Ứng dụng số phức giải toán hình phẳng

Ứng dụng số phức giải toán hình phẳng

1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức

Chương 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

2.2 Mô tả một sô kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức

2.3 Ung dung số phức giải toán chứng minh hình học và tính toán

MO DAU

Số phức xuất hiện tir thé ky XIX do nhu cau phat triển của Toán học về giải

những phương trình đại số Từ khi ra đời số phức đã thúc đây toán học tiến lên mạnh

mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kỹ thuật Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh

mới chỉ biết được những kiến thức rất cơ bản của số phức, việc khai thác các ứng dụng

của số phức còn hạn chế, đặc biệt là việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải

các bài toán Hình học phẳng là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải

toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của toán học

Mặc dù sách giáo khoa Giải tích lớp 12 đã đưa bài tập ứng dụng Số phức vào giải toán hình học phẳng nhưng còn rất ít Với những lí do trên, tôi chọn dé tài nghiên cứu là: “Ứng dụng số phức vào giải toán Hình học phẳng”

Chương 1: SÓ PHỨC

Chương này trình bày lịch sử hình thành số phức, định nghĩa, các phép toán

và tính chất của số phức

1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức

Lịch sử số phức bắt đầu từ thế ki thứ XVI Đó là thời kì Phục hưng của toán

học châu Âu sau đêm trường trung cổ Các đại lượng ảo V-1, bV=1, a+bV-1 xuat hiện dau tiên từ thế ki XVI trong các công trình của của các nhà toán học Italy “Nghệ

thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số” (1545) của G Cardano (1501 — 1576) va

“Đại số” (1572) của R Bombelli (1530 — 1572) Nhà toán học Đức Felix Klein (1849

— 1925) đã đánh giá công trình của G Cardano như sau: “7ác phẩm quý giá đến tột

đỉnh này đã chứa đựng mâm mong của đại số hiện đại và nó vượt xa tầm của toán học

thời cổ đại ”

Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu V-1

là lời giải hình thức của phương trình x” +l=0

Xét biểu thức bV—1 1a nghiệm hình thức của phương trình x? +ð? =0 Khi đó biểu

thức tổng quát hơn có dạng a+bv-l, b#0có thể xem là nghiệm hình thức của phương trinh (x—a)’ +b’ =0

Về sau biểu thức dang a+ bV-1 ,5#0 xuat hién trong quá trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (công thức Cardano) được gọi là đại lượng “ảo” và sau đó được

Gauss gọi là số phức và thường được kí hiệu là œø+/b, trong đó kí hiệu ¿:= V-1 được

L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi là đơn vị “ảo”

Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã diễn ra rất chậm chạp Ngay tên gọi và kí hiệu /:= V-1 là đơn vị ảo cũng đã gây nên nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ đó dẫn đến khủng hoảng niềm tin vì nó không có gì chung

với số - một công cụ của phép đếm, mặc dù người ta vẫn xem nó là một kí hiệu trừu

tượng thỏa mãn định nghĩa ¡” =—l

Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyên một cách thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho các số phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu Chắng hạn như nghịch lí sau đây: vì

3

¡=j—1 nên ¡ =—l1, nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các quy tắc thông thường

của phép toán khai căn bậc hai lại thu được

? =V-1V-1= (DC) = V1 =Vi=1 Như vậy -1=1

Ta nhân mạnh lại rằng hệ thức ¡” =—I là định nghĩa số mới ¿ cho phép ta đưa

vào xét số phức Điều đó có nghĩa rằng hệ thức đó không thể chứng minh, nó chỉ là

quy ước

Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó Trong cuốn sách

“phương pháp tọa độ” của mình, viện sĩ L.S Pointriagin đã mô tả lại chứng minh đó như sau:

Đầu tiên người ta lấy nửa đường tròn với đường kính 4Ö Từ điểm R tùy ý của nửa đường tròn hạ đường vuông góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài của các doan AS va SB Vi noi đến độ dài nên sẽ không sai sót lớn khi nói rằng bình phương doan RS bang tích các đoạn thắng 4S và 8S Bây giờ, trở về với mặt phẳng phức, kí

hiệu điểm -I là 4, điểm +1 là 8 và điểm ¡ là & Khi đó S sẽ là điểm 0 Tác giả của

phép chứng minh đã lập luận như sau:

Đoạn thang RS là 7, đoạn thắng AS 1a -1 va SB la +1 Như vậy theo định lí vừa

Cardano đã tìm được nghiệm 5+^/—5 và ông đã gọi nghiệm này là “âm thuần túy” và

thậm chí còn gọi là “nghiệm âm ngụy biện”

Có lẽ tên gọi “ảo” là di sản vĩnh cửu của “một thời ngây thơ đáng trân trọng của

sô học”.

Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế ki XVII bản chất đại số và bản

chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng mà còn

đầy bí ân Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I Newton đã không thừa nhận cá đại

lượng ảo và không xem các đại lượng ao thuộc vào các khái niệm s6, con G Leibniz

thì thốt lên rằng: “Các đại lượng ảo - đó là nơi ân náu đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh

thần của đắng tối cao, đó dường như một giống lưỡng cư sống ở một chốn nào đó giữa

cái có thật và cái không có thật”

Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính là

nhà toán học Italy R Bombelli Trong cuốn “Đại số” (1572) ông đã định nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên lí thuyết các số

công trình công bố năm 1799 Đôi khi phép biểu diễn minh họa số phức cũng được gọi

là “sơ đố Argand” đề ghi nhận công lao của nhà toán học Thụy Sỹ R Argand — người thu được kết quả như của Wessel một cách độc lập

Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tư cách là các cặp số thực có thứ tự (a,b), ae#®,beN_ được xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton (1837) Ở đây đơn vị “ảo” 7 chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1), tức là

đơn vị “ảo” được lí giải một cách hiện thực

Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng minh chính xác đầu tiên đối với định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng trong trường số phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm

Ban chat dai số của số phức thê hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở rộng (đại số) C của trường số thực R thu được bằng phép ghép dai sé cho R nghiệm 7 của phương trình

+ +lI=0

Với định lí cơ bản của Đại số, Gauss đã chứng minh được trường C trở thành

trường đóng đại số Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới Đương nhiên trường số thực R (và

do đó cả trường hữu tỉ Q) không có tính chat đóng đại số Chắng hạn, phương trình với

hệ số thực có thể không có nghiệm thực

Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, con đường phát triển khái

niệm về số có thể tóm tắt bởi W —> Z —> Q —> R —>C với các bao hàm thức:

NCZCOCRCC

Bằng các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nha toán học K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi có gắng mở rộng tập số phức theo con đường trên đều không có kết quả khả quan K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức C không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo toàn mọi phép tính

và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp số phức

Nhìn lại lịch sử lâu dài của sự phát triển khái niệm số ta thấy rằng cứ mỗi lần khi đưa vào những số mới các nhà toán học cũng đồng thời đưa vào các quy tgawcs

thực hiện các phép toán trên chúng Đồng thời với điều đó các nhà Toán học luôn luôn

có gắng bảo toàn các quy luật số học cơ bản (luật giao hoán của phép cộng và phép nhân, luật kết hợp và luật phân bó, luật sắp xếp tuyến tính của tập hợp số) Tuy nhiên

sự bảo toàn đó không phải khi nào cũng thực hiện được, ví dụ như khi xây dựng

trường số phức người ta không bảo toàn được luật sắp xếp tuyến tính vốn có trong

trường số thực

Tổng kết lịch sử toàn bộ quá trình phát triển khái niệm số, nhà toán học Đức L.Kronecker (1823 - 1891) đã viết:

“Thượng đề đã tạo ra số tự nhiên, còn tắt cả các loại số còn lại đều là công trình

sang tao của con người ”

Có thể nói rằng với khắng định bất hủ này, L.Kronecker đã xác định nền móng vững chắc cho tòa lâu đài toán học tráng lệ , mà con người đang sở hữu

