luân văn Thuyết động học chất khí

PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê đều nghiên cứu những hệ bao gồm một số rất lớn các hạt như nguyên tử, phân tử, ion, các hạt khác mà ta gọi là hạt vi mô hay hệ nhiều hạt, nhưng bằng các phương pháp khác nhau. Như vậy khi nghiên cứu về Thuyết động học chất khí sẽ cũng cố kiến thức đã học ở phần Nhiệt học và Vật lí phân tử đồng thời tiếp tục đi sâu khảo sát một số vấn đề quan trọng của thuyết này mà mà trong phạm vi Nhiệt học và Vật lí phân tử chưa có điều kiện để giải quyết một cách đầy đủ, đặc biệt là một số vấn đề liên quan tới phân bố vận tốc Mắcxoen. Mặt khác thuyết động học chất khí có thể coi là một ví dụ đầu tiên và đơn giản nhất của việc áp dụng phương pháp thống kê (tức là dựa vào lí thuyết xác suất) vào hệ nhiều hạt. Chính vì thế việc nghiên cứu đó sẽ tạo điều kiện để nghiên cứu các vấn đề tiếp theo một cách thuận lợi của Vật lí thống kê. Xuất phát từ nhận thức và suy nghĩ đó, và mong muốn góp phần làm phong phú hơn nữa các tài liệu môn học này để các sinh viên chuyên nghành Vật lí và mọi người quan tâm xem đây như một tài liệu tham đó là lí do để tôi chọn đề tài “Thuyết động học chất khí”.

MỤC LỤC

PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU 2

I Lý do chọn đề tài 2

II Mục đích nghiên cứu 2

III Đối tượng nghiên cứu 3

IV Nhiệm vụ nghiên cứu 3

V Phương pháp nghiên cứu 3

VI Bố cục của bài tập lớn 3

PHẦN B: PHẦN NỘI DUNG 4

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 4

1.1 Khí lí tưởng 4

1.2 Phân bố vận tốc của các phân tử trong chất khí ở trạng thái cân bằng nhiệt 4 1.2.1 Phân bố về hướng của các phân tử 4

1.2.2 Phân bố về độ lớn của vận tốc phân tử 5

1.3 Mối liên hệ giữa thông số  của phân bố vận tốc Mắcxoen với nhiệt độ tuyệt đối 10

1.4 Các vận tốc đặc trưng của phân bố Mắcxoen 13

1.5 Phân bố quãng đường tự do của các phân tử khí 16

CHƯƠNG II: BÀI TẬP MINH HỌA 19

PHẦN C: PHẦN KẾT LUẬN 25

PHẦN D: TÀI LIỆU THAM KHẢO 26

PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê đều nghiên cứu những hệ bao gồm một

số rất lớn các hạt như nguyên tử, phân tử, ion, các hạt khác mà ta gọi là hạt vi mô hay hệ nhiều hạt, nhưng bằng các phương pháp khác nhau

Như vậy khi nghiên cứu về Thuyết động học chất khí sẽ cũng cố kiến thức đã học ở phần Nhiệt học và Vật lí phân tử đồng thời tiếp tục đi sâu khảo sát một số vấn đề quan trọng của thuyết này mà mà trong phạm vi Nhiệt học và Vật lí phân tử chưa có điều kiện để giải quyết một cách đầy đủ, đặc biệt là một số vấn đề liên quan tới phân bố vận tốc Mắcxoen Mặt khác thuyết động học chất khí có thể coi là một ví dụ đầu tiên và đơn giản nhất của việc áp dụng phương pháp thống kê (tức là dựa vào lí thuyết xác suất) vào hệ nhiều hạt Chính vì thế việc nghiên cứu đó sẽ tạo điều kiện để nghiên cứu các vấn đề tiếp theo một cách thuận lợi của Vật lí thống

kê

Xuất phát từ nhận thức và suy nghĩ đó, và mong muốn góp phần làm phong phú hơn nữa các tài liệu môn học này để các sinh viên chuyên nghành Vật lí và mọi người quan tâm xem đây như một tài liệu tham đó là lí do để tôi chọn đề tài

“Thuyết động học chất khí”

Trong khuôn khổ giới hạn của một bài tập lớn, đề tài chỉ dừng lại ở việc nêu ra khái quát cơ sở lí thuyết và các dạng bài tập liên quan đến đề tài nghiên cứu

II Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu xây dựng một hệ thống lý thuyết và bài tập minh họa về Thuyết

