BGDT Toan 1 04 Dham ppt 1 BỘMÔN TOÁN ỨNG DỤNG ĐHBK BGĐT – TOÁN 1 BÀI 7 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH – XÁC ĐỊNH – SUY RỘNG TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 2 NỘI DUNG 1 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 2 TÍCH PHÂN HÀM[.]
Trang 1BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-
-BGĐT – TOÁN 1 BÀI 7: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH – XÁC
ĐỊNH – SUY RỘNG
TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)
Trang 2NỘI DUNG -
Trang 3x x
a x
a
dx
arcsin
2 2
C x
C
x x
(')
()
Trang 41 KỸ NĂNG CƠ BẢN
-Ø Phương pháp : Biến đổi về tổng
Ø Tích phân hàm vô tỷ (căn thức) + Lượng giác
Ø Tích phân từng phần: v = Phần khó tìm nguyên hàm
Ø Kỹ năng : Đổi biến 1 – 2
Ø Kỹ năng : Đổi biến 1 – 2 ò f (u(x)u'(x)dx = ò f (u)du
Ø Đổi biến 2: Phát hiện x(t) ò f (x)dx = ò f (x(t))x'(t)dt
ë
é
++
++
+-
+-
+
+-
=
q px
x
D
Cx x
B x
B x
A dx
2 1
1 1
a
Trang 5Phân thức hữu tỷ: P(x)/Q(x), P và Q: đa thức Phân thức hữu tỷ thực sự: Bậc P(x) < Bậc Q(x).
Bậc P(x) ³ Bậc Q(x): Chia P(x) cho Q(x) ® đa thức thương
x r x
Q x
h Q
x Q
x
r dx
x
x
x - + - ln +1 +
23
2
3
=úû
ùêë
é
+
+-
2
Trang 6VD: Tính / ò 3 + 5
x x
x
x
)1
(
1
2 3
4 4
ò
x
x dx
x
x
2 3
2
11
=+
+
-+
x x
x x
x I
b
)13
)(
15
(
)1
+
dx x
x
D
Cx x
x
B
Ax
13
é
+-
+
-++
+-
=
v
v u
u x
x
x x
x
8
11
3
3
21
5
5
28
1
2
x x
x
++
+
-=
15
1
3ln
8
1
2 2
1/ Phân tích đa thức mẫu số Q thành tích (bậc 1 hoặc bậc 2) 2/ Phân tích P/Q ® tổng (thêm bớt, hoặc hệ số bất định)
Đại số: Mọi đa thức hệ số thực bậc n luôn phân tích được thành tích các nhị thức bậc 1 và tam thức bậc 2 có D < 0
2 PHÂN THỨC HỮU TỶ NGUYÊN TẮC TỔNG QUÁT
Trang 7
-1/ Giải Q(x) = 0 Þ Đưa Q(x) về tích bậc 1 & bậc 2 (D < 0)
( ) ( ) ( ) K(14 24 4 34) (14 24 4 34) K
0 4
2 2
2
0 4
1 1
2 2
1
2
2 2
2
1
2 1
1 2
++
-
-=
q p
n
q p
n m
m
q x
p x
q x
p x
x x
a x
4 21
K4
4444
44444
+
++
++
++
+-
+
+-
+
C x
B q
x p x
C x
B x
A x
A x
A
x g m
m
m
2 1
2 2
1 1
2
1 1
1
2 1
2 1
1
1 1
1 1
số thừa
a a
a
3/ Quy đồng mẫu số; Đồng nhất 2 vế; Giải hệ p/trình tìm A k …
1/ Tích ở mẫu số chứa bao nhiêu thừa số ® Tổng chứa bấy nhiêu 2/ Mẫu bậc 1® Tử: hằng số Mẫu bậc 2 (lũy thừa k) ® Tử bậc 1
2 PHÂN TÍCH PHÂN THỨC P(X)/Q(X) ® TỔNG
Trang 8
-Bậc 1 / -Bậc 2, mẫu số vô nghiệm: Thêm bớt tạo dạng u’/u
c bx
ax a
mb n
c bx
ax
b
ax a
m c
bx ax
n
mx
++
×
÷ø
öç
è
æ
-++
+
+
×
=+
+
+
2 2
2
12
22
