Analysis & extremal

Trên phương diện phương pháp, có hai cách tiếp cận chính cho lời giải của các bài toán cực trị, đó là phương pháp sử dụng bất đẳng thức và phương pháp hàm số.. Phương pháp hàm số sẽ khảo

Giải tích và các bài toán cực trị

Trần Nam Dũng Đại học KHTN Tp HCM

“Since the building of the universe is perfect and is created by the wisdom creator, nothing arises in

the universe in which one cannot see the sense of some maximum or minimum.” - Leonard Euler.

Trong các bài toán ở trường phổ thông, các bài toán cực trị thuộc vào một trong những dạng toán gần với những ứng dụng thực tế nhất Những yêu cầu về đường đi ngắn nhất, đường đi nhanh nhất, góc nhìn lớn nhất, tổng thời gian chờ đợi ít nhất, tổng chi phí ít nhất, tổng lợi nhuận cao nhất, diện tích lớn nhất … là những yêu cầu rất tự nhiên xuất phát từ những bài toán của sản xuất, đời sống và khoa học Chính vì thế những bài toán cực trị cần có một chỗ đứng xứng đáng trong chương trình toán ở phổ thông, các phương pháp giải bài toán cực trị cũng cần phải được trình bày một cách bài bản

Trên phương diện phương pháp, có hai cách tiếp cận chính cho lời giải của các bài toán cực trị, đó là phương pháp sử dụng bất đẳng thức và phương pháp hàm số Với phương pháp bất đẳng thức, sơ đồ

cơ bản là: Để chứng minh M là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên miền D (x có thể là một véc-tơ),

ta sẽ chứng minh

i) f(x) ≤ M với mọi x thuộc D

ii) Tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = M

Phương pháp hàm số sẽ khảo sát hàm f(x) trên D và dựa vào các định lý của giải tích để tìm ra điểm cực trị và giá trị M

Chú ý rằng, trong chương trình phổ thông khái niệm hàm nhiều biến chưa được đề cập, cho nên, mặc dù chúng ta sẽ bắt gặp những bài toán nhiều biến nhưng công cụ chủ yếu vẫn là công cụ đạo hàm của hàm số một biến

Trong bài viết này, chúng ta sẽ chủ yếu đề cập đến các phương pháp giải tích để giải bài toán cực trị Chúng ta sẽ bắt đầu bằng những bài toán cực trị hàm một biến giải bằng nguyên lý Fermat và định lý tồn tại Weierstrass Sau đó chúng ta sẽ chuyển sang các bài toán cực trị nhiều biến giải bằng phương pháp khử dần các biến để đưa về trường hợp 1 biến Tiếp đến là các bài toán cực trị có điều kiện

Trong phần cuối cùng, chúng ta sẽ đề cập đến cách tiếp cận các bài toán cực trị nhiều biến bằng các

sử dụng các công cụ toán cao cấp (đạo hàm riêng theo từng biến, phương pháp nhân tử Lagrange) Đây là phần dành cho giáo viên và các học sinh lớp chuyên để có một cái nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề cực trị hàm nhiều biến Góc nhìn này sẽ giúp các học sinh sau này lên các bậc học cao không bị làm theo quán tính, giải các bài toán cực trị nhiều biến bằng các công cụ thô sơ (và

vì thế đòi hỏi rất nhiều sự sáng tạo)

Để giúp các bạn học sinh nhìn thấy vẻ đẹp, sức mạnh và sự hiệu quả của các phương pháp giải tích, chúng tôi cố gắng chọn những ví dụ đặc trưng và điển hình nhất Các ví dụ và bài toán trong bài này được lấy từ những bài toán và định lý kinh điển, những bài toán thi Olympic, những đề thi đại học Ngoài các ví dụ có lời giải và bình luận chi tiết, chúng tôi đưa ra một số bài tập tự giải dành cho bạn đọc

1 Nguyên lý Fermat

Phương pháp có tên là nguyên lý Fermat là một phương pháp mà ai cũng biết đến: nếu hàm số f là khả vi thì mỗi một điểm cực tiểu (cực đại) địa phương của nó đều là điểm dừng, tức là là nghiệm của phương trình f’(x) = 0 Về điều này trước Fermat cũng đã từng được nhắc tới:

“Về cả hai phía của điểm có giá trị lớn nhất sự giảm ban đầu không đáng kể”

(Johan Kepler)

Điều ngược lại không đúng: điểm dừng có thể không phải là điểm cực trị của hàm số, như ví dụ đơn giản sau: hàm x3 tại điểm x = 0 Để tìm các giá trị cực trị của hàm số f, ta giải phương trình f’(x) = 0, tìm được tất cả các điểm dừng là những điểm “nghi can” cho các giá trị cực trị Sau đó ta sử dụng định lý tồn tại: một hàm số liên tục trên đoạn [a, b] sẽ đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đó Ta sẽ coi định lý này là hiển nhiên về mặt hình học và bỏ qua phép chứng minh đó Như vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục, khả vi trên đoạn [a, b] tồn tại và ta chỉ cần tìm các giá trị này tại các điểm dừng và hai đầu mút

Bổ đề 1 Nếu hàm số f: R  R liên tục và f(x)  +∞ khi |x|  +∞ thì nó đạt được giá trị nhỏ nhất trong Rn

Bổ đề 2 Nếu hàm số f: (a, b)  R liên tục và f(x)  +∞ khi x  a và x  b thì nó đạt được giá trị nhỏ nhất trên (a, b)

Điều kiện tồn tại giá trị lớn nhất cũng được phát biểu tương tự Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một ví dụ kinh điển

Ví dụ 1 Định luật Snellius Tia sáng cắt đường biên của hai môi trường, vào với góc α và ra với góc

β (góc giữa tia sáng với đường vuông góc với đường biên tại điểm cắt) Khi đó

b

v

β

α sin sin

= , trong

đó va, vb là vận tốc ánh sáng trong các môi trường đó

Lời giải: Ta sẽ sử dụng nguyên lý Fermat trong quang học: ánh sáng trong đường đi của mình từ

một điểm đến một điểm luôn chọn đường đi ngắn nhất về mặt thời gian Nếu ta lấy trên tia sáng hai

điểm A, B nằm về hai phía đối với đường biên, còn chính đường biên ký hiệu là l là ta thu được bài

toán tìm cực tiểu:









∈

→ +

=

l M

v

BM v

AM M

f

b a

min )

(

Giá trị nhỏ nhất tồn tại, điều này được đảm bảo bởi bổ đề 1 Gọi điểm mà hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

là M0 Vấn đề là tính đạo hàm của hàm số f Điều này có thể làm thế nào? Ta có thể thực hiện điều này bằng cách tìm ra biểu thức hàm số f sử dụng định lý Pythagore:

Gọi AH, BK là đường vuông góc hạ từ A, B tương ứng xuống Đặt AH = a, BK = b và HK = c Đặt

HM = x thì ta có

2 2

2

2 x , BH b (c x)

a

Từ đó

v x a x g M

Theo bổ đề 1 thì f(M) đạt được giá trị nhỏ nhất tại một điểm M0 nào đó Và theo nguyên lý Fermat thì f’(M0) = 0 Nhưng

b

x c v

x a

x x

g M

f

2 2

2

) ( ' )

(

'

− +

−

− +

=

=

Từ đó f’(M0) = 0 

b a

b

x c v

x a

)

2

0 2

2

− +

−

−

Ví dụ 2 Có một miếng thép kích thước 1m × 1m Người ta muốn làm từ tấm thép một hình hộp không đáy bằng cách cắt ở 4 góc các hình vuông kích thước x × x, gấp lên rồi hàn lại Hỏi phải chọn

x bằng bao nhiêu để thể tích hình hộp là lớn nhất?