6

1.2 Khái niệm số phức

Ta biết rằng trường số thực ¡ nhận được bằng cách làm “day” truong số hữu tỉ Ø , mà nó được xây dựng từ vành số nguyên £ Việc làm đầy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương trình đại số với hệ số hữu tỉ và giới hạn của các dãy số hữu tỉ Tuy nhiên trường ¡ vẫn không đầy đủ, bởi vì ngay cả phương trình đơn giản

Với lí do trên, buộc ta phải tìm kiếm trường K nào đó chứa ¡ như một

trường con sao cho tối thiểu phương trình (1) có nghiệm Ở đây ta nói ¡ là trường con

của K nếu các phép toán trên ¡ được cảm sinh bởi các phép toán trên K

1.2.1 Xây dựng trường số phức

Giả sử trường £ chứa ¡ như một trường con mà phương trình x”+l=0

có nghiệm trong nó, khi đó £ phải có một phần tử ¡ dé 7 =-1 Vi ; C£ nén £

chứa tất cả các phần tử dạng a+¡b, a,b<¡_ Do đó, một cách tự nhiên ta xét tập £

các cặp số thực (a,b): £ ={(ø,b):a,be¡ }

Sau đó đưa vào quan hệ bằng nhau và các phép toán sao cho với chúng £ trở thành một trường chứa ¡ như một trường con (qua phép đồng nhất nào đó) Các

phép toán náy được dẫn dắt từ các phép toán của trường ¡_ với chú ý 7? =—1

i) Quan hé bang nhau: (a,b) =(c,d) @a=c,b=d

ii) Phép cong: (a,b) + (c,d) =(a+c,b+d)

iii) Phép nhan: (a,b).(c,d) =(ac — bd, ad + bc)

Tập hợp £ với quan hệ bằng nhau, các phép cộng và nhân xác định như trên lập thành một trường thỏa mãn các điều kiện sau:

1) ¡ chứa trong £ như một trường con (qua đồng nhất ae¡ với (a,0)e£ )

2) Tén tại nghiệm của phương trình x”+l=0 trong £

1.2.2 Định nghĩa

Trường £_ được xây dựng như trên được gọi là ường 86 phức

Mọi phần tử của £ được gọi là số phức

Vậy Vz €£, ta có

z=(a,b)=a(1,0)+b(0,l)=atib ,Va,bei

Đây là dạng đại số của số phức z, trong đó

a được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu là Rez

b được gọi là phần ảo của số phức z kí hiệu là Imz

ii) Giao hoan: Z,+2,=2,+2,

Dac biét khi z,; z,1a hai số thực thì định nghĩa (1) trùng với định nghĩa phép cộng các

số thực

1.3.2 Phép trừ

Phép cộng trên có phép toán ngược, nghĩa là với hai số phức

z¡ =a +ib,; z¿ =a, +ib, - ta có thể tìm được số phức z sao cho z; + z = z¡ Số phức

này gọi là hiệu của hai số phức Z¡và Z;, kí hiệu là z = z¡ — z„, rõ ràng từ định nghĩa

Từ định nghĩa ta có những tính chat sau:

i) Két hop 2,(Z,2,) = (Z,Z,)zZ;-

1) Giao hoán Z¡Z;¿ =Z;Z,

iii) Phép nhân có tình phân phối voi phép cong z,(z, + 2,) = 2,2, + 2,23

Néu Z¡ và Z, là hai số thực thì định nghĩa (3) trùng với định nghĩa thông thường của phép nhân trong tập hợp các số thực

Đặc biệt khi lẫy z, = z; =¡ từ định nghĩa (3) ta có ¡¿/=/” =—l

Rõ ràng voi z, =a,+ib, ;z,=a,+ib, thì công thức (3) có được bằng cách nhân thông thường (phép nhân trong tập hợp số thực) và thay ¡? =—]

Chi y: 2.z=a’ +b’ >0

1.3.4 Phép chia

Phép toán nhân có phép toán ngược nếu ít nhất một trong hai số đó khác không Giả sử z; #0 Khi đó ta có thể tìm được một số phức z=+¿¡Ö sao cho Z„.Z = z, Theo định nghĩa của phép nhân ta có hệ phương trình sau

a,a—b,b=a,

Vì z, #0 nghĩa là định thức của hệ Cramer khác 0 nên hệ phương trình trên luôn luôn

có một lời giải duy nhất Số phức z có được này gọi là thương của hai số phức z¿ và z;

