TOÁN KỸ THUẬT Baigiang toankt chuong 2 1

 Tích phân Fourier: dùng phân tích các tác động là tín hiệu không tuần hoàn lên các mạch điện và hệ thống... 2.5: Methods of Finding Fourier Trans:1 Direct Method : using def

Chương 2: Tích phân và biến đổi Fourier

2.1 Tích phân Fourier.

2.2 Phép biến đổi Fourier.

2.3 Các tính chất của phép biến đổi Fourier.

2.4 Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản.

2.5 Phương pháp tìm biến đổi Fourier

2.6 Tìm biến đổi Fourier dùng MATLAB.

2.7 Ứng dụng của biến đổi Fourier

2.1 Tích phân Fourier

 Chuổi Fourier: dùng phân tích các tác động là tín hiệu tuần hoàn lên các mạch điện và hệ thống.

 Tích phân Fourier: dùng phân tích các tác động là tín hiệu

không tuần hoàn lên các mạch điện và hệ thống.

2.1.1 Tích phân Fourier dạng chuẩn:

 Từ chuổi Fourier lượng giác của một hàm tuần hoàn:

2.1.1 Tích phân Fourier …

π T/2

f(t)cos(ωt)dt cos(ωt) f(t) f(t)dt

2.1.1 Tích phân Fourier …

1 π

1 1

π

f(t)cos(ωt)dt cos(ωt) f(t)

 Công thức tích phân Fourier dạng chuẩn:

Nếu định nghĩa các hàm hệ số A() và B() bởi:

(2.7)

1A(ω) f(t) cos(ωt)dt







f(t)   [A(ω) cos(  t ) B(ω)sin( )]   t d 

Thì f(t) được biểu diễn bởi tích phân Fourier dạng chuẩn:

2.1.2 Tích phân Fourier côsin và sin:

0

2 A(ω) f(t) cos(ωt)dt

Và f(t) được biểu diễn

bởi tích phân Fourier

côsin:

 Tương tự chuổi Fourier, ta có thể đưa tín hiệu không tuần hoàn [0, L] thành tín hiệu chẵn hay lẻ để có tích phân Fourier côsin và tích phân Fourier sin.

 Tất nhiên , biểu diễn chỉ có nghĩa trong khoảng [0, L].

b) Nếu f(t) là hàm lẻ: ta có

2.1.3 Ứng dụng tích phân Fourier :

 Ta đề cập ứng dụng để tích tích phân suy rộng.

 Xét tín hiệu f(t) cho bởi (2.14):

0 |t| 1 f(t)

2.1.3 Ứng dụng tích phân Fourier : (tiếp theo)

 Áp dụng tích chất hội tụ của tích phân Fourier ta được :

2.1.3 Ứng dụng tích phân Fourier : (tiếp theo)

 Nếu định nghĩa hàm tích phân sin, ký hiệu Si, bởi :

x

0

sin Si(x)   d

 VD2.1.1: Tích phân Fourier

Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng tích phân

Fourier ?

1 (0 1) f(t)

t otherwise

 VD2.1.1: Kết quả dùng MATLAB

Khi cho tần số :

 = 0,01100.

 VD2.1.1: MATLAB code

%Vidu 2_1_1 - Tinh tich phan Fourier dung ham quad8()

global var_t; % bien t

a= 0.01; % can tren tan so cua tich phan

b= 10^2; % can duoi tan so cua tich phan

function xdot = ft_ex2_1_1(w)

% Ham A(w) va B(w) cua tich phan Fourier

 VD2.1.2: Tích phân Fourier

Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng tích phân

 VD2.1.3: Tích phân Fourier côsin

Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng tích phân

Tích phân Fourier

 Examples: Tích phân Fourier

k for 10 10

2k

0 for 10 | | πω

 Examples: Tích phân Fourier

1/4 for 5

1/2 for 5 2πω

0

f(t) otherwise

(Ans: {[3sin(5ω) sin ]cos(ωt) [cos(5 ) cos ]sin( )} )

t t

EX2b: Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng

 Examples: Tích phân Fourier

EX3a: Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng

0 (1 )

t t

 





EX3b: Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng

tích phân Fourier côsin?

t/2 (0 1) f(t) 1 t/2 (1 2)

0 (2 )

t t t

 Examples: Tích phân Fourier

EX4a: Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng

0 ( )

t t

EX4b: Biểu diễn hàm f(t) dưới dạng

2.2: Biến đổi Fourier (dạng mũ phức):

 Từ chuổi Fourier mũ phức của một hàm tuần hoàn:

(2.22)

T/2 1

1) Định nghĩa biến đổi Fourier: (tiếptheo)

 Cặp biến đổi Fourier thuận – ngược:

2) Điều kiện Dirichlet: để tồn tại F(  )

i Đơn trị trên mọi khoảng hữu hạn.

ii Bất liên tục tại một số điểm hữu hạn.

iii Có cực trị hữu hạn trên mọi khoảng hữu hạn.

