Chương II vật lý lò phản ứng hạt nhân

Tài liệu học tập hữu ích cho sinh viên chuyên ngành điện hạt nhân và vật lý hạt nhân

Chương 2 QUÁ TRÌNH KHUẾCH TÁN NƠTRON

2.1 Phương trình đơn năng Boltzman

Đầu tiên chúng ta xem xét phương trình khuếch tán nơtron một cách tổng quan nhất, sau đó xét đến phương trình khuếch tán đơn giản hơn nhờ vào một số phép gần đúng Giả sử rằng tất cả các nơtron có cùng một tốc độ Phương trình động học hay phương trình vận chuyển nơtron sẽ miêu tả mật độ nơtron theo vị trí

và chiều chuyển động của chúng trong lò phản ứng hạt nhân Phương trình này miêu tả đúng đắn trạng thái của mật độ thông lượng nơtron, đặc biệt là ở biên của

lò phản ứng nơi có sự bất đẳng hướng Thật vậy, các nơtron đi ra khỏi lò ít khả năng quay trở lại và mật độ nơtron khuếch tán ra ngoài lò lớn hơn mật độ nơtron khuếch tán vào trong lò Tương tự, phương trình vận chuyển nơtron có khả năng miêu tả đúng đắn sự khuếch tán nơtron trong các môi trường có hấp thụ mạnh nơtron Phương trình khuếch tán nơtron đơn giản (hệ quả của định luật Fick) không cho kết quả thoả mãn ở biên lò phản ứng hay trong các môi trường hấp thụ mạnh nơtron Do đó, phương trình khuếch tán đơn giản chỉ có thể được sử dụng thành công nếu có một vài thay đổi Sự đúng đắn của những thay đổi như vậy cần phải xuất phát từ phương trình vận chuyển nơtron Để đơn giản trong tính toán, chúng ta chỉ xem xét các nơtron có cùng tốc độ (đơn năng) và sự thay đổi của mật

độ thông lượng nơtron theo trục oz

Cho N(z,θ,X) là số nơtron trong một đơn vị thể tích và trong một đơn vị góc khối; chiều chuyển động của các nơtron ở trong khoảng góc dθ của θ và dX của X (Hình 2.1).)

Như vậy, N(z,θ,X)dΩ là số nơtron thuộc yếu tố góc khối dΩ = sinθ.dθ.dX (ký hiệu Ω bao gồm cả hai toạ độ θ và X) Do đó:

 (z,  ) N(z,  ).v







dV

Hình 2.1) Sơ đồ hình học đối với phương trình động học

biểu thị mật độ thông lượng nơtron trong đơn vị góc khối, và

 (z)  (z,  )d (2.1).)

Trong trường hợp khuếch tán là đẳng hướng:



4

n

N  và





4

nv

 ; từ (2.1).) người ta thu được biểu thức (z) trùng với biểu thức của mật độ thông lượng nơtron trong chương 1).:

 











0

2

0

sin 4 )

Để rút ra phương trình vận chuyển nơtron, ta xem xét sự cân bằng nơtron theo chiều Ω đã cho, trong một yếu tố thể tích dV Sự cân bằng này có thể được viết dưới dạng:

L + A + R = Q + R’ (2.2)

trong đó, ý nghĩa của các số hạng là như sau:

+ L là số nơtron khuếch tán trong dV và sau khi khuếch tán vẫn giữ nguyên chiều chuyển động Ω

+ A là số nơtron có chiều chuyển động Ω nhưng bị hấp thụ trong dV

+ R là số nơtron với chiều chuyển động Ω bị tán xạ trong dV, và sau khi tán xạ các nơtron thay đổi chiều chuyển động

+ Q là cường độ nơtron có chiều chuyển động Ω, được sinh ra từ các nguồn điểm trong dV (trong lò phản ứng hạt nhân, nguồn nơtron nhiệt được tạo thành từ quá trình làm chậm của các nơtron nhanh)

R’ là số nơtron bị tán xạ trong dV; trước khi tán xạ có chiều chuyển động Ω’ (θ’,X’), còn sau khi tán xạ có chiều chuyển động Ω

