Chương 4: Điều khiển trong Cơ Điện tử

Chương 4: Điều khiển trong Cơ Điện tử, GV: Đỗ Đức Nam, ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐIỀU KHIỂN TRONG CƠ ĐIỆN TỬ

Bộ môn Cơ sở thiết kế máy và Robot,

Viện Cơ khí, Đại học Bách Khoa Hà Nội

Đỗ Đức Nam

Đặc điểm và vai trò của hệ thống điều khiển

hệ thống

• Các bước thực hiện một bài toán điều khiển:

1- Xác định loại TH: tiền định, ngẫu

nhiên, liên tục hay không liên tục …

2- Mô hình toán học: biểu diễn mối

quan hệ giữa tín hiệu vào-trạng thái-

tín hiệu ra

3- Phân tích hệ thống: phân tích các

tính chất, đặc tính của đối tượng, (cần

thiết phải sửa đổi để nâng cao chất lg)

Chỉ rõ từng nhiệm vụ của sự can thiệp

4- Thiết kế bộ điều khiển: Thực hiện

việc can thiệp HT bằng cách xđ tín hiệu

kich thích ở đầu vào 1 cách thích hợp

5- Đánh giá chất lượng của bộ ĐK

Xác định loại tín hiệu

Xây dựng mô hình toán học

Phân tích

hệ thống

Thiết kế bộ điều khiển

Bắt đầu

Đánh giá chất lượng

Kết thúc

Tốt Không tốt

Những cấu trúc cơ bản của hệ thống điều khiển

Tín hiệu điều khiển thích hợp (TH đầu vào hay TH đặt trước)

Ký hiệu: u(t)

Đặc điểm:

- Điều khiển 1 chiều

- Không có khả năng hiệu chỉnh hay thay đổi lại

- Chất lượng phụ thuộc hoàn toàn vào mô hình toán học

- Giả thiết không có nhiễu tác động vào HT

Đối tượng điều khiển

Bộ điều khiển: Tạo ra tín hiệu điều khiển thích hợp cho đối tượng

- Tín hiệu đầu ra là u(t) (là đầu vào của HT hay đối tượng cần điều khiển)

- Tín hiệu đầu vào là 1 trong các TH

+ Một tín hiệu lệnh (t) đặt trước (cấu trúc điều khiển hở)

+ TH trạng thái x(t) của đối tượng (điều khiển phản hồi trạng thái)

+ Tín hiệu đầu ra y(t) của đối tượng (điều khiển phản hồi đầu ra)

Đối tượng điều khiển

Bộ điều khiển

(t)

 Điều khiển hở

Đặc điểm:

- Là điều khiển 1 chiều

- Giống đk thích hợp+ bộ đk tạo tín hiệu đầu vào (t)

- Độ chính xác phụ thuộc mô hình toán học mô tả đối tượng

- Giả thiết không có nhiễu tác động vào đối tượng

 Điều khiển phản hồi trạng thái

- Có khả năng giữ được ổn định chất lượng

mong muốn (mặc dù có nhiễu)

Đối tượng điều khiển

Bộ điều khiển

(t)

x(t)

Bộ điều khiển



b)

 Điều khiển phản hồi tín hiệu ra

Bộ điều khiển

(t)

Bộ điều khiển



b)

a)Mạch truyền thẳng b)Mạch hồi tiếp

-Bài toán phản hồi tín hiệu ra vẫn là bài toán mở,

chưa có lời giải tổng quát cuối

-Tín hiệu đầu ra y(t) không mang đầy đủ thông

tin ĐH và đối tượng

- Ở hệ tuyến tính, do thỏa mãn nguyên lý tách được

nên bài toán này được tách ra 2 bài toán:

phản hồi trạng thái+quan sát trạng thái

Đối tượng điều khiển

(t)

Bộ điều khiển



Bộ quan sát trạng thái x(t)

Một số loại tín hiệu trong hệ thống điều khiển

Tín hiệu tiền định: được định nghĩa như một hàm số phụ thuộc thời gian mang thông tin về các thông số kỹ thuật được quan tâm trong hệ thống và được truyền tải bởi những đại lượng vật lý

Tín hiệu: là một hình thức biểu diễn thông tin

Phân loại:

- TH liên tục: nếu x(t) là hàm liên tục từng đoạn theo thời gian (tk)

- TH không liên tục: x(t) không liên tục theo t, chỉ xác định

hữu hạn tại các điểm t 1 , t 2 , …t n.