 Lưu ý: Hàm sinc() thường và sinc() chuẩn

 Ở đây ta hay dùng Hàm

sinc(x) = sin(x)/x

 Trong một số lập trình (như

MATLAB) , người ta hay dùng

Hàm sinc() chuẩn có dạng:

sinc(x) = sin(x)/(x)

 Hàm sinc() thường khi chuyển

sang sinc() chuẩn ta chỉ cần chia

biến của hàm cho số .

(Hàm sinc() định nghĩa năm 1953 bởi Philip M Woodward)

 Hàm sinc() thường có các zero là trị nguyên của , còn sinc() chuẩn có các zero là tập số nguyên.

 VD 2.2.1: Vẽ F(  ) dùng MATLAB

title('X(\omega)');

xlabel('\omega');

 VD 2.2.2: Find Fourier Transform?

(a jω)t (a jω)t





3) Biến đổi Fourier của tín hiệu chẵn / lẻ:

 VD 2.2.3: Tìm biến đổi Fourier

a) Tín hiệu x 1 (t) là chẵn:

4) Biến đổi Fourier ngược:

a) Về nguyên tắc, ta có thể dùng công thức sau để tìm hàm f(t) khi biết biến đổi Fourier của nó:

 VD 2.2.4: Tìm biến đổi Fourier ngược

0 other

   



Áp dụng định nghĩa:

Ta chuyển về dạng:

 VD 2.2.5: Tìm biến đổi Fourier ngược

4 ( 3 2)Find f(t) if F( ) 1 ( 2 2)

 VD 2.2.6: Tìm biến đổi Fourier ngược

2.3: Properties of Fourier Transform :

t

VD 2.3.1:

 VD 2.3.4b: Translation in frequency-domain

a) Dùng định nghĩa: F(ω) 2sin( )

ω

 

b) Theo tính chất dời miền tần số, ta có 0 = 2 :

a) Tìm biến đổi Fourier phức của hàm f(t)

dùng định nghĩa?

b) Suy ra G 1 () = [f(t).e j2t ] và G 2 () =

[f(t).e –j2t ] dùng t/c dời miền tần số ?

cos(0 t)

f(t).cos(0 t)

Lưu ý: Tính chất này để tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu trong hệ thống điều chế biên độ (AM ).

 VD 2.3.5: Dùng tính chất điều chế

a) Dùng định nghĩa: F(ω) 2sin( )

ω

 

b) Có G() = [sin(2t).f(t)] = [F( – 2) – F( + 2)]/2j

a) Tìm biến đổi Fourier phức của hàm f(t)

dùng định nghĩa?

b) Suy ra G() = [sin(2t).f(t)] dùng tính chất

G(ω)        

6) Differentiation:

 

df (t)

j F dt

Attention: Equations are valid if f(±) = 0

Lưu ý: Tính chất này để tìm biến đổi Fourier của các tín hiệu mà đạo hàm của chúng dễ tìm biến đổi Fourier hơn.

 VD2.3.6: Đạo hàm theo thời gian

a) Tìm biến đổi Fourier phức của hàm

f(t) dùng định nghĩa?

b) Suy ra G() = [g(t)] dùng tính

chất đạo hàm theo thời gian ?

g(t) 10

4 – 4

t(s) 0

f(t) 2,5

4 – 4

t(s) 0

-2,5

a) Dùng định nghĩa:

5 jω

F(ω)  [cos(4 ) 1]  

b) Do g() = 0 và g’(t) = f(t) nên:

(jω)G(ω)  F(ω)

7) Scale Changing:

1 {f(at) } F

 VD2.3.8: Nhân với t – Đạo hàm theo 

1 ejω

b) Do g(t) = t.f(t) nên: G(ω)  jF'(ω)

a) Tìm biến đổi Fourier phức của hàm f(t)

dùng định nghĩa?

b) Suy ra G() = [g(t)] dùng tính chất đạo

hàm theo tần số ?

g(t) 1

1

t(s) 0

f(t) 1

1

t(s) 0

10) Nhân trong miền thời gian:

1 Z( ) X( ) Y( )

Lưu ý: Tính chất này rất tiện lợi để tìm biến đổi Fourier của

 VD 2.3.11: Tính chất đối ngẫu

{2sinc(t)}    2 f ( )

(| | 1) {sinc(t)} f ( )

(Electric filter)

 Vậy theo tính đối ngẫu:

2.4: Fourier Transform of Fundamental functions :

 VD 2.4.1: Function  (t) :

0 2π

4) Signum Function sign(t) ( or sgn(t) ):

F{sign(t)} lim{F( )}



5) Hàm bước đơn vị (unit step function) u(t):

 Relationship between u(t) &  (t):

 Fourier Transform of u(t) :

2

jω   2   ( ) 2F{u(t)} 

1 jω

F{sign(t)}    F{ 1 2u(t)}

– 1 0

Sign(t)

t

1 u(t)

t

6) Unit Gate Function :

 VD 2.4.2: Biến đổi Fourier

Tìm biến đổi Fourier của hàm g(t) = 3rect(0,5t – 2) ?

