Slide 1 Chương 1 Chuỗi Fourier Bài giảng Toán Kỹ Thuật 2014 1 1 Hàm tuần hoàn 1 2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn 1 3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier 1 4 Khai triển bán kỳ 1 5 C[.]
Trang 1Chương 1 Chuỗi Fourier
1.1 Hàm tuần hoàn
1.2 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn
1.3 Các công thức khác để tính các hệ số Fourier
1.4 Khai triển bán kỳ
1.5 Các dạng khác của chuỗi Fourier
1.6 Ứng dụng của chuỗi Fourier
Trang 21.4 Chu ỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2]
Định lý :
N ếu f(t) là hàm chỉ xác định trên khoảng kín [0, T/2] và thỏa điều kiện Dirichlet thì nó có thể được khai triển thành :
0
0 1
a
=
0 1
n
=
Khai triển bán kỳ
Ho ặc thành chuỗi Fourier sin
Chu ỗi Fourier côsin
0, 2
T
∈
Trang 3Ví d ụ khai triển bán kỳ
Cho hàm f(t) định nghĩa bởi
f(t)= t+2 ( 0 < t < 2)
Xác định chuỗi Fourier sin biểu
di ễn cho f(t)
Thi ết lập hàm lẻ F(t)
Xác định hệ số bn
f(t)
t
2
2
4
t
2
2
4
4
-4
4 (1 2 cos )
n
π
Chu ỗi Fourier sin của f(t)
f t = π π t − π π t + π π t − π π t +
Trang 41.4 Chu ỗi Fourier của hàm chỉ xác định trên [0,T/2]
Xét hàm f(t) ch ỉ xác định trên khoảng kín [0,T/2]
Ta c ần tìm khai triển Fourier của f(t)
M ở rộng hàm f(t) thành hàm
F(t) tu ần hoàn
2
2
( ) ( )
( )
T
T
F t f t o t
F t T t
ϕ − < <
Theo ĐL Dirichlet F(t) có khai triển Fourier và hội tụ về F(t) tại các điểm mà F(t) liên tục ⇒ bất chấp ϕ(t) chuỗi Fourier của F(t) cũng
h ội tụ về f(t) trong đoạn [0,T/2]
Ch ọn ϕ(t) ?
Ch ọn ϕ(t) = f(-t) → F(t) hàm ch ẵn
Ch ọn ϕ(t) = -f(-t) → F(t) hàm l ẻ
Trang 51.5 Các d ạng khác của chuỗi Fourier
Dạng sóng hài cosin
Dạng sóng hài sin
1
( ) n cos( n)
n
=
1
( ) n sin( n)
n
=
Các hệ số khai triển
2 2 0
2
;
n n n
a
Trang 61.5 Các d ạng khác của chuỗi Fourier
n
+∞ •
=−∞
= ∑
Các hệ số khai triển phức
0 0
2
n
n n n
n n n
a
C
α α
•
•
−
−
+
2
0
2
1
( )
T
T
jn t n
T
ω
•
−
−
= ∫
Quan hệ với các hệ
số của khai triển
lượng giác và khai
triển hài
Trang 71.5 Các d ạng khác của chuỗi Fourier
0
1
( )
T RMS
T
= ∫
Đẳng thức Parseval
0
0
( )
( )
jn t n
n
jm t m
m
ω
ω
+∞ •
=−∞
+∞ •
=−∞
=
=
∑
1
( ) ( )
T
n n n n
x t y t dt X Y Y X T
+∞ • ∗ +∞ • ∗
=−∞ =−∞
∫
0
( ) n jn t
n
+∞ •
=−∞
+∞ • ∗ +∞ •
Trang 81.5 Các d ạng khác của chuỗi Fourier
1
( ) n cos( n )
n
=
1
( ) n sin( n )
n
=
2 2
0
1
( )
T
n
T
+∞ •
=−∞
0
1
1 2
n
+∞
=
0
1
( ) cos( ) sin( )
a
=
1
1
( )
4 2
n
a
+∞
=
= + ∑ +
Trang 91.5 Các d ạng khác của chuỗi Fourier
0
( ) n jn t
n
ω
α
+∞ •
=−∞
•
=
= ∠
∑
Có tần số cơ bản ω0 = 2π/T
Các họa tần (hài) ωn = nω0 = 2nπ/T
Hàm f(t) có khai triển phức
Phổ biên độ còn gọi là phổ tần số hay tần phổ
Định nghĩa : Phổ biên độ của chuỗi Fourier mũ phức của hàm tuần hoàn f(t) là đồ thị các điểm (nω0, |Cn|)
Trang 10Ví d ụ phổ biên độ
0
( 2 1)
2
n
n k
A
n
ω
π
+∞
=−∞
= +
= ∑ −
Và khai triển phức
Khai triển lượng giác
f(t)
t A
-A
T/2
0 1
( 2 1)
4
n
n k
A
π
+∞
=
= +
Phổ biên độ
Cn
2A/π
2A/3π
2A/5π
2A/7π
-1 -3
-5
Trang 11T ổng kết : Khai triển Fourier
0
1
a
=
/ 2
0
/ 2 / 2
0 / 2
/ 2
0 / 2
2
( )
2
( ) cos( )
2
( ) sin( )
T
T T
n
T T
n
T
T
T
T
ω ω
−
−
−
=
=
=
∫
∫
∫
Hàm số chẵn :
Hàm số lẻ :
( ) ( ) n 0
f t = f − →t b =
0
f t = − − →f t a = a =
Trang 12Hàm s ố chẵn
0
0 1
a
=
0
0
/ 2 0
/ 2
0
( )
( ) cos
4
4 T
T n
T
=
=
∫
∫
( ) ( ) n 0
f t = f − →t b =
Trang 13Hàm s ố lẻ
0 1
n
f t +∞ b nω t
=
= ∑
/ 2
0
0
( ) sin( )
4 T
n
0
f t = − − →f t a = a =
Trang 14Hàm bán sóng
1
1
2
n
n k
=
+
=
+
∞
/
0
2
0
/ 2
0
0
( ) cos( )
( ) sin
4
( 2 1)
4
( 2 1
T n
T n
T
b
T
ω ω
=
=
=
=
+ +
∫
∫
( ) ( )
2
T
f t = − f t ±