Chú ý và ví dụ chương 4 Chú ý slide số 13 CÁC KÍ HIỆU VÀ BẢNG TRA phạm vi sai số (ε) = giá trị tới hạn * sai số chuẩn Phạm vi sai số khi suy rộng giá trị trung bình Phạm vi sai số khi suy[.]
Trang 1Chú ý và ví dụ chương 4
Chú ý slide số 13
●CÁC KÍ HIỆU VÀ BẢNG TRA:
●phạm vi sai số (ε) = giá trị tới hạn * sai số
chuẩn
ε ¯x : Phạm vi sai số khi suy rộng giá trị trung bình
ε p : Phạm vi sai số khi suy rộng tỷ lệ
σ ¯x : Sai số chuẩn của trung bình mẫu
σ p : Sai số chuẩn của tỷ lệ mẫu
Giá trị tới hạn : zα/2 : tra bảng phân vị chuẩn
Tn-1; α/2 : tra bảng Student bậc tự
do n-1
1 – α: Độ tin cậy
α : Mức ý nghĩa
Tính sai số chuẩn chú ý thông tin:
+ Loại tổng thể ( Hữu hạn hay Vô hạn) + Thông tin về σ2 : ( đã biết hay chưa biết) + Đối với TT hữu hạn: - n/N ≤ 0.05
- N chưa biết
● UL tỷ lệ điều kiện n*p ≥ 5 và n*(1-p) ≥ 5
●CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN ƯỚC
LƯỢNG KHOẢNG
B1 : Khoảng ước lượng với độ tin cậy (1-α)100% cho việc
suy rộng - của tổng thể là: (Công thức khoảng
UL)
B2: Tính các chỉ tiêu
B3: Thay vào khoảng ước lương:
Sử dụng công thức
TT vô hạn
Trang 2B4: Vậy với độ tin cậy (1-α)100% - tổng thể nằm trong khoảng từ - đến
-Chú ý slide số 17
CÁCH TRA GIÁ TRỊ TỚI HẠN Các bạn hãy xem các ví dụ về cách tra giá trị tới hạn, chú ý các trường hợp đặc
biệt
1 Tìm giá trị tới hạn để ước lượng tuổi bình quân của công nhân DN với độ tin cậy 95% biết rằng phương sai về tuổi của DN là 200 vói kích thước mẫu 30
Tra bảng phân vị chuẩn (1-t n−1; α
2 α )*100 = 95% α = 0.05 α/2 = 0.025
Zα/2 = Z0.025 = 1.96
2 Tìm giá trị tới hạn để ước lượng tuổi bình quân của công nhân DN với độ tin cậy 95% vói kích thước mẫu 30
Tra bảng Student (1-t n−1; α
2 α )*100 = 95% α = 0.05 α/2 = 0.025
Tn-1, α/2 = T29 0.025 = 2.045
3 Tìm giá trị tới hạn để ước lượng tuổi bình quân của công nhân DN với độ tin cậy 95% (phương sai chưa biết) vói kích thước mẫu 32
Tra bảng Student (1-t n−1; α
2 α )*100 = 95% α = 0.05 α/2 = 0.025
Tn-1, α/2 = T31, 0.025 = T30, 0.025 = 2.042
4 Tìm giá trị tới hạn để ước lượng tuổi bình quân của công nhân DN với độ tin cậy 95% (phương sai chưa biết) vói kích thước mẫu 36
Tra bảng Student (1-t n−1; α
2 α )*100 = 95% α = 0.05
Tn-1, α/2 = T35, 0.025 = ( T30, 0.025 + T40, 0.025 )/2 = (2.042+ 2.021)/2=
Ví dụ slide số 21
Ví dụ: Có dữ liệu về tuổi của 50 công nhân được chọn lặp ngẫu nhiên của một
doanh nghiệp như sau:
Số công
Trang 3Hãy ước lượng tuổi bình quân của công nhân doanh nghiệp với độ tin cậy 99%, biết rằng phương sai về tuổi của công nhân là 120
Giải
● Phân tích dữ liệu
+ Cụm từ “ước lượng tuổi bình quân” Vậy tham số ước lượng lúc này là giá trị tung bình
+ Cụm từ “ của CN doanh nghiệp” vậy 1 tổng thể
+ Có “độ tin cậy 99%” vậy là ước lượng khoảng
+ Đã biết phương sai tổng thể σ2 = 120
Vậy công thức ước lượng lúc này là công thức số 1 của ước lượng khoảng trung bình 1 tổng thể