Từ hàm cơ bản:  rect(t)   sinc ω/2  

 rect(0,5 ) t   2.sinc   

Áp dụng tính chất của biến đổi:

Ta viết lại: g(t) = 3rect[0,5(t – 4)]

// áp dụng biến đổi phải đổi biến !!!

 3rect(0,5 ) t   6.sinc   

7) Triangle Function :

 

 

2 1 : 1/2 0 (t) 2 1 : 0 1/2

8) Biến đổi Fourier tín hiệu tuần hoàn:

Chuổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn f(t): 0 = 2/T.

 VD 2.4.3: F(  ) của dãy xung tuần hoàn

0 0

 VD 2.4.4: F(  ) tín hiệu tuần hoàn

Ta tính:

Tìm biến đổi Fourier

của tín hiệu tuần hoàn

x(t) có chu kỳ T, độ

rộng dương 2T 1 ?



1

1 1

2.5: Methods of Finding Fourier Trans:

1) Direct Method : using definition

Odd function Even function

EX 2.5.1: Compute F(  ) using definition

Calculate the Fourier transform of:

f(t)

1

1 – 1

EX 2.5.2: Compute F-1{F(  )} using definition

– 2



2) Using Fourier Transform Pairs & properties:

 Fourier Transform Pairs (2) :

 Fourier Transform Pairs (3):

ω (a jω)   ω

 EX 2.5.3: Using Fourier Transform Pairs

 EX 2.5.4: Using Fourier Transform Pairs

 EX 2.5.5: Using Fourier Transform Pairs

 VD 2.5.6: Tìm biến đổi Fourier ngược

 Có :

Tìm f(t) dùng bảng tra và tính chất của

 VD 2.5.7: Tìm biến đổi Fourier ngược

 Ta phân tích :

Tìm f(t) dùng bảng tra và tính

1 (ω 4)(ω 9)

1 1 2|t|

4 (ω 4)  e  2

1 1 3|t|

6 (ω 9)  e

1 2|t| 1 3|t|

3) Phương pháp đạo hàm tín hiệu:

i Đạo hàm tín hiệu cho đến hàm xung Dirac dùng nguyên tắc:

 Cho tín hiệu f(t) có định nghĩa trên

các đoạn là g k (t) và các bước nhảy J k :

 Đạo hàm của tín hiệu f(t) trên toàn

miền thời gian t xác định theo:

 VD 2.5.8: Tìm F(  ) dùng đạo hàm tín hiệu

 Chỉ cần đạo hàm lần 1 là đến các hàm

–2

2 2

–1

F{f’(t)} = j2[sin(2) – 2sin()]

4) Using Laplace Transform to Find Fourier

• Using Laplace Transform to Find Fourier

• Using Laplace Transform to Find Fourier

 VD 2.5.9: Tổng hợp phương pháp tìm F(  )

A PP dùng định nghĩa :

Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) ? f(t)

t 1

 VD 2.5.9: Tổng hợp phương pháp …

A PP dùng định nghĩa :

Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) ? f(t)

t 1

B PP dùng bảng tra + tính chất biến đổi:

Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) ? f(t)

t 1

C Phương pháp đạo hàm tín hiệu:

 Đạo hàm lần 1:

f’(t)

t

1 0 –1

1 –1

f’’(t)

t

1

 Đạo hàm lần 2: đến các hàm xung Dirac.

 Biến đổi Fourier của f’’(t):

F{f’’(t)} = e j – 2 + e –j = 2(cos – 1)

f’’(t) = (t+1) – 2(t) + (t–1)]

 Theo t/chất biến đổi Fourier:

Tìm biến đổi Fourier của tín hiệu f(t) ? f(t)

t 1

0

2.6: Using MATLAB to Compute Fourier Transform

simplify(f1);

VD 2.6.1: Using MATLAB to Compute Fourier

Transform & Inverse FT :

VD 2.6.2: Using MATLAB to Compute Fourier

Transform & Inverse FT :

VD 2.6.1: Using MATLAB to Compute Fourier

Transform & Inverse FT :

2.7: Applications of Fourier Transform :

( )

( ) ( ) j

F   F  e  

 Từ hàm :

 Phổ biên độ: biểu diễn |F()| theo  .