Tích của ø lần số phức z được gọi là lũy thừa bậc ø của số phức z Kí hiệu Z”

9

1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức

1.4.1 Dạng lượng giác của số phức

Xét mặt phăng tương ứng với hệ tọa độ Đềcác Oxy và ta biểu diễn một số phức z=a+¡ib ,Va,be¡ bởi một điểm có tọa độ (a,b) Như vậy các số thực sẽ

được biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox, nó được gọi là Ørc (hực, các số thuần ảo

được biểu diễn bởi các điểm trên trục Oy, nó được gọi là truc ao

Ngược lại, với mỗi điểm của mặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b), ta đặt tương

ứng với một số phức z =+¡Ö

10

Vậy có sự tương ứng | -1 gitta tập hợp tat ca các số phức £_ với tập hợp tat ca các điểm của một mặt phẳng

Vì mỗi điểm có tọa độ (a,b) trong mặt phẳng tương ứng với một véc tơ có bán kính véc tơ “=va”+” và góc cực tương ứng gy Do dé mỗi số phức z có thé

biểu diễn dưới dạng z=r(cos@+isinø) Đây là dạng lượng giác của số phức,

trong đó r, Ø lần lượt là bán kính cực và góc cực của sé phức z Bán kinh r goi la

modn của số phức z, kí hiệu r= |s|- Góc cực Ø gọi là argument cia số phức z, kí higéu la g = Argz

Hinh 2 Modun của số phức được xác định một cách duy nhất |s| =a?+b?>0

Va argument của số phức được xác định với sai khác một bội cua 277

arctg ˆ + 2kz „(keé) khi a>0

Ta có các tinh chat sau:

1) Néu Z¡ =Z; thì modul của chúng trùng nhau và argument của chúng Ớ,; @; sai khác nhau một số nguyên lần 2Z

2) Tính chât của modun và argument

Z=2Z,.Z, =1,(cosg, +ising,).r,(cos@, +ising, )

= 11, [(cosg,cos@, — sing, sing,) + i(cosg, sing, —sing,cos@, )]

=Kr[cos(g, + 9,) + isin(ø, + Ø;)]

Như vậy, tích Z của hai số phức viết dưới dạng lượng giác z = r(cosœ+isinø), ở đó

r là tích của n7;, hoặc |zj |z¡‹Z¿|=|z,j|L|z;| : còn argument @ là tổng (Ø, + Ø;) của

hai argument thừa số, hay nói cach khac arg 2,2, =argzZ, + arg Z,

Bằng phương pháp quy nạp toán học dễ dàng chứng minh được

[r(cosø, +1sin ø,) [r;(cosợ; +1sinØ,)] [r„(cosø, +1sIn Ø, )]

=hứ, T,[cOS(0Ø, + Ø; + + Ø„) +7sin(Ø, + Ø, + + Ø„)]

Hoàn toàn tương tự ta có thê làm phép chia các số phức

2 _ ñ(cosø, +isinø,) _ n(cosợ, +1sinø,)(co0Sớ, - ising,)

Z, P;(COSØ, +1SInØ,) 7;(cOSØ, +1SInØ; )(COSØ, - 1SinØ,)

Bây giờ có thé dé dàng biểu diễn tích

của hai số phức Z = Z,Z¿, với Z¡ =;(cosØ, +isinØj); z¿ =r;(cosØ, + isinøØ,)

là một điểm với bán kính véc tơ Ti, và argument ƒ, + @,

z" =[r(cosg +ising)]" =r"(cosng+isinng), Vn e Ý

Công thức trên được gọi là công thức Moivre

Công thức Moivre cũng đúng khi ø là các số nguyên âm Thật vậy:

Cho z=r(cosg + ising), cin bậc n của số phức z là một số phức biểu diễn

n

dưới dạng lượng giac W= Ø(cosØ+ isin 9) sao cho W =Z, hay

[ø(cosØ +1sin Ø)]” = r(cosợ+1sinø)

Theo công thức Moivre, ta có p” =r, suy ra p= alr, Con argument

Do tinh chu ki cha hamsin x;cos x với & > +1 thì những giá trị của

az lại lặp lại một trong ø giá trị ban đầu

Do đó, căn bậc ø của một số phức

có đúng # giá trị khác nhau Những số

này biểu điễn như đỉnh của ø đa giác đều

nằm trên đường tròn với tâm là gốc tọa độ

và bán kính là 4/7

14

Phép nâng số phức z = ø + ¡Ö = r(c0sØ + 1sin Ø) lên lũy thữa bậc n của số

phức được thực hiện theo công thức Moivre

MỸ:

n n inp

z"=r"e

¡;p12kr z=1re n ;k =0;l; ;m—]

15

Chương 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHANG

Chương này trình bày phương pháp giải toán, mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức và ba ứng dụng của số phức vào giải toán hình học 2.1 Phương pháp giải toán

Khi giải các bài toán trong hình học phẳng ta đồng nhất số phức z=x+jy với điểm M(x,y) trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Descartes Oxy,

và goi z la toa vị của diém M (đối với hệ tọa độ đó); kí hiệu M(z), hoặc kí hiệu đơn

giản hơn là M; đồng thời cũng đồng nhất số phức z= x+jÿ với véc tơ OM trong đó

điểm đầu O là gốc tọa độ, điểm cuối M là điểm biều diễn số phức z, vì vậy nêu nói M

có tọa vị z thì cũng nói véc tơ OM có toa vi z Nho vay, néu A(z), B(z’) thi véc tơ

AB = OB - OA có tọa vị (z` -z), hoặc kí hiệu là (A-B), và |45| = |z’ — z| (hay

| AB |=|A-B)) Do đó trong mặt phẳng phức C, phương trình đường tròn tâm tại điểm

Mo(zo), ban kinh R 1a |z— zo| = R hay z =z, + #(cosứ + isin) với tham số t biến thiên

trong đoạn [0; 2Z7 ] hay một phần của đoạn đó mà ta có toàn bộ đường tròn hay một cung tương ứng, còn phương trình đường thắng có dạng:

z=x+ib, b= cons/, đường thắng song song với trục Ox

z=a+iy, a=cons/, đường thăng song song với trục Oy

Zz=x+ÿy, y=xtanø, ø là số đo góc định hướng hợp bởi đường thắng và tia Ox

Sau đó nhờ phép chuyền tương ứng điềm hình học hay điểm phức M thành

vectơ @Ä⁄_ ta sẽ nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho, một lời giải không ứng dụng số phức

Nhờ đó ta nhận được lời giải thông thường của bài toán đã cho

2.2 Mô tá một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức

Cho trước hai diém M(m), N(n) Khi đó, độ dài đoạn AZN =|n—m|= d(m;n) Trong mặt phăng cho trước đoạn thắng AB Khi đó, điểm M chia đoạn thắng AB theo

16

uuu

tỷ số k€j {1} khi và chỉ khi MA =kMB, a—m =k.(b—m) trong đô a, b và m là tọa

vị các điểm A, B và M theo thứ tự đó

Từ đó, nếu kí hiệu [4B] là chỉ đoạn thang AB, kí hiệu (4) là chỉ đường

thắng AB, kí hiệu [4B) là chỉ tia AB, ta có các kết quả sau

Cho trước hai điểm A(a),B(b) phan biét va diém M(m) Khi đó

M e[AB]© 3¡>0:z—m =t.(b—m) © 3í e[0;1]: m=(L—?)a+£b (1)

M e(AB)© 3ie¡ :m—a=r.(b—a) ©3ie¡ :m=(I=f)a+ib (2)

Định lý 2.1 Cho trước hai điểm A(a),B(b) phan biệt và điểm M⁄(m) Khi đó, các

mệnh đề sau tương đương

Từ đó, đề ý rằng/ =f Vie¡ , ta thu được phương trình của đường thắng đi

qua hai diém W,(w,),W,(w,) 1a

2.2.1 Góc giữa hai đường thắng

Trong mặt phăng phức, cho hai điểm

M,(z,),M,(z,) va a, =argz,,k =1,2 Khi đó, do

uu uuuu uuu uuu uử uuuu:

(0x.oM,)+(OM,,OM,)=(0x.OM,) (mod 2z) nén

uUuuư uuuư: uu uuuư: uu uuuư

(2M 0M.) = (Ox,0M,)- (0x.oM, ) (mod2Z)

hay góc định hướng tạo bởi tia ÓM, với tia OM,

bằng arg 2

Từ đó, nếu cho bốn điểm phân biệt

M,(z,),k =1,2,3,4 thì góc định hướng tạo bởi đường

17

247-2,

thang M,M, voi M,M, bang arg

2.2.2 Tích vô hướng của hai số phức

Trong mặt phăng phức cho hai điểm M,(z,),M,(z,) Khi đó

uuu UUUU:

OM, OM, = OM,.0M,.cosM,OM,

Nếu z, có modul bang 1, va cé argument bang ø, thì

—Œ

2.2.3 Công thức tính diện tích tam giác

Diện tích của tam giác ABC định hướng, với các đỉnh A(a),B(b),C(c)

được tính theo công thức

18

2.2.4 Khoáng cách từ một điểm đến một đường thắng

Khoảng cách từ điểm A⁄Z(z„) đến đường thăng A : ø.z+ ơ.z+/=0 bằng

A(M.A)= lz-z, +#-2, + /|

2Vaa 2.2.5 Đường tròn

Đường tròn tâm M,(z,) ban kinh R 1a tap hop những điểm M(z) sao cho

biểu thức của phép quay là z'— z„ = '“(z— zạ)

Phép đối xứng trục Phép đối xứng qua đường thăng | là phép biến hình biến mỗi điểm A⁄z) thành điểm 3⁄2) sao cho I là trung trực của MM" Từ đó

s Phép đối xứng qua trục thực: z'= ƒ(z)= z

e Phép đối xứng qua trục ảo: z'= ƒ(z)= —z

19

uu © uu uuu uu uuuư:

« Do 2(Ox;1)=(0x;0M) +(Ox;0M') ( ở đây I =(z,)) nên phép đối

a

2 xứng qua đường thắng l đi qua gốc tọa độ O và điểm Zy= e? có biểu thức

Phép vị tự

Phép vị tự tâm C(z,), ty sé rej “la phép biến hình biến mỗi điểm 4z)

thành diém Mz!) ma CM'=r.CM Do do, cé biéu thire

z'= r.(Z—Zg)+Zạ

2.2.7 Điều kiện thắng hàng, vuông góc và cùng nằm trên một đường tròn

Định lý 2.3 Ba điểm 4, (z,), M; (z,),M; (z, )thăng hàng khi và chỉ khi

BAe * hay in 2=2)-o,

Hệ quả 2.1 Bốn điểm M, (z,).k =1,2,3,4 cùng nằm trên một đường thắng khi và chỉ

Bốn điểm M, (z,),k =1,2,3,4 cùng năm trên một đường tròn khi và chỉ khi

Z)—5; 32 23-24 *ei nhưng * )—Z +ựi và .— —^+gi

2.2.8 Tích ngoài của hai số phức

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M⁄ 1(z¡),M;(z;) Khi đó

Do d6 z,x2, = 5(2.2 4122) TWdd, do 2, x2, = z¡ xz, nên suy ra Imz,xz,=0

Tích ngoài của hai số phức cũng có các tích chất như tích ngoài của hai véc-to trong

mặt phẳng, ngoài ra (2z,)x z, = 2.(2, x z,) vaz, x(zz,) =2.(z,x 2)

Chương này mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức và ba ứng dụng của số phức vào giải toán hình học phẳng

2.3 Ứng dụng số phức giải toán chứng minh hình học và tính toán

Ví dụ I1 Cho tam giác ABC Trên BC lấy các điểm E và F sao cho

ur um ur =| Um

uum UU ULL

1) Tinh AE, AF, EF theo AB, AC

2) Chứng minh các tam giác ABC, AEF có cùng trọng tâm

Ta viết AE=E—A.Tw gia thiét EB=kEC