+ Tài liệu phân tổ, nên số trng bình tính theo công thức gia quyền (với quyền số là tần số)
● Giải bài toán ước lượng tuần tự theo các bước sau
B1: Khoảng ước lượng với độ tin cậy 99% cho việc suy rộng tuổi bình quân của
công nhân doanh nghiệp là:
B2: Tính các chỉ tiêu
+ Tính tuổi bình quân của 50 công nhân:
∑ni
=18∗2+19∗5 + 22∗12+25∗19+29∗8+32∗3 + 38∗1
( Vì tài liệu phân tổ, nên số trng bình tính theo công thức gia quyền)
+ α = 0,01 tra bảng Zα/2 = 2,58 ( Phương sai tổng thể đã biết nên giá trị tới hạn tra bảng phân vị chuẩn)
B3: Thay vào khoảng ước lương:
(24,72 – 2,58*√ 120
50 ; 24,72 + 2,58 * √ 120
50 )
(20,721 ; 28,719)
B4: Vậy với độ tin cậy 99% tuổi bình quân của công nhân trong doanh nghiệp trên
nằm trong khoảng từ 20,721 đến 28,719 tuổi
Trang 4Ví dụ: Có dữ liệu về tuổi của 50 công nhân được chọn lặp ngẫu nhiên của một
doanh nghiệp như sau:
Hãy ước lượng tuổi bình quân của công nhân doanh nghiệp với độ tin cậy 99%
Giải
● Phân tích dữ liệu
+ Cụm từ “ước lượng tuổi bình quân” Vậy tham số ước lượng lúc này là giá trị tung
bình
+ Cụm từ “ của CN doanh nghiệp” vậy 1 tổng thể
+ Có “độ tin cậy 99%” vậy là ước lượng khoảng
+ Chưa biết phương sai tổng thể σ2
Vậy công thức ước lượng lúc này là công thức số 2 của ước lượng khoảng trung
bình 1 tổng thể
+ Tài liệu phân tổ, nên số trng bình và phương sai tính theo công thức gia quyền (với
quyền số là tần số)
● Giải bài toán ước lượng tuần tự theo các bước sau
+ Chưa biết phương sai
B1: Khoảng ước lượng với độ tin cậy 99% cho việc suy rộng tuổi bình quân của
công nhân doanh nghiệp là:
(¯x−Tn−1 ,α/2√ S2
n ,¯x+Tn−1 ,α/2√ S2
n )
B2: Tính các chỉ tiêu
+ Tính tuổi bình quân của 50 công nhân:
x=∑ xini
∑ni
=18∗2+19∗5+ 22∗12+25∗19+29∗8+32∗3+ 38∗12+5+12+19 +8+3+ 1 =24 , 72
(Vì tài liệu phân tổ, nên số trng bình và phương sai tính theo công thức gia quyền)
+ Tính phương sai:
S2
=∑ ( xi−x )2
ni
∑ni−1 =
2+( 19−24 ,72 )2
5+ +( 38−24 , 72 )2
1
+ α = 0,01 tra bảng Tn-1,α/2 = T49;0,005 = 2,68 (Ví không có thông tin về phương sai
tổng thể nên giá trị tới hạn tra bảng phân phối Student)
B3: Thay vào khoảng ước lương:
Trang 5(24,72 – 2,68* √ 16,86
50 ; 24,72 + 2,68 * √ 16,86
50 )
(23,1656 ; 26,2744)
B4: Vậy với độ tin cậy 99% tuổi bình quân của công nhân trong doanh nghiệp trên
nằm trong khoảng từ 23,1656 đến 26,2744 tuổi
Ví dụ slide số 24
Giải thích mẫu cặp và mẫu độc lập
Mẫu cặp: là cặp dữ liệu được thu thập từ một mẫu gốc
Mẫu độc lập: là dữ liệu của các mẫu hoàn toàn độc lập nhau, không có mối quan
hệ với nhau
Ví dụ dữ liệu mẫu cặp: Có tài liệu điều tra về điểm trung bình học tập kỳ1/19-20 và
kỳ 2/19-20 của 15 sinh viên lớp 44k3.1……
Vậy cứ mỗi sinh viên chúng ta thu thập được 1 cặp dữ liệu về điểm trung bình kỳ 1 và
kỳ 2 và 15 SV chọn ra gọi là mẫu gốc Nên dữ liệu mẫu này là mẫu gốc
Ví dụ dữ liệu mẫu độc lập: Có tài liệu điều tra về điểm trung bình học tập kỳ