Chúng ta viết chi tiết hơn cho các số hạng ở trên Ta nhận thấy rằng dòng nơtron chuyển động theo chiều dương của trục oz và giữ nguyên chiều chuyển động đó khi đi qua dV trong thời gian 1) giây bằng với hiệu của các số nơtron đi qua các yếu tố mặt phẳng dxdy hai độ cao z và z+dz Như vậy, số nơtron chuyển động theo chiều dương của trục oz, tạo thành góc θ với trục oz, và đi qua mặt dxdy trong thời gian một giây là z ddxdycos  ; ở đây, thừa số cosθ chỉ ra rằng các nơtron chuyển động theo hướng không vuông góc với mặt phẳng dxdy, chỉ số z là điểm đo Số nơtron đi ra khỏi yếu tố thể tích dV và giữ nguyên chiều chuyển động trong góc khối dΩ là zdx ddxdycos  Hiệu của hai đại lượng này chính là dòng nơtron chuyển động trong góc khối Ω, trong thể tích dV, và trong thời gian 1).s:





























z dxdyd

dz z dxdy

d

Số nơtron bị hấp thụ trong dV trong thời gian 1).s là:

A da dV (2.4)

Số nơtron trong góc khối dΩ bị tán xạ trong dV trong thời gian 1).s và sau khi tán xạ chúng thay đổi chiều chuyển động được xác định bởi biểu thức:

R  ds dV (2.5)

Nếu ký hiệu q(z) là số nơtron sinh ra từ nguồn nơtron trong đơn vị thể tích trong thời gian 1).s trong một đơn vị góc khối thì số hạng thứ nhất ở vế phải của biểu thức (2.2) được viết thành:

Q = qdVdΩ (2.6)

Số hạng sau cùng của phương trình (2.2) miêu tả các nơtron sau khi tán xạ chúng chuyển động trong góc khối dΩ, chuyển động của chúng trước khi tán xạ ở trong góc khối dΩ’ Mật độ thông lượng nơtron có chiều chuyển động trong góc khối dΩ’ là  (z,  ' )d ', còn số nơtron chuyển động trong góc khối dΩ sau khi

bị tán xạ là:

, ) ( ' ) ' , ( )

( ' ) ' ,

(2.7)

trong đó, N biểu thị mật độ hạt nhân môi trường, còn s( 0)là tiết diện vi mô phân hạch ở góc α được xác định từ cosα = μ0 và cosα = '=cosθcosθ’ + sinθsinθ’cos(X – X’) Ở đây,  và ' là các vectơ chỉ hướng (θ,X) và (θ’,X’) Sự đóng góp vào R’ của các nơtron trước khi tán xạ chúng có tất cả các hướng chuyển động khả dĩ, còn sau khi tán xạ chúng có chiều chuyển động trong góc khối dΩ, được xác định từ việc lấy tích phân theo θ’ và X’ (nghĩa là theo Ω’) cho biểu thức (2.7):

R'  (z,  ' )d 'NS( 0)d dV. (2.7’)

Chú ý rằng cosθ’ = μ’ thì sinθ’dθ’ = - dμ’; và khi θ thay đổi từ 0 đến π, tích phân theo μ’ được lấy từ 1) đến -1) Số hạng R’ trong (2.7’) sẽ trở thành:

















dV d d d N

z V

d d N

d d z

0

1).

1).

2

0

0 2

0

( ' ' ' sin ) ' ,

(

'

( , ' ) ( ) ' '

1).

1).

0 2

0

dV d d d N











(2.7’’)

Khi sử dụng các biểu thức (2.3) – (2.7’’), phương trình (2.2) sẽ có dạng đơn giản theo dΩ và dV như sau:



















1).

0 2

0

'.

' ) ( ) ' , (

d d N

z q

Nếu nhóm các đại lượng Σa và Σs lại (Σ = Σa + Σs), chúng ta thu được phương trình vận chuyển nơtron đơn năng và một chiều của Boltzman:

















1).

2

0

( ) ' , (

















Cuối cùng chúng ta có thể giải phương trình (2.8) bằng cách sử dụng các phép gần đúng để được phương trình khuếch tán đơn giản đối với các nơtron

2.2 Phép gần đúng khuếch tán nơtron

Chúng ta giải phương trình (2.8) nhờ vào phương pháp hàm điều hoà cầu.