động học chất khí đồng thời làm phong phú thêm tư liệu học tập

III Đối tượng nghiên cứu

Thuyết động học chất khí

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

Sưu tầm và chọn tài liệu tham khảo thích hợp

Nghiên cứu và nêu bật được các vấn đề của Thuyết động học chất khí

V Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu và phân tích các tài liệu giáo khoa, các lý thuyết có liên quan Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp tổng hợp thu thập tài liệu

VI Bố cục của bài tập lớn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, các tài liệu tham khảo bài tập lớn gồm 2 phần: Phần 1: Cơ sở lí thuyết

Phần 2: Bài tập minh họa

PHẦN B: PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1.1 Khí lí tưởng

Khí lí tưởng là một hệ thống kê đơn giản nhất Những đặc điểm cơ bản nhất của khí lí tưởng là:

 Trong một thể tích vĩ mô của khí lí tưởng có chứa một số rất lớn phân tử

 Kích thước phân tử rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng, do đó trong phần lớn phép tính toán ta có thể bỏ qua kích thước của các phân tử và coi phân tử như chất điểm

 Các phân tử chuyển động hỗn đỗn không ngừng, chúng luôn luôn va chạm với nhau và thành bình chất khí

 Lực tương tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi va chạm; vì vậy hai va chạm liên tiếp mỗi phân tử chuyển động tự do nghĩa là là chuyển động thẳng đều

Sự va chạm giữa các phân tử với nhau và với thành bình xảy ra theo quy luật va chạm đàn hồi

Dưới đây ta chỉ xét khí lí tưởng ở trạng thái cân bằng nhiệt nghĩa là coi nhiệt độ

và áp suất ở mọi chỗ trong chất khí đều bằng nhau và không đổi

1.2 Phân bố vận tốc của các phân tử trong chất khí ở trạng thái cân bằng nhiệt

1.2.1 Phân bố về hướng của các phân tử

Theo giả thiết về sự hỗn đỗn sơ cấp thì trong trạng thái cân bằng nhiệt của chất khí, tất cả các hướng vận tốc của các phân tử khí có xác suất như nhau Như vậy là,

trong trạng thái cân bằng nhiệt của chất khí, hướng vận tốc của các phân tử tuân theo một định luật phân bố đơn giản: tất cả các hướng chuyển động đều có thể gặp thấy một cách phổ biến như nhau ở các phân tử Tính đồng xác suất của các phân

tử cho phép ta có thể thay chuyển động của các phân tử khí bằng chuyển động trung bình

1.2.2 Phân bố về độ lớn của vận tốc phân tử

Phân bố này do Mắcxoen tìm ra lần đầu tiên vào năm 1867, vì vậy nó còn mang tên là phân bố vận tốc Mắcxoen Do đơn giản hóa vấn đề, nên lập luận ban đầu của Mắcxoen chưa thực sự chặt chẽ Tuy nhiên, những chứng minh chặt chẽ khác cũng cho ta kết quả giống như Mắcxoen Và nó đã được thực nghiệm xác nhận là đúng

Do tính đẳng hướng của chuyển động phân tử, ta có thể tìm hoặc là sự phân bố của hình chiếu vận tốc của các phân tử theo một phương nào đó, hoặc là sự phân

bố phân tử theo modun vận tốc Độ lớn tuyệt đối của vận tốc phân tử cũng như hình chiếu vận tốc lên một trục tùy ý có thể có các trị số liên tục từ không cho đến

vô cực Điều đó có nghĩa ta sẽ thu được một hàm phân bố vận tốc liên tục f Do ta khảo sát trạng thái cân bằng của chất khí, nên hàm phân bố sẽ không phụ thuộc vào thời gian

a) Để thu được hàm phân bố đó ta chuyển sang chuyển động không gian của chuyển động ngẫu nhiên tức là không gian vận tốc của một phân tử Trên ba trục độc lập x, y, z ta đặt các hình chiếu v , v , vx y z của vận tốc phân tử Trong không gian đó mỗi một vectơ vận tốc ngẫu nhiên nào đó của phân tử sẽ tương ứng với một điểm trùng với đầu mút vectơ đó, các hình chiếu khả hữu của vận tốc phân tử được biểu diễn trên các trục x, y và z từ  cho đến 

