cho tr÷íng hñp phi tuy¸n,tèi ÷u a möc ti¶u v  c£ trong tèi ÷u a trà Lþ thuy¸t èi ng¨u ÷ñc

÷a ra thüc sü câ þ ngh¾a v  câ nhi·u ùng döng khi nâ £m b£o ÷ñc

èi ng¨u m¤nh Tuy nhi¶n, trong tr÷íng hñp têng qu¡t vi»c câ ÷ñc èing¨u m¤nh l  r§t khâ kh«n Cho ¸n nay c¡c nh  to¡n håc mîi ch¿ ÷a

ra ÷ñc èi ng¨u m¤nh cho mët sè lîp c¡c b i to¡n thäa m¢n mët sè

i·u ki»n n o â ¢ câ nhi·u k¸t qu£ quan trång v· èi ng¨u cho c¡c

b i to¡n tèi ÷u, c¡c k¸t qu£ n y chõ y¸u câ ÷ñc düa tr¶n lþ thuy¸t èi

ng¨u Lagrange v  èi ng¨u li¶n hñp düa v o c¡c ph²p bi¸n êi li¶n hñpnh÷ ph²p bi¸n êi li¶n hñp Fenchel, ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp v  mët

sè ph²p bi¸n êi li¶n hñp kh¡c

Vîi b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng, c¡c nh  to¡n håc ¢ thu ÷ñc èi ng¨um¤nh cho lîp c¡c b i to¡n tèi ÷u lçi bði èi ng¨u Lagrange hay èi ng¨uFenchel nh÷ c¡c k¸t cõa c¡c t¡c gi£: R T Rockafellar ([15]), H.W Kuhn

v  A W Tucker ([9]), Ho ng Töy ([3]) Trong tr÷íng hñp b i to¡n tèi

÷u khæng lçi, mët sè k¸t qu£ hay ÷ñc nâi ¸n l  cõa P T Thach ([21],[22], [23]), [24])

Vîi b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u, vi»c thu ÷ñc èi ng¨u m¤nh trðn¶n khâ kh«n hìn Cho ¸n nay c¡c ph÷ìng ph¡p chõ y¸u l  düa tr¶n lþthuy¸t èi ng¨u Lagrange v  èi ng¨u Fenchel b¬ng c¡ch væ h÷îng hâa

h m möc ti¶u hay nhóng b i to¡n ban ¦u v o trong lîp c¡c b i to¡n tèi

÷u ÷ñc nhi¹u bði c¡c tham sè C¡c b i to¡n èi ng¨u ÷ñc x¥y düngbði c¡c ph÷ìng ph¡p tr¶n th÷íng l  b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng hay tèi

÷u a trà, do â sì ç èi ng¨u thu ÷ñc th÷íng l  khæng èi xùng ([8],[17]) Ngo i ra, trong nhi·u k¸t qu£ º câ èi ng¨u m¤nh th¼ b i to¡nban ¦u ph£i l  b i to¡n tèi ÷u lçi ([17], [19], [20])

Trong lþ thuy¸t èi ng¨u li¶n hñp, b i to¡n èi ng¨u cõa mët b i to¡ngèc trong khæng gian X:

max(min){f (x)| A ⊂ X}

÷ñc x¥y düng trong khæng gian èi ng¨u X∗:

max(min){g(p)| A∗ ⊂ X∗},trong â g l  h m li¶n hñp cõa f v  A∗ l  tªp li¶n hñp cõa A sao chohai b i to¡n li¶n quan ch°t ch³ vîi nhau, thº hi»n qua vi»c nghi¶n cùu

b i to¡n èi ng¨u s³ cung c§p thæng tin v· b i to¡n gèc hay º gióp chovi»c gi£i b i to¡n gèc d¹ d ng hìn trong tr÷íng hñp tèt nh§t Hi»n nay,

èi ng¨u li¶n hñp Fenchel ÷ñc sû döng mët c¡ch rëng r¢i v  phê bi¸ntrong tèi ÷u lçi èi vîi lîp c¡c b i to¡n têng qu¡t hìn, mët sè k¸t qu£

÷ñc kº ra ð ¥y l  cõa Phan Thi¶n Th¤ch, t¡c gi£ ¢ ÷a ra èi ng¨um¤nh cho lîp c¡c b i to¡n tüa lçi düa tr¶n ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñpcõa h m f : Rn →R∪ {±∞} ÷ñc x¡c ành bði:

sup{f (x) : pTx ≤ 1, x ≥ 0}

cho lîp c¡c b i to¡n quy ho¤ch tuy¸n t½nh v  ch¿ ra r¬ng b i to¡n èing¨u cõa b i to¡n cüc ¤i mët h m tuy¸n t½nh khæng gi£m tr¶n tªp lçitrong Rn+ l  b i to¡n s£n xu§t Leontief Chó þ r¬ng, trong tr÷íng hñptuy¸n t½nh, b i to¡n èi ng¨u ÷ñc lªp bði lþ thuy¸t èi ng¨u Lagrangehay èi ng¨u Fenchel l  tròng nhau v  công l  b i to¡n quy ho¤ch tuy¸nt½nh K¸t qu£ kh¡c bi»t n y gióp Phan Thi¶n Th¤ch ch¿ ra c¡c °c tr÷ngcho t½nh phi d÷ thøa trong b i to¡n s£n xu§t Leontief düa tr¶n mèi li¶nh» èi ng¨u giúa nguy¶n li»u s£n xu§t v  gi¡ nguy¶n li»u, ch¯ng h¤n nh÷

sü tçn t¤i gi¡ °c tr÷ng º ÷a r ng buëc t i nguy¶n v· r ng buëc ìngi£n hìn v· vèn s£n xu§t K¸t qu£ v  ùng döng cõa sì ç èi ng¨u n yùng vîi tr÷íng hñp tuy¸n t½nh ¢ ÷ñc cæng bè trong [2] v  [25] K¸tqu£ mð ¦u n y cán mð ra cho ta nhúng ùng döng rëng hìn

Trong luªn ¡n n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ mîi khi nghi¶ncùu mð rëng sì ç èi ng¨u li¶n hñp düa tr¶n ph²p bi¸n êi tüa li¶nhñp ¢ ÷ñc tr¼nh b y trong c¡c b i b¡o [2] v  [25] cho lîp c¡c b i to¡n

rëng hìn bao gçm c¡c b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng v  tèi ÷u a möc ti¶uphi tuy¸n, çng thíi ùng döng k¸t qu£ èi ng¨u ¢ ¤t ÷ñc v o nghi¶ncùu mët sè b i to¡n trong kinh t¸ Luªn ¡n bao gçm 3 ch÷ìng.

Ch÷ìng 1 "Ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp" nghi¶n cùu c¡c i·u ki»n °ctr÷ng cho lîp h m thäa m¢n t½nh ph£n x¤ v  âng k½n qua ph²p bi¸n

êi tüa li¶n hñp K¸t qu£ n y gióp chóng ta thu ÷ñc t½nh èi xùng cõa

èi ng¨u cho c°p b i to¡n gèc-èi ng¨u s³ ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng

2 Nhªn th§y c¡c h m tuy¸n t½nh khæng gi£m tr¶n Rn+ v  h m s£n xu§tLeontief ·u l  nhúng tr÷íng hñp ri¶ng cõa lîp h m a di»n lãm thu¦nnh§t d÷ìng v  ìn i»u t«ng tr¶n Rn, chóng tæi ¢ chùng minh ÷ñcr¬ng lîp h m n y thäa m¢n t½nh ph£n x¤, âng k½n qua ph²p bi¸n êitüa li¶n hñp v  ¥y l  sü mð rëng g¦n nh§t cho lîp h m tuy¸n t½nh ¢

÷ñc x²t tr÷îc â Mët k¸t qu£ mð rëng hìn công ÷ñc ÷a ra khi chóngtæi chùng minh ÷ñc r¬ng lîp c¡c h m nûa li¶n töc tr¶n, tüa lãm v  ìn

i»u t«ng tr¶n Rn+ l  lîp h m têng qu¡t thäa m¢n t½nh ph£n x¤ èi vîiph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp Lîp c¡c h m n y bao h m ph¦n lîn c¡c h ms£n xu§t trong c¡c mæ h¼nh kinh t¸, ch¯ng h¤n nh÷ c¡c h m s£n xu§tLeontief, Cobb-Douglas, Leontief mð rëng, Cobb-Douglas mð rëng ([4],[7]), Ch÷ìng n y công ÷a ra kh¡i ni»m tüa d÷îi vi ph¥n v  chùngminh mët sè t½nh ch§t cõa tüa d÷îi vi ph¥n º phöc vö cho vi»c chùngminh c¡c k¸t qu£ v· èi ng¨u ð c¡c ch÷ìng sau

Ch÷ìng 2 "èi ng¨u li¶n hñp cho c¡c b i to¡n tèi ÷u" tr¼nh b y i·uki»n c¦n v  õ tèi ÷u d÷îi d¤ng nguy¶n lþ Fermat mð rëng cho b i to¡ntèi ÷u væ h÷îng Tø nhúng k¸t qu£ mîi v· ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp

¢ tr¼nh b y trong Ch÷ìng 1, chóng tæi ÷a ra sì ç èi ng¨u li¶n hñpcho lîp c¡c b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng v  tèi ÷u a möc ti¶u vîi gi£ thi¸tmöc ti¶u l  c¡c h m a di»n lãm, thu¦n nh§t d÷ìng, ìn i»u t«ng tr¶n

Rn+ v  têng qu¡t hìn núa khi x²t vîi c¡c h m möc ti¶u ch¿ tüa lãm, li¶n

töc v  ìn i»u t«ng ch°t tr¶n Rn+ K¸t qu£, chóng ta thu ÷ñc èi ng¨um¤nh, èi xùng v  b i to¡n èi ng¨u cõa b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶ucông l  b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u Ngo i ra, chóng tæi cán ÷a ra ÷ñc

¯ng thùc èi ng¨u gióp °c tr÷ng cho c°p nghi»m húu hi»u cõa c¡c b ito¡n tèi ÷u a möc ti¶u gèc v  èi ng¨u

Ch÷ìng 3 "Ùng döng" tr¼nh b y ùng döng sì ç èi ng¨u li¶n hñp

v o nghi¶n cùu mët sè b i to¡n s£n xu§t trong kinh t¸ Nhí èi ng¨uli¶n hñp chóng tæi chùng minh ÷ñc b i to¡n t¼m ph÷ìng ¡n s£n xu§tvîi mët r ng buëc ph¥n bè nguçn lüc (b i to¡n gi£i h» phi tuy¸n) t÷ìng

÷ìng vîi b i to¡n cüc ¤i mët h m lãm ch°t tr¶n mët a di»n lçi i·u

n y gióp ch¿ ra r¬ng b i to¡n vîi mët r ng buëc ph¥n bè nguçn lüc

câ mët nghi»m duy nh§t v  ÷ñc gi£i bði b i to¡n tèi ÷u lçi ìn gi£nhìn B i to¡n mð rëng t¼m ph÷ìng ¡n s£n xu§t vîi k (k > 1) r ng buëcph¥n bè nguçn lüc t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u vîi c¡cmöc ti¶u l  c¡c h m s£n xu§t Cobb-Douglas, k¸t qu£ n y gióp chóng taquy mët lîp c¡c b i to¡n tèi ÷u khæng lçi vîi c¡c r ng buëc ph¥n bènguçn lüc v· b i to¡n tèi ÷u tr¶n tªp nghi»m húu hi»u Pareto cõa mët

b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u B i to¡n ÷ñc quy v· ¢ ÷ñc nhi·u t¡cgi£ quan t¥m nghi¶n cùu v  câ thº ÷ñc gi£i bði mët sè thuªt to¡n ¢bi¸t ([11],[13], [22]) B¬ng ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn nh÷ trong b i b¡o [27]cõa P T Thach, H Konno v  D Yokota, chóng tæi quy b i to¡n tèi ÷utr¶n tªp nghi»m húu hi»u Pareto v· b i to¡n cüc ¤i h m tüa lçi tr¶nmët tªp lçi comp­c trong Rk+ v  do â ta câ thº gi£i b i to¡n n y b¬ngph÷ìng ph¡p x§p x¿ ngo i ([27]) Vîi ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn kh¡c, düatr¶n quy ho¤ch hai c§p v  lþ thuy¸t tèi ÷u ìn i»u cõa H Tuy ([33]),chóng tæi ch¿ ra b i to¡n tèi ÷u vîi c¡c r ng buëc ph¥n bè nguçn lüct÷ìng ÷ìng vîi mët b i to¡n cì b£n cõa tèi ÷u ìn i»u

C¡c k¸t qu£ trong luªn ¡n ¢ ÷ñc b¡o c¡o v  th£o luªn t¤i:

- Hëi nghà Tèi ÷u v  T½nh to¡n khoa håc, Ba V¼, H  Nëi (2010).

- Hëi nghà Tèi ÷u v  T½nh to¡n khoa håc, Ba V¼, H  Nëi (2011)

- ¤i hëi To¡n håc to n quèc, Nha Trang, Kh¡nh Háa (2013)

- Seminar cõa Pháng Tèi ÷u v  i·u khiºn, Vi»n To¡n håc, Vi»n H nl¥m Khoa håc v  Cæng ngh» Vi»t Nam

- Hëi nghà nghi¶n cùu sinh h ng n«m t¤i Vi»n To¡n håc, Vi»n H nl¥m Khoa håc v  Cæng ngh» Vi»t Nam

C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa luªn ¡n ¢ ÷ñc cæng bè ð t¤p ch½ Journal

of Mathematical Analysis and Applications, t¤p ch½ Journal of GlobalOptimization v  mët b i b¡o ¢ gûi «ng tr¶n t¤p ch½ Acta MathematicaVietnamica

Ch֓ng 1

Ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp

Ð ch÷ìng n y, sau mët sè ki¸n thùc chu©n bà, chóng tæi tr¼nh b y c¡ck¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc v· i·u ki»n º mët h m thäa m¢n t½nh ph£n x¤qua ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp v  chùng minh mët sè t½nh ch§t cõa tüad÷îi vi ph¥n

Möc 1.1 nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc cì b£n cõa Gi£i t½ch Möc 1.2 ÷a

ra c¡c i·u ki»n têng qu¡t º mët h m sè thäa m¢n t½nh ph£n x¤ Kh¡ini»m tüa d÷îi vi ph¥n v  mët sè t½nh ch§t cõa kh¡i ni»m n y ÷ñc tr¼nh

Cho X l  mët tªp con trong khæng gian Rn.

ành ngh¾a 1.1.1 Cho X l  tªp lçi Tªp li¶n hñp d÷îi cõa X l 

Cho f : X → R l  mët h m sè b§t ký

ành ngh¾a 1.1.6 H m f ÷ñc gåi l  lçi tr¶n tªp lçi X n¸u

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2) ∀x1, x2 ∈ X, ∀λ ∈ [0; 1]

H m f ÷ñc gåi l  lãm tr¶n tªp lçi X n¸u −f l  lçi tr¶n X

ành ngh¾a 1.1.7 H m f ÷ñc gåi l  lçi ch°t tr¶n tªp lçi X n¸u

f (λx1 + (1 − λ)x2) < λf (x1) + (1 − λ)f (x2) ∀x1 6= x2 ∈ X, ∀λ ∈ (0; 1)

H m f ÷ñc gåi l  lãm ch°t tr¶n tªp lçi X n¸u −f l  lçi ch°t tr¶n X

ành ngh¾a 1.1.8 H m f ÷ñc gåi l  tüa lçi tr¶n tªp lçi X n¸u

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ max{f (x1); f (x2)} ∀x1, x2 ∈ X, ∀λ ∈ [0; 1]

H m f ÷ñc gåi l  tüa lãm tr¶n tªp lçi X n¸u −f l  tüa lçi tr¶n X.M»nh · 1.1.9 (xem [3]) H m f tüa lçi tr¶n tªp lçi X khi v  ch¿ khivîi måi α ∈ R tªp mùc d÷îi {x ∈ X : f(x) ≤ α} l  tªp lçi H m

f tüa lãm tr¶n tªp lçi X khi v  ch¿ khi vîi måi α ∈ R tªp mùc tr¶n{x ∈ X : f (x) ≥ α} l  tªp lçi

ành ngh¾a 1.1.10 H m f ÷ñc gåi l  lçi a di»n n¸u tr¶n ç thà(epigraph) cõa h m f l  tªp lçi a di»n H m f : Rn → R ÷ñc gåi l lãm a di»n n¸u h m −f l  lçi a di»n

D¹ th§y, h m f l  lãm a di»n tr¶n Rn khi v  ch¿ khi f ÷ñc biºudi¹n d÷îi d¤ng

H m f ÷ñc gåi l  ìn i»u t«ng ch°t tr¶n X n¸u:

x→x 0 f (x) ≥ f (x0) H m f(x) ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc tr¶n t¤i

x0 ∈ X n¸u lim sup

x→x 0

f (x) ≤ f (x0) N¸u f l  nûa li¶n töc d÷îi (nûa li¶ntöc tr¶n) t¤i måi iºm thuëc X, th¼ f ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc d÷îi (nûali¶n töc tr¶n) ð tr¶n X

ành ngh¾a 1.1.13 H m f(x) ÷ñc gåi l  li¶n töc t¤i x0 n¸u f(x)

çng thíi l  nûa li¶n töc tr¶n v  nûa li¶n töc d÷îi t¤i x0 N¸u f li¶n töct¤i måi iºm thuëc X, th¼ f ÷ñc gåi l  li¶n töc ð tr¶n X

M»nh · 1.1.14 (xem [31]) H m f(x) l  nûa li¶n töc d÷îi ð tr¶n tªp

âng X khi v  ch¿ khi vîi måi α ∈ R tªp mùc d÷îi {x ∈ X : f(x) ≤ α}

l  tªp âng H m f(x) nûa li¶n töc tr¶n ð tr¶n X khi v  ch¿ khi vîi måi

Ti¸p theo, chóng ta nh­c l¤i kh¡i ni»m h m cªn tr¶n (d÷îi) cõa mët

hå c¡c h m cho tr÷îc X²t hå c¡c h m {fα : α ∈ I} x¡c ành tr¶n tªplçi X

ành ngh¾a 1.1.16 H m bao tr¶n cõa hå h m {fα : α ∈ I} tr¶n tªplçi X ÷ñc ành ngh¾a bði f(x) := sup{fα(x) : α ∈ I} ∀x ∈ X H mbao d÷îi cõa hå h m {fα : α ∈ I} tr¶n tªp lçi X ÷ñc ành ngh¾a bðig(x) := inf{fα(x) : α ∈ I} ∀x ∈ X

ành lþ 1.1.17 (xem [31]) N¸u fα li¶n töc ð tr¶n tªp X vîi måi α ∈ I

v  tªp ch¿ sè I l  húu h¤n, th¼ f(x) = max{fα(x) : α ∈ I} v  g(x) =min{fα(x) : α ∈ I} công li¶n töc ð tr¶n tªp X

ành lþ 1.1.18 (xem [15]) N¸u fα l  h m lçi tr¶n tªp lçi X vîi måi

α ∈ I, th¼ h m f(x) = max{fα(x) : α ∈ I}lçi tr¶n tªp X N¸u fα l  h mlãm tr¶n tªp lçi X vîi måi α ∈ I, th¼ h m g(x) = min{fα(x) : α ∈ I}lãm tr¶n tªp X

ành ngh¾a 1.1.19 (xem [32]) Cho X l  mët tªp con trong Rn+ Tªp

X ÷ñc gåi l  chu©n t­c (normal) n¸u 0 ≤ x0

≤ x, x ∈ X th¼ x0

∈ X.Tªp X ÷ñc gåi l  èi chu©n t­c (conormal) n¸u 0 ≤ x ≤ x0

, x ∈ X th¼

x0 ∈ X

C¡c ành lþ sau cho ta mèi li¶n h» giúa t½nh ìn i»u t«ng cõa h m

sè vîi t½nh chu©n t­c (èi chu©n t­c) cõa tªp mùc

ành lþ 1.1.20 (xem [32]) N¸u h m f(x) l  nûa li¶n töc tr¶n v  ìn

i»u t«ng tr¶n Rn+, th¼ tªp mùc tr¶n {x ∈ Rn+ : f (x) ≥ 1} l  èi chu©nt­c v  âng £o l¤i, n¸u X l  tªp èi chu©n t­c v  âng, th¼ tçn t¤i

h m f(x) nûa li¶n töc tr¶n v  ìn i»u t«ng tr¶n Rn+ sao cho X = {x ∈

Rn+ : f (x) ≥ 1}

ành lþ 1.1.21 (xem [32]) N¸u h m f(x) nûa li¶n töc d÷îi v  ìn i»ut«ng tr¶n Rn+, th¼ tªp mùc d÷îi {x ∈ Rn+ : f (x) ≤ 1} l  chu©n t­c v 

âng £o l¤i, n¸u X l  tªp chu©n t­c v  âng, th¼ tçn t¤i f(x) nûa li¶ntöc d÷îi v  ìn i»u t«ng tr¶n Rn+ sao cho X = {x ∈ Rn+ : f (x) ≤ 1}.Sau còng, chóng ta nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc v· Gi£i t½ch a trà.Cho ¡nh x¤ a trà F : X ⇒ Rm.

ành ngh¾a 1.1.22 (xem [17]) nh x¤ a trà F ÷ñc gåi l  nûa li¶ntöc d÷îi t¤i x0 n¸u vîi måi d¢y {xk} ⊂ Rn hëi tö tîi iºm x0 ·u tçnt¤i d¢y {yk} ⊂ Rm, yk ∈ F (xk) sao cho yk → y0 ∈ F (x0) N¸u F nûali¶n töc d÷îi t¤i måi iºm thuëc X, th¼ F ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc d÷îi

F li¶n töc t¤i måi iºm thuëc X, th¼ F ÷ñc gåi l  li¶n töc ð tr¶n X

ành ngh¾a 1.1.25 (xem [17]) nh x¤ a trà F ÷ñc gåi l  comp­c ·u(uniformly compact) g¦n x0 ∈ X n¸u tçn t¤i mët l¥n cªn V cõa x0 saocho cl(∪x∈VF (x)) l  tªp comp­c

Cho ¡nh x¤ a trà Q : U ⇒ Rn x¡c ành bði:

Q(u) = {x ∈ V : g(x, u) ≤ 0},trong â V l  mët tªp con trong Rn, U l  mët tªp con trong Rm v  g l 

h m v²ctì tø V × U v o Rs

M»nh · 1.1.26 (xem [17], M»nh · 2.2.1) N¸u méi th nh ph¦n cõa

h m v²ctì g l  nûa li¶n töc d÷îi ð tr¶n tªp V × u v  V âng, th¼ Q nûali¶n töc tr¶n t¤i u

M»nh · 1.1.27 (xem [17], M»nh · 2.2.2) N¸u méi th nh ph¦n cõa

h m v²ctì g lçi theo x khi cè ành u ∈ U v  li¶n töc ð tr¶n tªp Q(u) × u;

V lçi v  tçn t¤i mët v²ctì x ∈ V sao cho g(x, u) < 0, th¼ Q nûa li¶n töcd÷îi t¤i u

X²t hå c¡c b i to¡n tèi ÷u væ h÷îng ÷ñc nhi¹u bði tham sè u

inf{f (x, u) : x ∈ Q(u)},trong â f : Rn× U → R v  Q : U ⇒ Rn l  ¡nh x¤ a trà b§t ký

Kþ hi»u

w(u) = inf{f (x, u) : x ∈ Q(u)}

ành lþ sau cho ta bi¸t v· t½nh li¶n töc cõa ¡nh x¤ w

ành lþ 1.1.28 (xem [17], ành lþ 4.1.1) (i) N¸u Q l  ¡nh x¤ nûa li¶ntöc d÷îi t¤i u v  f nûa li¶n töc tr¶n tr¶n tªp Q(u) × u, th¼ w nûa li¶ntöc tr¶n t¤i u

(ii) N¸u Q l  ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n t¤i u, comp­c ·u g¦n u v  fnûa li¶n töc d÷îi ð tr¶n Q(u) × u, th¼ w l  h m nûa li¶n töc d÷îi t¤i u

1.2 Ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp

Ph¦n n y, chóng tæi ÷a ra mët sè k¸t qu£ v· ph²p bi¸n êi tüa li¶nhñp cõa h m f Tø ¥y cho ¸n h¸t ch÷ìng ta luæn gi£ thi¸t r¬ng f(x)

l  h m sè khæng ¥m, nhªn gi¡ trà húu h¤n tr¶n Rn+ v  f(x) > 0 ∀x > 0.Nh÷ trong [2], h m tüa li¶n hñp cõa h m f ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau

ành ngh¾a 1.2.1 H m f\ ÷ñc gåi l  tüa li¶n hñp cõa f n¸u

sup{f (x) : pTx ≤ 1, x ≥ 0} ∀p ∈Rn+

(quy ֔c 1

+∞ = 0)

V¼ f(x) > 0 ∀x > 0, sup{f(x) : pTx ≤ 1, x ≥ 0} > 0 ∀p ∈ Rn+ Do

â, f\ nhªn gi¡ trà húu h¤n tr¶n Rn+

Tø ành ngh¾a cõa ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp chóng ta chùng minh

N¸u p 6= 0, th¼ vîi måi θ > 0 ta câ

ành ngh¾a 1.2.4 H m sè f ÷ñc gåi l  câ t½nh ph£n x¤ èi vîi ph²pbi¸n êi tüa li¶n hñp n¸u (f\)\ = f, ngh¾a l :

câ t½nh ch§t quan trång n y

Trong tr÷íng hñp f l  tuy¸n t½nh ta câ m»nh · sau

M»nh · 1.2.5 (xem [25]) Cho f l  h m tuy¸n t½nh v  ìn i»u t«ngtr¶n Rn+, ÷ñc x¡c ành bði

n y, TS Phan Thi¶n Th¤ch ¢ ch¿ ra mèi li¶n h» èi ng¨u giúa nguy¶nli»u s£n xu§t v  gi¡ nguy¶n li»u trong b i to¡n s£n xu§t Leontief Ngo i

ra, k¸t qu£ tr¶n công ch¿ ra r¬ng ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp khæng ângk½n èi vîi lîp h m tuy¸n t½nh, ngh¾a l  f\ khæng cán tuy¸n t½nh i·u

n y thóc ©y chóng ta t¼m mët lîp h m rëng hìn thäa m¢n t½nh ângk½n qua ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp

Nhªn th§y h m tuy¸n t½nh, ìn i»u t«ng v  h m s£n xu§t Leontief

·u l  c¡c tr÷íng hñp ri¶ng cõa lîp c¡c h m lãm a di»n, thu¦n nh§t

d÷ìng v  ìn i»u t«ng tr¶n Rn, chóng tæi ¢ ch¿ ra r¬ng lîp c¡c h mlãm a di»n, thu¦n nh§t d÷ìng v  ìn i»u t«ng tr¶n Rn thäa m¢n t½nhph£n x¤ v  âng k½n qua ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp K¸t qu£ n y ÷ñcthº hi»n ð ành lþ sau ¥y.

ành lþ 1.2.6 N¸u f l  h m lãm a di»n, thu¦n nh§t d÷ìng v  ìn

i»u t«ng tr¶n Rn, th¼ h m tüa li¶n hñp cõa f công l  h m lãm a di»n,thu¦n nh§t d÷ìng v  ìn i»u t«ng tr¶n Rn Hìn núa, (f\)\ = f

Chùng minh °t F = {x ∈ Rn+ : f (x) ≥ 1} V¼ f l  h m a di»n lãm,n¶n F l  mët tªp lçi a di»n Gåi {y1, y2, , yr} l  tªp gçm t§t c£ c¡c

¿nh cõa F D¹ th§y yi ∈ Rn

+, yi 6= 0 ∀i = 1, 2, , r V¼ f l  h m li¶ntöc, ìn i»u t«ng tr¶n Rn+, n¶n F l  tªp èi chu©n t­c trong Rn+ v  do

â Rn+ l  nân lòi xa cõa tªp F Theo M»nh · 1.1.5, chóng ta câ

f\(p) = max{γ ≥ 0 : p ∈ γF∗}

Thªt vªy, vîi måi p ∈Rn+ ta câ

v  do â F∗ công l  li¶n hñp tr¶n cõa F Vªy, F∗ = G.

V¼ F∗ l  li¶n hñp tr¶n cõa F v  f\ công l  h m lãm a di»n, thu¦nnh§t d÷ìng v  ìn i»u t«ng tr¶n Rn, ta câ

(f\)\ = max{γ ≥ 0 : x ∈ γ(F∗)∗}

Gi£ thi¸t f thu¦n nh§t d÷ìng, n¶n f(x) = max{γ ≥ 0 : x ∈ γF } Do

â, º chùng minh (f\)\ = f ta c¦n chùng minh (F∗)∗ = F

V¼ F∗ l  li¶n hñp tr¶n cõa F n¶n ta câ F ⊂ (F∗)∗ £o l¤i, l§y x ≥ 0,

x /∈ F Tø c¡c gi£ thi¸t cõa f suy ra F l  tªp èi chu©n t­c, lçi, ângtrong Rn+ (theo ành lþ 1.1.21) Do F l  tªp èi chu©n t­c, F khæng giaovîi o¤n [0; x] Theo ành lþ t¡ch c¡c tªp lçi, tçn t¤i v²ctì q ∈ Rn\ {0}

v  sè thüc α sao cho

Ta kh¯ng ành r¬ng q ≥ 0 Thªt vªy, gi£ sû q = (q1, q2, , qn) v  tçn t¤i

qi < 0 Khi â, vîi x0 ∈ F ta câ xk = (x01, , x0i + k, , x0n) ∈ F ∀k ∈ N(do F l  tªp èi chu©n t­c) v  qTxk → −∞khi k → +∞ i·u n y m¥uthu¨n vîi (1.3) Tø (1.4) suy ra α > 0 °t p = 1

K¸t qu£ ÷ñc ph¡t biºu trong ành lþ 1.2.6 l  sü mð rëng cõa ph²pbi¸n êi tüa li¶n hñp cho lîp h m tuy¸n t½nh v  ÷ñc tr¼nh b y ð b ib¡o [28].

Sau ¥y l  mët k¸t qu£ kh¡c v· t½nh ph£n x¤ khi f l  h m s£n xu§tCobb-Douglas tr¶n Rn+

M»nh · 1.2.7 Cho f l  h m s£n xu§t Cobb-Douglas tr¶n Rn+:

Chùng minh N¸u p = (p1, p2, , pn) v  tçn t¤i pi = 0 th¼ pTxk ≤ 1 vîimåi xk = (x1, x2, , kxi, , xn), trong â x > 0 thäa m¢n pTx ≤ 1 Do

f (x) > 0 n¶n f(xk) = kαif (x) → +∞ khi k → +∞ Suy ra f\(p) = 0.N¸u p > 0 ta câ

H m s£n xu§t Cobb-Douglas thäa m¢n t½nh ph£n x¤ v  khæng ph£i

l  h m lãm tr¶n Rn+ i·u n y chùng tä r¬ng tçn t¤i lîp h m têng qu¡t

hìn bao h m t§t c£ c¡c tr÷íng hñp ri¶ng ¢ x²t ð tr¶n thäa m¢n t½nhch§t ph£n x¤.

M»nh · sau cho ta mët sè t½nh ch§t cõa h m li¶n hñp f\

M»nh · 1.2.8 H m f\ l  tüa lãm v  ìn i»u t«ng tr¶n Rn+

Chùng minh Cho p, p0

∈ Rn + Vîi méi t ∈ [0; 1] ta câ{x ≥ 0 : (tp+(1−t)p0)Tx ≤ 1} ⊂ {x ≥ 0 : pTx ≤ 1}∪{x ≥ 0 : (p0)Tx ≤ 1}

sup{f (x) : pTx ≤ 1, x ≥ 0};

1sup{f (x) : (p0)Tx ≤ 1, x ≥ 0}}

i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi

f\(tp + (1 − t)p0) ≥ min{f\(p); f\(p0)}

Vªy, f\ l  tüa lãm

Gi£ sû 0 ≤ p ≤ p0

, ta câ{x ∈ Rn+ : (p0)Tx ≤ 1} ⊂ {x ∈Rn+ : pTx ≤ 1}

Suy ra

sup{f (x) : pTx ≤ 1, x ≥ 0} ≥ sup{f (x) : (p0)Tx ≤ 1, x ≥ 0} > 0

i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi f\(p) ≤ f\(p0) Do â, f\ l  h m ìn i»ut«ng

Nhªn x²t 1.2.9 ành lþ tr¶n cho ta i·u ki»n c¦n º h m f thäa m¢nt½nh ph£n x¤ l  f tüa lãm v  ìn i»u t«ng tr¶n Rn+ Ngo i ra, ành lþcán ch¿ ra r¬ng ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp b£o to n t½nh tüa lãm, ngh¾a

l  li¶n hñp cõa h m tüa lãm công l  h m tüa lãm Tuy nhi¶n, t½nh ch§t

n y khæng cán óng èi vîi lîp c¡c h m lãm Thüc vªy, l§y f(x) l  h mlãm tr¶n R+, x¡c ành bði:

i·u n y gi£i th½ch lþ do v¼ sao chóng ta gåi ph²p bi¸n êi (÷ñc x¡c

ành trong ành ngh¾a 1.2.1) l  tüa li¶n hñp

ành lþ sau cho ta i·u ki»n têng qu¡t º mët h m sè thäa m¢n t½nhph£n x¤ qua ph²p tüa li¶n hñp

ành lþ 1.2.10 N¸u f l  h m tüa lãm, nûa li¶n töc tr¶n v  ìn i»ut«ng tr¶n Rn+, th¼ f câ t½nh ph£n x¤ qua ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp.Chùng minh °t

sup{f\(p) : pTx ≤ 1, p ≥ 0}.Cho γ l  mët sè thüc d÷ìng, chóng ta kþ hi»u Fγ v  Fγ t÷ìng ùng l¦nl÷ñt l  c¡c tªp mùc tr¶n cõa c¡c h m f v  f t¤i γ, tùc l :

Fγ = {x ∈ Rn+ : f (x) ≥ γ}, Fγ = {x ∈ Rn+ : f (x) ≥ γ}

º chùng minh f(x) = f(x) ∀x ∈ Rn+ chóng ta ch¿ c¦n chùng minh

Fγ = Fγ vîi måi γ > 0 Gi£ sû x ∈ Fγ nh÷ng x /∈ Fγ Khi â, ta câ

f (x) < γ hay

1sup{f\(p) : pTx ≤ 1, p ≥ 0} < γ.

i·u n y câ ngh¾a l  tçn t¤i v²ctì p ≥ 0 thäa m¢n pTx ≤ 1 sao cho

sup{f (x) : pTx ≤ 1, x ≥ 0} >

1γ

⇔ sup{f (x) : pTx ≤ 1, x ≥ 0} < γ

⇔ f (x) < γ ∀x ≥ 0 thäa pTx ≤ 1

Tø ¥y suy ra f(x) < γ i·u n y m¥u thu¨n vîi x ∈ Fγ v  do â,

Fγ ⊂ Fγ Ta kh¯ng ành r¬ng n¸u Fγ 6= ∅ th¼ Fγ 6= ∅ Thªt vªy, gi£ sû

x ∈ Fγ Khi â, ta câ

l  tªp comp­c Gi£ thi¸t h m f nûa li¶n töc tr¶n, tø (1.7) suy ra tçnt¤i v²ctì ˜x ≥ 0, ˜pTx ≤ 1˜ sao cho f(˜x) ≥ γ Tø ¥y suy ra ˜x ∈ Fγ v  do

â, Fγ l  tªp kh¡c réng B¥y gií ta gi£ sû x ∈ Fγ nh÷ng x /∈ Fγ Chó þr¬ng f l  h m tüa lãm, nûa li¶n töc tr¶n v  ìn i»u t«ng tr¶n Rn+, theo

ành lþ 1.1.20, ta câ Fγ l  mët tªp èi chu©n t­c, lçi v  âng trong Rn+

i·u n y suy ra Fγ khæng giao vîi o¤n [0; x] Theo ành lþ t¡ch ch°t

c¡c tªp lçi, tçn t¤i v²ctì q 6= 0 v  sè thüc α sao cho

B¬ng c¡ch chùng minh t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh ành lþ 1.2.6,

tø (1.8) ta suy ra q ≥ 0 v  tø (1.9) cho ta α > 0 i·u n y suy ra tçnt¤i t > 0 õ nhä sao cho (q + te)Tx ≤ α, trong â e = (1, 1, , 1) °t

Lîp h m thäa m¢n gi£ thi¸t ành lþ 1.2.10 l  õ rëng v  ÷ñc nhi·u

nh  to¡n håc hay kinh t¸ nghi¶n cùu, nâ bao h m ph¦n lîn c¡c h m s£nxu§t trong c¡c mæ h¼nh kinh t¸

N¸u h m f l  li¶n töc, th¼ t½nh li¶n töc cõa f\ ÷ñc x¡c ành trongm»nh · sau

M»nh · 1.2.11 N¸u f li¶n töc tr¶n Rn+, th¼ f\ nûa li¶n töc tr¶n t¤imåi p ≥ 0 v  nûa li¶n töc d÷îi t¤i måi p > 0

Chùng minh Ta x¥y düng ¡nh x¤ a trà C : Rn+ ⇒ Rn+ bði:

C(p) = {x ≥ 0 : pTx − 1 ≤ 0}

Vîi méi p ∈ Rn+, ta câ h m pTx − 1 li¶n töc tr¶n Rn+× p Theo M»nh ·1.1.26, ta câ C nûa li¶n töc tr¶n t¤i p Ta công câ pTx − 1 l  h m li¶ntöc ð tr¶n C(p) × p v  lçi theo x vîi méi p cè ành Hìn núa, câ 0 ∈Rn+

thäa m¢n pT0 − 1 < 0 p döng M»nh · 1.1.27, C l  nûa li¶n töc d÷îit¤i p Vªy, C l  h m li¶n töc ð tr¶n Rn+ Tø ¥y còng vîi ành lþ 1.1.28suy ra p → sup{f(x) : pTx ≤ 1, x ≥ 0} l  h m nûa li¶n töc d÷îi t¤i måi

p ≥ 0 Do â, h m f\(p) l  nûa li¶n töc tr¶n t¤i måi p ≥ 0

B¥y gií, chóng ta chùng minh f\(p) l  nûa li¶n töc d÷îi ð tr¶n Rn++.Vîi p > 0 b§t ký, ta kh¯ng ành C(p) thäa m¢n t½nh comp­c ·u g¦n

p Thüc vªy, do p > 0 ta câ thº l§y h¼nh c¦u âng B t¥m p sao cho

p > 0 ∀p ∈ B Gi£ sû cl(∪p∈BC(p)) khæng comp­c, khi â, tçn t¤id¢y {xn} trong cl(∪p∈BC(p)) thäa m¢n ||xn|| → +∞ Suy ra ∀p ∈ B,

pTxn → +∞ khi n → +∞ i·u n y m¥u thu¨n vîi thüc t¸ ph£i câ l 

pTxn ≤ 1 t¤i ½t nh§t p ∈ B Do â, C(p) thäa m¢n t½nh comp­c ·ug¦n p Theo ành lþ 1.1.28, h m p → sup{f(x) : pTx ≤ 1, x ≥ 0} nûali¶n töc tr¶n t¤i p v  do â, f\(p) l  h m nûa li¶n töc d÷îi t¤i p > 0 V¼

p > 0 l§y b§t ký, n¶n h m f\ nûa li¶n töc d÷îi t¤i måi p > 0

F1∗γ

Chùng minh L§y tòy þ p ∈ F∗

⊂ 

p ∈ Rn+ : pTx ≥ 1 ∀x ∈ Fγ

º chùng minh bao h m thùc ng÷ñc l¤i, ta l§y p ≥ 0 tòy þ thäa m¢n

pTx ≥ 1 ∀x ∈ Fγ Khi â, ta câ



p ∈ Rn+ : pTx ≥ 1 ∀x ∈ Fγ ⊂ F∗1

γ

.Nh÷ vªy, (1.14) ÷ñc chùng minh

B¥y gií, ta s³ chùng minh (1.15) °t

A = nx ∈ Rn+ : pTx ≥ 1 ∀p ∈ F∗1

γ

o

.Theo chùng minh (1.14), ta câ F∗

1

γ l  li¶n hñp tr¶n cõa Fγ, do â ta câbao h m thùc Fγ ⊆ A £o l¤i, l§y x ≥ 0, x /∈ Fγ Tø gi£ thi¸t f li¶ntöc, tüa lãm v  ìn i»u t«ng ð tr¶n Rn+, theo ành lþ 1.1.21, ta câ Fγ

l  tªp èi chu©n t­c, lçi v  âng trong Rn+ Tø t½nh èi chu©n t­c cõa

Fγ d¨n ¸n Fγ khæng giao vîi o¤n [0; x] Theo ành lþ t¡ch c¡c tªp lçi,tçn t¤i v²ctì q ∈ Rn \ {0} v  sè thüc α sao cho

÷u cho b i to¡n tèi ÷u khæng lçi, chóng tæi ÷a ra kh¡i ni»m tüa d÷îigradient v  chùng minh mët sè t½nh ch§t phöc vö cho vi»c thi¸t lªp c¡ck¸t qu£ trong c¡c ch÷ìng sau

X²t f l  h m lçi ch½nh th÷íng b§t ký tr¶nRn Chóng ta bi¸t r¬ng v²ctì

p ∈ Rn l  d÷îi gradient cõa f t¤i x n¸u pT(x−x) ≤ f (x)−f (x) ∀x ∈ Rn

i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi f∗(p) ≤ pTx − f (x), trong â f∗ l  h m li¶nhñp Fenchel cõa f, x¡c ành bði: f∗(p) = supx∈Rn{pTx − f (x)} ([15]).Nh÷ vªy, chóng ta th§y r¬ng d÷îi gradient cõa h m lçi câ thº ÷ñc ànhngh¾a qua h m li¶n hñp Fenchel B¬ng c¡ch t÷ìng tü nh÷ tr¶n, chóng ta

÷a ra kh¡i ni»m tüa d÷îi gradient cõa f qua h m tüa li¶n hñp f\ nh÷sau

ành ngh¾a 1.3.1 V²ctì p ∈ Rn+ ÷ñc gåi l  tüa d÷îi gradient cõa ft¤i x n¸u

c i : i = 1, 2, n} ∀p ∈ Rn+ Suy ra f\(p) =

0 ∀p ∈ Rn+\Rn

++ Vîi x ∈ Rn+\ {0}, ta °t I = {i ∈ {1, 2, , n}| xi = 0}.Khi â, ta câ

Chùng minh V¼ f li¶n töc, tüa lãm, ìn i»u t«ng tr¶n Rn+, Ff (x) l  tªp

èi chu©n t­c, lçi v  âng trong Rn+ Gi£ sû tçn t¤i h¼nh c¦u mð B t¥mt¤i x sao cho B ⊂ Ff (x) Khi â, tçn t¤i ˆx ∈ B sao cho ˆx < x, v  do â

f (ˆx) < f (x) (f ìn i»u t«ng ch°t) i·u n y m¥u thu¨n vîi ˆx ∈ Ff (x).Nh÷ vªy, x l  iºm bi¶n cõa tªp lçi Ff (x) i·u n y d¨n ¸n tçn t¤i v²ctì

Gi£ sû p ∈ ∂\f (x) Theo ành lþ 1.2.10, ta câ (f\)\ = f Do â,

1

f (x) Suy ra f\(p) ≥ f (x)1 hay f\(p)f (x) ≥ 1 i·u

n y còng vîi gi£ thi¸t pTx = 1 d¨n ¸n p ∈ ∂\f (x)

M»nh · sau cho ta mèi li¶n h» giúa kh¡i ni»m d÷îi gradient cõa h mlçi vîi kh¡i ni»m tüa d÷îi gradient

M»nh · 1.3.5 Cho f l  h m li¶n töc, tüa lãm v  ìn i»u t«ng ch°ttr¶n Rn+ Khi â, vîi måi x > 0 chóng ta câ

−p ∈ ∂(−f )(x) \ {0} ⇒ 1

pTxp ∈ ∂

\f (x),

trong â ∂(−f)(x) l  tªp d÷îi vi ph¥n cõa −f t¤i x

Chùng minh Cho −p ∈ ∂(−f)(x) \ {0} Khi â, vîi måi x ta câ

pT(x − x) ≥ f (x) − f (x)

Suy ra

V¼ f l  ìn i»u t«ng tr¶n Rn+, n¶n ta câ Ff (x) l  tªp èi chu©n t­c trong

Rn+ B¬ng c¡ch chùng minh t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh cõa ành lþ1.2.10, tø (1.25) suy ra p ≥ 0 Do â, (1.25) t÷ìng ÷ìng vîi

Nhªn x²t 1.3.6 Cho f(x) l  h m lãm húu h¤n tr¶n Rn v  x ≥ 0 l 

iºm cüc trà cõa f Khi â, ta câ 0 ∈ ∂(−f)(x) nh÷ng 0 /∈ ∂\f (x) i·u

n y cho ta th§y tüa d÷îi gradient m  chóng ta ÷a ra khæng ph£i l kh¡i ni»m mð rëng cõa kh¡i ni»m d÷îi gradient

¤o h m theo h÷îng d ∈ Rn cõa f t¤i x l 

Chùng minh L§y d ∈ Rn+ b§t ký Khi â, ta câ x + td ≥ x ∀t ≥ 0 V¼ f

V¼ f kh£ vi t¤i x, ta câ ∇f(x)Td = f0(x, d) ≥ 0 ∀d ∈ Rn+ \ {0} Vªy,

∇f (x) ≥ 0 L§y b§t ký x ∈ Ff (x) V¼ f tüa lãm tr¶n Rn+, n¶n vîi måi

C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng n y bao gçm:

- i·u ki»n õ cho t½nh ph£n x¤ cõa ph²p bi¸n êi tüa li¶n hñp f\

trong ành lþ 1.2.6 v  ành lþ 1.2.10

- i·u ki»n õ º h m f câ tüa d÷îi vi ph¥n v  mèi li¶n h» vîi d÷îi

vi ph¥n Fenchel trong ành lþ 1.3.3, M»nh · 1.3.4 v  M»nh · 1.3.5