Muốn vậy, chúng ta giả sử rằng mật độ thông lượng nơtron  (z,  )   (z,  )có thể được viết dưới dạng chuỗi các hàm mũ vô hạn theo μ với các hệ số phụ thuộc vào z Việc khai triển hàm được thực hiện theo đa thức Legendre Pℓ(μ) Các số hạng đầu tiên của đa thức thức Legendre được cho trong bảng 2.1)

Bảng 2.1) Các số hạng đầu tiên của đa thức Legendre

0 1)

2 3

1)

μ

) 1).

3 ( 2





) 3 5 ( 2



 

Khi đó, mật độ thông lượng nơtron phụ thuộc góc sẽ được viết dưới dạng:

  ( ) ( )

4

1).

2

) ( ) ( 5 ) ( ) ( 3 ) ( ) ( 4

1).

)

,

(

0 2

2 1).

1).

0























P z P

z P

z P

z

















(2.9)

Hệ số khai triển (z)được xác định khi sử dụng các tính chất của đa thức Legendre:

(2.1).0)

Khi nhân cả hai vế của phương trình (2.9) với Pℓ’(μ) và lấy tích phân theo μ,

ta nhận thấy rằng ở vế phải tất cả các số hạng đều bằng không, ngoại trừ số hạng

mà ở đó ℓ’ = ℓ Do đó, biểu thức cuối cùng thu được sẽ là:







1).

1).

) ( ) , ( 2 )

 z z P d (2.1).1).)

Từ biểu thức (2.1).1).), người ta có thể thấy rõ ý nghĩa của hai hệ số đầu tiên của các hệ số  

Khi ℓ = 0, ta có:









1).

1).

 z z d (2.1).2)

trùng với (2.1).), nghĩa là miêu tả mật độ vô hướng thông lượng nơtron hay mật độ toàn phần thông lượng nơtron độc lập với sự chuyển động của chúng

Đối với ℓ = 1)., ta có:

z  z d  z c os d J  J J z



2 ) (

1).

1).

1).

1).

 (2.1).3)

Vế phải của phương trình (2.1).3) là bằng với hiệu số của các số nơtron đi qua diện tích 1) cm2 trong thời gian 1).s theo các chiều dương và chiều âm của trục

oz; và đó cũng chính là mật độ dòng (chính xác) nơtron J z  1).(z).

Để giải phương trình vận chuyển nơtron, chúng ta khai triển tiết diện vi mô tán xạ S(  0 ) thành chuỗi đa thức Legendre:

1)

2

2

















P ( ) ( )

1).

1).

'





0

, đối với





 '

, đối với







 0

0

4

1).

2 )

(









s





 (2.1).4) trong đó, σsℓ là một vài hệ số hằng số được suy ra từ phương trình tương tự với (2.1).1).):







1).

1).

0 0

(

s s P d (2.1).5)

Hệ số đầu tiên (ℓ = 0) là:









1).

1).

0 0

 (2.1).6)

miêu tả tiết diện vi mô khuếch tán nơtron

Số hạng thứ hai (ℓ = 1).) của (2.1).4) là:







1).

1).

1).

1).

0 0 0 0

0 0 0

trong đó, 0  cos  là cosin trung bình của góc khuếch tán

Các hệ số σs2, σs3,… là rất nhỏ và có thể được bỏ qua

Để thu được phương trình khuếch tán nơtron, ta có một số giả thiết sau đây: (1).) Mật độ thông lượng nơtron phụ thuộc yếu vào góc, nghĩa là gần như đẳng hướng trong quá trình khuếch tán

(2) Môi trường gồm những chất hấp thụ yếu (σa << σs)

Khi sử dụng giả thiết (1).), chúng ta chỉ giữ lại hai số hạng đầu tiên trong biểu thức (2.9):















4

3 4 ) ,





z (2.1).8)

Khi thay biểu thức (2.1).8) vào (2.8), sau đó toàn bộ nhân với P0(μ)dμdX và lấy tích phân theo μ từ -1) đến +1) và theo X từ 0 đến 2π, ta có:





























d d P dz

d d

d P dz

1).

0 1).

2 2

0

1).

1).

2

0

0

4

3 )

( 4













1).

0

1).

1).

1).

1).

2

0 0 2

0

0 1).

2

0

0

4

3 )

(













d d qP d

d P d

d P

  

 1).

1).

1).

1).