Vậy xác suất để phân tử có hình

chiếu vận tốc trên trục Ox trong

v , bởi vì khi chiều Ox biến đổi thành

chiều ngược lại, xác suất của hình

chiếu vận tốc không thay đổi Một

f có dạng như nhau và có thừa số hằng số xác định bởi điều kiện chuẩn hóa

như nhau Mắcxoen cho rằng hình chiếu của vận tốc các phân tử là đại lượng ngẫu

nhiên độc lập Do đó xác suất để phân tử khi có đồng thời ba hình chiếu vận tốc

v , v , v trong các khoảng dvx, dvy và dvz sẽ được xác định bởi tích ba xác suất, nghĩa là:

       2 2 2

dW v , v , v  f v f v f v dv dv dv (2) Đẳng thức (2) xác định xác suất sao cho đầu mút của vectơ vận tốc của phân tử nằm trong hình hộp nguyên tố dvx dvy dvz của không gian vận tốc (xem hình 1)

b) Tuy nhiên , để phân tích chuyển động

của phân tử trong chất khí ta có thể xét đến

xác suất để phân tử khí có một mođun vận tốc

nào đó không phụ thuộc vào phương chuyển

động Ta có thể viết lại (3) như sau:

  -αv 2 2

Bởi vì chuyển động của các phân tử là đẳng hướng, bằng cách lấy tích phân theo góc ta có thể tìm được hàm phân bố mođun vận tốc v:

c) Nếu trong hệ có N phân tử thì số hạt có hình chiếu vận tốc vl trong khoản từ

vl đến vl dvl hay là mođun v đến v + dv sẽ được xác định theo công thức:

dn v NdW v ,trong đó dW v  là xác suất tương ứng đối với một hạt Ta có thể viết lại:

Đối với hình chiếu của vận tốc:

v

m và mvx vẫn giữ nguyên không thay đổi Vì vậy khi va chạm vào thành bình,

độ biến thiên động lượng của phân tử là bằng 2mvz

Tổng các xung của các lực của



Trong trường hợp đó o

o

NnV

 và R kNo trong đó No là số Avôgađrô, V là thể tích của hệ, k là hằng số Bônxơman và R là hằng số phổ biến của chất khí Cuối cùng ta thu được:

o

mn kN T

kTn 2α  V 

Từ đó suy ra được thông số  của phân bố Mắcxoen liên hệ với nhiệt độ tuyệt đối theo công thức:

m.2kT

Bằng cách đưa xung lượng với các hình chiếu px  mvx, py mvy, pz mvz ta

có thể viết lại phân bố Mắcxoen dưới dạng:





1.4 Các vận tốc đặc trưng của phân bố Mắcxoen

Vận tốc tương ứng với cực đại của đường cong phân bố được gọi là vận tốc cái

nhiên nhất (hay vận tốc có xác suất lớn nhất) Vận tốc đó được xác định từ điều

kiện:

 

df

0dt

Đôi khi để thuận lợi người ta biểu thị phân bố vận tốc Mắcxoen dưới dạng rút

gọn bằng cách đưa biến số mới

c

v c v

Ta có (dựa vào công thứ tích phân Poátxông): đối với trị số trung bình của mođun vận tốc

Đại lượng đầu 2

v xác định trị toàn phương trung bình của mođun vận tốc, còn đại lượng thứ hai v l2 là trị toàn phương trung bình của hình chiếu vận tốc

2

2 2 2 kT

.3

Các trị số vận tốc đó biểu diễn trên đồ thị (hình 5)

Mật độ năng lượng trung bình tức là năng

lượng trung bình của 3

1cm chất khí có chứa nophân tử:

2 d

Dựa vào (28) ta có thể viết lại biểu thức (15)

của áp suất như sau:

Như vậy là, động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của phân tử sẽ

không phụ thuộc vào bản chất của phân tử và tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối T của chất khí Từ đó suy ra rằng, nhiệt độ tuyệt đối là thước đo động năng trung bình của phân tử

1.5 Phân bố quãng đường tự do của các phân tử khí

Ta kí hiệu P(x) là xác suất để phân tử đi hết quãng đường x mà chưa bị va chạm

và là xác suất để phân tử đi hết quãng đường xdx mà chưa bị va chạm Việc phân tử phân tử đi hết quãng đường xdx mà chưa bị va chạm được gọi như là một biến cố phức tạp gồm hai biến cố độc lập Gọi P(dx) là xác suất để phân tử đi quãng đường dx chưa bị va chạm ta có:

Ta có thể viết P(dx) dưới dạng khác Ta kí hiệu Q(dx) là xác suất để phân tử đi quãng đường dx hết sức nhỏ và bị va chạm Ta coi rằng Q(dx) tỉ lệ thuận với dx, nghĩa là:

Để xác định hằng số A ta chú ý rằng, xác suất P 0  để trên quãng đường x 0

phân tử không bị va chạm với phân tử khác là một biến cố chắc chắn, tức là

 

P 0 1 Do đó A 1 Cuối cùng ta được:

Từ công thức (41) ta suy ra hàm phân bố

của quãng đường tự do:

Trên hình 6 đồ thị của hàm phân bố f  λ

Từ (42) ta tìm được quãng đường tự do trung bình  :

Từ đó ta suy ra rằng, xác suất để phân tử có quãng đường tự do trung bình hoặc hớn hơn là bằng:

CHƯƠNG II: BÀI TẬP MINH HỌA Câu 1: Xuất phát từ phương trình động học Bônxơman hãy rút ra phân bố

Mắcxoen theo vận tốc của các phân tử khí cân bằng khi không có trường ngoài

Lời giải:

Khi không có trường ngoài U r 

Đối với khi cân bằng hàm phân bố không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên ta có:

0

f t





 Mặt khác do không có trường ngoài f cũng không phụ thuộc tọa độ nên cung có thể đặt:

0

r f

  Thành thử ra ta sẽ có phương trình:

  b  

f v  e  

Đó là phân bố Mắcxoen

Câu 2: Trong quả cầu bán kính a có chứa N hạt khí lí tưởng cân bằng ở nhiệt

độ T Ở thời điểm ban đầu t0, khí bắt đầu giãn nở tự do vào chân không Xác định mật độ hạt r t, 

Và coi  o ro

là đối xứng cầu, tích phân theo  và  giữa r

và ro, ta có:

2 0

o

r r t

Câu 3: Nếu xem không khí trong một căn phòng là đứng yên trên phương diện

vĩ mô, có áp suất và nhiệt độ hoàn toàn đồng nhất, hãy ước tính khoảng thời gian

để một phân tử khí trong phòng đi được khoảng cách 5m

L là độ dịch chuyển toàn phần của phân tử, l là quãng đường tự do trung bình, n là

số va chạm nó gặp phải trên suốt khoảng dịch chuyển L Do đó thời gian cần thiết là:

2 4

Câu 4: Một thể tích 2V chia thành hai nửa nhờ một vách ngăn mỏng Nửa bên

trái chứa khí lí tưởng ở áp suất n o còn nửa phải lúc đầu là chân không Một lỗ nhỏ

A được khoét trên vách ngăn Áp suất p1 ở nửa bên trái phụ thuộc vào thời gian như thế nào? Giả thiết nhiệt độ ở cả hai bên là không thay đổi Hãy biểu diễn đáp

2 1

Nếu sử dụng định luật bảo toàn điện tích và năng lượng:

div 0,

div 0

j t

Ở đây đã sử dụng điều kiện j n  n  trên mặt giới hạn thể tích V Ta thấy các 0

lực liên hiệp với các dòng nhiệt động j

và Q

tương ứng

PHẦN C: PHẦN KẾT LUẬN

Qua bài tập lớn này, giúp chúng ta có thể tiếp cận với việc tham khảo nhiều tài liệu khác nhau của môn Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê Đặc biệt là phần Thuyết động học chất khí, từ đó tìm hiêu sâu hơn về phần này và các giải các bài toán liên quan

Nó giúp em hiểu được và định hình về việc giải những bài tập và lí thuyết có liên quan, mặt khác qua đó nắm một các tổng quát các dạng toán của Thuyết động học chất khí

Do thời gian nghiên cứu và bản thân kiến thức còn hạn chế nên chỉ mới đề cập khái quát một cách cơ bản mà chưa đi sâu và việc trình bày chưa được đầy đủ, không tránh khỏi những thiếu sót, mong các bạn và quý thầy cô giúp đỡ

Xin chân thành cảm ơn cô giáo hướng dẫn Th s Lê Thị Thu Phương đã giúp đỡ tận tình để em có thể hoàn thành bài tập lớn này

PHẦN D: TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Vũ Thanh Khiết, Giáo trình Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008

2 Phạm Quý Tư, Nhiệt động lực học, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội,

2000

3 Yung – Kuo Lim (dịch: Nguyễn Phúc Dương, Phạm Thúc Tuyền, Nguyễn Toàn Thắng), Problems and Solutions Quantum Mechanics (Bài tập và lời giải Nhiệt động lực học và Vật lí thống kê), Nhà xuất bản Giáo dục, 2008

4 Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường, Tạ Duy Lợi, Bài tập Vật lí lý thuyết (tập 2), Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996