Tìm m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.. Tính thể tích tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳ
Trang 1Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: y = x3 3mx + 22 (1), m là tham số
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
2 Tìm m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 3 cot2 x2 2 sin2 x(2 3 2 ) cos x
2 Giải phương trình: 3 2 6 3 7
3
x
x x
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân
1
2 1
3
x
dx
x x
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA = a,
SB = a 3 , BAD = 600 và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N là trung điểm của AB,
BC Tính thể tích tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN
Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
Câu VI (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3,2), trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là G(2 2,
3 3) và I(1,-2) Xác định tọa độ đỉnh C
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1 1
d , điểm
A (1,4,2) và mặt phẳng (P): 5x – y + 3z – 7 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A,
nằm trong mp(P) biết rằng khoảng cách giữa d và bằng 2 3
Câu VII (1,0 điểm) Cho hai số phức z , z1 2 thỏa mãn i.z1 2 0,5 và z = i.z2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của z1 z2
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:……… SBD:………
TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A,B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Trang 2TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ TƯ
NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A, B
m = 1 y = x3 3x + 22
a) TXĐ: R
b) Sự biến thiên:
*) Giới hạn: lim ; lim
0,25
*) Chiều biến thiên:
x = 2
y' = 3x 6x ; y' = 0
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-; 0) và (2; + ), hàm số nghịch biến trên (0; 2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ= 2; hàm số đạt tiểu tại x = 2, yCT= - 2
0,25
BBT x - 0 2 +
f’(x) + 0 - 0 + f(x) 2 +
- -2 0,25
I-1
(1điểm
)
c) Đồ thị:
5
4
2
-2
-4
y
x
0,25
y = x 3mx + 2 y' = 3x2 6mx ; x = 0
x = 2m
y' = 0
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt m 0 0,25
I-2
(1điểm
)
Với m 0 thì đồ thị hàm số (1) có tọa độ 2 điểm cực trị là: A(0; 2) và
B(2m;-4m3+2)
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B là:
2 3
= 2m x + y 2 = 0
Trang 3AB cắt Ox tại 12
m
, cắt Oy tại A(0; 2) Đường thẳng qua 2 điểm cực trị tạo với các trục tọa độ tam giác OAC vuông tại O ta
S = OA.OC = 2 =
Yêu cầu bài toán thỏa mãn 12 4 1
m
2
Điều kiện : x k
Phương trình tương đương: 3cosx( 2
sin
cos
2
x
x
) = 2(cosx - 2sin 2 x) 0,25
(cosx - 2sin 2 x)(3cosx – 2sin2x) = 0
0 2 cos 3 cos 2
0 2 cos cos
2 2 2
x x
x x
0,25
2
c o s
2
1
c o s
2
x
x lo a i x
0,25
II-1
(1
điểm)
KÕt hîp víi ®/k suy ra pt cã nghiÖm: x = 2
4 k
& x = 2
3 k
x
x x x x , x 7
Đặt
1 1
3
u x
ta có hệ phương trình:
2
2
1 2 3 1 2 3
0,25
2
u v u v
2
0
u v
hoặc
2
u v
0,25
(lo¹i)
6
u
u
2
2
17
u v
0,25
II-2
(1
điểm)
Trang 4+ Với 1 69 1 69 1 69 7
u x
2
x
1
1
1 1
3 1
3
26 3
27
1
2
1
3
III
(1
điểm)
Vậy 26 16 2
27
Từ giả thiết có AB = 2a, SA = a,
SB = 3, tam giác ASB vuông tại S suy ra
2
AB
SM a do đó tam giác SAM đều
Gọi H là trung điểm AM thì
SHAB Mặt khác (SAB)(ABCD) nên
suy ra SH (ABCD)
N
M B
A
S
C
D H
Q K
0,25
Gọi Q là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 4 AQ khi đó MQ//ND nên
(SM DN, ) (SM QM, ) Gọi K là trung điểm MQ suy ra HK//AD nên HK MQ
Mà SH (ABCD), HK MK suy ra SK MQ suy ra (SM DN, )(SM QM, )SMK 0,25
IV
(1
điểm)
Trong tam giác vuông SMK:
3 3
os
4
MK
c SMK
V
(1 điểm)
ĐÆt x = a2,yb z2, c2 Do xy z 3suy ra a2b2c23
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của
P
Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân có:
3
3
3
3
3
3
(3)
0,5
Trang 5Cộng theo vế ta được:
2 2 2 9 3 2 2 2
Vì a2+b2+c2=3
2
P
vậy giá trị nhỏ nhất 3
2
P khi a = b = c =1 x = y = z = 1
0,25
7 4
3 3
IM GM
Gọi A(x A ; y A ) Có AG2GM
A(-4; -2)
0,25
Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ IM
làm vec tơ pháp tuyến nên có PT:
Gọi C(x; y) Có C BC x + 2y - 7 = 0
Mặt khác IC = IA (x1)2(y2)2 25(x1)2(y2)225 0,25
VI- 1
(1 điểm)
Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình:
x y
1
x y
3
x y
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3)
0,25
Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và cách A(1,4,2) một khoảng 2 3
(Q) qua N(1, -1, 1) thuộc d nên có phương trình: a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = 0 (1)
Do (Q) qua N’(1, -1, 1) thuộc d nên 2a + b + c =0 hay c = - 2a – 2b (2)
0,25
A Q
Thay (2) vào (3) có 7a28ab b 2 0 Chọn b = 1 được a = -1 hoặc a = 1
7
0,25
Với b = 1 , a = -1 thì (Q) có phương trình: x – y – z – 1 = 0
Đường thẳng qua A và song song với giao tuyến của (P) và (Q) có VTCP
u
nên có phương trình:
x y z
0,25
VI-2
(1 điểm)
Với b = 1 , a = 1
7
thì (Q) có phương trình: x –7y +5z – 13 = 0 Đường thẳng qua A và song song với giao tuyến của (P) và (Q) có VTCP
( 8,11,17)
u
nên có phương trình: 1 4 2
0,25
Đặt z1x1iy x y1( ,1 1R)
Khi đó điểm M( ,x y1 1) biểu diễn z1,
i.z 2 0, 5 i.x y 2 0,5x (y 2 ) 0, 25
Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn z là đường tròn (C1 1 ) tâm O 1 (0, 2) bán kính
R1=0,5
0,25
VII
(1 điểm)
z iz y x i Suy ra N (- y1 , x1) biểu diễn z 2
0,25
Trang 6Ta cần tìm M thuộc (C 1 ) để z1z2 MN nhỏ nhất
Để ý rằng OM x y( ,1 1) ON( y x1, )1
MN đạt giá trị nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất Đường thẳng OO1 đường tròn (C1) tại
M1(0, 2 1
2
) và M 2 (0, 2 1
2
) Dễ thấy MN nhỏ nhất bằng 2 1
2
M1(0, 2 1
2
2
0,25
