bài tập ngôn ngữ hình thức

bài tập cơ bản về automat hữu hạn

Bài tập lý thuyết chương 4 Các đặc tính của ngôn ngữ chính qui Môn: Automata và Ngôn ngữ hình thức

Bổ đề bơm

1 Chứng minh các ngôn ngữ dưới đây không phải là ngôn ngữ chính qui:

a) {0n1n | n ≥ 1}

b) Tập các chuỗi mở, đóng ngoặc tròn cân bằng (tương ứng với một biểu thức số học đúng khi loại bỏ đi các toán tử và toán hạng)

c) {0n10n | n ≥ 1}

d) {0n1m2n | n, m ≥ 1}

e) {0n1m | n ≤ m}

f) {0n1m | n > m}

g) {0n12n | n ≥ 1}

h) Tập các chuỗi 0, 1 với số lượng 0 bằng số lượng 1

2 Chứng minh các ngôn ngữ dưới đây không phải là ngôn ngữ chính qui:

a) {0n | n là số chính phương}

b) {0n | n là số mà căn bậc ba của nó cũng là số nguyên}

c) {0n | n là lũy thừa của 2}

d) {0n | n là số nguyên tố}

e) {w {0, 1}* | |w| là số chính phương}

f) {ww | w {0, 1}*}

g) {www | w {0, 1}*}

h) {ww R | w {0, 1}*}

i) {ww | w {0, 1}*, w chính là w mà các số 0 được chuyển thành 1 và các số 1 được

chuyển thành 0}

Tính đóng của ngôn ngữ chính qui

1 Gọi L là ngôn ngữ trên bảng chữ cái Σ, a ∈ Σ Khi đó, L/a là thương (quotient) của L và a

L/a = {w ∈ Σ* | wa ∈ L}

Ví dụ: L = {a, aab, baa} thì L/a = {ε, ba}

Chứng minh: Nếu L là RL thì L/a cũng là RL

Hướng dẫn: Xét DFA của L và chú ý đến các trạng thái chấp nhận

2 Gọi L là ngôn ngữ trên bảng chữ cái Σ, a ∈ Σ Khi đó, a\L là:

a\L = {w ∈ Σ* | aw ∈ L}

Ví dụ: L = {a, aab, baa} thì a\L = {ε, ab}

Chứng minh: Nếu L là RL thì a\L cũng là RL

Hướng dẫn: Chú ý tính đóng của phép đảo và thương

3 Hãy chỉ ra rằng ngôn ngữ chính qui L là đóng dưới các thao tác sau:

a) min(L) = {w | w ∈ L và không có tiền tố nào của w thuộc L}

b) max(L) = {w | w ∈ L và không có chuỗi x ≠ ε khiến cho wx thuộc L}

c) init(L) = {w | với một chuỗi x nào đó, wx thuộc L}

Hướng dẫn: Bắt đầu từ DFA của L, tiến hành xây dựng DFA cho ngôn ngữ min(L), max(L), init(L)

4 Nếu x = x1x2 … x n và y = y1y2 … y n là những chuỗi có cùng chiều dài Gọi alt(x, y) là chuỗi

mà trong đó, sự xuất hiện của từng ký hiệu thuộc x và y xen kẽ nhau, bắt đầu bằng ký hiệu thuộc x:

alt(x, y) = x1y1x2y2 … x n y n

Chứng minh rằng nếu L và M là RL thì

alt(L, M) = {alt(x, y) | x L, y M, |x| = |y|}

cũng là RL

Tối giản DFA

1 Cho DFA với bảng truyền sau:

0 1

A B A

B A C

C D B

*D D A

E D F

F G E

G F G

H G D

a) Xây dựng bảng xác định các cặp trạng thái phân biệt/tương đương b) Xây dựng DFA tương đương có số lượng trạng thái tối thiểu

2 Yêu cầu tương tự như Bài 1 cho DFA có bảng truyền sau:

0 1

A B E

B C F

*C D H

D E H

E F I

*F G B

G H B

H I C

*I A E

Hết