2

0

0 2

0





d d N

z d

d

(2.1).9)

Từ bảng 2.1) ta thấy rằng P0(μ) = 1)., do đó:





 1).

1).

2

0

4

1).













d d dz

d





 1).

1).

1).

2

0

2 1).

4

3

dz

d d d dz





















1).

0 2

0 0



d

d (2.20)







1).

2

0

4

3













d d





 1).

1).

2

0

.

S d

qd 



trong đó, S là tổng số nơtron sinh ra từ nguồn trong một đơn vị thể tích trong một đơn vị thời gian Trong nhiều trường hợp, sự sinh ra của các nơtron từ các nguồn thường là đẳng hướng và S = 4πq

Số hạng cuối cùng từ (2.1).9) được xác định khi sử định lý sau đây từ lý thuyết đa thức Legendre:

 





 1).

1).

2

0

0 1).

1).

2

0

) ( '

' ) ( ) ' , ( )

P      s    s





(2.21).)

Đối với ℓ = 0, biểu thức này dẫn đến s00(z)  s0(z)

Kết hợp (2.20) và (2.21).), ta được:

0 0

1).









s

N S dz

d









hay:

1) ( ) 0 0







dz

d

s 







(2.22) Nếu thay thế (2.1).8) vào (2.8) và nhân với P1).(μ)dμdX = μdμdX; sau khi lấy tích phân ta được:

1) 1) 1).

0

3

1).









s

N dz

d





 (2.23)

Ở đây, ta đã coi nguồn nơtron là đẳng hướng, giả thuyết này dẫn đến





 1).

1).

2

0

0









d

d

q Sau khi thực hiện phép đạo hàm biểu thức (2.23), ta được:

( ) 0

3

1).

2 0 2







dz

d N

dz

d

s









Nếu thay thế

dz

d1).

từ biểu thức (2.22), ta có phương trình chỉ chứa  0: ( ) ( )  0

3

1)

0 1).

2 0 2











s

N dz d

Khi sử dụng giả thuyết thứ hai (2), trong đó   s, phương trình trên trở thành:

(1) )( ) 0

3

1)

0 0

2 0 2









a

N dz d

ở đây, theo giả thiết ở trên, ta đã đặt σ – σs1). ≈ (1) - 0) σs Đại lượng s( 1)  0)  t

được định nghĩa là tiết diện vi mô vận chuyển nơtron Tiết diện vĩ mô tương ứng

sẽ là t  s( 1)  0). Do đó, ta có thể viết dạng cuối cùng của phương trình

khuếch tán nơtron như sau:

0,

0 2







dz

d

a t







(2.24)

ở đây,

t t



 1).

 là độ dài dịch chuyển nơtron, một đại lượng liên quan đến bất đẳng

hướng của quá trình tán xạ nơtron trong hệ toạ độ phòng thí nghiệm

Phương trình khuếch tán nơtron có thể thu được trực tiếp từ định luật Fick;

định luật này được rút ra từ giả thiết rằng sự khuếch tán nơtron là đẳng hướng và

sự hấp thụ nơtron là rất yếu Sự cân bằng nơtron trong yếu tố thể tích dV được

biểu thị như sau:

L + A = Q (2.25)

Trong phương trình (2.25), ta nhận thấy không xuất hiện các số hạng R và R’ liên quan đến sự thay đổi chiều chuyển động của nơtron Số hạng vận chuyển nơtron được rút ra trực tiếp từ định luật Fick:

dz

d dxdy

dz dz

dJ dxdy J J

z dz

2

3 )

( )

trong đó,  là mật độ thông lượng toàn phần (vô hướng) bằng với  0 trong (2.24) Số hạng hấp thụ nơtron là A adV , còn số hạng Q = SdV Phương trình (2.25) có dạng:

dV dV SdV

dz

d

a s







2

3

hay

0

2







dz

d

a



(2.26)

Hệ số đứng trước đạo hàm bậc hai của mật độ thông lượng nơtron 22

dz

trong các phương trình (2.24) và (2.26) được ký hiệu bằng D và được gọi là hệ số

khuếch tán của môi trường khuếch tán nơtron Sự khác nhau giữa các phương trình

(2.24) và (2.26) là giá trị khác nhau của hệ số khuếch tán; trong trường hợp thứ nhất

3

t

D , còn trong trường hợp thứ hai

3

s

D Giá trị của D thích hợp với thực tế là trường hợp thứ nhất (2.24) vì nó chú ý đến sự bất đẳng hướng của khuếch tán nơtron trong hệ toạ độ phòng thí nghiệm Từ đây về sau, chúng ta sẽ sử dụng biểu thức hệ số khuếch tán được rút ra từ phương trình (2.24)

Phương trình (2.24) có thể được tổng quát hoá cho tất cả các mặt phẳng của yếu tố thể tích dV: 20

2

3 dx

d



và 2

0 2

3 dy

d



; do đó ta có:

0 2 2 0 2 2 0 2























dz

d dy

d dx

d

a



hay được viết dưới dạng thu gọn:

2 0









D  a (2.27) trong đó, 2

 là toán tử Laplace Nếu mật độ thông lượng nơtron không là tĩnh,

mà thay đổi theo thời gian, phương trình khuếch tán tương ứng sẽ là:

D a S v t















2

(2.28)

Phương trình (2.27) hay (2.28) được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết lò phản ứng hạt nhân chỉ có giá trị trong trường hợp khi chúng ta có thể coi các nơtron là đơn năng và được xét ở một khoảng cách xa biên lò phản ứng lớn hơn 2 hay 3 độ dài dịch chuyển nơtron

2.3 Các điều kiện giới hạn

Để giải phương trình khuếch tán nơtron, người ta sử dụng các điều kiện giới hạn sau đây:

(1).) Mật độ thông lượng nơtron cần phải hữu hạn và dương trong vùng mà ở đó phương trình khuếch tán được áp dụng

(2) Ở biên phân cách giữa hai môi trường A và B có các đặc tính khuếch tán khác nhau, các mật độ dòng nơtron dọc theo pháp tuyến tại biên phân cách giữa hai môi là như nhau, tức là:

JA+ = JB+

JA- = J

B-Khi chú ý tới biểu thức mật độ dòng nơtron và đường pháp tuyến tại mặt phân cách song song với trục ox, ta thu được:

dx

d D dx

d



2 4 2

dx

d D dx

d



2 4 2

Khi lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất theo các vế của phương trình tương ứng, ta được điều kiện cân bằng dòng nơtron:

dx

d D dx

d

B

A A









 hay J x(A) J x(B) (2.29)

Khi cộng hai các vế tương ứng của hai phương trình ta được điều kiện cân bằng của mật độ thông lượng nơtron:

A  B (2.30)

x Hình 2.2 Hai môi trường A và B

Các điều kiện (2.29) và (2.30) được áp dụng tại biên phân cách giữa hai môi trường

(3) Mật độ thông lượng nơtron không bằng không tại biên của môi trường khuếch tán, mà bằng không ở một khoảng cách lớn hơn kể từ biên; khoảng

cách đó được gọi là độ dài ngoại suy.

Giả sử ta có một môi trường khuếch tán nơtron tiếp giáp với môi trường chân không, được chỉ ra trên hình 2.3

Để xác định độ dài ngoại suy, chúng ta cần thấy một thực tế rằng trong môi trường chân không các nơtron không thể khuếch tán, do đó dòng nơtron đi vào môi trường khuếch tán là bằng không Như trên Hình 2.3, trục ox là vuông góc với biên phân cách nên dòng nơtron có chiều –x là bằng không:

0

2



d D

J x   (2.31).)

Từ Hình 2.3 ta nhận thấy độ dài ngoại suy d  tg , nhưng tg   d dx và nếu kết hợp với biểu thức (2.31).) ta có

D

tg

2



   ; Do đó độ dài ngoại suy sẽ bằng:

d t

3

2

 (2.32)

Kết quả về độ dài ngoại suy được xác định nhờ việc áp dụng lý thuyết khuếch tán, nhưng lý thuyết này lại không miêu tả đúng quá trình khuếch tán nơtron tại biên phân cách môi trường Một sự gần đúng cho độ dài ngoại suy được xác định phức tạp hơn nhờ vào phương trình vận chuyển nơtron Trong trường hợp

đó, độ dài ngoại suy được xác định theo biểu thức sau:

d = 0,71) λt (2.32’)

Hình 2.3 Độ dài ngoại suy tại mặt phân cách với chân không

Khuếch tán

Chân không

x



d 0