- TH tương tự: x(t) là hàm liên tục trong miền giá trị

- TH rời rạc: x(t) là hàm không liên tục theo miền giá trị

Một số tín hiệu tiền định điển hình

 Tín hiệu bậc thang (Heaviside)

Xây dựng mô hình toán học (ĐK liên tục trong miền phức)

-Biểu diễn mối quan hệ giữa tín hiệu vào u(t) và ra y(t) với mục đích mô phỏng, phân tích và tổng hợp bộ ĐK cho hệ thống

-Xây dựng mô hình cho HT gọi là mô hình hóa Gồm 2 loại:

+ Phương pháp lý thuyết: dựa trên định luật có sẵn về quan hệ vật lý

(bên trong và bên ngoài HT: quy luật lý-hóa, quy luật cân bằng…)

+ Phương pháp thực nghiệm (nhận dạng-Identification ): để hoàn thiện nốt việc xây dựng 1 mô hình bằng cách tìm 1 mô hình thuộc lớp các mô hình thích hợp

đó trên cơ sở quan sát các tín hiệu vào ra

• Thực tế mô hình toán học không giống được 100% mô hình thật Các điều khiển phải làm việc với 1 mô hình có ít nhiều sai lệch… do vậy cần phải theo dõi và chỉnh định lai các mô hình cho phù hợp HT thực tế

Hệ thống kỹ thuật

y 1 (t)

y n (t)

:

:

- Tín hiệu vào:

- Tín hiệu ra:

Bản chất của mô hình toán học là ánh xạ T: u(t) -> y(t)

Phương trình vi phân mô tả quan hệ vào - ra

- Ánh xạ T: mô tả HT là phương trình vi phân biểu diễn mối quan hệ giữa tín hiệu vào u(t) và tín hiệu ra y(t) (thích hơp với hệ SISO)

- Kết quả mô hình hóa là các PT vi phân mô tả quan hệ vào-ra:

ai, bi : xác định từ các phần tử (linh kiện, thiết bị) cấu thành trong hệ thống

ai, bi : có thể là hằng số,

có thể là biến số phụ thuộc thời gian t (mô hình tuyến tính không dừng),

hoặc phụ thuộc vào các đối số khác (mh tuyến tính với tham số dải)

Phương trình (H) : gọi là phương trình vi phân

- Biết trước kích thích u(t) luôn tìm được nghiệm y(t) là đáp ứng của hệ thống

(H)

VD: Xây dựng mô hình toán học là phương trình vi phân

Fd Fc

(Tiên đề cân bằng lực của Newton)

Phương trình vi phân mô tả bộ giảm chấn:

VD: Xây dựng mô hình toán học là phương trình vi phân

y(t) - lưu lượng ra

u(t) - lưu lượng vào

Hệ số chuyển đổi áp suất với độ cao cột chất lỏng trong bình 

Lưu lượng ra y(t):

Phương trình vi phân mô tả lưu lượng vào u(t) và lưu lượng ra y(t):

Hàm truyền đạt, hàm trọng lượng, hàm quá độ

Mô hình HT tuyến tính SISO : u(t)-tín hiệu vào; y(t)-tín hiệu ra

 Hàm truyền đạt G(s): là tỷ số ảnh Laplace Y(s) của đáp ứng y(t) cho ảnh Laplace

của kích thích u(t) khi hệ kích thích từ trạng thái 0

- Các điều kiện đầu

Hay:

- Từ PT (H), khi chuyển sang miền phức bằng toán tử Laplace, ta có:

- Hàm truyền đạt:

• Ưu điểm: - Quan hệ tín hiệu vào-ra được mô tả bằng một PT đại số tuyến tính

- Việc xác định đáp ứng y(t) đơn giản hơn

- Việc khảo sát đặc tính động học của HT cũng nhanh và đơn giản hơn

 Hàm trọng lượng

g(t) : là hàm gốc của hàm truyền đạt G(s)

Theo tính chất của toán tử Laplace:

g(t) : gọi là hàm trọng lượng của hệ thống

Với u(t)=(t) Do U(s)=1 nên y(t)=g(t)

là đáp ứng của hệ thống khi hệ ở trạng thái 0 và được kích thích bởi tín hiệu

dirac (t) ở đầu vào Với hàm g(t) luôn xác định được tín hiệu ra y(t) theo CT (HH) , nếu biết trước u(t)

(HH)

 Hàm quá độ h(t)

- Là một thể loại mô hình không tham số thường được sử dụng để khảo sát trực quan đặc tính động học của hệ thống

thái 0 bị kích thích bởi tín hiệu bậc thang (Heaviside) 1(t)

- Đầu vào u(t) là tín hiệu 1(t):

- Hàm qua độ h(t) có anh Laplace H(s) được tính theo:

Theo tính chất của toán tử Laplace:

- Giả sử 1 HT có hàm truyền đạt G(s) được kich thích bằng tín hiệu u(t) có ảnh Laplace U(s) Tín hiệu ra sẽ là:

- Nếu gọi là tín hiệu có ảnh Laplace nên có:

- Do u(t)=0 khi t < 0 cũng như h(t-)=0 khi >t Do chúng đều là các tín hiệu Causal:

Ctính chất của toán tử Laplace cho ta có:

ĐL: hàm quá độ h(t) là đáp ứng của hệ thống khi hệ đang ở trạng thái 0 và được

kích thích bởi tín hiệu bậc thang (Heaviside) 1(t) ở đầu vào Với hàm quá độ h(t),

Ta có thể xác định được tín hiệu ra y (t) theo CT (HHH), nếu biết trước u(t)

(HHH)

y(t)

G(s)

u(t) 1(t)

(t)

h(t) g(t)

Phép biến đổi sơ đồ khối

Hai khối song song

- Cho phép xác định hàm truyền đạt cho hệ lớn từ các hàm truyền đạt của các

-Tín hiệu vào: u(t)

- Tín hiệu ra: y(t)=y1(t)+y2(t)

- Hàm truyền đạt của cả hệ

Hai khối nối tiếp

G2(s) G1(s)

y(t)

(t) u(t)

G1(s)G2(s)

-Tín hiệu vào: u(t)

- Tín hiệu ra (t) của khối G2(s) là tín hiệu

vào của khối G1(s)

- Tín hiệu ra của khối G1(s) là tín hiệu ra

Hệ có hai khối nối hồi tiếp



G1(s) 1F G2(s) G1(s)

-Tín hiệu vào: u(t)

- Tín hiệu ra của HT là tín hiệu ra của G1(s)

- Tín hiệu vào của G1(s) là tín hiệu tạo bởi

tín hiệu vào của HT và tín hiệu ra của G2(s)

e(t)=u(t)  (t)

Có:

Y(s)=G1(s)E(s)=G1(s)[U(s)G2(s)Y(s)]

=G1(s)U(s)  G1(s)G2(s)Y(s)

Chuyển đổi nút tín hiệu

 Chuyển từ trước ra sau một khối G(s)

-Tín hiệu ra có ảnh Laplace y(t)

Y(s)=G(s)[U1(s)U2(s)] = G(s)U1(s)  G(s)U2(s)

 Chuyển từ sau ra trước một khối

y(t) u(t)



y 2 (t)

-Chú ý: khối mới được tạo thành không có được hàm truyền đạt hợp thức (bậc đa thức tử số lớn hơn bậc đa thức mẫu số)

 Chuyển nút rẽ nhánh tín hiệu từ trước ra sau một khối

G(s)

1 G(s)

y 1 (t) u(t)

y 2 (t)

G(s)

 Chuyển nút rẽ nhánh từ trước ra sau một nút nối

Đường đặc tính tần biên pha

+ : là ảnh Fourier của hàm trọng lượng g(t)

 Đường đặc tính tần đại diện tính chất gì của hệ thống ?

Định lý 1: Nếu kích thích 1 hệ thống có hàm truyền đạt bền G(s) từ trạng thái 0,

tức là tại thời điểm kích thích hệ có:

bằng tín hiệu điều hòa u(t)=ej  t thì khi t-> hệ sẽ có đáp ứng y(t) được xác

Đường biểu diễn hàm dưới dạng đồ thị theo tham số  khi  chạy từ 0 đến

 trong hệ tọa độ có trục tung là và trục hoành là

gọi là đường đặc tính tần biên-pha

Đường đặc tính tần logarith- Đồ thị Bode

Một cách biểu diễn khác của hàm đặc tính đặc tính tần là đồ thị đặc tính logarith

- hay còn gọi là biểu đồ Bode:

Đây là cách biểu diễn thành 2 đồ thị riêng biệt theo  cho:

+ biên độ hay giá trị logarith của là:

Có đơn vị là Dezibel (dB) + và pha, hay giá trị góc có đơn vị là Grad

Cả 2 đồ thị đều có trục hoành là  song không được chia đều theo giá trị của 

mà lại theo lg (mục đích để minh họa hết đầy đủ hệ thống thông qua cho môt giải tần số lớn)

 Xét việc xây dựng đồ thị của:

Được thực hiên đơn giản bằng cộng trừ các đồ thị thành phần

Ví dụ 1: Xây dựng biểu đồ Bode của khâu khuếch đại (hệ động học cơ bản)

- Hàm truyền đạt:

- Hàm đặc tính tần:

Ví dụ 2: Xây dựng biểu đồ Bode của khâu quán tính bậc nhất

Phân tích hệ thống (ĐK liên tục trong miền phức)

-Từ mô hình toán học, cần phân tích để rút ra 1 số kết luận cơ bản về tính chất, chất lượng động học của hệ thống cần thiết để tổng hợp, thiết kế bộ điều khiển -Các yếu tố cần thiết cho việc tổng hợp:

1- Hiểu biết về tính ổn định của hệ thống: 1 hệ được gọi là ổn định nếu khi kích thích hệ bằng tín hiệu u(t) bị chặn ở đầu vào, thì có đáp ứng y(t) ở đầu ra cũng bị chặn (BIBO-Bound Inputs Bound Outputs)

2- Hiểu biết về sai lệch tĩnh: Yêu cầu hệ ổn định mới xác định được y(t)  hằng số khi có tín hiệu vào u(t)=u0 cũng là một hằng số; Nếu coi u0 là tín hiệu đặt trước mong muốn đầu ra y(t) sau 1 thời gian quá độ Tqđ cần đánh giá thêm sai lệch:

e(t)=u(t) – y(t) có tiến về 0 hay không?

Giá trị giới hạn của sai lệch này gọi là sai lệch tĩnh của hệ thống

3- Hiểu biết thời gian quá độ và độ quá điều chỉnh:

Yêu cầu sai lệch tĩnh chỉ giải quyết tính chất tĩnh của hệ thống Yêu cầu chi tiết hơn thể hiện qua quá trình y(t) u0 hay sai lệch e(t)  0 ntn? Gọi là các yêu cầu về

chất lượng động học, cụ thể:

a- Yêu cầu về quan tính tĩnh của hệ thống, về thời gian Tqđ của quá trình quá độ

Thời gian Tqđ càng nhỏ, chất lượng động học của hệ càng tốt

b- Yêu cầu về độ quá điều chỉnh, về miền dao động của đầu ra y(t) xung quanh giá trị giới hạn

mà hệ thống cần phải đạt đến Quá trình điều chỉnh được hiểu là:

và giá trị này càng nhỏ, chất lượng động học càng cao

b- Có sự tác động của những tín hiệu nhiễu không mong muốn vào hệ thống

Trong phần này ta sẽ phân tích chất lượng hệ thống SISO theo các tiêu chuẩn

đã đề cập ở trên

Xác định tính ổn định từ đa thức đặc tính

1- Mối liên hệ giữa các vị trí điểm cực và tính ổn định của hệ thống

- Xét hệ SISO với hàm truyề n đạt dạng thực-hữu tỷ (các hệ số là các số thực) và

hợp thức , nghĩa là:

Với khái niệm ổn định BIBO, một hệ thống có (vector) tín hiệu vào u(t) và ra y(t)

được gọi là ổn định BIBO nếu: ||u(t)|| <  (hữu hạn) thì ||y(t)||  cũng là số hữu hạn

2- Định nghĩa (đa thức Hurwitz) : Đa thức :

gọi là đa thức Hurwitz nếu tất cả các nghiệm của nó đều nằm bên trái trục ảo

(có phần thực khác 0)

Một số đặc điểm:

- Để A(s) là Hurwitz, thí cần và đủ là đa thức đối ngẫu với nó cũng là Hurwitz

- Nếu A(s) là Hurwitz thì các hệ số a0, a1, …, an phải cùng dấu và khác 0 , nếu

A(s) có bậc n2 thì đk cần trên cũng là đk đủ

Một số tiêu chuẩn

1- Tiêu chuẩn đại số thứ nhất: Tiêu chuẩn Routh

Xác định sự phân bố nghiệm của A(s) trong mặt phẳng phức mà không cần giải PT

TC phát biểu như sau:

+ Lập bảng Routh từ các hệ số aiR, i=0,1,…,n của A(s)

+ Đa thức A(s) là một đa thức Hurwitz khi và chỉ khi các hệ số a0, a1, 1, 2 …

trong cột đầu của bảng Routh cùng dấu và khác 0

+ Số lần đổi dấu trong cột đầu đầu bằng số các nghiệm của A(s) nằm bên nửa

hở bên phải mặt phẳng phức (có phần thực dương)

Ví dụ 1: Minh họa tiêu chuẩn Routh

Cho đa thức: A(s)=5+16s+18s2+8s3+s4

Lập bảng Routh (các ô không có phần tử được xem bằng 0)

Ví dụ 2: Minh họa tiêu chuẩn Routh

Cho hệ có hàm truyền đạt thực-hữu tỷ, hợp thức với đa thức mẫu số

Lập bảng Routh (các ô không có phần tử được xem bằng 0)

Ví dụ 3: Minh họa tiêu chuẩn Routh

Xét hệ có cấu trúc như hình bên, trong đó

Hãy tìm hệ số khuếch đại k để hệ ổn định

2- Tiêu chuẩn đại số thứ hai: Tiêu chuẩn Hurwitz

Xét số lần thay đổi dấu trong dãy các nghiệm của đa thức A(s) thông qua giá trị

tích phân của các đường bao kín nửa mặt phẳng phức bên phải của nó:

TC phát biểu như sau:

1) Dựng ma trận H(nxn) từ

các hệ số ai , i=0,1,2 ,n của A(s)

2) Xác định các ma trận vuông Hi , i=1,2,…,n lấy từ H sao cho Hi có đúng phần tử

trên đường chéo chính của H

3) Tính định thức Di=det(Hi), i=1,2,…,n

a- Đa thức A(s) là Hurwitz khi và chỉ khi: a0,D1,D2/D1, D3/D2, …, Dn/Dn-1 cùng dấu và khác 0 b- Số lần đổi dấu trong dãy trên bắng số các nghiệm nằm bên phải trục phức của đa thức A(s)

Ví dụ 4: Minh họa tiêu chuẩn Hurwitz

Tìm điều kiên cho tham số k để hệ có hàm truyền đạt G(s) dưới đây được ổn định:

Áp dụng tiêu chuẩn Hurwitz với tức là:

Vậy để hệ ổn định:

2- Tiêu chuẩn hình học: Tiêu chuẩn Michailov

Khác tiêu chuẩn Routh-Hurwitz, t/c này sử dụng hàm A(j) (thu được từ A(s) bằng cách thay s bởi j ) nhằm xét tính Hurwitz của hàm A(s) Nói cách khác là dựa vào

cơ sở dạng đồ thị của A(j)

Định lý: Đa thức hệ số thực

là Hurwitz khi và chi khi đường đồ thị A(j) với  đi từ 0 tới + bao quanh góc

tọa đô một góc đúng bằng n/2.Nói cách khác:

Ví dụ 5: Minh họa tiêu chuẩn Michailov

- Đường đồ thị không bao gốc tọa độ, góc nhìn A(j)

từ gốc tọa độ khi  đi từ 0 đến + là -/2 (nhỏ hơn 3/2)

 A(s) không phải là đa thức Hurwitz, hay hệ trên là không ổn định

Phân tích chất lượng hệ kín từ hàm truyền đạt của hệ hở

- Khái niệm hệ kín (phản hồi âm) được mô tả như hình vẽ

Xét tính ổn định: Tiêu chuẩn Nyquist

Các hệ kín ở trên ổn định khi và chỉ khi các nghiệm của F(s) có phần thực âm

(bên trái trục ảo)

c: hằng số

Có:

Định lý: Gọi Gh(s)=B(s)/A(s) là hàm truyền đạt của hệ hở Giả sử n0 là số nghiệm nằm

định thì cần và đủ là:

đồ thị Nyquist

Minh họa tiêu chuẩn Nyquist:

j





C a)

j

- j



NN

s=  +j 

b)

Định lý: Nếu 1 miền  chứa P điểm không và Q điểm cực của Gh(s) thì:

Trong đó C luôn là đường biên của  có chiều thuận chiều kim đồng hồ, tức là miền

đi dọc theo nó miền  luôn nằm bên phải (hình a)

- Đường cong khép kín N gồm trục ảo và nửa đường tròn nằm bên phải trục ảo có bán kính , khi đi trên trục ảo, mỗi khi gặp 1 nghiệm của A(s), nó được thay bằng

1 nửa đường tròn có bán kính đủ nhỏ bao phía trái điểm đó

Đường cong N gọi là đường cong Nyquist Hình b)