Lời giải: Rõ ràng ta phải có 0 ≤ x ≤ 1/2 Thể tích hình hộp là V(x) = x(1 – 2x)2 Với bài toán này, chỉ cần 1 chút khéo léo là ta có thể dùng bất đẳng thức Cô-si để tìm ra giá trị lớn nhất Tuy nhiên, sử dụng phương pháp hàm số sẽ là phương pháp tự nhiên và không đòi hỏi bất cứ một sự sáng tạo đặc biệt nào:

V’(x) = 12x2 – 8x + 1 = (2x-1)(6x-1)

Từ đó ta có V(x) chỉ có thể đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các điểm 0 (biên), 1/6 (điểm dừng), 1/2 (biên) Vì V(0) = V(1/2) = 0, V(1/6) = 2/27 nên ta suy ra Vmax = 2/27 khi x = 1/6

Bài tập 1 Hãy giải bài toán trên với miếng thép có kích thước a × b bằng một trong các phương pháp sau

a) Dùng bất đẳng thức Cauchy ;

b) Dùng đạo hàm

Ví dụ 3 Qua một điểm nằm trong một góc cho trước, hãy kẻ đoạn thẳng có độ dài ngắn nhất có đầu

mút nằm trên các cạnh của góc

Lời giải: Bổ đề 1 đảm bảo sự tồn tại của đoạn thẳng ngắn nhất Giả sử đoạn thẳng ngắn nhất là AB

và điểm nằm trong góc là M Qua M ta kẻ một đường thẳng khác là A’B’ Gọi γ là góc có hướng giữa A’B’ và AB Hàm số f(γ) = A’B’ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm γ = 0 do đó f’(0) = 0 Đặt α =

∠OAB, β = ∠OBA trong đó O là đỉnh của góc Sử dụng định lý hàm số sin cho các tam giác MAA’

và MBB’, ta có

) sin(

sin '

, ) sin(

sin '

γ β

β γ

α

α

+

=

−

Từ đó

) sin(

2 / cos

) 2 / sin(

2 )

sin(

2 / cos

) 2 / sin(

2

1 ) sin(

sin 1

) sin(

sin

' ' '

'

γ α

γ α

γ γ

α

γ α γ

γ β

β γ

α α

+

+

−

−

−

=







+

+







−

=

−

− +

=

−

=

∆

MB MA

MB MA

MB MA MB MA AB B A

f

Như vậy









+

+

−

−

−

=

∆

∆

) sin(

2 / cos

) sin(

2 / cos

) 2 / sin(

2

γ α

γ

α γ

α

γ

α γ

γ

f

Cho γ  0, ta được

f’(0) = MAcotg(α) – MBcotg(β)

Nhưng vì f’(0) = 0 nên ta có MAcotg(α) = MBcotg(β) Kết quả này có ý nghĩa hình học như thế nào? Hạ đường vuông góc OH xuống AB Dễ dàng kiểm tra được rằng HB/HA = cotg(β)/cotg(α) Mặt khác MA/MB = cotg(β)/cotg(α), suy ra

MA = HB, MB = HA Như vậy,

Đoạn thẳng ngắn nhất AB được đặc trưng bởi tính chất sau: Hình chiếu của O lên AB đối xứng với M qua trung điểm của AB.

Nhận xét Tại sao chúng ta chỉ tìm ra đặc trưng hình học của đoạn thẳng AB mà không nêu ra cách

dựng của nó? Vấn đề là với một vị trí tổng quát, lời giải này không thể dựng được bằng thước và com-pa Trong thực tế, có nhiều bài toán cực trị ta chỉ đưa ra được các tính chất đặc trưng của lời giải chứ không tìm được lời giải mang tính xây dựng

Bài tập 2 Đường thẳng đi qua một điểm nằm trong một góc, cắt góc này thành một tam giác có diện

tích nhỏ nhất Hãy tìm lời giải hình học và lời giải giải tích cho bài toán này

Bài tập 3 Cũng bài toán trên với chu vi nhỏ nhất Hãy tìm cả lời giải hình học lẫn lời giải giải tích

Bài tập 4 Qua một điểm nằm trong góc vuông hãy kẻ một đường thẳng sao cho OA + OB nhỏ nhất

(O là đỉnh góc vuông, A, B là giao điểm của đường thẳng với các cạnh góc vuông)

Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số trên đoạn [a, b], ta có một số trường hợp đặc biệt đơn giản nhưng khá hiệu quả sau:

Hàm đơn điệu: Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x thuộc (a, b) thì hàm số f tăng trên [a, b] và ta có f(a) ≤ f(x)

≤ f(b) với mọi x thuộc [a, b]

Hàm lồi: Nếu f’’(x) ≤ 0 thì hàm số f(x) sẽ có nhiều nhất một điểm cực đại (nếu có thì đó sẽ là điểm

mà hàm số đạt giá trị lớn nhất) và giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ đạt tại một trong hai biên

Ví dụ 4 (Đề thi Đại học khối A – 2008)

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình

m x x

x

2

có đúng 2 nghiệm thực phân biệt

Lời giải: Hàm số f(x)= 2x+4 2x +2 6−x+24 6−x xác định trên [0, 6] là tổng của các hàm lồi nên cũng là một hàm lồi Vì thế f(x) sẽ có nhiều nhất một điểm cực đại Tính đạo hàm bậc nhất, ta được

4

4 3 2 6

1 6

1 2

1 2

1 )

(

'

x x

x x

x

f

−

−

−

− +

=

Dễ thấy f’(2) = 0, suy ra 2 là điểm cực đại duy nhất Hàm số sẽ có chiều biến thiên là tăng trên (0, 2)

và giảm trên (2, 6) Từ đó dễ dàng suy ra phương trình f(x) = m có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

) 2 ( )}

6 ( ), 0 (

Tức là 2( 6+4 6)≤m<3(2+ 2)

Bài tập 5 (Theo Olympic 30-4) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

)

f = + + − trên đoạn [0, 1]

Bài tập 6 (Bài toán về góc sút và khung thành) Cho một đường thẳng l và hai điểm A, B nằm về

cùng một phía đối với l Tìm vị trí điểm M trên l sao cho góc ∠AMB lớn nhất

Bài tập 7 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

x x

x

Bài tập 8 (Việt Nam 1993) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

) 1995 1993

(

)

2 Cực trị của hàm nhiều biến

Với công cụ cấp trung học phổ thông, một trong những phương pháp giải bài toán nhiều biến số là làm giảm dần các biến số bằng cách tìm cực trị theo từng phương Ý tưởng của phương pháp này

được minh hoạ bằng hình ảnh sau: để tìm người cao nhất trong một nhóm người đang xếp thành m hàng, ta tìm người cao nhất trong từng hàng rồi so sánh những người cao nhất đó để tìm ra người cao nhất tuyệt đối

Ta bắt đầu bằng một ví dụ kinh điển trong hình học

Ví dụ 5 Trong các tam giác nội tiếp trong một đường tròn cho trước, hãy tìm tam giác có diện tích

lớn nhất

Lời giải:

Cách 1: Không mất tính tổng quát, ta xét tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn đơn vị với A(0 ; 1)

cố định và B(x1, y1), C(x2, y2), trong đó x12 + y12 = 1, x22 + y22 = 1 thì được bài toán cực trị sau:

















= +

= +

→

−

−

−

1 1

max

| ) 1 ( ) 1 (

|

2

1

2 2

2

2

2 1

2

1

1 2 2 1

y x

y x

y x y x

Bài toán cực trị có điều kiện 4 biến này có thể chuyển thành bài toán cực trị 2 biến bằng cách tham

số hoá đường tròn đơn vị, cụ thể đặt x1 = cosα, y1 = sinα ; x2 = cosβ, y2 = sinβ ta quy bài toán về việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

f(α, β) = sinα - sinβ + sin(β-α)

Giữ α cố định, xét f(α, β) như một hàm số theo β thì f’β(α, β) = - cosβ + cos(β-α) Từ đây ta tìm được các điểm dừng là β = α/2 + kπ

Từ đó, để tìm max f(α, β), ta chỉ cần tìm max của

sinα - sin(α/2 + kπ) + sin(α/2 + kπ-α)

tức là max của f1(α) = sinα - 2sin(α/2), f2(α) = sinα + 2sin(α/2)