1/19-20 của 15 SV lớp 44k3.1 và điểm trung bình học tập kỳ 1/19-1/19-20 của 1/19-20 bạn SV lớp 44k12.2……
Vậy dữ liệu điểm TBHT của 15 SV lớp lớp 44k3.1 và điểm trung bình học tập 20 bạn
SV lớp 44k12.2 là hoàn toàn độc lập nhau Dữ liệu mẫu này là mẫu độc lập
Khi tiến hành ước lượng CHÊNH LỆCH 2 tổng thể cần xác định đâu là tổng thể thứ NHẤT và tổng thể thứ HAI
Chú ý Những bài toán tổng thể liên quan đến thứ tự thời gian, thông thường chọn tổng thể xuất hiện sau làm tổng thể thứ nhất và tổng thể xuất hiện trước làm tổng thể thứ hai
Ví dụ: Một giám đốc bán hàng cho rằng nếu cải tiến 1 chi tiết với chi phí 200đ cho
một sản phẩm thì có thể bán nó với giá cao hơn ít nhất là 800đ Để kiểm tra, vị giám đốc chọn ngẫu nhiên 15 khách hàng Giá chấp nhận mua (1000đ/SP) của từng khách hàng với sản phẩm hiện hành (SPHH) và sản phẩm cải tiến (SPCT) thu được trong bảng sau
Khách
hàng SPHHGiá SPCTGiá Khách hàng SPHHGiá SPCTGiá Khách hàng SPHHGiá SPCTGiá
1
2
3
4
5
32
28
22
25
26
30 27 25 26 28
6 7 8 9 10
35 34 25 32 35
39 36 24 34 38
11 12 13 14 15
27 36 26 37 25
26 38 29 39 27
Biết rằng giá SPHH và SPCT có phân phối xấp xỉ chuẩn
Hãy ước lượng sự khác biệt giá trung bình SPHH và SPCT với độ tin cậy 95%
Phân tích dữ liệu:
+ Cụm từ “ước lượng sự khác biệt giá trung bình” Vậy ước lượng giá trị trung bình
2 tổng thể
Trang 6+ Cụm từ “độ tin cậy 95%.” Vậy ước lượng khoảng
+ Xác định tổng thể: Giá sản phẩm hiện hành và giá sản phẩm cải tiến, liên quan đến
thứ tự thời gian Vậy gọi x là giá sản phẩm cải tiến ( là tổng thể thứ nhất, vì xuất hiện
sau sản phẩm hiện hành)
y là giá sản phẩm hiện hành ( là tổng thể thứ hai)
+ Cứ mỗi khách hàng chúng ta thu được 1 cặp dữ liệu về giá SPHH và giá SPCT Vậy
15 khách hàng là mẫu gốc, và dữ liệu của bài toán là dữ liệu mẫu cặp
+ Kích thước mẫu là 15, kích thước mẫu nhỏ, nên phải có them thông tin về phân
phối chuẩn
Vậy công thức khoảng ước lượng lúc này là công thức số 3
Vậy để giải bài toán ước lượng khoảng ta tiến hành tuần tự các bước sau:
B1 Khoảng ước lượng với độ tin cậy 95% chênh lệch giá trung bình SPCT và SPHH
là:
d ± tn−1 ; α /2√ sd
2
n
B2 Tính toán các chỉ tiêu:
Trước hết ta xác định dữ liệu mẫu trung gian d i
Tính giá trị trung bình mẫu trung gian
Trang 7d = ∑ di
n =−2−1+ + 2 15 =1 4
Tính phương sai mẫu trung gian
Sd
2
= n n−1 ∗ [ ∑ di
2
n − (d )2
] =15 15−1 ∗( (−2)2
)=3.257 Tra bảng tn-1,α/2 = t140.025 =2.145 (Vì chưa bbieets phương sai tổng thể nên giá trị tới
hạn tra bảng phân phối student)
B3 Thay vào khoảng ước lượng
(1 4±2.145 √ 3.257
15 )
(0.40 ; 2.4) B4 Vậy với độ tin cậy 95% chênh lệch giá SPCT và SPHH nằm trong khoảng từ 0.4 nghìn đồng
đến 2.4 nghìn đồng
Ví dụ slide số 25
Ví dụ: Hai nhà sản xuất ô tô lớn đã sản xuất chiếc xe nhỏ gọn với động cơ cùng kích
thước Người ta quan tâm trong việc xác định có hay không có sự khác biệt đáng kể
trong mức tiêu hao nhiên liệu (km/lít) của hai thương hiệu xe ô tô Một mẫu ngẫu