Bậc 1 / (Bậc 2) n : Thêm bớt tạo u’/u n & Đưa về C/(x 2 + a 2 ) n
x a
a
mb n
c bx
ax
b
ax a
m c
bx ax
n
mx
2 2
2 2
1
12
2
öç
è
æ
-++
+
+
×
=+
++
n
a x
dx I
)( 2 2
a n
n a
x
x na
2
1
2)
(2
+
=
+
Lượng giác hóa: x = atgt Þ I n ® ò cos2n-2 t dt
2 TÍCH PHÂN CÁC PHÂN THỨC CƠ BẢN
Trang 9
-Đưa các tích phân sau về phân thức hữu tỷ cơ bản
+Þ
-+
2 2
2
1
21
2
x x
x dx
x x
x a
( )2
1
1+ -
-+
x
C x
B x
Þ-
x x
x x x
x x
-+
+
x x
E
Dx x
C x
B x
A
11
2 3
++
Þ+
32
1
11
1
a t
x x
Trang 10-3 TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ- CĂN PHÂN THỨC BẬC 1
b
ax t
dx d
cx
b
ax x
R
+
+
=Þ
÷ø
öç
b
ax dx
d cx
b
ax d
cx
b
ax x
+
+Þ
÷ø
öç
è
æ
+
++
+
11
1
3
+
×-
+
= ò x x x dx
( )3 2
2 3
3 3
1
61
11
+
=
Þ-
t
t x x
x t
VD:
ò
+-
=
3 x 1 x 1 2
dx I
Giải: Đổi biến
Trang 113 TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ – CĂN CỦA TAM THỨC
dx = + + ++
k k
x x dx
k
22
1
C a
x x
a
dx = +-
2 2
C a
x
a x
a x dx
x
22
2 2
Trang 12+
=+
dx c
bx ax
x Q
dx c bx
++
+
x x
x
x
22
++
++
+
22
2
2
2
2 2
x x
dx x
x c
=
12
2x2 x x
dx I
+-
-=Þ
=
1
22
t
t
dt I
t x
Trang 133 TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ – CĂN CỦA TAM THỨC
tdt dx
t
x t
é
=+
Þ
=
=+
Þ
=+
coshsinh
cos
tg:
,
2 2
2
2 2
2
ê
êë
é
=-
Þ
=
=+
Þ
=-
sinhcosh
tg
cos:
,
2 2
2 2
2 2
ø
öç
è
Î
æ-=
t t
dt I
t t
sincos
2
,2,
Trang 143 TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ – PHÉP THẾ EULER
-x a t
c bx
ax
a > 0: 2 + + =
-( -l)( - m) + + = ( - l)
=+
+
=
1
2 x x
x
dx I
12
-=+
-t
t x x
t x
x
k x
dx
Tính ò R(x, ax2 + bx + c)dx (Giới thiệu ý tưởng Minh hoạ)
Trang 154 HÀM LƯỢNG GIÁC – PHÂN THỨC HỮU TỶ
cos
cos
sin,
sin1
tg,
cos2
sin,
cossin
x x
x x
x
++
++
+
( ) ( ) ( ) ( )
ï
ïî
ïïí
ì
+
=
+-
=
+
=Þ
=
ò
2
2 2
2
12
11
cos
12
sin2
tg:
cos,
sin
t dt
dx
t t
x
t t
x x
t dx x x
R
Trang 164 LƯỢNG GIÁC – BẬC 1/BẬC 1 – KHAI THÁC u’/u
-Trường hợp riêng:
v
u C
x B
x A
C x
B x
++
+
+
'cos
'sin
'
cossin
Tách thành tổng:
v v
v v
u v
x x
R x
x R
x t
x x
R x
x R
tg)
cos,
(sincos
,sin
sin)
cos,
(sincos
,sin
cos)
cos,
(sincos
,sin
=Þ
=-
-=Þ
-=-
=Þ
-=-
Vài dạng khác: òsina xcosb xdx òsina xcos b x dx
Trang 17Bài toán thực tế: Diện tích hình thang cong: y = f(x), x = a …
Diện tích hình thang cong » Tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ
( )(142-43)+ ( )D +K
D
1 0
1 0
b a
n k
k k
k
x x x f c f x dx
k
)(
0
1 0
y =
Trang 18)()
(t dt f x
f dx
d x
a
=úû
ùê
ë
é
ị f ( )t dt F( )x C , F : Nguyên hàm
x a
® D
b a
n k
k k
x
n k
k k
k
k k
)(lim
0 0 max
1 0
1 0
Lặp lại quy trình với nhiều bài tốn: Thể tích vật thể trịn xoay, độ dài dây cung, cơng của lực biến thiên … Þ Khái niệm tích phân xác định, định nghĩa bởi tổng Rieman của hàm f(x) trên đoạn [a, b]:
Trang 195 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
n
dx x
f f
n k
k k
k k
x x
x
a = 0 < 1 <K < = ; x Î , +1 ;d = max +1
-Hàm f(x) xác định, bị chặn trên đoạn [a, b] Phân hoạch:
Trang 20dx x g dx
x f b
a x
x g x
Hay sử dụng:
x M
x f
ÞÎ
-=Î
a
b a
dx x
f a b
f a
b f
dx x
f b
x
Trang 215 ĐẠO HÀM TÍCH PHÂN THEO CẬN TRÊN
-Tích phân theo cận trên: S(x) x f (t)dt S'(x) f (x)
a
=Þ
= ò
Tổng quát: Đạo hàm tích phân theo cận trên lẫn dưới
( ) (v x ) v x f (u( )x ) ( )u x f
x G dt
t f x
G v x
x u
')
(')
(')
()
) (
×-
×
=Þ
x
x
ò
® 0
2 0
coslim
/
1
arctglim
/
2 0
x
x
Trang 22dx x f
f: hàm tuần hoàn (f(x+ T) = f(x) "x) Þ a+òT = aò
a
dx x f dx
x
f
0
)()
(
0
sin2006
I
cossin
sin
p
a a
a
dx x x
x I
0
2 0
cossin
p p
dx x f
dx x f
Þ-
x
2
p
Trang 236 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1
a b ® ¥
Giới hạn tồn tại và hữu hạn Û Tích phân suy rộng hội tụ
Tích phân suy rộng loại 1: ¥ò = ®¥ bò
a
b a
dx x
f dx
x
rộng: ¥ f(x) xác định trên [a, ¥), khả tích trên mọi [a, b] Ì [a, ¥)
Trang 246 TÍCH PHÂN SUY RỘNG TẠI -¥, TRÊN R
-TP suy rộng trên (–¥, b]
a a
b
x F dx
x f dx
x
¥ -
¥
¥ -
+
=+
a b
c a
a c
c
f f
f f
dx x
ùê
Trang 251 0
2 1
p
=
=-
-® -
b a
c a
b c
c a
b a
f f
f f
b a
x F dx
x f dx
Trang 267 KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA TP SUY RỘNG
dx x
a
a x
dx x
b
dx x
dx
a a
a , ,
0
Chứng minh tích phân suy rộng tồn tại (hội tụ) bằng cách tính TP xác định & qua giới hạn: CỒNG KỀNH, PHỨC
TPSR Rieman (hàm luỹ thừa)
Trang 27f g
a
b a
g f
b /
VD: ¥ò e-x2dx = 1òe-x2dx + ¥ò e-x2dx :TP (1) thường; (2): suy rộng
:)()
( = òx
a
dt t f x
Trang 287 TIÊU CHUẨN SO SÁNH 2
x g
x
f
b x b
x® = Î 0,¥ Û ®~
)(
)
(lim
ò ò
Þ
b a
b
a
dx x
g dx
lim:
Trang 297 HÀM DẤU BẤT KỲ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI
-Hội tụ tuyệt đối: TPSR của | f | hội tụ Þ TPSR của f hội tụ
ị |f(x)| dx phân kỳ (khơng hội tụ tuyệt đối) & ị f(x) dx hội tụ
1
2 1
dx x
x x
ùêë
é
=
VD:
tụ hội:
cos
ị
¥
dx x
x nhưng tphân trị tuyệt sin2 dx : phân kỳ!
Trang 30ờở
ộ
-đẻ
C x
f b x
R b
x
C x
f x
b
~,
:
~,
:
Hàm dưới dấu t/phõn ĐỔI DẤU: Lấy trị tuyệt đối & đỏnh giỏ