 Phổ pha : () theo  .

 Phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu

không tuần hoàn là các hàm liên tục theo

 .

1) Frequency Spectra:

Ví dụ: Hình vẽ bên biểu diễn phở

tần sớ của f(t) = rect(t)

VD 2.7.1: MATLAB to plot spectrum

Plots the amplitude and phase spectrum of f(t) = e -2t u(t) ? (EX2_3)

% Description: This M-file plots the amplitude and

% phase spectrum of exp(-2t)u(t).

title('F.T Magnitude of exp(-2t)u(t)')

subplot(2,1,2) % plot phase spectrum

plot(w,angle(X_w)*180/pi)

grid

2) Energy content of a signal (Đlý Parseval):

 Definition: Cho tín hiệu x(t), năng lượng của x(t) , ký hiệu

E x , xác định theo công thức:

2 x

 VD2.7.2: Định lý Parseval

 Tính vế trái:

5 3+iω

V(ω) 

Kiểm chứng định lý Parseval với tín hiệu:

3t

5 ( 0) v(t)

 Biến đổi Fourier:

 Tính vế phải:

3) Giải phương trình vi phân: (đọc slides)

Bài toán: Tìm nghiệm của PT vi phân : y’ + y = 2e –2t u(t) ?

Step1: Biến đổi Fourier 2 vế của phương trình.

Step2: Tìm biến đổi Fourier của y(t), tức là Y().

Step3: Tìm biến đổi Fourier ngược của Y(), suy ra tín hiệu y(t).

 Lưu ý: Bài toán giải phương trình vi phân không có điều kiện đầu là thích hợp nhất khi dùng biến đổi Fourier.

Qui trình giải:

4) Giải tích mạch điện:

Mạch điện với nguồn bất kỳ

Giải theo nguyên lý

 Circuit elements in frequency domain:

 VD 2.7.4: Circuit Analysis

 Mạch miền tần số:

 Ảnh Fourier của nguồn:

 Tìm v c (t) biết v in (t) = 50cos(4t) V ?

 VD 2.7.5: Circuit Analysis

_ e(t) u(t)

+ -

 VD 2.7.6: Circuit Analysis (t.theo)

0 0.1

10t

2.5sgn(t) 5e  u(t)

 VD 2.7.7: Circuit Analysis &MATLAB

The output voltage=

1/6 + 1/4 exp(x) Heaviside(-x) - 1/12 exp(-3 x) Heaviside(x)

+ 1/6 Heaviside(x) - 1/6 Heaviside(-x) Gia tri va(0-) = 1/4

Gia tri va(0+) = 1/4 Gia tri va(xac lap) = 1/3

 VD 2.7.7: Circuit Analysis &MATLAB (tt)

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

The Output Voltage

% Example4_phan2.6: Giai mach dung Bien doi Fourier

disp('The output voltage= ');pretty(vat);

% In ra cac gia tri va(0-), va(0+), va(inf)

disp('Gia tri va(0-) = ');

disp(limit(vat,x,0,'left'));

disp('Gia tri va(0+) = ');

disp(limit(vat,x,0,'right'));

disp('Gia tri va(xac lap) = ');

% Sketch vat over range -5s -> 5s tinit = -5;

tfinal = 5;

N = 200 time = linspace(tinit,tfinal,N);

out = linspace(0,1,N);

for n=1:N % The t va doi sym ve numeric out(n)= vpa(subs(vat,'x',time(n)),4); end

5) Giải bài toán mạch lọc điện:

 Biến đổi Fourier thích hợp dùng để xác định tín hiệu output

của mạch lọc điện cho bởi đáp ứng xung h(t) của mạch lọc.

Mạch lọc h(t)

Đáp ứng tần số

H() = F{h(t)} Y() = X().H() X()

Tìm biến đổi Fourier Tìm biến đổi Fourier ngược

 Về nguyên tắc, bài toán trên có thể giải = tích chập Nhưng

phức tạp hơn giải dùng biến đổi Fourier.

 Analysis Procedure :

i Find the system Function H()

ii Determine the Fourier Transform of the input signal.

iii Obtain the Fourier Transform of the output signal.

iv Determine the output y(t) by finding the inverse of its

 VD 2.7.8: Giải bài toán mạch lọc

ω 2

6) Tìm chuổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn:

 Xét tín hiệu g(t) là phần tín hiệu tuần hoàn

trong chu kỳ đầu tiên:

 Biến đổi Fourier:

 Thay thế  = n0 :

0

T/2

jnω t 0

 VD 2.7.9: Tìm chuổi Fourier dùng G(  )

Tìm chuổi Fourier dạng mũ phức của f(t) ?

 B/đổi Fourier trong 1 chu kỳ T = 10:

 t 2