Giải các bài toán 1 biến này, ta tìm được đáp số bài toán là f(α, β) max bằng

2

3 3

, chẳng hạn khi α

= 2π/3, β = 4π/3 (và min bằng

-2

3 3

!) Đây chính là tình huống khi tam giác ABC đều

Cách 2: Cũng bằng phương pháp tương tự, trước hết ta cố định cạnh BC là một dây cung độ dài 2a của đường tròn bán kính R và tìm vị trí điểm A trên đường tròn sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất Có thể chứng minh được dễ dàng rằng điểm A cần tìm chính là trung điểm của cung lớn BC (nơi mà tiếp tuyến song song với BC) Diện tích của tam giác cực đại này bằng

)

Bây giờ ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của f(a) trên [0, R] Tính đạo hàm f’(a), ta được

2 2

2 2

2

)

(

'

a R

a a

R R a

f

−

−

− +

=

f’(a) = 0 khi và chỉ khi

2

3

R

a= , từ đó ta tìm được

4

3

max

R

Bài tập 9 Cho tam giác đều ABC Với mỗi điểm M nằm trong mặt phẳng tam giác, gọi D, E, F lần

lượt là hình chiếu của M lên các đường thẳng (BC), (CA), (AB) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

MF ME MD

MC MB MA

+ +

+ +

Ví dụ 6: (Chọn đội tuyển Việt Nam 2001) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện 2x +

4y + 7z = 2xyz

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x+y+z

Lời giải: Rút z = (2x + 4y)/(2xy – 7) ta đưa bài toán về bài toán cực trị hai biến









>

>

>

→

−

+ + +

=

7 2 , 0 , 0

min 7

2

4 2 )

,

(

xy y

x

xy

y x y x y x

f

Tính đạo hàm theo y, ta được

2

2

2 (2 7)

28 4

1 )

7 2 (

) 4 2 ( 2 ) 7 2 ( 4 1 ) ,

(

'

−

+

−

=

−

+

−

− +

=

xy

x xy

y x x xy

y x

f y

Từ đó, ta tìm được, với mỗi x có định thì f(x, y) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

2 0

7 1 2

7

x x

2

11 )

,

x x

x y x

2 2

1 7 1

14 2

11 1 ) ( '

x x x

x g

+

−

−

=

Phương trình g’(x) = 0 tương đương với (2x2 –

11)2(x2+7) = 784 (với điều kiện 2x2 > 11) có nghiệm x = 3 Đây chính là điểm cực tiểu (do f  +∞ khi x  0 và x  +∞) Từ đó

2

15 ) 3 ( )

( )

,

(x y min =g x min =g =

f

Ngoài các thủ thuật cơ bản như tham số hoá, thay thế và khử dần các biến số như trong các ví dụ nêu trên, chúng ta còn có thể làm giảm số biến số của hàm số bằng cách sử dụng các tính chất bất biến của hàm, ví dụ tính thuần nhất (không đổi đối với phép co dãn), tính đối xứng (không đổi với các chuyển vị, hoán vị) …

Ví dụ 7 (Đề thi Đại học khối B, 2008) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

2

2 2 1

) 6 ( 2

y xy

xy x

+ +

+

.

Lời giải: Bài toán này có thể quy về một bài toán cực trị hàm một biến bằng cách tham số hoá lượng

giác quen thuộc x = cost, y = sint Tuy nhiên, ở đây ta cũng còn có một cách tiếp cận khác: thay số 1

ở dưới mẫu số bằng x2 + y2 để thu được một biểu thức thuần nhất, tức là 2 2 2

2

2 2

) 6 ( 2

y xy y

x

xy x

+ + +

+

sau đó dựa vào tính thuần nhất này để giảm số biến số của hàm số Trước hết ta cần hiểu tại sao lại có đẳng thức

2 2

2 2 )

0 , 0 (

\ ) , ( 2 2

) 6 ( 2 min

2 2 1

) 6 ( 2

y xy y

x

xy x

y xy

xy x

R y x y

+

= +

+

+

∈

=

+

Rõ ràng ta có

2 2

2 2 1

2 2

) 6 ( 2 min

2 2 1

) 6 ( 2

y xy y

x

xy x

y xy

xy x

y x y

+

= +

+

+

= +

=

+

2

2 2

) 6 ( 2 )

, (

y xy y

x

xy x

y x f

+ + +

+

= là hàm thuần nhất (bậc 0, tức là f(tx,ty) = f(x, y)) nên

ta có

2 2

2 2 1

2 2

2 2 )

0 , 0 (

\ )

,

) 6 ( 2 min

2 2

) 6 ( 2

y xy y

x

xy x

y xy y

x

xy x

y x R

y

+

= +

+ +

+

= +

∈

(từ mọi điểm khác (0, 0) đều có thể co hoặc dãn về 1 điểm nằm trên đường tròn đơn vị)

Bây giờ ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 2

2

2 2

) 6 ( 2 )

, (

y xy y

x

xy x

y x f

+ + +

+

y) thuộc R2 \ (0, 0) Với y = 0 thì f(x, y) = 2 Với y ≠ 0, ta đặt t = x/y thì ( )

3 2

) 6 ( 2 ) ,

t t

t t y x

+ +

+

=

2 2

) 3 2 (

) 3 )(

3 2 ( 4 )

3 2 (

) 12 2 )(

2 2 ( ) 3 2 )(

12 4 ( )

(

'

+ +

− +

= +

+

+ +

− + + +

=

t t

t t

t t

t t t

t t t

t

g

Từ đó tìm được gmin = g(-3/2) = -6, gmax = g(3) = 3 Chú ý giá trị ở vô cùng bằng 2

Bài tập 10 Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện (x+y+z)3 = 32xyz Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4

4 4 4

)

z y x

P

+ +

+ +

=

Bài tập 11 Cho

1

1 2 )

+

− +

=

x

x x x

f Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x)f(y) với

x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x + y = 1

Bài tập 12 (Đề thi cao đẳng khối A, B, D năm 2008) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x2

+ y2 = 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2(x3+y3) – 3xy

Ví dụ 8: Cho a, b, c là các số thực phân biệt, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức





−

+

−

+

− +

2

) (

1 )

(

1 )

(

1

a c c b b a c b a





−

+

−

+

− +

+

) (

1 )

(

1 )

(

1 )

, , (

a c c b b a c b a c b a

2 2

2 ( )

1 )

(

1 )

(

1 )

,

,

(

a c c b b

a

c

b

a

g

−

+

−

+

−

= bất biến đối với phép tịnh tiến : g(a, b, c) = g(a+t, b+t, c+t).

Ta sẽ sử dụng các tính chất này để làm giảm số các biến số của bài toán tìm giá trị nhỏ nhất

Không mất tính tổng quát (do tính đối xứng !), có thể giả sử a > b > c Đặt a – b = x, b – c = y thì c –

a = -(x+y) và a = c + x + y, b = c+y Ta có





+ + + +

+ + +

+

=

) (

1 1

1 )

( ) 2 ( 2 3 ) , , ( ) , ,

(

y x y x y y x c y x c

c y x g c b

a

f

Nếu cố định x, y thì g(x, y, c) đạt min khi c = c0 = -(x+2y)/3 Từ đó

) , ( )

(

1 1

1 ) (

3

2 ) , , ( )

, ,

0

y x y x y xy x c

y x g c

y

x









+ + + +

+

=

=

Do tính thuần nhất bậc 0 của hàm số h(x, y), ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của h(x, y) với x+y = 1, sau đó, sử dụng tính đối xứng của h(x, y), ta biểu diễn h(x, y) như một hàm theo t = xy (chú ý 0 < t ≤ 1/4):

) ( 3

) 1 ( 2 ) 1 2 1 )(

1 ( 3

2 )

,

3

t

t t

t t

y

x

Ta có (1 ) ( 2) 0

3

2 )

(

t

t t t

k trên (0, 1/4] nên kmin(t) = k(1/4) = 9/2

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số ở đề bài là 9/2 (đạt được, chẳng hạn khi x = y = 1/2, c = -1/2, tức là

c = -1/2, b = 0, a = 1/2)

Bài tập 13 (Đề thi chọn đội tuyển trường PTNK năm 1999) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều

kiện: 0 ≤ x, y ≤ 2, 1 ≤ x + y ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = x2 + y2 + xy – 3x – 3y

Bài tập 14 Cho x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F = x2y + y2z + z2x

Bài tập 15 (Đề thi đại học khối D, 2008) Cho x, y là các số thực dương thay đổi Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức

2

2(1 ) )

1

(

) 1 )(

(

y x

xy y

x

+ +

−

−

Bài tập 15 (Chọn đội tuyển Việt Nam 1993) Cho x1, x2, x3, x4 là các số thực thoả mãn điều kiện

1 2

4

2 3

2

2

2

1 + + + ≤

≤x x x x

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = (x1 – 2x2 + x3)2 + (x2 – 2x3 + x4)2 + (x2 – 2x1)2 + (x3 – 2x4)2

Bài tập 16 (Việt Nam 2002) Cho x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 9 Chứng minh rằng 2(x+y+z) – xyz ≤ 10

3 Cực trị hàm nhiều biến dưới góc nhìn của Toán cao cấp

Với những bài toán ở phổ thông, kể cả các bài toán thi học sinh giỏi các cấp, các kiến thức giải tích một biến là đủ để xử lý Tuy nhiên, để có một góc nhìn tổng quát hơn, để giới thiệu những nét đẹp của toán cao cấp, chúng ta có thể giới thiệu với các em một cách sơ lược về giải tích nhiều biến, phương pháp nhân tử Lagrange Đây cũng là phương pháp để sáng tạo các bài toán mới, kiểm tra các kết quả sơ cấp khác Lưu ý, việc giới thiệu các kiến thức này cho đối tượng nào, ở mức độ nào và nhằm mục đích gì là điều hết sức phải cân nhắc

Nguyên lý Fermat có thể mở rộng sang trường hợp nhiều chiều mà không có thay đổi gì đáng kể Để

tìm các giá trị cực trị của hàm f(x), trong đó x = (x1, x2, …, xn) ∈ Rn, ta tìm các điểm dừng từ hệ phương trình

f’(x) = 0  f’xj(x1, x2, …, xn) = 0 (j = 1, 2, …, n)

có số phương trình bằng số ẩn số

Sau đó ta sử dụng định lý Weierstrass (định lý tồn tại), thay đoạn [a, b] bằng tập compact A – tập đóng và bị chặn - trong không gian Rn Đóng ở đây có nghĩa là nó chứa tất cả các điểm giới hạn của

nó

Tương tự như trong trường hợp một chiều, ta cũng gặp vấn đề tìm các giá trị cực trị trong một miền

mở Bổ đề dưới đây giúp chúng ta xử lý một số trường hợp như vậy

Bổ đề 3 Nếu hàm số f: Rn  R liên tục và f(x)  +∞ khi = 2 + + 2 →+∞

1

|

|x x x n thì nó đạt được giá trị nhỏ nhất trong Rn

Ví dụ 9: Trong các tam giác nội tiếp trong một đường tròn cho trước, hãy tìm tam giác có diện tích

lớn nhất

Lời giải: Sử dụng định lý Weierstrass về sự tồn tại của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một

hàm liên tục xác định trên một compact, ta suy ra tam giác A0B0C0 với diện tích lớn nhất tồn tại Sử dụng lý luận hình học quen thuộc, ta suy ra tam giác A0B0C0 này phải đều Bài toán được giải quyết hoàn toàn!

Ví dụ 10 (Định lý cơ bản của đại số) Một đa thức không đồng nhất hằng số với hệ số phức bất kỳ

luôn luôn có nghiệm phức

Lời giải: Xét một đa thức bất kỳ p(z) và xét đại lượng |p(z)| như một hàm của hai biến số thực x và

y, trong đó z = x + iy Theo bổ đề 3, hàm số này đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm z0 = (x0, y0) Không

mất tính tổng quát, bằng cách đổi biến số, có thể giả sử z0 = 0 Giả sử rằng tại điểm này hàm số p(z) không bằng 0 Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho hệ số của zk trong đa thức khác 0 Khi đó p(z) = a0 + akzk + … + anzn, k ≥ 1 và ak≠ 0 Ngoài ra a0 ≠ 0 vì a0 = p(0) = p(z0) ≠ 0 Bây giờ ta lấy một nghiệm phức u của phương trình a0 + akzk = 0, tức là một trong những căn phức bậc k của –a0ak

-1 Ta có

|p(tu)| = |a0 + aktkuk + o(tk)| = |(1-tk)a0 + o(tk)| < a0 = p(0),

với t > 0 đủ nhỏ Mâu thuẫn vì theo giả thiết, z0 = 0 là điểm hàm số đạt giá trị nhỏ nhất Định lý được chứng minh

Ví dụ 11: (Đề thi chọn đội tuyển trường PTNK năm 1999) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều

kiện: 0 ≤ x, y ≤ 2, 1 ≤ x + y ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = x2 + y2 + xy – 3x – 3y

Lời giải: Hàm số f(x, y) = x2 + y2 + xy – 3x – 3y khả vi và liên tục trên compact D xác định bởi các

bất đẳng thức ở đề bài (D là một hình lục giác!) vì vậy f(x, y) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

trên D Các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất này sẽ đạt được tại các điểm dừng và trên biên của D

Hệ phương trình tìm điểm dừng có dạng







=

− +

=

− +

0 3 2

0 3 2

x y

y x

có nghiệm duy nhất (x, y) = (1, 1) Giá trị tại điểm này f(1, 1) = -3

Trên biên x = 0, 1 ≤ y ≤ 2, ta có f(x, y) = y2 – 3y có max là – 2 (đạt tại (0, 1), (0, 2)) và min là -9/4 (đạt tại (0, 3/2) Tương tự trên biên y = 0, 1 ≤ x ≤ 2

Trên biên x = 2, 0 ≤ y ≤ 1, ta có f(x, y) = y2 – y – 2 có max là -2 (đạt tại (2, 0), (2, 1) và min là -9/4 (đạt tại (2, 1/2)

Tương tự trên biên y = 2, 0 ≤ x ≤ 1

Trên biên x + y = 1, 0 ≤ x ≤ 1, ta có f(x, y) = x2 – x – 2 có max là -2 (đạt tại (0, 1) và (1, 0) và min là -9/4 (đạt tại (1/2, 1/2)

Trên biên x+y = 3, 1 ≤ x ≤ 2, ta có f(x, y) = x2 – 3x có max là -2 (đạt tại (1, 2), (2, 1) và min là -9/4 (đạt tại (3/2, 3/2))

Từ đó giá trị lớn nhất của f là -2 đạt tại các đỉnh của hình lục giác (0, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 1), (2, 0), (1, 0) và giá trị nhỏ nhất là – 3 đạt tại điểm (1, 1)

Vì các compact có thể được mô tả bằng các bất đẳng thức hoặc các đẳng thức (ví dụ hình cầu x2 + y2

+ z2 = 1) nên các bài toán cực trị trên compact có thể quy về bài toán cực trị có điều kiện Với những bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm lời giải

Ta giới thiệu nội dung phương pháp này thông qua trường hợp bài toán cực trị nhiều biến với một điều kiện ràng buộc:

Để tìm cực trị của hàm số f(x1, x2, …, xn) với điều kiện ràng buộc g(x1, x2, …, xn) = 0 ta xét hàm

F(λ, x1, x2, …, xn) = f(x1, x2, …, xn) + λg(x1, x2, …, xn)

Sau đó ta tìm cực trị của F Chú ý rằng các điểm cực trị này đều thoả mãn điều kiện g(x1, x2, …, xn)

= F’λ(λ, x1, x2, …, xn) = 0 nên sẽ là cực trị của f với điều kiện ràng buộc g(x1, x2, …, xn) = 0