nhiên gồm 08 xe từ mỗi nhà sản xuất được chọn, và 08 người điều khiển được lựa
chọn để điều khiển từng ô tô cho một khoảng cách xác định Các dữ liệu sau đây cho
thấy các kết quả tiêu hao nhiên liệu của 2 thương hiệu xe (km/ lít)
Dựa trên dữ liệu từ quá khứ, độ lệch chuẩn tổng thể về mức tiêu hao nhiên liệu của
nhà SX A là 2,7 (km/l) và của nhà SX B là 2,2 (km/l)
Trang 8Khoảng tin cậy 95% ước lượng sự khác biệt về mức tiêu hao nhiên liệu của 2 thương hiệu xe Biết rằng mức tiêu hao nhiên liệu của 2 thương hiệu xe có phân phối chuẩn
Phân tích dữ liệu:
+ Cụm từ “ước lượng sự khác biệt về mức tiêu hao nhiên liệu” Vậy ước lượng giá trị trung bình 2 tổng thể
+ Cụm từ “độ tin cậy 95%.” Vậy ước lượng khoảng
+ Xác định tổng thể: Mức tiêu hao nhiên liệu 8 xe của nhà sản xuất A và mức tiêu hao nhiên liệu 8 xe của nhà SX B hoàn toàn độc lập nhau Vậy mẫu độc lập
Nhà SX A là tổng thể thứ nhất
Nhà SX B là tổng thể thứ hai
+ Kích thước mẫu là 8, kích thước mẫu nhỏ, nên phải có thêm thông tin về phân phối
chuẩn
+ thông tin về phương sai tổng thể đã biết
Vậy công thức khoảng ước lượng lúc này là công thức số 4
Vậy để giải bài toán ước lượng khoảng ta tiến hành tuần tự các bước sau:
B1 Khoảng ước lượng với độ tin cậy 95% cho việc suy rộng sự khác biệt về mức tiêu
hao nhiên liệu giữa nhà SX A và nhà SX B là
x1 −x2 ±zα /2√ σ1
2
n1
+σ2
2
n2
B2 Tính toán các chỉ tiêu:
Vì tài liệu không phân tổ, số trung bình tính theo công thức trung bình số học giản đơn
¯x= 1n∑i=1
n
x i
(**) Sử dụng công thức (**) ta có kết quả sau:
x1
= 27,63 (km/l)
x2
= 25,63 (km/l)
Vì phương sai tổng thể đã biết nên giá trị tới hạn tra bảng phân vị chuẩn
α = 0,05 tra bảng Z,α/2 = Z,0,025 = 1,96
B3 Thay vào công thức:
(27 ,63−25 ,63)±1,96√ 2,72
8 +2,22
8
(-0.4135 ; 4,4135)
B4 Vậy với độ tin cậy 95% sự khác biệt về mức tiêu hao nhiên liệu giữa nhà SX A và
nhà SX B
Nằm trong khoảng từ -0,4135 km/l đến 4,4135 km/l
Trang 9Ví dụ: DN X và DN Y cùng sản xuất sản phẩm A giá thành đơn vị sản phẩm A của 2
DN được điều tra mẫu với kết quả như sau:
Số sản phẩm (SP)
Giá thành đơn vị
(1000đ/SP)
120
275
80
258
Dựa trên dữ liệu từ quá khứ, hai độ lệch chuẩn tổng thể được biết đến với σ1 = 15 (1000đ) và σ2 = 20 (1000đ)
Khoảng tin cậy 95% ước lượng chênh lệch giữa giá thanh trung bình của SP A cua hai DN
Phân tích dữ liệu:
+ Cụm từ “ước lượng chênh lệch giá thành trung bình” Vậy ước lượng giá trị trung bình 2 tổng thể
+ Cụm từ “độ tin cậy 95%.” Vậy ước lượng khoảng
+ Xác định tổng thể: Vậy gọi x là giá thành DN X ( là tổng thể thứ nhất)
y là giá thành DN Y ( là tổng thể thứ hai) + Giá thành đơn vị SP A của DN X hoàn toàn độc lập với giá thành đơn vị của DN Y, Đây là mẫu độc lập
+ Phương sai tổng thể đã biết
Vậy công thức khoảng ước lượng lúc này là công thức số 4
Vậy để giải bài toán ước lượng khoảng ta tiến hành tuần tự các bước sau:
B1 Khoảng ước lượng với độ tin cậy 95% cho việc suy rộng chênh lệch giá thành
bình quân SP A giữa DN X và DN Y là:
x1 −x2 ±zα /2√ σ1
2
n1
+σ2
2
n2
B2 Tính toán các chỉ tiêu:
Vì đã có thông tín số trung bình mẫu, phương sai tổng thể, nên lúc này ta chỉ cần tra thêm giá trị tới hạn
Vì phương sai tổng thể đã biết nên giá trị tới hạn tra bảng phân vị chuẩn
α = 0,05 tra bảng Z,α/2 = Z,0,025 = 1,96
B3 Thay vào công thức:
17 + 5.14 ( 11.86 ; 22.14 )
80
Trang 10B4 Vậy với độ tin cậy 95% sự khác biệt về giá thành trung bình SP A giữa DN X và
DN Y nằm trong khoảng từ 11.86 đến 22.14 (1000đ)
Ví dụ slide số 26
Ví dụ: Hai nhà sản xuất ô tô lớn đã sản xuất chiếc xe nhỏ gọn với động cơ cùng kích
thước Người ta quan tâm trong việc xác định có hay không có sự khác biệt đáng kể trong mức tiêu hao nhiên liệu (km/lít) của hai thương hiệu xe ô tô Một mẫu ngẫu nhiên gồm 08 xe từ mỗi nhà sản xuất được chọn, và 08 người điều khiển được lựa chọn để điều khiển từng ô tô cho một khoảng cách xác định Các dữ liệu sau đây cho thấy các kết quả tiêu hao nhiên liệu của 2 thương hiệu xe (km/ lít)
Khoảng tin cậy 95% ước lượng sự khác biệt về mức tiêu hao nhiên liệu của 2 thương hiệu xe Biết rằng mức tiêu hao nhiên liệu của 2 thương hiệu xe có phân phối chuẩn và phương sai bằng nhau
Phân tích dữ liệu:
+ Cụm từ “ước lượng sự khác biệt về mức tiêu hao nhiên liệu” Vậy ước lượng giá trị trung bình 2 tổng thể
+ Cụm từ “độ tin cậy 95%.” Vậy ước lượng khoảng
+ Xác định tổng thể: Mức tiêu hao nhiên liệu 8 xe của nhà sản xuất A và mức tiêu hao nhiên liệu 8 xe của nhà SX B hoàn toàn độc lập nhau Vậy mẫu độc lập
Nhà SX A là tổng thể thứ nhất
Nhà SX B là tổng thể thứ hai
+ Kích thước mẫu là 8, kích thước mẫu nhỏ, nên phải có thêm thông tin về phân phối
chuẩn
+ thông tin về phương sai tổng thể chưa biết
Vậy công thức khoảng ước lượng lúc này là công thức số 5
Vậy để giải bài toán ước lượng khoảng ta tiến hành tuần tự các bước sau:
B1 Khoảng ước lượng với độ tin cậy 95% cho việc suy rộng sự khác biệt về mức tiêu
hao nhiên liệu giữa nhà SX A và nhà SX B là
x1 −x2 ±tdf ; α /2√ s1
2
n1
+s2 2
n2
Trang 11B2 Tính toán các chỉ tiêu:
Vì tài liệu không phân tổ, số trung bình tính theo công thức trung bình số học giản đơn
¯x= 1n∑i=1
n
x i
(**) Sử dụng công thức (**) ta có kết quả sau:
x1
= 27,63 (km/l)
x2
= 25,63 (km/l)
Phương sai mẫu, tính theo công thức:
s2= n
n−1 [ ∑
i=1
n
2
n − ( x )2]
s1
2
==8−18 [ 322
+ +252
8 −( 27,63 )2
]= 7,41
s2
2
==8−18 [ 282
+ +272
8 −( 25,63 )2
] = 4,48
Vì phương sai tổng thể chưa biết nên giá trị tới hạn tra bảng phân phối student và phương sai tổng thể bằng nhau nên df =n1 +n2 −2
= 8+8-2 = 14
α = 0,05 tra bảng t 14, 0.025 = 2,145
B3 Thay vào công thức:
(27,63−25 ,63)±2,145 √ 7,41
8 + 4,48 8
(-0.615 ; 4,615)
B4 Vậy với độ tin cậy 95% sự khác biệt về mức tiêu hao nhiên liệu giữa nhà SX A và
nhà SX B
Nằm trong khoảng từ -0,615 km/l đến 4,615 km/l
Ví dụ: